¾ÏÎÊÎÐÈ ÂÎÐÎÁܜÂÛ ÃÎÐÛ!¿ ÎËÈÌÏÈÀÄÀ ØÊÎËÜÍÈÊΠÇàäàíèÿ ÇÀÊËÞ×ÈÒÅËÜÍÎÃÎ òóðà ïî ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÅ 2013/2014 ó÷åáíûé ãîä

ÎËÈÌÏÈÀÄÀ ØÊÎËÜÍÈÊÎÂ
¾ÏÎÊÎÐÈ ÂÎÐÎÁܜÂÛ ÃÎÐÛ!¿
Çàäàíèÿ ÇÀÊËÞ×ÈÒÅËÜÍÎÃÎ òóðà ïî ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÅ
2013/2014 ó÷åáíûé ãîä
9 êëàññ
1. Íà îñòðîâå ðûöàðåé è ëæåöîâ ðûöàðè âñåãäà ãîâîðÿò ïðàâäó, à ëæåöû âñåãäà ëãóò.  øêîëå íà ýòîì îñòðîâå ó÷àòñÿ êàê ðûöàðè, òàê è
ëæåöû â îäíîì êëàññå. Îäíàæäû ó÷èòåëü ñïðîñèë ó ÷åòûðåõ äåòåé:
Àíó, Áàíó, Âàíó è Äàíó, êòî èç íèõ ñäåëàë äîìàøíåå çàäàíèå. Îíè
îòâåòèëè:
•
Äîìàøíåå çàäàíèå ñäåëàëè Áàíó, Âàíó è Äàíó.
•
Äîìàøíåå çàäàíèå íå ñäåëàëè Àíó, Âàíó è Äàíó.
•
Íå âåðüòå èì, ãîñïîäèí ó÷èòåëü! Àíó è Áàíó ëæåöû!
•
Íåò, ãîñïîäèí ó÷èòåëü, Àíó, Áàíó è Âàíó ðûöàðè!
Ñêîëüêî ðûöàðåé ñðåäè ýòèõ äåòåé?
1.
Åñëè Âàíó ðûöàðü, òî âñå îñòàëüíûå ëæåöû.
Ïóñòü Âàíó ëæåö. Òîãäà Äàíó òîæå ëæåö (ïîñîêëüêó ãîâîðèò,
÷òî Âàíó ðûöàðü). À èç Àíó è Áàíó ïî êðàéíåé ìåðå îäèí äîëæåí
áûòü ðûöàðåì. Îáà îíè ðûöàðÿìè áûòü íå ìîãóò, ò.ê. ïðîòèâîðå÷àò
äðóã äðóãó.  ëþáîì ñëó÷àå òîëüêî îäèí èç äåòåé ÿâëÿåòñÿ ðûöàðåì.
2. Â òðåóãîëüíèêå 4ABC èçâåñòíû ñòîðîíû AB = 5 è AC = 6. Êàêîé äîëæíà áûòü ñòîðîíà BC , ÷òîáû óãîë ∠ACB áûë ìàêñèìàëüíî
âîçìîæíûì? Â îòâåòå óêàæèòå äëèíó ñòîðîíû BC , îêðóãëåííóþ äî
áëèæàéøåãî öåëîãî ÷èñëà.
Àíó:
Áàíó:
Âàíó:
Äàíó:
Îòâåò:
Ðåøåíèå:
Îòâåò:
3
Ïîñòðîèì AC = 6. Òîãäà ãåîìåòðè÷åñêèì ìåñòîì òî÷åê B
áóäåò îêðóæíîñòü ðàäèóñà 5 ñ öåíòðîì â òî÷êå A. Óãîë ∠ACB áóäåò
íàèáîëüøèì, êîãäà CB êàñàåòñÿ îêðóæíîñòè√(ñì. ðèñ.). Òîãäà
√ CB ⊥
AB è ïî òåîðåìå Ïèôàãîðà ïîëó÷èì BC = AC 2 − AB 2 = 11 ≈ 3.
Ðåøåíèå:
3. Óõîäÿ íà ðàáîòó ìàìà ïîðó÷èëà Ìèøå, Ïåòå è Âàñå: à) ïîäìåñòè ïîë â
ïðèõîæåé; á) ïîìûòü ïîñóäó; â) êóïèòü õëåáà; ã) çàïëàòèòü çà ýëåêòðè÷åñòâî; ä) âûíåñòè ìóñîð; å) ïðîïûëåñîñèòü êîâåð â ãîñòèíîé. Ñêîëüêèìè ðàçëè÷íûìè ñïîñîáàìè îíè ìîãóò ðàñïðåäåëèòü çàäàíèÿ, òàê,
÷òîáû êàæäîå çàäàíèå äåëàë êòî-òî îäèí èç ðåáÿò è ïðè óñëîâèè, ÷òîáû êàæäûé ÷òî-íèáóäü äåëàë?
