Серия Х. 1. На столе лежат две кучки по 10 спичек в каждой. Петя

Ñåðèÿ Õ.
1. Íà ñòîëå ëåæàò äâå êó÷êè ïî 10 ñïè÷åê â êàæäîé. Ïåòÿ è Âàñÿ ïî î÷åðåäè çàáèðàþò ñî ñòîëà ïî îäíîé ñïè÷êå (èç
ëþáîé êó÷êè), ïîêà îäíà èç êó÷åê íå çàêîí÷èòñÿ. Ïåðâûì õîäèò Ïåòÿ. Âàñÿ õî÷åò, ÷òîáû ó íåãî íà ðóêàõ â èòîãå îêàçàëîñü
íå áîëüøå 8 ñïè÷åê. Ñìîæåò ëè îí äîáèòüñÿ ýòîãî íåçàâèñèìî îò èãðû Ïåòè?
2. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà a è b (a ≤ b) òàêîâû, ÷òî äëÿ ëþáûõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë x è y , óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâó
a ≤ x ≤ y ≤ b, âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî a ≤ x/y + y/x ≤ b. Íàéäèòå âñå òàêèå ïàðû ÷èñåë a è b.
3. Ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà ABC - íàòóðàëüíûå ÷èñëà. Áèññåêòðèñà óãëà B è âûñîòà, îïóùåííàÿ èç âåðøèíû C, ïåðåñåêàþòñÿ
â òî÷êå P âíóòðè òðåóãîëüíèêà. Äîêàæèòå, ÷òî îòíîøåíèå ïëîùàäåé òðåóãîëüíèêîâ APB è APC ðàöèîíàëüíî.
4. Ïîâåðõíîñòü êóáà 11 × 11 × 11 ðàçáèòà íà êëåòêè 1 × 1. Ìóðàâåé áåãàåò ïî äèàãîíàëÿì êëåòîê, íèãäå íå ïîâîðà÷èâàÿ
íàçàä. Îí íå ìîæåò áûâàòü âíóòðè îäíîé êëåòêè áîëåå îäíîãî ðàçà, íî ìîæåò íåñêîëüêî ðàç ïðîõîäèòü îäíó âåðøèíó. Ìîæåò
ëè îí ïîñåòèòü öåíòðû 720 êëåòîê
5. Íåîòðèöàòåëüíûå ÷èñëà x, y , z óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ xy + yz + zx = 3. Äîêàæèòå, ÷òî
x(2 − y 2 )(2 − z 2 ) + y(2 − z 2 )(2 − x2 ) + z(2 − x2 )(2 − y 2 ) ≤ 3
6. Ïóñòü A êîëè÷åñòâî ñïîñîáîâ, êîòîðûìè ìîæíî ðàçáèòü ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë îò 1 äî n íà íåïóñòûå ïîäìíîæåñòâà. Ïóñòü B êîëè÷åñòâî ñïîñîáîâ ðàçáèòü ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë îò 1 äî n+1 íà íåïóñòûå ïîäìíîæåñòâà òàê,
÷òîáû ñîñåäíèå ÷èñëà áûëè â ðàçíûõ ïîäìíîæåñòâàõ. Ðàçáèåíèÿ, îòëè÷àþùèåñÿ òîëüêî ïîðÿäêîì ïîäìíîæåñòâ, ñ÷èòàþòñÿ
îäèíàêîâûìè. Äîêàæèòå, ÷òî A = B
Ñåðèÿ Õ.
1. Íà ñòîëå ëåæàò äâå êó÷êè ïî 10 ñïè÷åê â êàæäîé. Ïåòÿ è Âàñÿ ïî î÷åðåäè çàáèðàþò ñî ñòîëà ïî îäíîé ñïè÷êå (èç
ëþáîé êó÷êè), ïîêà îäíà èç êó÷åê íå çàêîí÷èòñÿ. Ïåðâûì õîäèò Ïåòÿ. Âàñÿ õî÷åò, ÷òîáû ó íåãî íà ðóêàõ â èòîãå îêàçàëîñü
íå áîëüøå 8 ñïè÷åê. Ñìîæåò ëè îí äîáèòüñÿ ýòîãî íåçàâèñèìî îò èãðû Ïåòè?
2. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà a è b (a ≤ b) òàêîâû, ÷òî äëÿ ëþáûõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë x è y , óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâó
a ≤ x ≤ y ≤ b, âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî a ≤ x/y + y/x ≤ b. Íàéäèòå âñå òàêèå ïàðû ÷èñåë a è b.
3. Ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà ABC - íàòóðàëüíûå ÷èñëà. Áèññåêòðèñà óãëà B è âûñîòà, îïóùåííàÿ èç âåðøèíû C, ïåðåñåêàþòñÿ
â òî÷êå P âíóòðè òðåóãîëüíèêà. Äîêàæèòå, ÷òî îòíîøåíèå ïëîùàäåé òðåóãîëüíèêîâ APB è APC ðàöèîíàëüíî.
4. Ïîâåðõíîñòü êóáà 11 × 11 × 11 ðàçáèòà íà êëåòêè 1 × 1. Ìóðàâåé áåãàåò ïî äèàãîíàëÿì êëåòîê, íèãäå íå ïîâîðà÷èâàÿ
íàçàä. Îí íå ìîæåò áûâàòü âíóòðè îäíîé êëåòêè áîëåå îäíîãî ðàçà, íî ìîæåò íåñêîëüêî ðàç ïðîõîäèòü îäíó âåðøèíó. Ìîæåò
ëè îí ïîñåòèòü öåíòðû 720 êëåòîê
5. Íåîòðèöàòåëüíûå ÷èñëà x, y , z óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ xy + yz + zx = 3. Äîêàæèòå, ÷òî
x(2 − y 2 )(2 − z 2 ) + y(2 − z 2 )(2 − x2 ) + z(2 − x2 )(2 − y 2 ) ≤ 3
6. Ïóñòü A êîëè÷åñòâî ñïîñîáîâ, êîòîðûìè ìîæíî ðàçáèòü ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë îò 1 äî n íà íåïóñòûå ïîäìíîæåñòâà. Ïóñòü B êîëè÷åñòâî ñïîñîáîâ ðàçáèòü ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë îò 1 äî n+1 íà íåïóñòûå ïîäìíîæåñòâà òàê,
÷òîáû ñîñåäíèå ÷èñëà áûëè â ðàçíûõ ïîäìíîæåñòâàõ. Ðàçáèåíèÿ, îòëè÷àþùèåñÿ òîëüêî ïîðÿäêîì ïîäìíîæåñòâ, ñ÷èòàþòñÿ
îäèíàêîâûìè. Äîêàæèòå, ÷òî A = B
Ñåðèÿ Õ.
1. Íà ñòîëå ëåæàò äâå êó÷êè ïî 10 ñïè÷åê â êàæäîé. Ïåòÿ è Âàñÿ ïî î÷åðåäè çàáèðàþò ñî ñòîëà ïî îäíîé ñïè÷êå (èç
ëþáîé êó÷êè), ïîêà îäíà èç êó÷åê íå çàêîí÷èòñÿ. Ïåðâûì õîäèò Ïåòÿ. Âàñÿ õî÷åò, ÷òîáû ó íåãî íà ðóêàõ â èòîãå îêàçàëîñü
íå áîëüøå 8 ñïè÷åê. Ñìîæåò ëè îí äîáèòüñÿ ýòîãî íåçàâèñèìî îò èãðû Ïåòè?
2. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà a è b (a ≤ b) òàêîâû, ÷òî äëÿ ëþáûõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë x è y , óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâó
a ≤ x ≤ y ≤ b, âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî a ≤ x/y + y/x ≤ b. Íàéäèòå âñå òàêèå ïàðû ÷èñåë a è b.
3. Ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà ABC - íàòóðàëüíûå ÷èñëà. Áèññåêòðèñà óãëà B è âûñîòà, îïóùåííàÿ èç âåðøèíû C, ïåðåñåêàþòñÿ
â òî÷êå P âíóòðè òðåóãîëüíèêà. Äîêàæèòå, ÷òî îòíîøåíèå ïëîùàäåé òðåóãîëüíèêîâ APB è APC ðàöèîíàëüíî.
4. Ïîâåðõíîñòü êóáà 11 × 11 × 11 ðàçáèòà íà êëåòêè 1 × 1. Ìóðàâåé áåãàåò ïî äèàãîíàëÿì êëåòîê, íèãäå íå ïîâîðà÷èâàÿ
íàçàä. Îí íå ìîæåò áûâàòü âíóòðè îäíîé êëåòêè áîëåå îäíîãî ðàçà, íî ìîæåò íåñêîëüêî ðàç ïðîõîäèòü îäíó âåðøèíó. Ìîæåò
ëè îí ïîñåòèòü öåíòðû 720 êëåòîê
5. Íåîòðèöàòåëüíûå ÷èñëà x, y , z óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ xy + yz + zx = 3. Äîêàæèòå, ÷òî
x(2 − y 2 )(2 − z 2 ) + y(2 − z 2 )(2 − x2 ) + z(2 − x2 )(2 − y 2 ) ≤ 3
6. Ïóñòü A êîëè÷åñòâî ñïîñîáîâ, êîòîðûìè ìîæíî ðàçáèòü ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë îò 1 äî n íà íåïóñòûå ïîäìíîæåñòâà. Ïóñòü B êîëè÷åñòâî ñïîñîáîâ ðàçáèòü ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë îò 1 äî n+1 íà íåïóñòûå ïîäìíîæåñòâà òàê,
÷òîáû ñîñåäíèå ÷èñëà áûëè â ðàçíûõ ïîäìíîæåñòâàõ. Ðàçáèåíèÿ, îòëè÷àþùèåñÿ òîëüêî ïîðÿäêîì ïîäìíîæåñòâ, ñ÷èòàþòñÿ
îäèíàêîâûìè. Äîêàæèòå, ÷òî A = B
Ñåðèÿ Õ.
1. Íà ñòîëå ëåæàò äâå êó÷êè ïî 10 ñïè÷åê â êàæäîé. Ïåòÿ è Âàñÿ ïî î÷åðåäè çàáèðàþò ñî ñòîëà ïî îäíîé ñïè÷êå (èç
ëþáîé êó÷êè), ïîêà îäíà èç êó÷åê íå çàêîí÷èòñÿ. Ïåðâûì õîäèò Ïåòÿ. Âàñÿ õî÷åò, ÷òîáû ó íåãî íà ðóêàõ â èòîãå îêàçàëîñü
íå áîëüøå 8 ñïè÷åê. Ñìîæåò ëè îí äîáèòüñÿ ýòîãî íåçàâèñèìî îò èãðû Ïåòè?
2. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà a è b (a ≤ b) òàêîâû, ÷òî äëÿ ëþáûõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë x è y , óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâó
a ≤ x ≤ y ≤ b, âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî a ≤ x/y + y/x ≤ b. Íàéäèòå âñå òàêèå ïàðû ÷èñåë a è b.
3. Ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà ABC - íàòóðàëüíûå ÷èñëà. Áèññåêòðèñà óãëà B è âûñîòà, îïóùåííàÿ èç âåðøèíû C, ïåðåñåêàþòñÿ
â òî÷êå P âíóòðè òðåóãîëüíèêà. Äîêàæèòå, ÷òî îòíîøåíèå ïëîùàäåé òðåóãîëüíèêîâ APB è APC ðàöèîíàëüíî.
4. Ïîâåðõíîñòü êóáà 11 × 11 × 11 ðàçáèòà íà êëåòêè 1 × 1. Ìóðàâåé áåãàåò ïî äèàãîíàëÿì êëåòîê, íèãäå íå ïîâîðà÷èâàÿ
íàçàä. Îí íå ìîæåò áûâàòü âíóòðè îäíîé êëåòêè áîëåå îäíîãî ðàçà, íî ìîæåò íåñêîëüêî ðàç ïðîõîäèòü îäíó âåðøèíó. Ìîæåò
ëè îí ïîñåòèòü öåíòðû 720 êëåòîê
5. Íåîòðèöàòåëüíûå ÷èñëà x, y , z óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ xy + yz + zx = 3. Äîêàæèòå, ÷òî
x(2 − y 2 )(2 − z 2 ) + y(2 − z 2 )(2 − x2 ) + z(2 − x2 )(2 − y 2 ) ≤ 3
6. Ïóñòü A êîëè÷åñòâî ñïîñîáîâ, êîòîðûìè ìîæíî ðàçáèòü ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë îò 1 äî n íà íåïóñòûå ïîäìíîæåñòâà. Ïóñòü B êîëè÷åñòâî ñïîñîáîâ ðàçáèòü ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë îò 1 äî n+1 íà íåïóñòûå ïîäìíîæåñòâà òàê,
÷òîáû ñîñåäíèå ÷èñëà áûëè â ðàçíûõ ïîäìíîæåñòâàõ. Ðàçáèåíèÿ, îòëè÷àþùèåñÿ òîëüêî ïîðÿäêîì ïîäìíîæåñòâ, ñ÷èòàþòñÿ
îäèíàêîâûìè. Äîêàæèòå, ÷òî A = B