ÇÀÄÀ×ÍÈÊ ðîíàì ïðÿìûå X ′Y ′ è U ′V ′ (ðèñ.2). Î÷åâèäíî, ÷òî A′X ′ B′U ′ C ′Y ′ D′V ′ ⋅ ⋅ ⋅ = 1. Ñëåäîâàòåëüíî, X ′B′ U ′C ′ Y ′D′ V ′A′ AX BU CY DV ⋅ ⋅ ⋅ = 1 , è ïî òåîðåìå Ìåíåëàÿ òî÷êè XB UC YD VA Õ, Y, U, V ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè. Îòñþäà ñðàçó ñëåäóåò óòâåðæäåíèå çàäà÷è. À.Çàñëàâñêèé Ô1823.  ïîëå, íà ðàññòîÿíèè 1 êì îò ïðÿìîé äîðîãè, ñòîèò è ðàçìûøëÿåò ïðîôåññîð Î÷êîâ, áîëüøîé çíàòîê ãåîìåòðè÷åñêîé îïòèêè. Íà ðàññòîÿíèè 2 êì îò áëèæàéøåé ê ïðîôåññîðó òî÷êè äîðîãè À íàõîäèòñÿ æåëåçíîäîðîæíàÿ ñòàíöèÿ Æ. Ñêîðîñòü ïðè õîäüáå ïî ïîëþ ðàâíà 3 êì/÷, ïî äîðîãå 4 êì/÷. Çà êàêîå ìèíèìàëüíîå âðåìÿ ïðîôåññîð ìîæåò äîáðàòüñÿ äî ñòàíöèè? À çà êàêîå âðåìÿ îí ñìîã áû äîáðàòüñÿ äî ñåðåäèíû îòðåçêà ÀÆ? Ïðîôåññîðó íóæíî ðåøèòü èäòè ëè íà ñòàíöèþ ïî ïîëþ âäîëü ïðÿìîé èëè äîéòè äî êàêîé-òî òî÷êè äîðîãè è äàëüøå øàãàòü ïî íåé ñ áîëüøåé ñêîðîñòüþ, ÷åì ïî ïîëþ.  çàâèñèìîñòè îò ñîîòíîøåíèÿ ñêîðîñòåé, ïðè çàäàííûõ ïîëîæåíèÿõ íà÷àëüíîé è êîíå÷íîé òî÷åê ïóòè ìîæåò áûòü âûãîäíûì êàê ïåðâûé, òàê è âòîðîé âàðèàíò. Ìîæíî ðåøèòü çàäà÷ó «â ëîá», îáîçíà÷èâ áóêâîé õ ðàññòîÿíèå îò òî÷êè À äî èíòåðåñóþùåé íàñ òî÷êè äîðîãè, âûðàçèòü ÷åðåç õ âðåìÿ ïóòåøåñòâèÿ è âçÿòü îò íåãî ïðîèçâîäíóþ. Ìèíèìóì ìîæåò äîñòèãàòüñÿ â òî÷êàõ, ãäå ýòà ïðîèçâîäíàÿ îáðàùàåòñÿ â íîëü, è íà ãðàíèöàõ îòðåçêà ÀÆ èõ îáÿçàòåëüíî íóæíî ïðîâåðèòü. Íî òîíêèé íàìåê íà ãåîìåòðè÷åñêóþ îïòèêó â óñëîâèè çàäà÷è ïîäñêàçûâàåò íàì óäîáíóþ àíàëîãèþ âåäü ëó÷ ñâåòà âñåãäà âûáèðàåò «ñàìóþ ëó÷øóþ» òðàåêòîðèþ! Ïóñòèì ëó÷ ñâåòà òàê, A Æ B Á ÷òîáû îí ïîñëå «ïðåëîìëåíèÿ» âûõîäà α â ñðåäó ñ áîëüøåé ñêîðîñòüþ ïîïàë â òî÷êó Æ (ñì. ðèñóíîê). Ïðè ýòîì óãîë O «ïðåëîìëåíèÿ» îêàçûâàåòñÿ ðàâíûì 90°, òàê ÷òî ñèíóñ óãëà ïàäåíèÿ ïîëó÷àåòñÿ ðàâíûì 0,75 (îòíîøåíèå ñêîðîñòåé ýòî «êîýôôèöèåíò ïðåëîìëåíèÿ»). Îáîçíà÷èì íóæíóþ òî÷êó äîðîãè áóêâîé Á, òîãäà (ïîñêîëüêó tg α = 1,134 ) ÀÁ = 1134 ì è ÁÆ = 866 ì. Ïðè ýòîì âðåìÿ äâèæåíèÿ ñîñòàâëÿåò 1512 ì 866 ì ÎÁ ÁÆ + = 0,72 ÷ . + = t1 = 3000 ì ÷ 4000 ì ÷ v1 v2 À äëÿ ïóòåøåñòâèÿ â ñåðåäèíó îòðåçêà äîðîãè (òî÷êó Â) âûãîäíî èäòè ïðÿìî ïî ïîëþ ýòà òî÷êà íàõîäèòñÿ «ëåâåå» òî÷êè Á.  ýòîì ñëó÷àå 1414 ì = 0,47 ÷ . t2 = 3000 ì ÷ À.Î÷êîâ Ô1824. Íà áîëüøîé ïëîñêîñòè ïîñòðîåíà ñòåíà âûñîòîé 30 ì. Íà ðàññòîÿíèè 30 ì îò ñòåíû íà óðîâíå çåìëè ðàñïîëîæåíà èãðóøå÷íàÿ ïóøêà, à ìèøåíü óñ5* «ÊÂÀÍÒÀ» ' òàíîâëåíà íà ðàññòîÿíèè 80 ì îò ïóøêè íà ïðÿìîé, ïåðïåíäèêóëÿðíîé ñòåíå. Ïðè êàêîé ñêîðîñòè ñíàðÿäà âîçìîæíî ïîïàäàíèå? Ìîæíî ðåøàòü ýòó çàäà÷ó â îáùåì âèäå, èññëåäóÿ, íàïðèìåð, óðàâíåíèå òðàåêòîðèè ñíàðÿäà, áðîøåííîãî ïîä ïðîèçâîëüíûì óãëîì ñ íåèçâåñòíîé çàðàíåå ñêîðîñòüþ. Íî â äàííîì ñëó÷àå íàìíîãî ïðîùå ïîëó÷èòü ðåøåíèå ïðÿìî â ÷èñëàõ. Ïîíÿòíî, ÷òî âåðøèíà òðàåêòîðèè íàõîäèòñÿ íà ðàññòîÿíèè 40 ì îò òî÷êè áðîñêà (ïî ãîðèçîíòàëè). «Ïîñòðîèì» åùå îäíó ñòåíó âûñîòîé 30 ì íà ðàññòîÿíèè 80 ì 30 ì = 50 ì îò òî÷êè áðîñêà. ßñíî, ÷òî òðàåêòîðèÿ, êîòîðàÿ ñîîòâåòñòâóåò ìèíèìàëüíîé ñêîðîñòè âûïóùåííîãî ñíàðÿäà, ïî÷òè êàñàåòñÿ âåðõíèõ òî÷åê ýòèõ ñòåí. Áóäåì îòñ÷èòûâàòü âðåìÿ îò ìîìåíòà äîñòèæåíèÿ âåðõíåé òî÷êè òðàåêòîðèè. Òîãäà äî âòîðîé ñòåíû ñíàðÿä äîëåòèò çà âðåìÿ, êîòîðîå â ÷åòûðå ðàçà ìåíüøå âðåìåíè äî ïàäåíèÿ (äî ñòåíû ïî ãîðèçîíòàëè 10 ì, à äî òî÷êè ïàäåíèÿ 40 ì). Äâèæåíèå ïî âåðòèêàëè ñâîáîäíîå ïàäåíèå, ïîýòîìó çà â÷åòâåðî ìåíüøåå âðåìÿ òåëî ïðîõîäèò ïî âåðòèêàëè 1/16 ÷àñòü ïîëíîé âûñîòû. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âûñîòà ñòåíû ñîñòàâëÿåò 15/16 îò âûñîòû òðàåêòîðèè, è ïîëíàÿ âûñîòà ñîñòàâèò H = 30 ì × 16 15 = 32 ì . Îñòàëüíîå ñîâñåì ïðîñòî âðåìÿ ïîëåòà ðàâíî óäâîåííîìó âðåìåíè ïàäåíèÿ ñ âûñîòû Í, ò.å. t = 2 2H g , è ãîðèçîíòàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ñêîðîñòè ðàâíà L L » 16 ì ñ . vã = = t 2 2H g Âåðòèêàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ñêîðîñòè ïðè áðîñêå ñîñòàâëÿåò vâ = 2gH » 25 ì ñ . Òàêèì îáðàçîì, ïîëíàÿ ñêîðîñòü ñíàðÿäà ïðè âûëåòå ðàâíà ïðèìåðíî 30 ì/ñ (ñ÷èòàòü âñå òî÷íåå áåç ó÷åòà ñîïðîòèâëåíèÿ âîçäóõà ïðîñòî íå èìååò ñìûñëà!). À.Ñòðåëêîâ Ô1825. Íà ãëàäêîì ãîðèçîíòàëüíîì ñòîëå íàõîäèòñÿ êóá ìàññîé M = 2 êã, íà åãî âåðõíåé ãðàíè ëåæèò áîëüøîé ëåãêèé ëèñò áóìàãè, íà íåì êóáèê ìàññîé m = 1 êã. Ëèñò áóìàãè òÿíóò ñ ãîðèçîíòàëüíîé ñèëîé F = 15 Í. Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ìåæäó áóìàãîé è êàæäûì èç êóáîâ µ = 0,7. Íàéäèòå óñêîðåíèÿ êàæäîãî èç òåë. À êàêèìè áóäóò óñêîðåíèÿ ïðè ñèëå F1 = 10 Í? Íà ëèñò áóìàãè äåéñòâóþò ñèëû òðåíèÿ ñî ñòîðîíû íèæíåãî è âåðõíåãî êóáîâ, ïðè÷åì ñóììàðíàÿ ñèëà òðåíèÿ íå ïðåâûøàåò çíà÷åíèÿ 2µmg = 14 H . Ýòî çíà÷èò, ÷òî ïðè äåéñòâóþùåé ñèëå 15 Í ëèñò áóìàãè äâèæåòñÿ ñ î÷åíü áîëüøèì óñêîðåíèåì (åãî ìàññà ïî óñëîâèþ ìàëà), è îáà òåëà ïðîñêàëüçûâàþò îòíîñèòåëüíî ëèñòà. Ñèëû òðåíèÿ ïðè ýòîì ìàêñèìàëüíû, è óñêîðåíèÿ êóáîâ ðàâíû, ñîîòâåòñòâåííî, µmg a1 = µg = 7 ì ñ2 è a2 = = 3,5 ì ñ2 . M Ïðè ñèëå 10 Í ïî êðàéíåé ìåðå îäèí èç êóáîâ äâèæåòñÿ âìåñòå ñ ëèñòîì áóìàãè (à ìîæåò áûòü, è îáà). Åñëè áû îáà êóáà äâèãàëèñü âìåñòå ñ ëèñòîì áóìàãè (áåç ïðîñêàëüçûâàíèÿ), òî èõ óñêîðåíèå ñîñòàâèëî áû F = 3,3 ì ñ2 . a3 = M+m