Çàäà÷è ïî ìàòåìàòèêå è ôèçèêå 22

22
ÊÂ
Í TÊ
ÇÀÄÀ×
ÍÀ È
«ÊÂÀÍÒÀ»
2000/¹4
Çàäà÷è
ïî ìàòåìàòèêå è ôèçèêå
Ýòîò ðàçäåë âåäåòñÿ ó íàñ èç íîìåðà â íîìåð ñ ìîìåíòà îñíîâàíèÿ æóðíàëà. Ïóáëèêóåìûå â íåì çàäà÷è
íåñòàíäàðòíû, íî äëÿ èõ ðåøåíèÿ íå òðåáóåòñÿ çíàíèé, âûõîäÿùèõ çà ðàìêè øêîëüíîé ïðîãðàììû.
Íàèáîëåå òðóäíûå çàäà÷è îòìå÷àþòñÿ çâåçäî÷êîé. Ïîñëå ôîðìóëèðîâêè çàäà÷è ìû îáû÷íî óêàçûâàåì,
êòî íàì åå ïðåäëîæèë. Ðàçóìååòñÿ, íå âñå ýòè çàäà÷è ïóáëèêóþòñÿ âïåðâûå.
Ðåøåíèÿ çàäà÷ èç ýòîãî íîìåðà ñëåäóåò îòïðàâëÿòü íå ïîçäíåå 1 íîÿáðÿ 2000 ãîäà ïî àäðåñó:
117296 Ìîñêâà, Ëåíèíñêèé ïðîñïåêò, 64-À, «Êâàíò». Ðåøåíèÿ çàäà÷ èç ðàçíûõ íîìåðîâ æóðíàëà èëè ïî
ðàçíûì ïðåäìåòàì (ìàòåìàòèêå è ôèçèêå) ïðèñûëàéòå â ðàçíûõ êîíâåðòàõ. Íà êîíâåðòå â ãðàôå «Êîìó»
íàïèøèòå: «Çàäà÷íèê «Êâàíòà» ¹4 – 2000» è íîìåðà çàäà÷, ðåøåíèÿ êîòîðûõ Âû ïîñûëàåòå, íàïðèìåð
«Ì1736» èëè «Ô1743».  ãðàôå «... àäðåñ îòïðàâèòåëÿ» ôàìèëèþ è èìÿ ïðîñèì ïèñàòü ðàçáîð÷èâî. Â
ïèñüìî âëîæèòå êîíâåðò ñ íàïèñàííûì íà íåì Âàøèì àäðåñîì è íåîáõîäèìûé íàáîð ìàðîê (â ýòîì
êîíâåðòå Âû ïîëó÷èòå ðåçóëüòàòû ïðîâåðêè ðåøåíèé).
Óñëîâèÿ êàæäîé îðèãèíàëüíîé çàäà÷è, ïðåäëàãàåìîé äëÿ ïóáëèêàöèè, ïðèñûëàéòå â îòäåëüíîì
êîíâåðòå â äâóõ ýêçåìïëÿðàõ âìåñòå ñ Âàøèì ðåøåíèåì ýòîé çàäà÷è (íà êîíâåðòå ïîìåòüòå: «Çàäà÷íèê
«Êâàíòà», íîâàÿ çàäà÷à ïî ôèçèêå» èëè «Çàäà÷íèê «Êâàíòà», íîâàÿ çàäà÷à ïî ìàòåìàòèêå»).
 íà÷àëå êàæäîãî ïèñüìà ïðîñèì óêàçûâàòü íîìåð øêîëû è êëàññ, â êîòîðîì Âû ó÷èòåñü.
Çàäà÷è Ì1736–Ì1738 ïðåäëàãàëèñü íà LXIII Ìîñêîâñêîé ìàòåìàòè÷åñêîé îëèìïèàäå.
Çàäà÷è Ô1743–Ô1746 ïðåäëàãàëèñü íà VI Ñîðîñîâñêîé îëèìïèàäå ïî ôèçèêå.
Çàäà÷è Ì1736—Ì1740, Ô1743—Ô1747
Ì1740. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà à, b è ñ òàêîâû, ÷òî a + b +
Ì1736. Êàêîå íàèáîëüøåå ÷èñëî êîíåé ìîæíî ðàññòàâèòü
íà äîñêå 5 × 5 òàê, ÷òîáû êàæäûé èç íèõ áèë ðîâíî äâóõ
äðóãèõ?
