Ëèñòîê 3. Âåêòîðíûå ïîëÿ, ôàçîâûå ïîðòðåòû

Ëèñòîê
3.
Âåêòîðíûå ïîëÿ, ôàçîâûå ïîðòðåòû
Äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû, 28.09.2012
åñëè âåêòîðà àðèôìåòè÷åñêîãî âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà
K èñïîëüçóþòñÿ â îïðåäåëåíèè, êîíñòðóêöèè èëè óòâåðæäåíèè, òî åãî ïîëåçíî, íî
ëåãêî ïåðåôîðìóëèðîâàòü â èíâàðèàíòíûõ òåðìèíàõ. Ýòî çíà÷èò èñïîëüçîâàòü
âìåñòî âåêòîðîâ ïðîñòðàíòñâà Kn âåêòîðà n-ìåðíîãî àáñòðàêòíîãî K-âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà N áåç íåîáõîäèìîñòè âûáèðàòü â íåì áàçèñ. Ïðèìåíåíèå ýòîãî
ïðèíöèïà ê ñèñòåìàì äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ïðèâîäèò âîò ê ÷åìó.
Ôèëîñîôñêèé ïðèíöèï:
n
Îïðåäåëåíèå
1. Âåêòîðíîå ïîëå â àðôèìåòè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå Rn ýòî íàáîð n
ôóíêöèé vi : Rn → R, íàçûâàåìûõ êîìïîíåíòàìè. Âåêòîðîì ïîëÿ â òî÷êå x ∈ Rn
íàçûâàåòñÿ âåêòîð v1 (x), . . . , vn (x) , îí ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê ýëåìåíò Tx Rn .
2. (Íåïðåðûâíûì/ãäàëêèì) âåêòîðíûì ïîëåì â îáëàñòè U êîíå÷íîìåðíîãî R-âåòêîðíîãî ïðîñòðàíñòâà N íàçûâàåòñÿ (íåïðåðûâíîå/ãëàäêîå) îòîáðàæåíèå v : N → T N , òàêîå ÷òî v(x) ∈ Tx N äëÿ êàæäîé òî÷êè x.
Îïðåäåëåíèå
Îïðåäåëåíèÿ 1 è 2 ðàâíîñèëüíû: ïîëþ (v1 , . . . , vn ) â ñìûñëå Îïðåäåëåíèÿ 1 ñîîòâåòñòâóåò ïîëå v : Rn → T Rn â ñìûñëå Îïðåäåëåíèÿ
2, òàêîå ÷òî v(x1 , . . . , xn ) =
x1 , . . . , xn , v1 (x1 , . . . , xn ), . . . , vn (x1 , . . . , xn ) . Ýòî ñîîòâåòñòâèå âçàèìíîîäíîçíà÷íî.
31 Íàéäèòå êîìïîíåíòû íåïðåðûâíîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ â R2 \ {0}, âåêòîðû êîòîðîãî
èìåþò äëèíó 1 è êàñàþòñÿ (â ñìûñëå Îïðåäåëåíèÿ 06) ào ) ëó÷åé, âûõîäÿùèõ
èç 0 ∈ R2 áv1 ) îêðóæíîñòåé ñ öåòðîì â 0 âv2 ) ãèïåðáîë xy = C . Íàðèñóéòå
ýòè
âåêòîðíûå ïîëÿ, ò. å. îòëîæèòå îò íåêîòîðûõ òî÷åê x âåêòîðû v1 (x), v2 (x) .
ã2 ) Òîò æå âîïðîñ äëÿ ïîëÿ â R2 \ {áèññåêòðèñà 1ãî êâàäðàíòà}, êàñàþùåãîñÿ
ëó÷åé èç íóëÿ â 1ì êâàäðàíòå è ãèïåðáîë xy = C â îñòàëüíûõ êâàäðàíòàõ.
Îïðåäåëåíèå
3. Òðàåêòîðèåé âåêòîðíîãî ïîëÿ v â ïðîñòðàíñòâå N íàçûâàåòñÿ òðàåê-
òîðèÿ x : R → N , óêîòîðîé âåêòîð ñêîðîñòè â êàæäîé òî÷êå ñîâïàäàåò ñ âåêòîðîì
ïîëÿ: ẋ(t) = v x(t) . Îáðàç òðàåêòîðèè x : R → N íàçûâàåòñÿ ôàçîâîé êðèâîé.
