Математика турниров (продолжение)

реклама
ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÊÐÓÆÎÊ
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ
ÒÓÐÍÈÐÎÂ
À.ÇÀÑËÀÂÑÊÈÉ, Á.ÔÐÅÍÊÈÍ
Êîýôôèöèåíòû è îïðåäåëåíèå ïîáåäèòåëÿ
 ñïîðòèâíûõ ñîðåâíîâàíèÿõ ïîáåäèòåëåì ñ÷èòàåòñÿ ó÷àñòíèê òóðíèðà, íàáðàâøèé íàèáîëüøåå ÷èñëî î÷êîâ. Îäíàêî
ïðè ýòîì íèêàê íå ó÷èòûâàåòñÿ, ïðîòèâ êîãî áûëè íàáðàíû
ýòè î÷êè. Ïîýòîìó â ìåòîäå ïàðíûõ ñðàâíåíèé èíîãäà
ïðèìåíÿþòñÿ áîëåå ñëîæíûå ñïîñîáû óïîðÿäî÷åíèÿ. Íàïðèìåð, äëÿ òóðíèðà áåç íè÷üèõ ìîæíî îïðåäåëèòü êîýôôèöèåíò êàæäîãî ó÷àñòíèêà, ðàâíûé ñóììå î÷êîâ, íàáðàííûõ
òåìè, êîãî ïîáåäèë äàííûé ñïîðòñìåí.
Çàäà÷à 22. Îêàçàëîñü, ÷òî ó âñåõ ó÷àñòíèêîâ êîýôôèöèåíò îäèíàêîâ. ×èñëî ó÷àñòíèêîâ òóðíèðà áîëüøå äâóõ.
Äîêàæèòå, ÷òî âñå ñïîðòñìåíû íàáðàëè îäèíàêîâîå êîëè÷åñòâî î÷êîâ.
Ðåøåíèå. Ïóñòü íå âñå íàáðàëè îäèíàêîâîå ÷èñëî î÷êîâ.
Ïóñòü, äàëåå, çàíÿâøèå ïåðâîå ìåñòî íàáðàëè K î÷êîâ, à
ïîñëåäíåå – L î÷êîâ. Êîýôôèöèåíò çàíÿâøèõ ïåðâîå ìåñòî
– ýòî ñóììà K ÷èñåë, êàæäîå èç êîòîðûõ íå ìåíüøå L.
Çíà÷èò, ýòîò êîýôôèöèåíò íå ìåíüøå KL. Àíàëîãè÷íî,
êîýôôèöèåíò çàíÿâøèõ ïîñëåäíåå ìåñòî – ýòî ñóììà L
÷èñåë, êàæäîå èç êîòîðûõ íå áîëüøå K. Ïîýòîìó êîýôôèöèåíò çàíÿâøèõ ïîñëåäíåå ìåñòî íå ïðåâîñõîäèò KL.
Åñëè êîýôôèöèåíòû ïåðâûõ è ïîñëåäíèõ ðàâíû, òî îíè
ðàâíÿþòñÿ KL. Ýòî âîçìîæíî òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè
çàíÿâøèå ïåðâîå ìåñòî âûèãðàëè òîëüêî ó (íåêîòîðûõ)
íàáðàâøèõ L î÷êîâ, ò.å. çàíÿâøèõ ïîñëåäíåå ìåñòî, è îáðàòíî.
Åñëè ïåðâîå ìåñòî çàíÿëè íåñêîëüêî ñïîðòñìåíîâ, òî îäèí
èç íèõ âûèãðàë ó äðóãîãî, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ïðåäûäóùåìó.
Çíà÷èò, íà ïåðâîì ìåñòå îäèí ñïîðòñìåí – àíàëîãè÷íî è íà
ïîñëåäíåì. Ïî óñëîâèþ â òóðíèðå åñòü òðåòèé ó÷àñòíèê. Èç
ïðåäûäóùåãî ñëåäóåò, ÷òî îí âûèãðàë è ó ïåðâîãî, è ó
ïîñëåäíåãî. Íî òîãäà îí íàáðàë áîëüøå î÷êîâ, ÷åì ïåðâûé,
òàê êàê ïåðâûé ìîã âûèãðàòü òîëüêî ó ïîñëåäíåãî. Ïîëó÷åíî
èñêîìîå ïðîòèâîðå÷èå.
Çàäà÷à 23. Äîêàæèòå, ÷òî îïðåäåëåííûé â ïðåäûäóùåé
çàäà÷å êîýôôèöèåíò ó ó÷àñòíèêîâ ñ ìàêñèìàëüíîé ñóììîé
î÷êîâ íå íèæå ñðåäíåãî.
Ðåøåíèå. Ïóñòü N îáîçíà÷àåò ÷èñëî ó÷àñòíèêîâ òóðíèðà
ìèíóñ 1 (ò.å. ÷èñëî âñòðå÷, ñûãðàííûõ êàæäûì ó÷àñòíèêîì).