Ì.Ãîðåëîâ
+ c2 = a − b + b − c + c − a . Äîêàæèòå, ÷òî êàæäîå
èç ÷åòûðåõ ÷èñåë ab, bc, ca è ab + bc + ca ÿâëÿåòñÿ
êâàäðàòîì.
Â.Ïðîèçâîëîâ
Ì1737. Õîðäû ÀÑ è ÂD îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì Î
ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå K (ðèñ.1). Òî÷êè Ì, N – öåíòðû
îêðóæíîñòåé, îïèñàííûõ îêîëî òðåóãîëüíèêîâ AKB è
CKD. Äîêàæèòå, ÷òî
B
OMKN – ïàðàëëåëîãðàìì.
C
À.Çàñëàâñêèé
K
Ì1738. Èç êîëîäû âûíóëè 7 êàðò, ïîêàçàëè âñåì,
ïåðåòàñîâàëè è ðàçäàëè
N
äâóì èãðîêàì ïî 3 êàðòû,
O
à îñòàâøóþñÿ êàðòó
à) ñïðÿòàëè;
á) îòäàëè ïîñòîðîííåìó
D
A
íàáëþäàòåëþ.
Èãðîêè ìîãóò ïî î÷åðåäè
Ðèñ.1
ñîîáùàòü âñëóõ îòêðûòûì
òåêñòîì ëþáóþ èíôîðìàöèþ î ñâîèõ êàðòàõ. Ìîãóò ëè
îíè ñîîáùèòü äðóã äðóãó ñâîè êàðòû òàê, ÷òîáû ïðè ýòîì
ïîñòîðîííèé íàáëþäàòåëü íå ñìîã âû÷èñëèòü ìåñòîíàõîæäåíèå íè îäíîé èç êàðò, êîòîðûõ îí íå âèäèò?
À.Øàïîâàëîâ
M
Ì1739. Ïóñòü À – ïðîèçâîëüíàÿ ÷åòíàÿ öèôðà, Á –
ïðîèçâîëüíàÿ íå÷åòíàÿ öèôðà. Äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóåò
íàòóðàëüíîå ÷èñëî, äåëÿùååñÿ íà 22000 , êàæäàÿ öèôðà
êîòîðîãî – ëèáî À, ëèáî Á.
È.Àêóëè÷
2
>
C >
2
C >
2
C
2
2
Ô1743. Íà ëèñòå áóìàãè ñ óìåíüøåíèåì â 10 ðàç íàðèñîâàëè òðàåêòîðèþ êàìíÿ, áðîøåííîãî ïîä óãëîì 45° ê
ïîâåðõíîñòè çåìëè ñî ñêîðîñòüþ 20 ì/ñ. Ïî íàðèñîâàííîé êðèâîé ïîëçåò ñ íåèçìåííîé ïî âåëè÷èíå ñêîðîñòüþ
0,02 ì/ñ ìàëåíüêèé æó÷îê. ×åìó ðàâíî óñêîðåíèå æó÷êà
â òî÷êå, ñîîòâåòñòâóþùåé âåðøèíå òðàåêòîðèè êàìíÿ?
Ç.Ðàôàèëîâ
Ô1744.  ãëóáèíàõ êîñìîñà ëåòàåò î÷åíü áîëüøîé ñîñóä,
â êîòîðîì õàîòè÷åñêè äâèæóòñÿ ìàëåíüêèå ñòàëüíûå
øàðèêè, ïîëîâèíà êîòîðûõ èìååò äèàìåòð d, à ïîëîâèíà
– äèàìåòð 2d. Øàðèêè óïðóãî ñòàëêèâàþòñÿ ìåæäó ñîáîé
è ñî ñòåíêàìè ñîñóäà, ïîòåðü ýíåðãèè ïðè ýòîì íåò. Êàêèå
óäàðû ïðîèñõîäÿò ÷àùå – ìàëåíüêèõ øàðèêîâ î ìàëåíüêèå èëè áîëüøèõ øàðèêîâ î áîëüøèå? Âî ñêîëüêî ðàç?
À.Çèëüáåðìàí
Ô1745.  î÷åíü áîëüøîì ñîñóäå íàõîäèòñÿ ãåëèé ïðè
òåìïåðàòóðå T0 = 1000 Ê è äàâëåíèè p0 = 0,1 Ïà.
