#$

#$
ÊÂÀÍT 2002/¹5
2. Íàéäèòå, ñêîëüêî âóëêàíîâ íàñ÷èòûâàåòñÿ íà ïëàíåòå,
åñëè â èñêîìîì ÷èñëå äåñÿòêîâ íà 3 áîëüøå, ÷åì ñîòåí, à
åäèíèö íà 4 ìåíüøå, ÷åì äåñÿòêîâ, ïðè÷åì ïîëóñóììà âñåõ
öèôð ÷èñëà ðàâíà öèôðå äåñÿòêîâ.
3. Ñêîëüêèìè ðàçíûìè ñïîñîáàìè èç ëèñòà êëåò÷àòîé
áóìàãè m × n ìîæíî âûðåçàòü ïðÿìîóãîëüíèê ñî ñòîðîíàìè,
èäóùèìè ïî ëèíèÿì ñåòêè?
4. Íàéäèòå âñå öåëûå n, ïðè êîòîðûõ ìîäóëü òðåõ÷ëåíà
n2 − 7n + 10 ÿâëÿåòñÿ ïðîñòûì ÷èñëîì.
5. Äâà èãðàëüíûõ êóáèêà áðîñàþò äâà ðàçà ïîäðÿä. Êàêîâà
âåðîÿòíîñòü P ( A) ñîáûòèÿ À – òîãî, ÷òî îáà ðàçà âûïàäåò
îäíà è òà æå ñóììà î÷êîâ?
Êîììåíòàðèè. 1) Âåðîÿòíîñòü âûïàäåíèÿ îïðåäåëåííîé
ñóììû î÷êîâ ïðè áðîñàíèè äâóõ êóáèêîâ ðàâíà n/N, ãäå n –
÷èñëî òåõ êîìáèíàöèé î÷êîâ íà êóáèêàõ, êîòîðûå äàþò ýòó
ñóììó, à N – ÷èñëî âñåõ âîçìîæíûõ êîìáèíàöèé î÷êîâ íà
êóáèêàõ.
2) Âåðîÿòíîñòü êîìáèíàöèè òèïà «ïðè ïåðâîì áðîñàíèè â
ñóììå âûïàëî 10, à ïðè âòîðîì – 6 î÷êîâ» ðàâíà
P (10,6 ) = P (10 ) ⋅ P (6 ) ,
ãäå P (10 ) – âåðîÿòíîñòü âûïàäåíèÿ 10 î÷êîâ â ïåðâîì
áðîñêå, à P (6 ) – âåðîÿòíîñòü âûïàäåíèÿ 6 î÷êîâ âî âòîðîì
áðîñêå.
3) Èñêîìàÿ âåðîÿòíîñòü P ( A ) ðàâíà ñóììå âåðîÿòíîñòåé
âñåõ êîìáèíàöèé, ïðèâîäÿùèõ ê ñîáûòèþ À.
9 êëàññ
1. Ïðîãóëèâàÿñü ïî ãîðîäó, òðîå ñòóäåíòîâ-ìàòåìàòèêîâ
çàìåòèëè, ÷òî âîäèòåëü àâòîìàøèíû ãðóáî íàðóøèë ïðàâèëà
óëè÷íîãî äâèæåíèÿ. Íîìåð ìàøèíû (÷åòûðåõçíà÷íûé) ñòóäåíòû íå çàïîìíèëè, íî êàæäûé èç íèõ ïðèìåòèë ïî îäíîé
åãî îñîáåííîñòè:
1) äâå ïåðâûå öèôðû ÷èñëà áûëè îäèíàêîâû;
2) äâå ïîñëåäíèå öèôðû ñîâïàäàëè;
3) ÷èñëî ÿâëÿëîñü òî÷íûì êâàäðàòîì.
Ìîæíî ëè ïî ýòèì äàííûì óçíàòü íîìåð ìàøèíû?
2. Äëÿ íóìåðàöèè ñòðàíèö êíèãè ïîòðåáîâàëîñü âñåãî 1392
öèôðû. Ñêîëüêî ñòðàíèö â ýòîé êíèãå?
3. Ðåøèòå â öåëûõ ÷èñëàõ óðàâíåíèå
õó + 3õ – 5ó =–3.
4. Íàéäèòå ñóììó
1 ⋅ 3 + 3 ⋅ 5 + 5 ⋅ 7 + 7 ⋅ 9 + K + 999 ⋅ 1001 .
5. Ðåøèòå óðàâíåíèå
 2 x − 1
4x 2 − 4x − 3 = 4 
.
 2 
(Çäåñü êâàäðàòíûå ñêîáêè îçíà÷àþò öåëóþ ÷àñòü ÷èñëà.)
10 êëàññ
1. Ìîæíî ëè ê ÷èñëó 9999 ïðèïèñàòü ñïðàâà åùå ÷åòûðå
öèôðû òàê, ÷òîáû ïîëó÷åííîå âîñüìèçíà÷íîå ÷èñëî ñòàëî
êâàäðàòîì öåëîãî ÷èñëà?
2. Íàéäèòå âñå òðîéêè öåëûõ ÷èñåë õ, ó, z, óäîâëåòâîðÿþùèå ñèñòåìå íåðàâåíñòâ
x 2 < y , y2 < z , z 2 < x .
3. Ðåøèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé
 x1 + 2x2 + K + 9 x9 + 10x10 = 55,
 x + 2x + K + 9x + 10x = 55,
 2
3
10
1

.........................................
 x10 + 2x1 + K + 9x8 + 10x9 = 55.
4. Ðåøèòå â öåëûõ ÷èñëàõ óðàâíåíèå
1 + x + x2 + x3 = 2y .
5. Íàéäèòå íàèìåíüøåå çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ
2x2 − 2xy + 5y2 + 2x + 2y .
VI Ìåæäóíàðîäíûé òóðíèð
«Êîìïüþòåðíàÿ ôèçèêà»
Òóðíèð «Êîìïüþòåðíàÿ ôèçèêà» – ÷àñòü ïðîãðàììû Ìåæäóíàðîäíîãî èíòåëëåêò-êëóáà «ÃËÞÎÍ», ïðîâîäèìîé ñ öåëüþ ïîèñêà, îòáîðà è ïîääåðæêè èíòåëëåêòóàëüíî-îäàðåííûõ äåòåé,
ïðîÿâëÿþùèõ èíòåðåñ ê ôóíäàìåíòàëüíûì íàóêàì è èíôîðìàòèêå. Óíèêàëüíîñòü è íîâèçíà ýòîãî òóðíèðà ñîñòîÿò â òîì, ÷òî âñå
çàäà÷è ïðåäïîëàãàåòñÿ ðåøàòü ñ ïîìîùüþ ÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ íà êîìïüþòåðå.
Äëÿ ó÷àñòèÿ â òóðíèðå ïðèãëàøàþòñÿ êîìàíäû øêîëüíèêîâ
(5 ÷åëîâåê), îáëàäàþùèõ çíàíèåì ôèçèêè è íàâûêàìè ðàáîòû íà
IBM PC. Òóðíèð ïðîâîäèòñÿ â âèäå èíòåëëåêòóàëüíîãî ñîðåâíîâàíèÿ ìåæäó êîìàíäàìè â äâà òóðà – çàî÷íûé è î÷íûé. Âñåì
çàÿâëåííûì ó÷àñòíèêàì ðàññûëàþòñÿ çàäàíèÿ çàî÷íîãî òóðà, à
ïî ðåçóëüòàòàì âûïîëíåíèÿ ýòèõ çàäàíèé ôîðìèðóåòñÿ ñîñòàâ
ó÷àñòíèêîâ î÷íîãî òóðà ñîðåâíîâàíèé.
Ðàññêàæåì ïîäðîáíåå îá î÷íîì òóðå VI Ìåæäóíàðîäíîãî
òóðíèðà «Êîìïüþòåðíàÿ ôèçèêà», ïðîõîäèâøåì ñ 27 ÿíâàðÿ ïî
3 ôåâðàëÿ 2002 ãîäà â ãîðîäå Äóáíå.
Øåñòü êîìàíä èç 45, ïðèíÿâøèõ ó÷àñòèå â çàî÷íîì òóðå, áûëè
ïðèãëàøåíû íà ôèíàëüíóþ ÷àñòü ñîðåâíîâàíèé. Òóðíèð ïðîøåë
ïðè ó÷àñòèè Îáúåäèíåííîãî èíñòèòóòà ÿäåðíûõ èññëåäîâàíèé
(ÎÈßÈ), Ìåæðåãèîíàëüíîé àññîöèàöèè «Æåíùèíû â íàóêå è
îáðàçîâàíèè» è ïðè ïîääåðæêå êîìïàíèé «1Ñ», «Ôèçèêîí»,
«Êèðèëë è Ìåôîäèé», «Èíòåë» (Ìîñêîâñêîå ïðåäñòàâèòåëüñòâî),
à òàêæå Ñîðîñîâñêîé ïðîãðàììû â îáëàñòè òî÷íûõ íàóê. Ãåíåðàëüíûì ñïîíñîðîì òóðíèðà âûñòóïèëà êîìïàíèÿ «Íà÷àëî êîîðäèíàò», ïðåäîñòàâèâøàÿ ó÷àñòíèêàì êîìïüþòåðû òèïà «Notebook»
è çàìå÷àòåëüíûå ïðèçû.
Çàùèòà çàäàíèÿ çàî÷íîãî òóðà («Êîìáèíàöèîííîå ðàññåÿíèå»)
ïðîõîäèëà â çàìå÷àòåëüíîì, ñîâðåìåííî îáîðóäîâàííîì êîìïüþòåðíîì çàëå Ìåæäóíàðîäíîãî óíèâåðñèòåòà «Äóáíà». Êàæäîé êîìàíäå áûëî ïðåäëîæåíî âûñòóïèòü ñ äîêëàäîì è ðàññêàçàòü î ðåçóëüòàòàõ ðåøåíèÿ çàî÷íîãî çàäàíèÿ. Îñòàëüíûå
êîìàíäû â ýòîò ìîìåíò èñïîëíÿëè ðîëè îïïîíåíòîâ è ðåöåíçåíòîâ. Íàó÷íàÿ äèñêóññèÿ äîêëàä÷èêîâ, îïïîíåíòîâ è ðåöåíçåíòîâ
çàâåðøèëàñü ïîáåäîé êîìàíäû ÔÌË 1511 ïðè Ìîñêîâñêîì
èíæåíåðíî-ôèçè÷åñêîì èíñòèòóòå (ÌÈÔÈ).