1 Направленные углы

1
Íàïðàâëåííûå óãëû
Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü l; m äâå ïðÿìûå. Íàïðàâëåííûì óãëîì ìåæäó ïðÿìûìè l è m íàçûâà- åòñÿ óãîë ∠(l; m), íà êîòîðûé íóæíî ïîâåðíóòü ïðÿìóþ
l ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè, ÷òîáû ïîëó÷èëàñü ïðÿìàÿ, ïàðàëëåëüíàÿ ïðÿìîé
m. Ñâîéñòâà. à) ∠(l; l) = 0; á) ∠(l; m) = −(m; l); â) ∠(l; m)+∠(m; n) = ∠(l; n).
1. Äîêàæèòå, ÷òî òî÷êè A, B, C è D ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé èëè íà îäíîé
îêðóæíîñòè òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ∠(AB; BC) = ∠(AD; DC).
2. Ïðÿìàÿ AD ÿâëÿåòñÿ êàñàòåëüíîé ê îêðóæíîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç
òî÷êè A, B è C òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ∠(AD, AC) = ∠(AB, BC).
3. AB ïàðàëëåëüíà CD òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ∠(AB; CD) = 0.
4. Äâå îêðóæíîñòè ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êàõ M è K . ×åðåç M è K ïðîâåäåíû ïðÿìûå AB è CD ñîîòâåòñòâåííî, ïåðåñåêàþùèå ïåðâóþ îêðóæíîñòü
â òî÷êàõ A è C , âòîðóþ â òî÷êàõ B è D. Äîêàæèòå, ÷òî AC è BD ïàðàëëåëüíû.
5. Íà ñòîðîíå AB ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà ABC(AB = BC) âûáðàíà òî÷êà D. ×åðåç òî÷êó D ïðîâåëè êàñàòåëüíóþ ê îïèñàííîé îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà ADC . Îíà ïåðåñåêëà îïèñàííóþ îêðóæíîñòü òðåóãîëüíèêà BDC â òî÷êå M . Äîêàæèòå, BM è AC ïàðàëëåëüíû.
6.  ïàðàëëåëîãðàììå ABCD íà äèàãîíàëè AC ëåæèò òî÷êà M òàêàÿ,
÷òî ÷åòûðåõóãîëüíèê BCDM âïèñàííûé. Äîêàæèòå, ÷òî ïðÿìàÿ BD îáùàÿ êàñàòåëüíàÿ ê îïèñàííûì îêðóæíîñòÿì òðåóãîëüíèêîâ ABM è ADM .
7. ×åòûðå ïðÿìûå îáðàçóþò ÷åòûðå òðåóãîëüíèêà. Äîêàæèòå, ÷òî îïèñàííûå îêðóæíîñòè ýòèõ òðåóãîëüíèêîâ èìåþò îáùóþ òî÷êó.
8. Èç ïðîèçâîëüíîé òî÷êè, ëåæàùåé íà îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî
òðåóãîëüíèêà, îïóùå- íû ïåðïåíäèêóëÿðû íà åãî ñòîðîíû (èëè íà ïðîäîëæåíèÿ ñòîðîí). Äîêàæèòå, ÷òî îñíîâàíèÿ ýòèõ ïåðïåíäèêóëÿðîâ ëåæàò íà
îäíîé ïðÿìîé.
1