Îòêà÷àííûé äî ãëóáîêîãî âàêóóìà ñîñóä îáúåìîì V =
= 1 ë íàõîäèòñÿ âíóòðè áîëüøîãî ñîñóäà. Â ñòåíêå ìàëåíü2
êîãî ñîñóäà îòêðûâàåòñÿ êëàïàí ïëîùàäüþ S = 1 ìì , à
÷åðåç âðåìÿ τ = 0,01 ñ îí çàêðûâàåòñÿ. Îöåíèòå äàâëåíèå
è òåìïåðàòóðó âíóòðè ìàëåíüêîãî ñîñóäà ïîñëå òîãî, êàê
â íåì âñå óñïîêîèòñÿ. Ñòåíêè ìàëåíüêîãî ñîñóäà î÷åíü
òîíêèå, íî èõ òåïëîïðîâîäíîñòü ñîâñåì ìàëà.
Ð.Àëåêñàíäðîâ
ÇÀÄÀ×ÍÈÊ
Ô1746. Ê áàòàðåéêå íàïðÿæåíèåì
U = 1,5  ïîäêëþ÷åíà î÷åíü äëèííàÿ
8
8
öåïü èç ìíîæåñòâà
îäèíàêîâûõ àìïåðìåòðîâ è òàêîãî æå
êîëè÷åñòâà îäèíàÐèñ.2
êîâûõ âîëüòìåòðîâ
(ðèñ.2). Êàæäûé èç àìïåðìåòðîâ èìååò ñîïðîòèâëåíèå
r = 1 Îì, ñîïðîòèâëåíèå êàæäîãî âîëüòìåòðà R =
= 10 êÎì. ×òî ïîêàçûâàþò ïåðâûé è âòîðîé àìïåðìåòðû?
Íàéäèòå ñóììó ïîêàçàíèé âñåõ àìïåðìåòðîâ è ñóììó
ïîêàçàíèé âñåõ âîëüòìåòðîâ â ýòîé öåïè.
À.Ïðèáîðîâ
)
)
)
Ô1747. Êàòóøêà èíäóêòèâíîñòè ïîäêëþ÷åíà ïàðàëëåëüíî êîíäåíñàòîðó, è îíè ïðèñîåäèíåíû ê èñòî÷íèêó ïåðåìåííîãî íàïðÿæåíèÿ. Èçìåðåííûé â öåïè èñòî÷íèêà òîê
ðàâåí I1 = 1 À, òîê ÷åðåç êîíäåíñàòîð ïðè ýòîì ñîñòàâëÿåò
I2 = 0,8 À. Âî ñêîëüêî ðàç íóæíî èçìåíèòü ÷àñòîòó
èñòî÷íèêà, ÷òîáû íàñòóïèë ðåçîíàíñ?
Ç.Êàòóøêèí
Ðåøåíèÿ çàäà÷ Ì1711—Ì1720,
Ô1728—Ô1732
Ì1711. Â «Áîëüøîé ýíöèêëîïåäèè êðîëèêîâ» 10 òîìîâ.
Îíè ñòîÿò íà ïîëêå ïî÷òè ïî ïîðÿäêó: êàæäûé òîì
ñòîèò ëèáî íà ñâîåì ìåñòå, ëèáî íà ñîñåäíåì. Ñêîëüêî
òàêèõ ðàñïîëîæåíèé âîçìîæíî?
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî â ýíöèêëîïåäèè n òîìîâ è âñå âìåñòå
îíè çàíèìàþò n ïîëîæåííûõ èì ìåñò íà ïîëêå, õîòÿ ïðè
ýòîì íåêîòîðûå òîìà ìîãóò çàíèìàòü íå ñâîå ìåñòî, à
ñîñåäíåå ñî ñâîèì.  îáùåå êîëè÷åñòâî òàêèõ ðàñïîëîæåíèé âîéäåò è òî ðàñïîëîæåíèå, â êîòîðîì âñå òîìà ñòîÿò
íà ñâîèõ ìåñòàõ (åãî ìû ïîòîì âû÷òåì).
Ïóñòü P n – êîëè÷åñòâî òàêèõ ðàñïîëîæåíèé n òîìîâ;
P 1 = 1, P 2 = 2. Ðàçîáüåì âñå èõ íà äâå ãðóïïû; â ïåðâóþ
ãðóïïó îòíåñåì òå, â êîòîðûõ ïåðâûé òîì ñòîèò íà ñâîåì
ìåñòå, âî âòîðóþ ãðóïïó – îñòàëüíûå.
 ïåðâîé ãðóïïå ñòîëüêî ðàñïîëîæåíèé, ñêîëüêî èõ
âîçìîæíî èç n − 1 òîìà (ñî âòîðîãî äî n-ãî), ò.å. P n − 1 .