Îäíîãî èç íàáðàâøèõ íàèáîëüøåå ÷èñëî î÷êîâ íàçîâåì
÷åìïèîíîì. Òåõ, êòî åìó ïðîèãðàë (ñîîòâåòñòâåííî, âûèãðàë
ó íåãî), äëÿ êðàòêîñòè áóäåì íàçûâàòü ïðîñòî «ïðîèãðàâøè2
ìè» («âûèãðàâøèìè»). Ïóñòü, äàëåå, M = éë N - 1 4 ùû .
Ïîêàæåì, ÷òî êîýôôèöèåíò ÷åìïèîíà íå íèæå Ì. Äîïóñòèì,
÷åìïèîí íàáðàë K î÷êîâ. ×èñëî «âûèãðàâøèõ» ðàâíî N – K,
è êàæäûé èç íèõ íàáðàë íå áîëüøå ÷åìïèîíà, ïîýòîìó â
ñóììå «âûèãðàâøèå» íàáðàëè íå áîëüøå N - K K . Îáùàÿ
ñóììà î÷êîâ âî âñåõ ìàò÷àõ ðàâíà N N + 1 2 . Ïîýòîìó
ñóììà î÷êîâ «ïðîèãðàâøèõ», ò.å. êîýôôèöèåíò ÷åìïèîíà, íå
Îêîí÷àíèå. Íà÷àëî ñì. â «Êâàíòå» ¹1.
ìåíüøå ÷åì
N × N + 1 2 - K - N - K × K =
= N × N + 1 2 - K × N + 1 - K ³ N × N + 1 2 - N + 12 4 =
= N + 1 2 × N - 1 2 = N 2 - 1 4 .
Òàê êàê êîýôôèöèåíò ÷åìïèîíà – öåëîå ÷èñëî, òî îí íå
ìåíüøå Ì.
Òåïåðü ïîêàæåì, ÷òî ñðåäíèé êîýôôèöèåíò ó÷àñòíèêîâ íå
áîëüøå Ì, îòêóäà è ñëåäóåò óòâåðæäåíèå çàäà÷è. Åñëè
ñïîðòñìåí íàáðàë X î÷êîâ, òî ýòè î÷êè âíåñóò âêëàä â
êîýôôèöèåíòû òåõ N – X ó÷àñòíèêîâ, êîòîðûå ó íåãî
âûèãðàëè. Â îáùåé ñóììå êîýôôèöèåíòîâ ïîÿâèòñÿ ñëàãàåìîå X N - X . Îíî íå ïðåâîñõîäèò N 2 4 , íî òàê êàê
îáÿçàíî áûòü öåëûì, òî ïðè íå÷åòíîì N íå ïðåâîñõîäèò è
N
2
- 1 4 . Òàêèì îáðàçîì, îíî íå áîëüøå Ì.
Ñóììà êîýôôèöèåíòîâ ðàâíà ñóììå N + 1 òàêèõ ñëàãàåìûõ. ×òîáû ïîëó÷èòü ñðåäíèé êîýôôèöèåíò, íóæíî ýòó
ñóììó ðàçäåëèòü íà N + 1. Ïîýòîìó ñðåäíèé êîýôôèöèåíò
ó÷àñòíèêà òóðíèðà íå âûøå Ì, ÷òî è òðåáîâàëîñü.
Àíàëîãè÷íî êîýôôèöèåíòó, ââåäåííîìó âûøå, îïðåäåëèì
äëÿ êàæäîãî ó÷àñòíèêà âòîðîé êîýôôèöèåíò, ðàâíûé ñóììå
êîýôôèöèåíòîâ ïîáåæäåííûõ èì ó÷àñòíèêîâ, òðåòèé êîýôôèöèåíò, ðàâíûé ñóììå èõ âòîðûõ êîýôôèöèåíòîâ, è òàê
äàëåå.
Çàäà÷à 24. Ïóñòü k-e êîýôôèöèåíòû âñåõ ó÷àñòíèêîâ
äëÿ íåêîòîðîãî k îêàçàëèñü ðàâíû. Âåðíî ëè, ÷òî âñå
ó÷àñòíèêè íàáðàëè ïîðîâíó î÷êîâ?
Âîîáùå ãîâîðÿ, îòâåò íà âîïðîñ çàäà÷è îòðèöàòåëåí: åñëè
1-é ó÷àñòíèê âûèãðàë ó âñåõ, 2-é – ó âñåõ, êðîìå 1-ãî, è ò.ä.,
òî âñå (n – 1)-å êîýôôèöèåíòû ðàâíû íóëþ. Ïîïðîáóéòå
äîêàçàòü, ÷òî ýòîò ïðèìåð åäèíñòâåííûé.
Çàäà÷à 25. Áóäåì óïîðÿäî÷èâàòü ó÷àñòíèêîâ ïî èõ ïåðâûì, âòîðûì è ò.ä. êîýôôèöèåíòàì. Âåðíî ëè, ÷òî,
íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî ìîìåíòà, ïîðÿäîê ó÷àñòíèêîâ ïåðåñòàíåò èçìåíÿòüñÿ?