32o
à) Äîêàæèòå, ÷òî x(t) = x1 (t), . . . , xn (t) ÿâëÿåòñÿ òðàåêòîðèåé âåêòîðíîãî
ïîëÿ v1 (x), . . . , vn (x) â Rn , åñëè è òîëüêî åñëè ôóíêöèè x1 (t), . . . , xn (t) ÿâëÿþòñÿ
ðåøåíèåì ñèñòåìû óðàâíåíèé x01 = v1 (x1 , . . . , xn ), . . . , x0n = v1 (x1 , . . . , xn ). Â ýòîì
ñìûñëå ñèñòåìû àâòîíîìíûõ óðàâíåíèé ñ n íåèçâåñòíûìè è âåêòîðíûå ïîëÿ â
Rn îäíî è òî æå. á) Íàðèñóéòå âåêòîðíûå ïîëÿ, ñîîòâåòñòâóþùèå ñèñòåìàì
óðàâíåíèé èç Çàäà÷è 12 è Ïðèìåðà 15, è èõ ôàçîâûå êðèâûå.
Çàìå÷àíèå
4. Òðàåêòîðèè ïîëÿ ìîãóò ðàçëè÷àòüñÿ: áûòü ñòàöèîíàðíûìè (ïîñòîÿí-
íûìè), çàìêíóòûìè (ïåðèîäè÷åñêèìè), ñòðåìèòüñÿ ïðè t → ±∞ ê äðóãèì òðàåêòîðèÿì èëè ê áåñêîíå÷íîñòè ñ ðàçíûìè àñèìïòîòàìè, è ò. ä. Ðèñóíîê âåêòîðíîãî
ïîëÿ âìåñòå ñ çàïàñîì ôàçîâûõ êðèâûõ, âêëþ÷àþùèì âñå âîçìîæíûå äëÿ äàííîãî
ïîëÿ òèïû êà÷åñòâåííîãî ïîâåäåíèÿ, íàçûâàåòñÿ ôàçîâûì ïîðòðåòîì. Ïîä ôàçîâûì ïîðòðåòîì x00 = f (x0 , x) ïîíèìàþò òàêîâîé äëÿ ñèñòåìû y 0 = f (y, x), x0 = y .
â) Ðåøèòå ñèñòåìû ñ ìàòðèöàìè Çàäà÷è 18à, íàðèñóéòå èõ ôàçîâûå ïîðòðåòû.
1
Ôàçîâûé ïîðòðåò íåàâòîíîìíîãî
óðàâíåíèÿ x0 = f (x, t) ýòî ôàçîâûé ïîðòðåò
n 0
=f (x,s)
àâòîíîìíîé ñèñòåìû xs0 =1
ñ íåèçâåñòíûìè x è s (òî æå ñàìîå óðàâíåíèå, òîëüêî âðåìÿ t îáîçíà÷åíî ôèêòèâíîé íåèçâåñòíîé s). Ðàçíèöó ìåæäó s è t îáû÷íî
èãíîðèðóþò, îáîçíà÷àÿ ñòàíäàðòíûå êîîðäèíàòû íà ôàçîâîé ïëîñêîñòè t è x.
n 0
x =f (x,s)
v1
33
à ) Ôàçîâûå êðèâûå ñèñòåìû s0 =1
ãðàôèêè ðåøåíèé óðàâíåíèÿ x0 =
f (x, t). á4 ) Íàðèñóéòå ôàçîâûå ïîðòðåòû óðàâíåíèé èç Çàäà÷è 21à-â.
Ôàçîâûé ïîðòðåò àâòîíîìíîãî óðàâíåíèÿ x0 = f (x) òîæå îáû÷íî äëÿ íàãëÿäíîñòè ðèñóþò íà ïëîñêîñòè
íàçûâàåòñÿ ðàñøèðåííûì ôàçîâûì ïðîñòðàíñòâîì), à íå íà ïðÿìîé x.
(t, x) (îíà
âo ) Íàðèñóéòå ðàñøèðåííûå ôàçîâûå ïîðòðåòû äëÿ Çàäà÷ 12 è 14.
5. Íå îáÿçàòåëüíî ðåøàòü ñèñòåìó, ÷òîáû ïðèáëèæåííî íàðèñîâàòü ôàçîâûé ïîðòðåò. Íàðèñîâàâ íàïðàâëåíèÿ âåêòîðîâ ïîëÿ âî ìíîãèõ òî÷êàõ, è ïðîâåäÿ
îò ðóêè êàñàþùèåñÿ èõ ëèíèè, ìîæíî ïîëó÷èòü ïðåäñòàâëåíèå î ïîâåäåíèè ðåøåíèé ñèñòåìû. ×òîáû íàðèñîâàòü íàïðàâëåíèÿ âåêòîðíîãî ïîëÿ äëÿ óðàâíåíèÿ
x0 = f (x, t), ìîæíî íàðèñîâàòü ëèíèè óðîâíÿ ôóíêöèè f , è â òî÷êàõ ëèíèè óðîâíÿ
f = C íàðèñîâàòü íàïðàâëåíèÿ ñ òàíãåíñîì óãëà íàêëîíà C .
34 àv1 ) Ïî÷åìó íàïðàâëåíèÿ ïîëÿ äëÿ óðàâíåíèÿ x0 = f (x, t) âûãëÿäÿò òàê?