Åñëè ïåðâûé òîì íå íà ñâîåì ìåñòå, òî îí ñòîèò íà âòîðîé
ïîçèöèè, à íà ïåðâîé ïîçèöèè ñòîèò âòîðîé òîì. Òàêèõ
ðàñïîëîæåíèé ñòîëüêî æå, ñêîëüêî ðàñïîëîæåíèé îñòàëüíûõ òîìîâ: ñî âòîðîãî äî n-ãî, ò.å. âñåãî P n − 2 .
Çíà÷èò, èìååò ìåñòî ñîîòíîøåíèå P n = P n − 1 +
+ P n − 2 . Èñïîëüçóÿ åãî, ìîæíî, çíàÿ P 1 è P 2 , íàéòè
P 3 , çàòåì íàéòè P 4 , è òàê äàëåå. Ïîëó÷àåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89. Èòàê, P 10 =
= 89.
Òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷èñåë P n – ýòî ÷èñëà Ôèáîíà÷÷è.
Åñëè åñòü æåëàíèå âû÷åñòü òî ðàñïîëîæåíèå, â êîòîðîì
âñå òîìà ñòîÿò íà ñâîèõ ìåñòàõ, òî îòâåòîì äëÿ n = 10 áóäåò
88.
Ä.Êàëèíèí
>C
>C
>C
>
C
> C
>
>
>C
C
>C
>C
C
>C > C
>C > C
> C
Ì1712. à) Íåñêîëüêî òðåóãîëüíèêîâ ðàñïîëîæåíû íà
ïëîñêîñòè òàê, ÷òî êàæäûå ÷åòûðå èç íèõ èìåþò
îáùóþ âåðøèíó. Äîêàæèòå, ÷òî âñå òðåóãîëüíèêè èìåþò îáùóþ âåðøèíó.
6*
«ÊÂÀÍÒÀ»
23
á) Íåñêîëüêî ïðÿìîóãîëüíèêîâ ðàñïîëîæåíû íà ïëîñêîñòè òàê, ÷òî êàæäûå òðè èç íèõ èìåþò îáùóþ âåðøèíó.
Äîêàæèòå, ÷òî âñå ïðÿìîóãîëüíèêè èìåþò îáùóþ âåðøèíó.
à) Íà ïëîñêîñòè ðàñïîëîæåíû òðåóãîëüíèêè T1 , T2 , …
..., Tn ( n ≥ 5 ), êàæäûå ÷åòûðå èç êîòîðûõ èìåþò îáùóþ
âåðøèíó. Ñíà÷àëà ïîëîæèì n = 5. Èç òðåóãîëüíèêîâ T1 ,
T2 , T3 , T4 , T5 ìîæíî ñîñòàâèòü ÷åòûðå ÷åòâåðêè, ñîäåðæàùèå òðåóãîëüíèê T1 . Êàæäàÿ òàêàÿ ÷åòâåðêà òðåóãîëüíèêîâ èìååò îáùóþ âåðøèíó, è ýòà òî÷êà ÿâëÿåòñÿ
âåðøèíîé òðåóãîëüíèêà T1 . Íî ó T1 ëèøü òðè âåðøèíû,
è çíà÷èò, åñòü òàêàÿ åãî âåðøèíà, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ
îáùåé äëÿ äâóõ èç ÷åòûðåõ ÷åòâåðîê. Î÷åâèäíî, ÷òî ýòà
èçîáðàííàÿ âåðøèíà òðåóãîëüíèêà T1 ÿâëÿåòñÿ âåðøèíîé âñåõ ïÿòè òðåóãîëüíèêîâ.
Ïîäîáíûå ðàññóæäåíèÿ ïåðâîãî øàãà èíäóêöèè ïðîõîäÿò áåç èçìåíåíèé è äëÿ èíäóêòèâíîãî ïåðåõîäà îò n ê
n + 1.
 òî æå âðåìÿ íóæíî çàìåòèòü, ÷òî â óòâåðæäåíèè
ïóíêòà à) ñëîâà «êàæäûå ÷åòûðå» íåëüçÿ çàìåíèòü íà
«êàæäûå òðè».  ñàìîì äåëå, ÷åòûðå âåðøèíû êâàäðàòà
ÿâëÿþòñÿ âåðøèíàìè ÷åòûðåõ òðåóãîëüíèêîâ, êàæäûå
òðè èç êîòîðûõ èìåþò îáùóþ âåðøèíó, íî âñå ÷åòûðå
îáùåé âåðøèíû íå èìåþò.