 íåêîòîðûõ êíèãàõ ïî ìåòîäó ïàðíûõ ñðàâíåíèé óòâåðæäàåòñÿ, ÷òî ýòîò ôàêò âåðåí. Îäíàêî ïðèâîäèìîå òàì äîêàçàòåëüñòâî, âî-ïåðâûõ, íå ýëåìåíòàðíî, à âî-âòîðûõ, ïðîõîäèò
íå âî âñåõ ñëó÷àÿõ. Òî÷íûé îòâåò íà âîïðîñ çàäà÷è íàì
íåèçâåñòåí.
 òóðíèðàõ ñ íè÷üèìè ó÷èòûâàòü òîëüêî ðåçóëüòàòû ïîáåæäåííûõ äàííûì èãðîêîì ïðîòèâíèêîâ, î÷åâèäíî, íåëüçÿ.
Ïîýòîìó äëÿ êàæäîãî ó÷àñòíèêà i òóðíèðà ïîäñ÷èòàåì åãî
áåðãåðîâñêèé êîýôôèöèåíò Bi , êîòîðûé îïðåäåëÿåòñÿ ïî
òàêîé ôîðìóëå: ñóììà î÷êîâ òåõ ó÷àñòíèêîâ, ó êîãî i
âûèãðàë, ìèíóñ ñóììà î÷êîâ òåõ, êîìó îí ïðîèãðàë. Îòìåòèì, ÷òî â øàõìàòíûõ ñîðåâíîâàíèÿõ áåðãåðîâñêèé êîýôôèöèåíò ïðèìåíÿåòñÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ ìåñò òåõ ó÷àñòíèêîâ,
êîòîðûå íàáðàëè ïîðîâíó î÷êîâ.
Çàäà÷à 26 (À.Òîëïûãî).
à) Ìîæåò ëè áûòü, ÷òî âñå Bi > 0 ?
á) Ìîæåò ëè áûòü, ÷òî âñå Bi < 0 ?
â) Èçâåñòíî, ÷òî Bi ³ 0 äëÿ âñåõ i. Âåðíî ëè, ÷òî Bi = 0
äëÿ âñåõ i?
ã) Èçâåñòíî, ÷òî Bi £ 0 äëÿ âñåõ i. Âåðíî ëè, ÷òî Bi = 0
äëÿ âñåõ i?
Óêàçàíèå ê ðåøåíèþ. Ïóíêòû a), á) ýòîé çàäà÷è ïðåäëàãàëèñü íà Ìîñêîâñêîé ìàòåìàòè÷åñêîé îëèìïèàäå 2001 ãîäà.
Äëÿ èõ ðåøåíèÿ äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü ñóììó å si Bi , ãäå
si – ñóììà î÷êîâ i-ãî ó÷àñòíèêà. Îíà ñîñòîèò èç ñëàãàåìûõ
âèäà si s j , ãäå ïàðòèÿ ìåæäó èãðîêàìè i è j íå çàâåðøèëàñü
âíè÷üþ, ïðè÷åì êàæäîå òàêîå ïðîèçâåäåíèå âõîäèò â ñóììó
îäèí ðàç ñ ïëþñîì è îäèí ðàç ñ ìèíóñîì. Ñëåäîâàòåëüíî,
$
ÊÂÀÍT 2007/¹2
ñóììà ðàâíà íóëþ, è îòâåò íà âîïðîñû à), á) îòðèöàòåëüíûé.
Áîëåå òîãî, èç ïðîâåäåííîãî ðàññóæäåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî îòâåò
íà âîïðîñ â) ïîëîæèòåëüíûé. Íàïðîòèâ, â ïóíêòå ã) îòâåò
îòðèöàòåëüíûé: åñëè îäèí èãðîê ïðîèãðàë âñå âñòðå÷è, à
îñòàëüíûå ñûãðàëè ìåæäó ñîáîé âíè÷üþ, òî êîýôôèöèåíò
ïîñëåäíåãî èãðîêà îòðèöàòåëåí, à âñå îñòàëüíûå ðàâíû íóëþ.
Ïðîèãðàâøèé âûëåòàåò
Êàê èçâåñòíî, êðóãîâûå òóðíèðû – íå åäèíñòâåííàÿ ñóùåñòâóþùàÿ ôîðìà ñîðåâíîâàíèé.  ïðîòèâîïîëîæíîñòü èì,
ïðè êóáêîâîé (îëèìïèéñêîé) ñèñòåìå ïðîèãðàâøèé «âûëåòàåò», è íè÷üè íåâîçìîæíû.  òàêèõ ñîðåâíîâàíèÿõ ðîëü
ñëó÷àéíîñòè ãîðàçäî âûøå, íî çàòî áîðüáà ïðîòåêàåò îñòðåå.
