43 - Квант

À ÒÀÅ Ò
ÌÈ
À Ò×
Å×
ÓÆ
Ì À Ò ÅÌÌ
ÅÅÑÑ ÊÊÈÈÉ ÉÊ Ð Ê
ÐÎÓÊ Æ Î Ê
Äèàãîíàëüíîïåðïåíäèêóëÿðíîå
îòîáðàæåíèå
÷åòûðåõóãîëüíèêîâ
À.ÇÀÑËÀÂÑÊÈÉ
Ï
ÎÂÎÄÎÌ ê íàïèñàíèþ ýòîé çàìåòêè ïîñëóæèëà çàäà÷à Ì1154 èç
«Çàäà÷íèêà Êâàíòà»: äîêàæèòå, ÷òî
åñëè ÷åòûðåõóãîëüíèê ÿâëÿåòñÿ âïèñàííûì â îêðóæíîñòü è îïèñàííûì
âîêðóã äðóãîé îêðóæíîñòè, òî ïðÿìàÿ, ñîåäèíÿþùàÿ öåíòðû ýòèõ îêðóæíîñòåé, ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó
ïåðåñå÷åíèÿ äèàãîíàëåé ÷åòûðåõóãîëüíèêà.
Ýòó çàäà÷ó ìîæíî ðåøàòü ðàçíûìè
ñïîñîáàìè.  ÷àñòíîñòè, îäíî èç ðåøåíèé ïðèâîäèòñÿ â «Êâàíòå» (¹8 çà
1989 ãîä). Íàøåé æå öåëüþ áóäåò ôîðìóëèðîâêà è äîêàçàòåëüñòâî áîëåå îáùåãî óòâåðæäåíèÿ, â êîòîðîì áóäåò
ðàññìàòðèâàòüñÿ ïðîèçâîëüíûé ÷åòûðåõóãîëüíèê. Îñíîâíûì èíñòðóìåíòîì
äëÿ íàñ áóäåò äèàãîíàëüíî-ïåðïåíäèêóëÿðíîå îòîáðàæåíèå, êîòîðîå ìû
îïðåäåëèì ñëåäóþùèì îáðàçîì:
Îïðåäåëåíèå. Âîçüìåì ïðîèçâîëüíûé ÷åòûðåõóãîëüíèê ABCD è èç òî÷êè Î ïåðåñå÷åíèÿ åãî äèàãîíàëåé îïóñòèì ïåðïåíäèêóëÿðû OK, OL, OM,
ON íà åãî ñòîðîíû. ×åòûðåõóãîëüíèê
KLMN áóäåì íàçûâàòü îáðàçîì ÷åòûðåõóãîëüíèêà ABCD ïðè äèàãîíàëüíîïåðïåíäèêóëÿðíîì îòîáðàæåíèè
(ðèñ.1).
Ïðèìå÷àíèå 1. Ñòðîãî ãîâîðÿ, íàøå îïðåäåëåíèå íå ÿâëÿåòñÿ âïîëíå êîððåêòíûì,
òàê êàê ÷åòûðåõóãîëüíèê KLMN ìîæåò
îêàçàòüñÿ âûðîæäåííûì: òðè èëè äàæå âñå
÷åòûðå åãî âåðøèíû ìîãóò ëåæàòü íà îäíîé
ïðÿìîé. Âïðî÷åì, äëÿ äàëüíåéøåãî èçëîæåíèÿ ýòî íåñóùåñòâåííî.
A
N
K
B
Ðèñ. 1
O
D
M
L
C
X
Èññëåäóåì ñâîéñòâà íàøåãî îòîáðàæåíèÿ. Ïðåæäå âñåãî âûÿñíèì, ìîæíî
ëè âîññòàíîâèòü ÷åòûðåõóãîëüíèê
ABCD ïî ÷åòûðåõóãîëüíèêó KLMN.
Ïðîäîëæèì íà ðèñóíêå 1 ñòîðîíû ÂÑ
è AD äî èõ ïåðåñå÷åíèÿ â òî÷êå Õ.Î÷åâèäíî, ÷òî ∠BXA = ∠BOA – ∠OBC –
– ∠OAD . Íî ÷åòûðåõóãîëüíèê OKBL
– âïèñàííûé, òàê êàê åãî ïðîòèâîïîëîæíûå óãëû ïðÿìûå. Ïîýòîìó ∠OBC
= ∠LKO . Àíàëîãè÷íî, ∠OAD =
∠OKN , è çíà÷èò, ∠BXA = ∠BOA –
– ∠LKN . Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ∠BOA =
= ( ∠BOA + ∠COD)/2 = ( ∠OBC +
+ ∠OCB + ∠OAD + ∠ODA )/2 =
= ( ∠OKL + ∠OKN + ∠OML +
+ ∠OMN )/2 = ( ∠LKN + ∠LMN )/2.
Òàêèì îáðàçîì, ∠BXA = ( ∠LMN –
– ∠LKN )/2, è ñëåäîâàòåëüíî, ∠LON =
= π – ( ∠LMN – ∠LKN )/2. Àíàëîãè÷íî, ∠KOM = π – (– ∠KNM )/2.
