Касательная 2

Çàäàíèå 18
Ñäàòü äî 12.02
Êàñàòåëüíàÿ 2
Çàäà÷à 1 (îáÿçàòåëüíàÿ). Îêðóæíîñòü êàñàåòñÿ ñòîðîíû BC òðåóãîëüíèêà ABC â òî÷êå
M , à ïðîäîëæåíèé ñòîðîí AB è AC â òî÷êàõ N è P ñîîòâåñòâåííî. Âïèñàííàÿ â ýòîò
òðåóãîëüíèê îêðóæíîñòü êàñàåòñÿ ñòîðîíû BC â òî÷êå K , à ñòîðîíû AB â òî÷êå L.
Äîêàæèòå, ÷òî à) îòðåçîê AN ðàâåí ïîëóïåðèìåòðó òðåóãîëüíèêà ABC ; á) BK = CM ; â)
N L = BC .
Çàäà÷à 2.  ðàâíîáåäðåííûé òðåóãîëüíèê ñ îñíîâàíèåì, ðàâíûì a, âïèñàíà îêðóæíîñòü
è ê íåé ïðîâåäåíû òðè êàñàòåëüíûå òàê, ÷òî îíè îòñåêàþò îò äàííîãî òðåóãîëüíèêà òðè
ìàëåíüêèõ òðåóãîëüíèêà, ñóììà ïåðèìåòðîâ êîòîðûõ ðàâíà b. Íàéäèòå áîêîâóþ ñòîðîíó
äàííîãî òðåóãîëüíèêà.
Çàäà÷à 3. Îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì O, âïèñàííàÿ â òðåóãîëüíèê ABC , êàñàåòñÿ ñòîðîí AB, BC
è AC ñîîòâåòñòâåííî â òî÷êàõ K, L è M . Èçâåñòíî, ÷òî ∠KLM = α. Íàéäèòå ∠BOC .
Çàäà÷à 4. Îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì O êàñàåòñÿ â òî÷êå A âíóòðåííèì îáðàçîì áîëüøåé îêðóæíîñòè.
Èç òî÷êè B áîëüøåé îêðóæíîñòè, äèàìåòðàëüíî ïðîòèâîïîëîæíîé òî÷êå A, ïðîâåäåíà õîðäà
BC áîëüøåé îêðóæíîñòè, êàñàþùàÿñÿ ìåíüøåé îêðóæíîñòè â òî÷êå M . Äîêàæèòå, ÷òî
OM ||AC .
Çàäà÷à 5.  îñòðûé óãîë, ðàâíûé 60◦ , âïèñàíû äâå îêðóæíîñòè, êàñàþùèåñÿ äðóã äðóãà
âíåøíèì îáðàçîì. Ðàäèóñ ìåíüøåé îêðóæíîñòè ðàâåí r. Íàéäèòå ðàäèóñ áîëüøåé îêðóæíîñòè.
Çàäà÷à 6. Îêðóæíîñòè ñ öåíòðàìè O1 è O2 êàñàþòñÿ âíåøíèì îáðàçîì â òî÷êå K . Íåêîòîðàÿ
ïðÿìàÿ êàñàåòñÿ ýòèõ îêðóæíîñòåé â ðàçëè÷íûõ òî÷êàõ A è B è ïåðåñåêàåò èõ îáùóþ êàñàòåëüíóþ,
ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó K , â òî÷êå M . Äîêàæèòå, ÷òî ∠O1 M O2 = ∠AKB = 90◦ .
Çàäà÷à 7. Äâå îêðóæíîñòè êàñàþòñÿ â òî÷êå A. Ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó A, ïåðåñåêàåò
ýòè îêðóæíîñòè âòîðè÷íî â òî÷êàõ B è C ñîîòâåòñòâåííî. Äîêàæèòå, ÷òî êàñàòåëüíûå,
ïðîâåä¼ííûå ê ýòèì îêðóæíîñòÿì â òî÷êàõ B è C , ïàðàëëåëüíû.
Çàäà÷à 8. Ïðÿìûå P C è P D êàñàþòñÿ îêðóæíîñòè ñ äèàìåòðîì AB (C è D òî÷êè
êàñàíèÿ). Äîêàæèòå, ÷òî ïðÿìàÿ, ñîåäèíÿþùàÿ P ñ òî÷êîé ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìûõ AC è BD,
ïåðïåíäèêóëÿðíà AB .
Çàäà÷à 9.  ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå ABC ñ ïðÿìûì óãëîì A âïèñàííàÿ îêðóæíîñòü
êàñàåòñÿ ñòîðîí AB è BC â òî÷êàõ P è Q ñîîòâåòñòâåííî. Âíåâïèñàííàÿ îêðóæíîñòü, êàñàþùàÿñÿ
ñòîðîíû AB è ïðîäîëæåíèé ñòîðîí BC è AC , êàñàåòñÿ ïðîäîëæåíèÿ ñòîðîíû AC â òî÷êå R.
Äîêàæèòå, ÷òî òî÷êè P, Q è R ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé.
Çàäà÷à 10. Íà êàæäîé ñòîðîíå ÷åòûð¼õóãîëüíèêà
ABCD âçÿòî ïî äâå òî÷êè, è îíè ñîåäèíåíû
òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå. Äîêàæèòå,
÷òî åñëè âñå ïÿòü ÷¼ðíûõ ÷åòûð¼õóãîëüíèêà
ÿâëÿþòñÿ îïèñàííûìè, ò.å. â íèõ ìîæíî
âïèñàòü îêðóæíîñòü, òî ÷åòûð¼õóãîëüíèê
ABCD òîæå îïèñàííûé.
Çàäà÷à 11. ×åòûð¼õóãîëüíèê ñ ïåðïåíäèêóëÿðíûìè
äèàãîíàëÿìè âïèñàí â êâàäðàò. Äèàãîíàëè
è ñòîðîíû ÷åòûð¼õóãîëüíèêà ðàçäåëèëè
êâàäðàò íà 8 òðåóãîëüíèêîâ, ïîïåðåìåííî
îêðàøåííûõ â ñåðûé è áåëûé öâåò.
Äîêàæèòå, ÷òî ñóììà ðàäèóñîâ îêðóæíîñòåé,
âïèñàííûõ â ñåðûå òðåóãîëüíèêè, ðàâíà
ñóììå ðàäèóñîâ îêðóæíîñòåé, âïèñàííûõ â
áåëûå òðåóãîëüíèêè.
Êðèòåðèè:
îöåíêà
¾5¿ ¾4¿ ¾3¿ ¾2¿
ñäàíî çàäà÷ 10 8
6
4