Åñëè êðóãîâîìó òóðíèðó îòâå÷àåò ïîëíûé ãðàô (âåðøèíû –
èãðîêè, ðåáðà – ïîåäèíêè, ëþáûå äâå âåðøèíû ñîåäèíåíû
ðåáðîì), òî ãðàô îëèìïèéñêîãî òóðíèðà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé
áèíàðíîå äåðåâî (öèêëîâ íåò, è íà ïóòè, âåäóùåì îò âèñÿ÷åé
âåðøèíû ê êîðíþ, â êàæäóþ ïðîìåæóòî÷íóþ âåðøèíó
âõîäÿò äâà ðåáðà è âûõîäèò îäíî).
Çàäà÷à 27. Òóðíèð ïî áîêñó ïðîõîäèë ïî îëèìïèéñêîé
ñèñòåìå (â êàæäîì êðóãå ïðîèãðàâøèå âûáûâàþò, îòäûõàþùèõ íåò). Ñêîëüêî áîêñåðîâ ó÷àñòâîâàëî â òóðíèðå, åñëè
ïî îêîí÷àíèè òóðíèðà âûÿñíèëîñü, ÷òî 32 ÷åëîâåêà âûèãðàëè áîåâ áîëüøå, ÷åì ïðîèãðàëè?
Ðåøåíèå. Ïðè îëèìïèéñêîé ñèñòåìå áîëüøèíñòâî áîåâ
âûèãðàíî ó òåõ è òîëüêî òåõ áîêñåðîâ, êîòîðûå âûøëè õîòÿ
áû â òðåòèé òóð. Ó÷àñòíèêè òðåòüåãî òóðà ñîñòàâëÿþò ÷åòâåðòü îò îáùåãî ÷èñëà ó÷àñòíèêîâ. Ñëåäîâàòåëüíî, â òóðíèðå
ó÷àñòâîâàëî 128 áîêñåðîâ.
Èíòåðåñíî ñðàâíèòü ðåçóëüòàòû âîçìîæíûõ òóðíèðîâ ñ
îäíèìè è òåìè æå ó÷àñòíèêàìè, íî ïðîâîäèìûõ ïî ðàçíûì
ñèñòåìàì. Ïðèâåäåì äâå çàäà÷è íà ýòó òåìó (àâòîð Ê.Ôåëüäìàí, ñì. ñòàòüþ Á.Ôðåíêèíà «Æåðåáüåâêà äëÿ ÷åìïèîíà»
â «Êâàíòå» ¹ 5 çà 2000 ãîä). ×òîáû âûäåëèòü òî, ÷òî çàâèñèò
îò ôîðìû ïðîâåäåíèÿ, à íå îò èãðîêîâ, ïðèìåì «ïðåäïîëîæåíèå î ñòàáèëüíîé èãðå»: â êàæäîé ïàðå èãðîêîâ ïîáåäèòåëü âñåãäà îäèí è òîò æå. Íè÷üè â êðóãîâîì òóðíèðå ìåæäó
òàêèìè èãðîêàìè èñêëþ÷åíû, ïîñêîëüêó èõ íå áûâàåò â
êóáêîâîì òóðíèðå. Îäíàêî ìû äîïóñêàåì, ÷òî îäèí èãðîê
âûèãðûâàåò ó äðóãîãî, äðóãîé – ó òðåòüåãî, à ïðè ýòîì òðåòèé
âûèãðûâàåò ó ïåðâîãî.
Çàäà÷à 28. Ïðîøåë ÷åìïèîíàò ïî êðóãîâîé ñèñòåìå ñ
ó÷àñòèåì 2N èãðîêîâ. Òåïåðü òåì æå ñïîðòñìåíàì ïðåäñòîèò ðàçûãðàòü êóáîê. Âûïîëíåíî ïðåäïîëîæåíèå î ñòàáèëüíîé èãðå. Äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóåò æåðåáüåâêà ðîçûãðûøà êóáêà, ïðè êîòîðîé ÷åìïèîí êðóãîâîãî òóðíèðà âûéäåò
â ôèíàë.
Ðåøåíèå. Çàíóìåðóåì èãðîêîâ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Â
íà÷àëî ñïèñêà ïîñòàâèì òåõ, êòî ïîáåäèë ÷åìïèîíà, ò.å.
«îïàñíûõ». Äàëåå – ïðîèãðàâøèõ åìó, ò.å.«íåîïàñíûõ».
Ïîñëåäíèé íîìåð äàäèì ÷åìïèîíó.  êàæäîì òóðå ðîçûãðûøà êóáêà ñîñòàâèì ïàðû ïî ïîðÿäêó íîìåðîâ.
×åìïèîí âûñòóïèë íå õóæå «ñðåäíåñòàòèñòè÷åñêîãî» ó÷àñòíèêà, êîòîðûé âûèãðàë ñòîëüêî æå, ñêîëüêî è ïðîèãðàë.
Çíà÷èò, ÷èñëî «îïàñíûõ» íå áîëüøå ÷èñëà «íåîïàñíûõ» .