Ìû âèäèì, ÷òî ÷åòûðåõóãîëüíèê
KLMN îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò òî÷êó
Î ïåðåñå÷åíèÿ äèàãîíàëåé ÷åòûðåõóãîëüíèêà ABCD (èçâåñòíû óãëû, ïîä
êîòîðûìè âèäíû èç òî÷êè Î äèàãîíàëè
÷åòûðåõóãîëüíèêà). Íåòðóäíî ïðîâåðèòü òàêæå, ÷òî åñëè ñîåäèíèòü ïîñòðîåííóþ òàêèì îáðàçîì òî÷êó Î ñ âåðøèíàìè KLMN è ïðîâåñòè ÷åðåç íèõ
ïåðïåíäèêóëÿðû ê ñîîòâåòñòâóþùèì
îòðåçêàì, òî äèàãîíàëè ïîëó÷èâøåãîñÿ
÷åòûðåõóãîëüíèêà ïåðåñåêóòñÿ â òî÷êå
Î (íåïîñðåäñòâåííîå âû÷èñëåíèå äàåò
∠BOD = ∠COA = π ). Ñëåäîâàòåëüíî,
äèàãîíàëüíî-ïåðïåíäèêóëÿðíûé îáðàç
ïîçâîëÿåò îäíîçíà÷íî âîññòàíîâèòü
èñõîäíûé ÷åòûðåõóãîëüíèê.
Ïðîäîëæèì èçó÷åíèå ñâîéñòâ äèàãîíàëüíî-ïåðïåíäèêóëÿðíîãî îòîáðàæåíèÿ. Ïðåæäå âñåãî äîêàæåì
Óòâåðæäåíèå 1.  ÷åòûðåõóãîëüíèê
KLMN ìîæíî âïèñàòü îêðóæíîñòü
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îêîëî
÷åòûðåõóãîëüíèêà ABCD ìîæíî îïèñàòü îêðóæíîñòü, ïðè÷åì öåíòðîì
îêðóæíîñòè, âïèñàííîé â KLMN, ÿâëÿåòñÿ òî÷êà Î ïåðåñå÷åíèÿ äèàãîíàëåé ABCD.
73
Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè ÷åòûðåõóãîëüíèê ABCD – âïèñàííûé, òî óãëû ÎÂÑ
è OAD ðàâíû. Íî ∠OBC = ∠OKL ,
∠OAD = ∠OKN , ò.å. OK – áèññåêòðèñà óãëà K ÷åòûðåõóãîëüíèêà KLMN.
Àíàëîãè÷íî, òî÷íî Î ëåæèò íà áèññåêòðèñàõ îñòàëüíûõ óãëîâ KLMN, è çíà÷èò, ñîâïàäàåò ñ öåíòðîì âïèñàííîé â
íåãî îêðóæíîñòè. Ñ äðóãîé ñòîðîíû,
åñëè ÷åòûðåõóãîëüíèê KLMN – îïèñàííûé, òî ñîåäèíèâ öåíòð âïèñàííîé
îêðóæíîñòè ñ åãî âåðøèíàìè è ïîñòðîèâ ÷åòûðåõóãîëüíèê ABCD, ïîëó÷èì,
÷òî óãëû ÎÂÑ è OAD ðàâíû, è òî÷êè A,
B, C, D ëåæàò íà îêðóæíîñòè.
Óòâåðæäåíèå 1 äàåò âîçìîæíîñòü
îáîáùèòü ïîíÿòèå öåíòðà âïèñàííîé
îêðóæíîñòè íà ÷åòûðåõóãîëüíèê, íå
ÿâëÿþùèéñÿ îïèñàííûì: áóäåì íàçûâàòü êâàçèöåíòðîì âïèñàííîé îêðóæíîñòè ÷åòûðåõóãîëüíèêà KLMN òî÷êó
ïåðåñå÷åíèÿ äèàãîíàëåé ÷åòûðåõóãîëüíèêà ABCD, ÿâëÿþùåãîñÿ äèàãîíàëüíî-ïåðïåíäèêóëÿðíûì ïðîîáðàçîì
KLMN.
Ïîïðîáóåì òåïåðü îáîáùèòü ïîíÿòèå
öåíòðà îïèñàííîé îêðóæíîñòè. Äëÿ
ýòîãî ïðåæäå âñåãî ñôîðìóëèðóåì
Óòâåðæäåíèå 2. ×åòûðåõóãîëüíèê
KLMN ÿâëÿåòñÿ âïèñàííûì òîãäà è
òîëüêî òîãäà, êîãäà äèàãîíàëè ÷åòûðåõóãîëüíèêà ABCD ïåðïåíäèêóëÿðíû.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàíåå áûëî ïîêàçàíî, ÷òî óãîë ìåæäó äèàãîíàëÿìè ÷åòûðåõóãîëüíèêà ABCD ðàâåí ïîëóñóììå
ïðîòèâîïîëîæíûõ óãëîâ ÷åòûðåõóãîëüíèêà KLMN. Óòâåðæäåíèå 2 ÿâëÿåòñÿ
î÷åâèäíûì ñëåäñòâèåì ýòîãî.
Âûÿñíèì, ãäå íàõîäèòñÿ öåíòð îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî ÷åòûðåõóãîëüíèêà KLMN. Ïðîäîëæèì îòðåçêè
OK, OL, OM, ON çà òî÷êó Î äî
ïåðåñå÷åíèÿ ñ ïðîòèâîïîëîæíûìè ñòîðîíàìè ÷åòûðåõóãîëüíèêà ABCD â òî÷êàõ ñîîòâåòñòâåííî K ′ , L′ , M ′ , N ′ .
Äîêàæèòå ñàìîñòîÿòåëüíî ñëåäóþùèå
óòâåðæäåíèÿ (ðèñ.2):
Óòâåðæäåíèå 3. K′L′ M ′N ′ – ïðÿìîóãîëüíèê, ñòîðîíû êîòîðîãî ïàðàëëåëüíû äèàãîíàëÿì ABCD.
C
M
K
L
O
D
L
Ðèñ. 2
N
N
B
K
A
M