á) Ïðåäâàðèòåëüíî ñäåëàåì äâà ýëåìåíòàðíûõ ãåîìåòðè÷åñêèõ çàìå÷àíèÿ. Ïåðâîå: ÷åòûðå ðàçëè÷íûå òî÷êè íà
ïëîñêîñòè, èç êîòîðûõ êàæäûå òðè ÿâëÿþòñÿ âåðøèíàìè
ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà, âñå âìåñòå ÿâëÿþòñÿ âåðøèíàìè ïðÿìîóãîëüíèêà. Âòîðîå: äâà ïðÿìîóãîëüíèêà,
èìåþùèõ òðè îáùèå âåðøèíû, ñîâïàäàþò.
Òåïåðü ðàññìîòðèì ðàñïîëîæåíèå ïðÿìîóãîëüíèêîâ P1 ,
P2 , …, Pn ( n ≥ 4 ), êàæäûå òðè èç êîòîðûõ èìåþò îáùóþ
âåðøèíó. Ñíà÷àëà ïîëîæèì n = 4. Äîïóñòèì, ÷òî ïðÿìîóãîëüíèêè P1 , P2 , P3 è P4 íå èìåþò îáùåé âåðøèíû, õîòÿ
êàæäûå òðè èç íèõ îáùóþ âåðøèíó èìåþò: òî÷êè A, B, C
è D ÿâëÿþòñÿ îáùèìè âåðøèíàìè äëÿ âñåâîçìîæíûõ
òðîåê íàøèõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ. Òîãäà âñÿêèå òðè èç ýòèõ
òî÷åê ÿâëÿþòñÿ âåðøèíàìè îäíîãî èç ïðÿìîóãîëüíèêîâ è,
â ñèëó ïðåäâàðèòåëüíûõ çàìå÷àíèé, ABCD – ýòî ïðÿìîóãîëüíèê, êîòîðûé ñîâïàäàåò ñ êàæäûì èç ÷åòûðåõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ P1 , P2 , P3 è P4 . Íàëèöî ïðîòèâîðå÷èå ñ
äîïóùåíèåì.
Ðàçáåðåì ñëó÷àé ïðè n = 5: äîïóñòèì, ÷òî ïðÿìîóãîëüíèêè
P1 , P2 , P3 , P4 , P5 íå èìåþò îáùåé âåðøèíû, õîòÿ êàæäûå
òðè èç íèõ îáùóþ âåðøèíó èìåþò. Íî òîãäà, â ñèëó
äîêàçàííîãî, êàæäûå ÷åòûðå èç íèõ èìåþò îáùóþ âåðøèíó.  ýòîì ñëó÷àå òî÷êè À, Â, Ñ, D è Å ÿâëÿþòñÿ îáùèìè
âåðøèíàìè äëÿ âñåâîçìîæíûõ ÷åòâåðîê ïðÿìîóãîëüíèêîâ. Ïðè ýòîì êàæäûå ÷åòûðå èç ýòèõ òî÷åê ÿâëÿþòñÿ
âåðøèíàìè îäíîãî ïðÿìîóãîëüíèêà. Íî òàêèõ ïÿòè ðàçëè÷íûõ òî÷åê íà ïëîñêîñòè ñóùåñòâîâàòü íå ìîæåò,
çíà÷èò, äâå èç ýòèõ òî÷åê ñîâïàäàþò. Òîãäà ýòè ñîâïàâøèå
òî÷êè ÿâëÿþòñÿ îáùåé âåðøèíîé äëÿ âñåõ ïÿòè ïðÿìîóãîëüíèêî⠖ ïðîòèâîðå÷èå. Èíäóêòèâíûé ïåðåõîä îò n ê
n + 1 ðåàëèçóåòñÿ òàê æå, êàê ïåðåõîä îò 4 ê 5.
Â.Ïðîèçâîëîâ
Ì1713. Íà ñòîðîíàõ ÂÑ, ÑÀ, ÀÂ òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ
âçÿòû òàêèå òî÷êè A ′ , B ′ , C′ , ÷òî ïðÿìûå AA′ , BB ′ ,
CC ′ ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå.
Ïóñòü D, E, F, D′ , E ′ , F ′ – ñåðåäèíû îòðåçêîâ ÀÂ, ÂÑ,
ÑÀ, A′B ′ , B ′C ′ , C ′A ′ .
Äîêàæèòå, ÷òî