á2 ) Íàðèñóéòå ïðèáëèæåííûé ôàçîâûé ïîðòðåò óðàâíåíèÿ èç Çàäà÷è 19á.
â1 ) Íàéäèòå ñòàöèîíàðíîå ðåøåíèå ñèñòåìû Ëîòêà-Âîëüòåððà è ïîïûòàéòåñü íà-
Çàìå÷àíèå
ðèñîâàòü åå ïðèáëèæåííûé ôàçîâûé ïîðòðåò. Çàìêíóòñÿ ëè ôàçîâûå êðèâûå? Òîò
æå âîïðîñ äëÿ ôèçè÷åñêîãî ìàÿòíèêà. Ïðèáëèæåííûé ÷åðòåæ íà ýòîò âîïðîñ íå îòâåòèò, à
ñèìâîëüíî (â ðàäèêàëàõ) ýòè ñèñòåìû íå ðåøàþòñÿ. ×òîáû íàéòè îòâåò, íóæíî ïîíÿòèå ïåðâîãî èíòåãðàëà.
6. Ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè f : N → R â òî÷êå x ∈ N â íàïðàâëåíèè
âåêòîðà v ∈ Tx N íàçûâàåòñÿ ÷èñëî dfx (v) (íàçâàíèå îáúÿñíÿåòñÿ Çàäà÷åé 03â).
Îïðåäåëåíèå
Ïðîèçâîäíàÿ Ëè ôóíêöèè f âäîëü âåêòîðíîãî ïîëÿ v : N → T N ôóíêöèÿ Lv f :
N → R, ðàâíàÿ â êàæäîé òî÷êå ïðîèçâîäíîé f âäîëü âåêòîðà ïîëÿ â ýòîé òî÷êå:
Lv f (x) = dfx v(x) . Ïåðâûé èíòåãðàë ïîëÿ v ôóíêöèÿ f , äëÿ êîòîðîé Lv f = 0.
35 ào ) Íàéäèòå ïðîèçâîäíóþ êîîðäèíàòíîé ôóíêöèè x1 â Rn âäîëü ïîëÿ (v1 , . . . , vn ).
áv2 ) Äîêàæèòå ïðàâèëà Lv (f + g) = Lv f + Lv g, Lv (f g) = gLv (f ) + f Lv (g).
â2 ) Âûðàçèòå ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèè f : Rn → R âäîëü ïîëÿ v = (v , . . . , v ) â
1
òåðìèíàõ ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ f è êîìïîíåíò vi . Íàéäèòå L(x2 ,x1 ) x1 x2 .
Çàìå÷àíèå
7. Ïðîèçâîäíàÿ f : Rn → R âäîëü ïîñòîÿííîãî ïîëÿ (1, 0, . . . , 0) ðàâíà
ïîýòîìó ïîëå (1, 0, . . . , 0) îáîçíà÷àþò
∂
.
∂x1
n
∂f
,
∂x1
36 ào ) Äîêàæèòå, ÷òî ïåðâûé èíòåãðàë ïîëÿ ïîñòîÿíåí âäîëü ëþáîé åãî òðàåêòîðèè.
áv2 ) Ïðèäóìàéòå ïåðâûé èíòåãðàë ñèñòåìû èç Ïðèìåðà 15.
Ïîñòîÿíåí íà îêðóæíîñòÿõ
âx3 ) Åñòü ëè íåïîñòîÿííûå ïåðâûå èíòåãðàëû ó äðóãèõ ñèñòåì èç Çàäà÷è 2â?
ã2 )
Ïðîâåðüòå, ÷òî qx + py − b ln x − a ln y ïåðâûé èíòåãðàë ñèñòåìû ËîòêàÂîëüòåððà. Âûâåäèòå îòñþäà, ÷òî âñå åå òðàåêòîðèè çàìêíóòû, íèêòî íå âûìðåò.
äx3 ) Ïðèäóìàéòå ïåðâûé èíòåãðàë óðàâíåíèÿ ôèçè÷åñêîãî ìàÿòíèêà è íàðèñóéòå
åãî ïðèáëèæåííûé ôàçîâûé ïîðòðåò. Ñîõðàíÿåòñÿ ñóììà êèíåòè÷åñêîé è ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè
37 Ïðèäóìàéòå ïîëèíîìèàëüíîå ïîëå íà ïëîñêîñòè à2 ) ñ îãðàíè÷åííîé íåçàìêíóòîé
òðàåêòîðèåé, á2 ) ñ êîíå÷íûì íåíóëåâûì ÷èñëîì íåîãðàíè÷åííûõ òðàåêòîðèé,
âx3 ) ñ íåîãðàíè÷åííîé òðàåêòîðèåé, íå ñòðåìÿùåéñÿ ê ∞ ïðè t → ±∞.
2