Âñå «îïàñíûå» ïîïàäóò â ïåðâóþ ïîëîâèíó ñïèñêà, òîãäà êàê
÷åìïèîí – âî âòîðóþ. Ïîýòîìó ÷åìïèîí íå âñòðåòèòñÿ ñ
«îïàñíûì» èãðîêîì ðàíüøå ôèíàëà, ÷òî è òðåáîâàëîñü.
Çàäà÷à 29.  óñëîâèÿõ ïðåäûäóùåé çàäà÷è äîêàæèòå, ÷òî
ñóùåñòâóåò æåðåáüåâêà, ïðè êîòîðîé ÷åìïèîí êðóãîâîãî
òóðíèðà ïîëó÷èò êóáîê.
Ðåøåíèå. Êàæäûé èç «îïàñíûõ» (âûèãðûâàþùèõ ó ÷åìïèîíà) ïðîèãðàë â ÷åìïèîíàòå êîìó-òî èç «íåîïàñíûõ»
(èíà÷å îí áû âûèãðàë áîëüøå ìàò÷åé, ÷åì ÷åìïèîí, ÷òî
íåâîçìîæíî). Ñîñòàâèì ïåðâóþ ïàðó ðîçûãðûøà êóáêà èç
«îïàñíîãî» è òàêîãî «íåîïàñíîãî», êîòîðîìó îí ïðîèãðàë.
Ñëåäóþùèå ïàðû ñîñòàâëÿåì òàêèì æå îáðàçîì, ïîêà ýòî
âîçìîæíî. Äîïóñòèì, îñòàëèñü «îïàñíûå», êîòîðûõ íåëüçÿ
âêëþ÷èòü â òàêèå ïàðû (îíè ïðîèãðàëè â ÷åìïèîíàòå òåì
«íåîïàñíûì», êîòîðûå óæå âîøëè â ïðåäûäóùèå ïàðû).
Òîãäà ïóñòü ýòè «îïàñíûå» èãðàþò ìåæäó ñîáîé. Åñëè îäèí
èç íèõ îñòàíåòñÿ áåç ïàðû, òî ïîñòóïèì ñëåäóþùèì îáðàçîì.
Îáùåå ÷èñëî «îïàñíûõ» íå áîëüøå ÷èñëà «íåîïàñíûõ»
(ïîñêîëüêó ÷åìïèîí âûñòóïèë íå õóæå «ñðåäíåñòàòèñòè÷åñêîãî» èãðîêà, êîòîðûé âûèãðàë è ïðîèãðàë ïîðîâíó). Â
ñîñòàâëåííûõ ïàðàõ íå áîëüøå «íåîïàñíûõ» èãðîêîâ, ÷åì
«îïàñíûõ», è åùå îäèí «îïàñíûé» îñòàëñÿ áåç ïàðû. Çíà÷èò,
êòî-òî èç «íåîïàñíûõ» íå áûë åùå âêëþ÷åí â ïàðó – ïóñòü ñ
íèì è èãðàåò îñòàâøèéñÿ «îïàñíûé».
Îñòàëüíûå èãðîêè îáúåäèíÿþòñÿ â ïàðû ïðîèçâîëüíî.
×åìïèîí âûéäåò â ñëåäóþùèé òóð, ïîñêîëüêó èãðàåò ñ
«íåîïàñíûì». Åñëè â îñòàëüíûõ òóðàõ ïàðû ñòðîÿòñÿ ïî
òîìó æå ïðàâèëó, òî ÷åìïèîí ïîëó÷èò êóáîê. Ýòî çàâåäîìî
âîçìîæíî, åñëè â êàæäîì òóðå «îïàñíûå» ñîñòàâëÿþò ìåíåå
ïîëîâèíû ó÷àñòíèêîâ. Äîïóñòèì, ÷òî âïëîòü äî íåêîòîðîãî
òóðà ìû îáåñïå÷èëè âûïîëíåíèå ýòîãî óñëîâèÿ. Ïîêàæåì,
÷òî è â ñëåäóþùåì òóðå ìîæíî ýòîãî äîáèòüñÿ.
Ïîñêîëüêó â ñëåäóþùèé òóð âûõîäèò ïîëîâèíà ó÷àñòíèêîâ ïðåäûäóùåãî, òî äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî îòñåèâàåòñÿ íå
ìåíüøå ïîëîâèíû «îïàñíûõ». Íî â ìàò÷àõ ìåæäó íèìè
âûáûâàåò êàæäûé âòîðîé ó÷àñòíèê. Òîëüêî îäèí «îïàñíûé»
ìîæåò âûèãðàòü ó «íåîïàñíîãî». Ïîýòîìó äîñòàòî÷íî, ÷òîáû
â òîì æå òóðå õîòÿ áû îäèí «îïàñíûé» ïðîèãðàë «íåîïàñíîìó». Êàê ìû âèäåëè, â ïåðâîì òóðå ýòî âûïîëíåíî. Â
ïîñëåäóþùèå òóðû âûõîäèëè òîëüêî òàêèå «îïàñíûå», êîòîðûå ïðîèãðûâàþò êîìó-òî èç «íåîïàñíûõ», òàêæå âûøåäøèõ
â ýòîò òóð. È ïåðâàÿ æå ïàðà ñîñòàâëÿëàñü èç «îïàñíîãî» è
òàêîãî «íåîïàñíîãî», êîòîðîìó îí ïðîèãðûâàåò. Íàøå óòâåðæäåíèå äîêàçàíî.
 çàêëþ÷åíèå ýòîãî ïàðàãðàôà ïðèâåäåì çàäà÷ó, â êîòîðîé
ðàññìàòðèâàåòñÿ åùå îäíà ôîðìà ñîðåâíîâàíèé – èãðà íà
âûëåò. Íåñìîòðÿ íà ïðîñòîòó ôîðìóëèðîâêè è ðåøåíèÿ,
çàäà÷à îêàçàëàñü òðóäíîé äëÿ ó÷àñòíèêîâ îòáîðà íà Ðîññèéñêóþ îëèìïèàäó 1998 ãîäà.
Çàäà÷à 30. Ãðóïïà øêîëüíèêîâ èãðàåò â ïèíã-ïîíã íà
âûëåò. Îíè óñòàíîâèëè î÷åðåäü, âíà÷àëå èãðàþò ïåðâûé è
âòîðîé, à â äàëüíåéøåì êàæäûé î÷åðåäíîé ó÷àñòíèê èãðàåò ñ ïîáåäèòåëåì ïðåäûäóùåé ïàðû. Íà ñëåäóþùèé äåíü òå
æå øêîëüíèêè ñíîâà èãðàþò íà âûëåò, íî î÷åðåäü èäåò â
îáðàòíóþ ñòîðîíó – îò ïîñëåäíåãî ê ïåðâîìó. Äîêàæèòå,
÷òî íàéäóòñÿ äâà øêîëüíèêà, êîòîðûå èãðàëè ìåæäó ñîáîé
è â ïåðâûé äåíü, è âî âòîðîé.
Ðåøåíèå. Ñîïåðíèê ïîñëåäíåãî èãðîêà â ïåðâûé äåíü
èãðàåò ñî âñåìè, êòî ñòîèò ïîçæå íåãî â î÷åðåäè. Ñ îäíèì èç
íèõ îí èãðàåò ñâîþ ïåðâóþ ïàðòèþ âî âòîðîé äåíü.
Åùå íåñêîëüêî çàäà÷
 ïðèâåäåííûõ íèæå çàäà÷àõ, êàê ïðàâèëî, òðåáóåòñÿ
âûÿñíèòü, ìîæíî ëè âûáðàòü èç äàííîãî òóðíèðà ïîäìíîæåñòâî èãðîêîâ, îáëàäàþùåå íåêîòîðûì ñâîéñòâîì. ×àñòü ýòèõ
çàäà÷ íå ðåøåíû.
Çàäà÷à 31.
à) Äîêàæèòå, ÷òî â òóðíèðå áåç íè÷üèõ èç n ó÷àñòíèêîâ
ìîæíî çàíóìåðîâàòü èõ òàê, ÷òî 1-é âûèãðàë ó 2-ãî, 2-é
ó 3-ãî,..., (n – 1)-é ó n-ãî è 1-é ó n-ãî.
á) Äîêàæèòå, ÷òî â òóðíèðå áåç íè÷üèõ ëèáî ñóùåñòâóåò
öèêë, âêëþ÷àþùèé âñåõ ó÷àñòíèêîâ, ëèáî ìîæíî ðàçáèòü
ó÷àñòíèêîâ íà äâå ãðóïïû òàê, ÷òî ëþáîé èãðîê èç ïåðâîé
ãðóïïû ïîáåäèë ëþáîãî èç âòîðîé.
Çàäà÷à 32.  êðóãîâîì òóðíèðå ñ 2 N ó÷àñòíèêàìè íå
áûëî íè÷üèõ. Äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóåò öåïî÷êà èç N + 1
ó÷àñòíèêà, êàæäûé èç êîòîðûõ ïîáåäèë âñåõ ïîñëåäóþùèõ.
ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ
Óòâåðæäåíèå çàäà÷è ëåãêî äîêàçàòü ïî èíäóêöèè. Îäíàêî
âîïðîñ î òîì, íàñêîëüêî ìîæíî óìåíüøèòü ÷èñëî 2N ,
çíà÷èòåëüíî ñëîæíåå. Ìîæíî ïðèâåñòè ïðèìåð òóðíèðà 7
ó÷àñòíèêîâ, íèêàêèå 4 èç êîòîðûõ íå îáðàçóþò òðàíçèòèâíîãî ïîäòóðíèðà. Íî â ëþáîì òóðíèðå ñ 15 ó÷àñòíèêàìè
íàéäóòñÿ 5, êàæäûé èç êîòîðûõ ïîáåäèë âñåõ ïîñëåäóþùèõ.
Ïðè êàêîì ìàêñèìàëüíîì ÷èñëå ó÷àñòíèêîâ ñóùåñòâóåò
òóðíèð áåç òàêèõ öåïî÷åê äëèíû k, íåèçâåñòíî.
Çàäà÷à 33.  êðóãîâîì òóðíèðå ó÷àñòâîâàëè n ñïîðòñìåíîâ, èìåâøèõ íîìåðà îò 1 äî n. Ó÷àñòíèê ñ íîìåðîì 1 ñäåëàë
1 íè÷üþ, ñ íîìåðîì 2 ñäåëàë 2 íè÷üèõ, ..., ó÷àñòíèê ñ
íîìåðîì n – 1 ñäåëàë n – 1 íè÷üþ. Ñêîëüêî íè÷üèõ ñäåëàë
ó÷àñòíèê ñ íîìåðîì n?
Îòâåò. [n/2].
Ðåøåíèå. Ó÷àñòíèê ñ íîìåðîì n – 1 ñûãðàë âíè÷üþ ñî
âñåìè îñòàëüíûìè ñïîðòñìåíàìè. Òàê êàê 1-é ñäåëàë ëèøü
îäíó íè÷üþ, òî îí íå ñûãðàë âíè÷üþ íè ñ êåì, êðîìå
(n – 1)-ãî. Ó÷àñòíèê n –2 íå ñäåëàë íè÷üþ ëèøü ñ îäíèì
ñïîðòñìåíîì, è ïî äîêàçàííîìó ýòî 1-é. Çíà÷èò, 2-é ñûãðàë âíè÷üþ è ñ (ï – 1)-ì, è ñ (n – 2)-ì (åñëè òîëüêî îí íå
ñîâïàäàåò ñ îäíèì èç íèõ, ò.å. åñëè n > 4; ñëó÷àé ìàëûõ ï
ëåãêî ðàçáèðàåòñÿ, è îòâåò áóäåò àíàëîãè÷íûì). Òàê êàê ó
2-ãî ó÷àñòíèêà âñåãî 2 íè÷üè, òî áîëüøå îí íè ñ êåì íå
ñûãðàë âíè÷üþ. Èç ñêàçàííîãî âèäíî, ÷òî (ï – 1)-é è
(n – 2)-é ó÷àñòíèêè ñäåëàëè íè÷üþ ñ n-ì, à 2-é íå ñäåëàë.
Ïðîäîëæàÿ â òîì æå äóõå, ïîëó÷àåì, ÷òî ïðè i £ n - 1 2
ó÷àñòíèê i ñûãðàë âíè÷üþ ñ ó÷àñòíèêàìè n – 1,..., n – i, à
ó÷àñòíèê n – i ñûãðàë âíè÷üþ ñ ó÷àñòíèêàìè îò i äî n
(ðàçóìååòñÿ, íå ñ÷èòàÿ ñåáÿ). Ýòèì ðåøåíà çàäà÷à äëÿ
íå÷åòíîãî n: ñ n-ì ó÷àñòíèêîì ñäåëàëè íè÷üè (ï – 1)/2 =
%
ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ
= [n/2] ñïîðòñìåíîâ. Ïðè ÷åòíîì n îñòàëîñü ðàññìîòðåòü
ó÷àñòíèêà n/2.  ñèëó ñêàçàííîãî âûøå, ìåíüøèå íîìåðà
íå ñäåëàëè ñ íèì íè÷üèõ. Òàê êàê âñåãî îí ñäåëàë n/2
íè÷üèõ, òî îí ñûãðàë âíè÷üþ ñî âñåìè ïîñëåäóþùèìè
íîìåðàìè, âêëþ÷àÿ n. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ó÷àñòíèê n ñäåëàë
n/2 = [n/2] íè÷üèõ.
Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî òóðíèð îáëàäàåò ñâîéñòâîì Pk , åñëè
äëÿ ëþáûõ k ó÷àñòíèêîâ íàéäåòñÿ ó÷àñòíèê, ïîáåäèâøèé èõ
âñåõ.
Çàäà÷à 34 (À.Òîëïûãî).
à) Äîêàæèòå, ÷òî åñëè â ëþáîì òóðíèðå, îáëàäàþùåì
ñâîéñòâîì Pk , ó÷àñòâóþò íå ìåíåå ï èãðîêîâ, òî â ëþáîì
òóðíèðå, îáëàäàþùåì ñâîéñòâîì Pk +1 , ó÷àñòâóþò íå ìåíåå 2n + 1 èãðîêîâ.
á) Ïðè êàêîì íàèìåíüøåì ï ñóùåñòâóåò òóðíèð n
èãðîêîâ ñî ñâîéñòâîì P2 ? (Îòâåò. n = 7.)
â) Ïîñòðîéòå òóðíèð 19 èãðîêîâ ñî ñâîéñòâîì P3 .
(Îòâåò. Çàíóìåðóåì èãðîêîâ ÷èñëàìè îò 0 äî 18, è ïóñòü
èãðîê i âûèãðûâàåò ó èãðîêà j òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
i - j º l 2 mod 19 .)
ã) Äîêàæèòå, ÷òî òóðíèðû ñî ñâîéñòâîì Pk ñóùåñòâóþò äëÿ ëþáîãî k. (Óêàçàíèå. Îöåíèòå âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî
â òóðíèðå n ó÷àñòíèêîâ äàííûå k íå èìåþò îáùåãî ïîáåäèòåëÿ.)
Îòâåò íà âîïðîñ, ïðè êàêîì ìèíèìàëüíîì n ñóùåñòâóåò
òóðíèð n ó÷àñòíèêîâ ñî ñâîéñòâîì Pk , íåèçâåñòåí äàæå ïðè
k = 3. Èç ïóíêòîâ à), á), î÷åâèäíî, ñëåäóåò, ÷òî n ³ 15 , à èç
ïóíêòà â) – ÷òî n £ 19 . Äëÿ áîëüøèõ çíà÷åíèé k íåèçâåñòíû
äàæå ïðèáëèçèòåëüíûå îöåíêè.
ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ
Ýíåðãåòè÷åñêèé
ìåòîä
èññëåäîâàíèÿ
êîëåáàíèé
À.×ÅÐÍÎÓÖÀÍ
Î
ÄÍÀ ÈÇ ÂÀÆÍÛÕ ÇÀÄÀ× ÒÅÎÐÈÈ ÊÎËÅÁÀÍÈÉ – ÍÀÉ-
òè ïåðèîä ìàëûõ êîëåáàíèé ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû
îêîëî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Â øêîëüíîì êóðñå ôèçèêè
êîëè÷åñòâåííî ðàññìàòðèâàþòñÿ êîëåáàíèÿ ñèñòåì òîëüêî ñ
îäíîé ñòåïåíüþ ñâîáîäû (ïîëîæåíèå êîòîðûõ çàäàåòñÿ îäíèì ïàðàìåòðîì – ñìåùåíèåì, óãëîì îòêëîíåíèÿ è ò.ä.) è
ïðîèñõîäÿùèå áåç ïîòåðü ýíåðãèè. Ïðîñòåéøèå ïðèìåðû
òàêèõ ñèñòåì – ãðóç íà ïðóæèíå è ìàòåìàòè÷åñêèé ìàÿòíèê.
Îáû÷íî êîëåáàíèÿ òàêèõ ñèñòåì èçó÷àþòñÿ äèíàìè÷åñêèì
ìåòîäîì. Ýòîò ìåòîä ñîñòîèò â ïðèâåäåíèè óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ñèñòåìû (âòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà) ê âèäó, ñîîòâåòñòâó-
þùåìó óðàâíåíèþ ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé
x ¢¢ + ω2 x = 0 ,
(1)
ãäå x¢¢ – âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ îò ïàðàìåòðà x ïî âðåìåíè.
Îäíàêî â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ øêîëüíèêó îêàçûâàåòñÿ ñëîæíî çàïèñàòü óðàâíåíèå äâèæåíèÿ. Ýòî îòíîñèòñÿ â ïåðâóþ
î÷åðåäü ê ñèñòåìàì ñ ðàñïðåäåëåííîé ìàññîé. Íàïðèìåð, äëÿ
ïîëó÷åíèÿ óðàâíåíèÿ êîëåáàíèé ïðîòÿæåííîãî òâåðäîãî
òåëà – ôèçè÷åñêîãî ìàÿòíèêà – íóæíî çàïèñàòü óðàâíåíèå
äèíàìèêè âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ, íî åãî â øêîëå íå
èçó÷àþò. È òóò, êàê âñåãäà, íà ïîìîùü ïðèõîäèò çàêîí
ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè, êîòîðûé ïîçâîëÿåò ñóùåñòâåííî ðàñøèðèòü êðóã çàäà÷, äîñòóïíûõ äëÿ ðåøåíèÿ øêîëüíûìè ìåòîäàìè.
 ÷åì æå çàêëþ÷àåòñÿ ýíåðãåòè÷åñêèé ìåòîä èññëåäîâàíèÿ
êîëåáàíèé? Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî îí ñîñòîèò â ñîïîñòàâëåíèè
ýíåðãèè êîëåáàòåëüíîé ñèñòåìû ñ ýíåðãèåé ïðîñòåéøåãî
ìàÿòíèêà – ãðóçà ìàññîé m íà ïðóæèíå æåñòêîñòüþ k. Åñëè
âûðàæåíèå äëÿ ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè ñèñòåìû, îòêëîíåíèå
êîòîðîé îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ïàðàìåòðîì
x, óäàëîñü ïðèâåñòè ê âèäó
mýô x ¢2 kýô x2
,
(2)
+
E=
2
2
òî ñèñòåìà ñîâåðøàåò ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ
x = A cos ωt + ϕ0 ,
öèêëè÷åñêàÿ ÷àñòîòà êîòîðûõ ðàâíà
ω=
kýô
mýô
.
(3)
Скачать