Îòâåò:
540.
Âñåãî ñóùåñòâóåò 36 = 729 ñïîñîáîâ ðàñïðåäåëèòü çàäàíèÿ.
Íî ïðè ýòîì â 26 = 64 ñïîñîáàõ âñå ðàáîòû áóäóò âûïîëíÿòü Ìèøà è
Ïåòÿ. Òàêæå åñòü 64 ñïîñîáà, êîãäà âñå ðàáîòû áóäóò âûïîëíÿòü Ïåòÿ è
Âàñÿ, à òàêæå 64 êîãäà Ìèøà è Âàñÿ. Åñëè âû÷åñòü 3×64, ïîëó÷èòñÿ,
÷òî ñëó÷àè, êîãäà âñþ ðàáîòó âûïîëíÿåò îäèí ÷åëîâåê ìû âû÷ëè ïî
äâà ðàçà. Ïîýòîìó ê ðåçóëüòàòó ïðèáàâèì 3: 36 − 3 · 26 + 3 = 540.
4. Ðåøèòå â íàòóðàëüíûõ ÷èñëàõ óðàâíåíèå
Ðåøåíèå:
abc + ab + bc + ac + a + b + c = 164.
 îòâåòå óêàæèòå ïðîèçâåäåíèå abc.
80.
Îòâåò:
(a + 1) × (b + 1) × (c + 1) = abc + ab + bc + ac + a + b + c + 1 =
165 = 3 × 5 × 11,
a = 2 b = 4 c = 10
a b c
Ðåøåíèå:
ñëåäîâàòåëüíî,
,
è
. Çàìåòèì, ÷òî
ðåøåíèå åäèíñòâåííî ñ òî÷íîñòüþ äî ïåðåñòàíîâêè , è , ïîñêîëüêó
3, 5, 11 ïðîñòûå ÷èñëà.
5. Ïåòÿ õîòåë íàðèñîâàòü ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê 4ABC . Íî, ïîñêîëüêó îí ðèñîâàë íåòî÷íî, ïîëó÷èëñÿ òðåóãîëüíèê ñ óãëàìè ∠A = 59◦ è
. Ïîòîì Ïåòÿ ïðîâåë âûñîòû CE è BD, íî, ïîñêîëüêó óãîëüíèê áûë ñëåãêà ïåðåêîøåí, ïîëó÷èë óãëû ∠ADB = ∠AEC = 92◦ .
Íàéäèòå ãðàäóñíóþ ìåðó óãëà ∠AED.
58◦ .
Çàìåòèì, ÷òî ∠BDC = ∠BEC = 88◦ , ñëåäîâàòåëüíî,
ìîæíî ïðîâåñòè îêðóæíîñòü, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êè B , C , D è E .
Äåéñòâèòåëüíî, îïèøåì îêðóæíîñòü îêîëî òðåóãîëüíèêà 4BCD. Îíà
äîëæíà ïðîéòè ÷åðåç òî÷êó E , ò.ê. åñëè ïðÿìàÿ CE ïåðåñåêàåò îêðóæíîñòü â òî÷êå E1 , òî ∠BE1 C = ∠BEC , ÷òî âîçìîæíî òîëüêî åñëè E
ñîâïàäàåò ñ E1 .
Òîãäà óãîë ∠AED = 180◦ − ∠BED = ∠BCD ïî ñâîéñòâó âïèñàííûõ
÷åòûðåõóãîëüíèêîâ. À ∠BCD = 180◦ − ∠ABC − ∠BAC = 58◦ .
∠B = 63◦
Îòâåò:
Ðåøåíèå:
6. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷èñåë çàäàíà ñëåäóþùèì îáðàçîì:
a1 = 0, a2 = 1 è an+1 = 4(an − an−1 ) ïðè n > 2. Íàéäèòå íàèìåíüøèé ïîëîæèòåëüíûé ÷ëåí ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, êðàòíûé 2014.  îòâåòå óêàæèòå íîìåð ýòîãî ÷ëåíà.
1008.
Çàìåòèì, ÷òî an+1 − 2an = 2an − 4an−1 = 2(an − 2an−1 ).
Îáîçíà÷èì bn = an+1 − 2an , òîãäà b1 = 1 è bn+1 = 2bn , ñëåäîâàòåëüíî,
bn = 2n−1 . Òàêèì îáðàçîì, an = bn−1 + 2an−1 = bn−1 + 2bn−2 + 4an−2 =
· · · = bn−1 + 2bn−2 + . . . + 2n−1 b1 + 2n a1 = (n − 1)2n−2 . Åñëè ýòî ÷èñëî
êðàòíî 2014, òî (n − 1) êðàòíî 1007, ò.å. n = 1008.
Îòâåò:
Ðåøåíèå: