Математика турниров (продолжение)
advertisement
ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÊÐÓÆÎÊ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ ÒÓÐÍÈÐΠÀ.ÇÀÑËÀÂÑÊÈÉ, Á.ÔÐÅÍÊÈÍ Êîýôôèöèåíòû è îïðåäåëåíèå ïîáåäèòåëÿ  ñïîðòèâíûõ ñîðåâíîâàíèÿõ ïîáåäèòåëåì ñ÷èòàåòñÿ ó÷àñòíèê òóðíèðà, íàáðàâøèé íàèáîëüøåå ÷èñëî î÷êîâ. Îäíàêî ïðè ýòîì íèêàê íå ó÷èòûâàåòñÿ, ïðîòèâ êîãî áûëè íàáðàíû ýòè î÷êè. Ïîýòîìó â ìåòîäå ïàðíûõ ñðàâíåíèé èíîãäà ïðèìåíÿþòñÿ áîëåå ñëîæíûå ñïîñîáû óïîðÿäî÷åíèÿ. Íàïðèìåð, äëÿ òóðíèðà áåç íè÷üèõ ìîæíî îïðåäåëèòü êîýôôèöèåíò êàæäîãî ó÷àñòíèêà, ðàâíûé ñóììå î÷êîâ, íàáðàííûõ òåìè, êîãî ïîáåäèë äàííûé ñïîðòñìåí. Çàäà÷à 22. Îêàçàëîñü, ÷òî ó âñåõ ó÷àñòíèêîâ êîýôôèöèåíò îäèíàêîâ. ×èñëî ó÷àñòíèêîâ òóðíèðà áîëüøå äâóõ. Äîêàæèòå, ÷òî âñå ñïîðòñìåíû íàáðàëè îäèíàêîâîå êîëè÷åñòâî î÷êîâ. Ðåøåíèå. Ïóñòü íå âñå íàáðàëè îäèíàêîâîå ÷èñëî î÷êîâ. Ïóñòü, äàëåå, çàíÿâøèå ïåðâîå ìåñòî íàáðàëè K î÷êîâ, à ïîñëåäíåå L î÷êîâ. Êîýôôèöèåíò çàíÿâøèõ ïåðâîå ìåñòî ýòî ñóììà K ÷èñåë, êàæäîå èç êîòîðûõ íå ìåíüøå L. Çíà÷èò, ýòîò êîýôôèöèåíò íå ìåíüøå KL. Àíàëîãè÷íî, êîýôôèöèåíò çàíÿâøèõ ïîñëåäíåå ìåñòî ýòî ñóììà L ÷èñåë, êàæäîå èç êîòîðûõ íå áîëüøå K. Ïîýòîìó êîýôôèöèåíò çàíÿâøèõ ïîñëåäíåå ìåñòî íå ïðåâîñõîäèò KL. Åñëè êîýôôèöèåíòû ïåðâûõ è ïîñëåäíèõ ðàâíû, òî îíè ðàâíÿþòñÿ KL. Ýòî âîçìîæíî òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè çàíÿâøèå ïåðâîå ìåñòî âûèãðàëè òîëüêî ó (íåêîòîðûõ) íàáðàâøèõ L î÷êîâ, ò.å. çàíÿâøèõ ïîñëåäíåå ìåñòî, è îáðàòíî. Åñëè ïåðâîå ìåñòî çàíÿëè íåñêîëüêî ñïîðòñìåíîâ, òî îäèí èç íèõ âûèãðàë ó äðóãîãî, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ïðåäûäóùåìó. Çíà÷èò, íà ïåðâîì ìåñòå îäèí ñïîðòñìåí àíàëîãè÷íî è íà ïîñëåäíåì. Ïî óñëîâèþ â òóðíèðå åñòü òðåòèé ó÷àñòíèê. Èç ïðåäûäóùåãî ñëåäóåò, ÷òî îí âûèãðàë è ó ïåðâîãî, è ó ïîñëåäíåãî. Íî òîãäà îí íàáðàë áîëüøå î÷êîâ, ÷åì ïåðâûé, òàê êàê ïåðâûé ìîã âûèãðàòü òîëüêî ó ïîñëåäíåãî. Ïîëó÷åíî èñêîìîå ïðîòèâîðå÷èå. Çàäà÷à 23. Äîêàæèòå, ÷òî îïðåäåëåííûé â ïðåäûäóùåé çàäà÷å êîýôôèöèåíò ó ó÷àñòíèêîâ ñ ìàêñèìàëüíîé ñóììîé î÷êîâ íå íèæå ñðåäíåãî. Ðåøåíèå. Ïóñòü N îáîçíà÷àåò ÷èñëî ó÷àñòíèêîâ òóðíèðà ìèíóñ 1 (ò.å. ÷èñëî âñòðå÷, ñûãðàííûõ êàæäûì ó÷àñòíèêîì). Îäíîãî èç íàáðàâøèõ íàèáîëüøåå ÷èñëî î÷êîâ íàçîâåì ÷åìïèîíîì. Òåõ, êòî åìó ïðîèãðàë (ñîîòâåòñòâåííî, âûèãðàë ó íåãî), äëÿ êðàòêîñòè áóäåì íàçûâàòü ïðîñòî «ïðîèãðàâøè2 ìè» («âûèãðàâøèìè»). Ïóñòü, äàëåå, M = éë N - 1 4 ùû . Ïîêàæåì, ÷òî êîýôôèöèåíò ÷åìïèîíà íå íèæå Ì. Äîïóñòèì, ÷åìïèîí íàáðàë K î÷êîâ. ×èñëî «âûèãðàâøèõ» ðàâíî N K, è êàæäûé èç íèõ íàáðàë íå áîëüøå ÷åìïèîíà, ïîýòîìó â ñóììå «âûèãðàâøèå» íàáðàëè íå áîëüøå N - K K . Îáùàÿ ñóììà î÷êîâ âî âñåõ ìàò÷àõ ðàâíà N N + 1 2 . Ïîýòîìó ñóììà î÷êîâ «ïðîèãðàâøèõ», ò.å. êîýôôèöèåíò ÷åìïèîíà, íå Îêîí÷àíèå. Íà÷àëî ñì. â «Êâàíòå» ¹1. ìåíüøå ÷åì N × N + 1 2 - K - N - K × K = = N × N + 1 2 - K × N + 1 - K ³ N × N + 1 2 - N + 12 4 = = N + 1 2 × N - 1 2 = N 2 - 1 4 . Òàê êàê êîýôôèöèåíò ÷åìïèîíà öåëîå ÷èñëî, òî îí íå ìåíüøå Ì. Òåïåðü ïîêàæåì, ÷òî ñðåäíèé êîýôôèöèåíò ó÷àñòíèêîâ íå áîëüøå Ì, îòêóäà è ñëåäóåò óòâåðæäåíèå çàäà÷è. Åñëè ñïîðòñìåí íàáðàë X î÷êîâ, òî ýòè î÷êè âíåñóò âêëàä â êîýôôèöèåíòû òåõ N X ó÷àñòíèêîâ, êîòîðûå ó íåãî âûèãðàëè.  îáùåé ñóììå êîýôôèöèåíòîâ ïîÿâèòñÿ ñëàãàåìîå X N - X . Îíî íå ïðåâîñõîäèò N 2 4 , íî òàê êàê îáÿçàíî áûòü öåëûì, òî ïðè íå÷åòíîì N íå ïðåâîñõîäèò è N 2 - 1 4 . Òàêèì îáðàçîì, îíî íå áîëüøå Ì. Ñóììà êîýôôèöèåíòîâ ðàâíà ñóììå N + 1 òàêèõ ñëàãàåìûõ. ×òîáû ïîëó÷èòü ñðåäíèé êîýôôèöèåíò, íóæíî ýòó ñóììó ðàçäåëèòü íà N + 1. Ïîýòîìó ñðåäíèé êîýôôèöèåíò ó÷àñòíèêà òóðíèðà íå âûøå Ì, ÷òî è òðåáîâàëîñü. Àíàëîãè÷íî êîýôôèöèåíòó, ââåäåííîìó âûøå, îïðåäåëèì äëÿ êàæäîãî ó÷àñòíèêà âòîðîé êîýôôèöèåíò, ðàâíûé ñóììå êîýôôèöèåíòîâ ïîáåæäåííûõ èì ó÷àñòíèêîâ, òðåòèé êîýôôèöèåíò, ðàâíûé ñóììå èõ âòîðûõ êîýôôèöèåíòîâ, è òàê äàëåå. Çàäà÷à 24. Ïóñòü k-e êîýôôèöèåíòû âñåõ ó÷àñòíèêîâ äëÿ íåêîòîðîãî k îêàçàëèñü ðàâíû. Âåðíî ëè, ÷òî âñå ó÷àñòíèêè íàáðàëè ïîðîâíó î÷êîâ? Âîîáùå ãîâîðÿ, îòâåò íà âîïðîñ çàäà÷è îòðèöàòåëåí: åñëè 1-é ó÷àñòíèê âûèãðàë ó âñåõ, 2-é ó âñåõ, êðîìå 1-ãî, è ò.ä., òî âñå (n 1)-å êîýôôèöèåíòû ðàâíû íóëþ. Ïîïðîáóéòå äîêàçàòü, ÷òî ýòîò ïðèìåð åäèíñòâåííûé. Çàäà÷à 25. Áóäåì óïîðÿäî÷èâàòü ó÷àñòíèêîâ ïî èõ ïåðâûì, âòîðûì è ò.ä. êîýôôèöèåíòàì. Âåðíî ëè, ÷òî, íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî ìîìåíòà, ïîðÿäîê ó÷àñòíèêîâ ïåðåñòàíåò èçìåíÿòüñÿ?  íåêîòîðûõ êíèãàõ ïî ìåòîäó ïàðíûõ ñðàâíåíèé óòâåðæäàåòñÿ, ÷òî ýòîò ôàêò âåðåí. Îäíàêî ïðèâîäèìîå òàì äîêàçàòåëüñòâî, âî-ïåðâûõ, íå ýëåìåíòàðíî, à âî-âòîðûõ, ïðîõîäèò íå âî âñåõ ñëó÷àÿõ. Òî÷íûé îòâåò íà âîïðîñ çàäà÷è íàì íåèçâåñòåí.  òóðíèðàõ ñ íè÷üèìè ó÷èòûâàòü òîëüêî ðåçóëüòàòû ïîáåæäåííûõ äàííûì èãðîêîì ïðîòèâíèêîâ, î÷åâèäíî, íåëüçÿ. Ïîýòîìó äëÿ êàæäîãî ó÷àñòíèêà i òóðíèðà ïîäñ÷èòàåì åãî áåðãåðîâñêèé êîýôôèöèåíò Bi , êîòîðûé îïðåäåëÿåòñÿ ïî òàêîé ôîðìóëå: ñóììà î÷êîâ òåõ ó÷àñòíèêîâ, ó êîãî i âûèãðàë, ìèíóñ ñóììà î÷êîâ òåõ, êîìó îí ïðîèãðàë. Îòìåòèì, ÷òî â øàõìàòíûõ ñîðåâíîâàíèÿõ áåðãåðîâñêèé êîýôôèöèåíò ïðèìåíÿåòñÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ ìåñò òåõ ó÷àñòíèêîâ, êîòîðûå íàáðàëè ïîðîâíó î÷êîâ. Çàäà÷à 26 (À.Òîëïûãî). à) Ìîæåò ëè áûòü, ÷òî âñå Bi > 0 ? á) Ìîæåò ëè áûòü, ÷òî âñå Bi < 0 ? â) Èçâåñòíî, ÷òî Bi ³ 0 äëÿ âñåõ i. Âåðíî ëè, ÷òî Bi = 0 äëÿ âñåõ i? ã) Èçâåñòíî, ÷òî Bi £ 0 äëÿ âñåõ i. Âåðíî ëè, ÷òî Bi = 0 äëÿ âñåõ i? Óêàçàíèå ê ðåøåíèþ. Ïóíêòû a), á) ýòîé çàäà÷è ïðåäëàãàëèñü íà Ìîñêîâñêîé ìàòåìàòè÷åñêîé îëèìïèàäå 2001 ãîäà. Äëÿ èõ ðåøåíèÿ äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü ñóììó å si Bi , ãäå si ñóììà î÷êîâ i-ãî ó÷àñòíèêà. Îíà ñîñòîèò èç ñëàãàåìûõ âèäà si s j , ãäå ïàðòèÿ ìåæäó èãðîêàìè i è j íå çàâåðøèëàñü âíè÷üþ, ïðè÷åì êàæäîå òàêîå ïðîèçâåäåíèå âõîäèò â ñóììó îäèí ðàç ñ ïëþñîì è îäèí ðàç ñ ìèíóñîì. Ñëåäîâàòåëüíî, $ ÊÂÀÍT 2007/¹2 ñóììà ðàâíà íóëþ, è îòâåò íà âîïðîñû à), á) îòðèöàòåëüíûé. Áîëåå òîãî, èç ïðîâåäåííîãî ðàññóæäåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî îòâåò íà âîïðîñ â) ïîëîæèòåëüíûé. Íàïðîòèâ, â ïóíêòå ã) îòâåò îòðèöàòåëüíûé: åñëè îäèí èãðîê ïðîèãðàë âñå âñòðå÷è, à îñòàëüíûå ñûãðàëè ìåæäó ñîáîé âíè÷üþ, òî êîýôôèöèåíò ïîñëåäíåãî èãðîêà îòðèöàòåëåí, à âñå îñòàëüíûå ðàâíû íóëþ. Ïðîèãðàâøèé âûëåòàåò Êàê èçâåñòíî, êðóãîâûå òóðíèðû íå åäèíñòâåííàÿ ñóùåñòâóþùàÿ ôîðìà ñîðåâíîâàíèé.  ïðîòèâîïîëîæíîñòü èì, ïðè êóáêîâîé (îëèìïèéñêîé) ñèñòåìå ïðîèãðàâøèé «âûëåòàåò», è íè÷üè íåâîçìîæíû.  òàêèõ ñîðåâíîâàíèÿõ ðîëü ñëó÷àéíîñòè ãîðàçäî âûøå, íî çàòî áîðüáà ïðîòåêàåò îñòðåå. Åñëè êðóãîâîìó òóðíèðó îòâå÷àåò ïîëíûé ãðàô (âåðøèíû èãðîêè, ðåáðà ïîåäèíêè, ëþáûå äâå âåðøèíû ñîåäèíåíû ðåáðîì), òî ãðàô îëèìïèéñêîãî òóðíèðà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé áèíàðíîå äåðåâî (öèêëîâ íåò, è íà ïóòè, âåäóùåì îò âèñÿ÷åé âåðøèíû ê êîðíþ, â êàæäóþ ïðîìåæóòî÷íóþ âåðøèíó âõîäÿò äâà ðåáðà è âûõîäèò îäíî). Çàäà÷à 27. Òóðíèð ïî áîêñó ïðîõîäèë ïî îëèìïèéñêîé ñèñòåìå (â êàæäîì êðóãå ïðîèãðàâøèå âûáûâàþò, îòäûõàþùèõ íåò). Ñêîëüêî áîêñåðîâ ó÷àñòâîâàëî â òóðíèðå, åñëè ïî îêîí÷àíèè òóðíèðà âûÿñíèëîñü, ÷òî 32 ÷åëîâåêà âûèãðàëè áîåâ áîëüøå, ÷åì ïðîèãðàëè? Ðåøåíèå. Ïðè îëèìïèéñêîé ñèñòåìå áîëüøèíñòâî áîåâ âûèãðàíî ó òåõ è òîëüêî òåõ áîêñåðîâ, êîòîðûå âûøëè õîòÿ áû â òðåòèé òóð. Ó÷àñòíèêè òðåòüåãî òóðà ñîñòàâëÿþò ÷åòâåðòü îò îáùåãî ÷èñëà ó÷àñòíèêîâ. Ñëåäîâàòåëüíî, â òóðíèðå ó÷àñòâîâàëî 128 áîêñåðîâ. Èíòåðåñíî ñðàâíèòü ðåçóëüòàòû âîçìîæíûõ òóðíèðîâ ñ îäíèìè è òåìè æå ó÷àñòíèêàìè, íî ïðîâîäèìûõ ïî ðàçíûì ñèñòåìàì. Ïðèâåäåì äâå çàäà÷è íà ýòó òåìó (àâòîð Ê.Ôåëüäìàí, ñì. ñòàòüþ Á.Ôðåíêèíà «Æåðåáüåâêà äëÿ ÷åìïèîíà» â «Êâàíòå» ¹ 5 çà 2000 ãîä). ×òîáû âûäåëèòü òî, ÷òî çàâèñèò îò ôîðìû ïðîâåäåíèÿ, à íå îò èãðîêîâ, ïðèìåì «ïðåäïîëîæåíèå î ñòàáèëüíîé èãðå»: â êàæäîé ïàðå èãðîêîâ ïîáåäèòåëü âñåãäà îäèí è òîò æå. Íè÷üè â êðóãîâîì òóðíèðå ìåæäó òàêèìè èãðîêàìè èñêëþ÷åíû, ïîñêîëüêó èõ íå áûâàåò â êóáêîâîì òóðíèðå. Îäíàêî ìû äîïóñêàåì, ÷òî îäèí èãðîê âûèãðûâàåò ó äðóãîãî, äðóãîé ó òðåòüåãî, à ïðè ýòîì òðåòèé âûèãðûâàåò ó ïåðâîãî. Çàäà÷à 28. Ïðîøåë ÷åìïèîíàò ïî êðóãîâîé ñèñòåìå ñ ó÷àñòèåì 2N èãðîêîâ. Òåïåðü òåì æå ñïîðòñìåíàì ïðåäñòîèò ðàçûãðàòü êóáîê. Âûïîëíåíî ïðåäïîëîæåíèå î ñòàáèëüíîé èãðå. Äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóåò æåðåáüåâêà ðîçûãðûøà êóáêà, ïðè êîòîðîé ÷åìïèîí êðóãîâîãî òóðíèðà âûéäåò â ôèíàë. Ðåøåíèå. Çàíóìåðóåì èãðîêîâ ñëåäóþùèì îáðàçîì.  íà÷àëî ñïèñêà ïîñòàâèì òåõ, êòî ïîáåäèë ÷åìïèîíà, ò.å. «îïàñíûõ». Äàëåå ïðîèãðàâøèõ åìó, ò.å.«íåîïàñíûõ». Ïîñëåäíèé íîìåð äàäèì ÷åìïèîíó.  êàæäîì òóðå ðîçûãðûøà êóáêà ñîñòàâèì ïàðû ïî ïîðÿäêó íîìåðîâ. ×åìïèîí âûñòóïèë íå õóæå «ñðåäíåñòàòèñòè÷åñêîãî» ó÷àñòíèêà, êîòîðûé âûèãðàë ñòîëüêî æå, ñêîëüêî è ïðîèãðàë. Çíà÷èò, ÷èñëî «îïàñíûõ» íå áîëüøå ÷èñëà «íåîïàñíûõ» . Âñå «îïàñíûå» ïîïàäóò â ïåðâóþ ïîëîâèíó ñïèñêà, òîãäà êàê ÷åìïèîí âî âòîðóþ. Ïîýòîìó ÷åìïèîí íå âñòðåòèòñÿ ñ «îïàñíûì» èãðîêîì ðàíüøå ôèíàëà, ÷òî è òðåáîâàëîñü. Çàäà÷à 29.  óñëîâèÿõ ïðåäûäóùåé çàäà÷è äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóåò æåðåáüåâêà, ïðè êîòîðîé ÷åìïèîí êðóãîâîãî òóðíèðà ïîëó÷èò êóáîê. Ðåøåíèå. Êàæäûé èç «îïàñíûõ» (âûèãðûâàþùèõ ó ÷åìïèîíà) ïðîèãðàë â ÷åìïèîíàòå êîìó-òî èç «íåîïàñíûõ» (èíà÷å îí áû âûèãðàë áîëüøå ìàò÷åé, ÷åì ÷åìïèîí, ÷òî íåâîçìîæíî). Ñîñòàâèì ïåðâóþ ïàðó ðîçûãðûøà êóáêà èç «îïàñíîãî» è òàêîãî «íåîïàñíîãî», êîòîðîìó îí ïðîèãðàë. Ñëåäóþùèå ïàðû ñîñòàâëÿåì òàêèì æå îáðàçîì, ïîêà ýòî âîçìîæíî. Äîïóñòèì, îñòàëèñü «îïàñíûå», êîòîðûõ íåëüçÿ âêëþ÷èòü â òàêèå ïàðû (îíè ïðîèãðàëè â ÷åìïèîíàòå òåì «íåîïàñíûì», êîòîðûå óæå âîøëè â ïðåäûäóùèå ïàðû). Òîãäà ïóñòü ýòè «îïàñíûå» èãðàþò ìåæäó ñîáîé. Åñëè îäèí èç íèõ îñòàíåòñÿ áåç ïàðû, òî ïîñòóïèì ñëåäóþùèì îáðàçîì. Îáùåå ÷èñëî «îïàñíûõ» íå áîëüøå ÷èñëà «íåîïàñíûõ» (ïîñêîëüêó ÷åìïèîí âûñòóïèë íå õóæå «ñðåäíåñòàòèñòè÷åñêîãî» èãðîêà, êîòîðûé âûèãðàë è ïðîèãðàë ïîðîâíó).  ñîñòàâëåííûõ ïàðàõ íå áîëüøå «íåîïàñíûõ» èãðîêîâ, ÷åì «îïàñíûõ», è åùå îäèí «îïàñíûé» îñòàëñÿ áåç ïàðû. Çíà÷èò, êòî-òî èç «íåîïàñíûõ» íå áûë åùå âêëþ÷åí â ïàðó ïóñòü ñ íèì è èãðàåò îñòàâøèéñÿ «îïàñíûé». Îñòàëüíûå èãðîêè îáúåäèíÿþòñÿ â ïàðû ïðîèçâîëüíî. ×åìïèîí âûéäåò â ñëåäóþùèé òóð, ïîñêîëüêó èãðàåò ñ «íåîïàñíûì». Åñëè â îñòàëüíûõ òóðàõ ïàðû ñòðîÿòñÿ ïî òîìó æå ïðàâèëó, òî ÷åìïèîí ïîëó÷èò êóáîê. Ýòî çàâåäîìî âîçìîæíî, åñëè â êàæäîì òóðå «îïàñíûå» ñîñòàâëÿþò ìåíåå ïîëîâèíû ó÷àñòíèêîâ. Äîïóñòèì, ÷òî âïëîòü äî íåêîòîðîãî òóðà ìû îáåñïå÷èëè âûïîëíåíèå ýòîãî óñëîâèÿ. Ïîêàæåì, ÷òî è â ñëåäóþùåì òóðå ìîæíî ýòîãî äîáèòüñÿ. Ïîñêîëüêó â ñëåäóþùèé òóð âûõîäèò ïîëîâèíà ó÷àñòíèêîâ ïðåäûäóùåãî, òî äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî îòñåèâàåòñÿ íå ìåíüøå ïîëîâèíû «îïàñíûõ». Íî â ìàò÷àõ ìåæäó íèìè âûáûâàåò êàæäûé âòîðîé ó÷àñòíèê. Òîëüêî îäèí «îïàñíûé» ìîæåò âûèãðàòü ó «íåîïàñíîãî». Ïîýòîìó äîñòàòî÷íî, ÷òîáû â òîì æå òóðå õîòÿ áû îäèí «îïàñíûé» ïðîèãðàë «íåîïàñíîìó». Êàê ìû âèäåëè, â ïåðâîì òóðå ýòî âûïîëíåíî.  ïîñëåäóþùèå òóðû âûõîäèëè òîëüêî òàêèå «îïàñíûå», êîòîðûå ïðîèãðûâàþò êîìó-òî èç «íåîïàñíûõ», òàêæå âûøåäøèõ â ýòîò òóð. È ïåðâàÿ æå ïàðà ñîñòàâëÿëàñü èç «îïàñíîãî» è òàêîãî «íåîïàñíîãî», êîòîðîìó îí ïðîèãðûâàåò. Íàøå óòâåðæäåíèå äîêàçàíî.  çàêëþ÷åíèå ýòîãî ïàðàãðàôà ïðèâåäåì çàäà÷ó, â êîòîðîé ðàññìàòðèâàåòñÿ åùå îäíà ôîðìà ñîðåâíîâàíèé èãðà íà âûëåò. Íåñìîòðÿ íà ïðîñòîòó ôîðìóëèðîâêè è ðåøåíèÿ, çàäà÷à îêàçàëàñü òðóäíîé äëÿ ó÷àñòíèêîâ îòáîðà íà Ðîññèéñêóþ îëèìïèàäó 1998 ãîäà. Çàäà÷à 30. Ãðóïïà øêîëüíèêîâ èãðàåò â ïèíã-ïîíã íà âûëåò. Îíè óñòàíîâèëè î÷åðåäü, âíà÷àëå èãðàþò ïåðâûé è âòîðîé, à â äàëüíåéøåì êàæäûé î÷åðåäíîé ó÷àñòíèê èãðàåò ñ ïîáåäèòåëåì ïðåäûäóùåé ïàðû. Íà ñëåäóþùèé äåíü òå æå øêîëüíèêè ñíîâà èãðàþò íà âûëåò, íî î÷åðåäü èäåò â îáðàòíóþ ñòîðîíó îò ïîñëåäíåãî ê ïåðâîìó. Äîêàæèòå, ÷òî íàéäóòñÿ äâà øêîëüíèêà, êîòîðûå èãðàëè ìåæäó ñîáîé è â ïåðâûé äåíü, è âî âòîðîé. Ðåøåíèå. Ñîïåðíèê ïîñëåäíåãî èãðîêà â ïåðâûé äåíü èãðàåò ñî âñåìè, êòî ñòîèò ïîçæå íåãî â î÷åðåäè. Ñ îäíèì èç íèõ îí èãðàåò ñâîþ ïåðâóþ ïàðòèþ âî âòîðîé äåíü. Åùå íåñêîëüêî çàäà÷  ïðèâåäåííûõ íèæå çàäà÷àõ, êàê ïðàâèëî, òðåáóåòñÿ âûÿñíèòü, ìîæíî ëè âûáðàòü èç äàííîãî òóðíèðà ïîäìíîæåñòâî èãðîêîâ, îáëàäàþùåå íåêîòîðûì ñâîéñòâîì. ×àñòü ýòèõ çàäà÷ íå ðåøåíû. Çàäà÷à 31. à) Äîêàæèòå, ÷òî â òóðíèðå áåç íè÷üèõ èç n ó÷àñòíèêîâ ìîæíî çàíóìåðîâàòü èõ òàê, ÷òî 1-é âûèãðàë ó 2-ãî, 2-é ó 3-ãî,..., (n 1)-é ó n-ãî è 1-é ó n-ãî. á) Äîêàæèòå, ÷òî â òóðíèðå áåç íè÷üèõ ëèáî ñóùåñòâóåò öèêë, âêëþ÷àþùèé âñåõ ó÷àñòíèêîâ, ëèáî ìîæíî ðàçáèòü ó÷àñòíèêîâ íà äâå ãðóïïû òàê, ÷òî ëþáîé èãðîê èç ïåðâîé ãðóïïû ïîáåäèë ëþáîãî èç âòîðîé. Çàäà÷à 32.  êðóãîâîì òóðíèðå ñ 2 N ó÷àñòíèêàìè íå áûëî íè÷üèõ. Äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóåò öåïî÷êà èç N + 1 ó÷àñòíèêà, êàæäûé èç êîòîðûõ ïîáåäèë âñåõ ïîñëåäóþùèõ. ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ Óòâåðæäåíèå çàäà÷è ëåãêî äîêàçàòü ïî èíäóêöèè. Îäíàêî âîïðîñ î òîì, íàñêîëüêî ìîæíî óìåíüøèòü ÷èñëî 2N , çíà÷èòåëüíî ñëîæíåå. Ìîæíî ïðèâåñòè ïðèìåð òóðíèðà 7 ó÷àñòíèêîâ, íèêàêèå 4 èç êîòîðûõ íå îáðàçóþò òðàíçèòèâíîãî ïîäòóðíèðà. Íî â ëþáîì òóðíèðå ñ 15 ó÷àñòíèêàìè íàéäóòñÿ 5, êàæäûé èç êîòîðûõ ïîáåäèë âñåõ ïîñëåäóþùèõ. Ïðè êàêîì ìàêñèìàëüíîì ÷èñëå ó÷àñòíèêîâ ñóùåñòâóåò òóðíèð áåç òàêèõ öåïî÷åê äëèíû k, íåèçâåñòíî. Çàäà÷à 33.  êðóãîâîì òóðíèðå ó÷àñòâîâàëè n ñïîðòñìåíîâ, èìåâøèõ íîìåðà îò 1 äî n. Ó÷àñòíèê ñ íîìåðîì 1 ñäåëàë 1 íè÷üþ, ñ íîìåðîì 2 ñäåëàë 2 íè÷üèõ, ..., ó÷àñòíèê ñ íîìåðîì n 1 ñäåëàë n 1 íè÷üþ. Ñêîëüêî íè÷üèõ ñäåëàë ó÷àñòíèê ñ íîìåðîì n? Îòâåò. [n/2]. Ðåøåíèå. Ó÷àñòíèê ñ íîìåðîì n 1 ñûãðàë âíè÷üþ ñî âñåìè îñòàëüíûìè ñïîðòñìåíàìè. Òàê êàê 1-é ñäåëàë ëèøü îäíó íè÷üþ, òî îí íå ñûãðàë âíè÷üþ íè ñ êåì, êðîìå (n 1)-ãî. Ó÷àñòíèê n 2 íå ñäåëàë íè÷üþ ëèøü ñ îäíèì ñïîðòñìåíîì, è ïî äîêàçàííîìó ýòî 1-é. Çíà÷èò, 2-é ñûãðàë âíè÷üþ è ñ (ï 1)-ì, è ñ (n 2)-ì (åñëè òîëüêî îí íå ñîâïàäàåò ñ îäíèì èç íèõ, ò.å. åñëè n > 4; ñëó÷àé ìàëûõ ï ëåãêî ðàçáèðàåòñÿ, è îòâåò áóäåò àíàëîãè÷íûì). Òàê êàê ó 2-ãî ó÷àñòíèêà âñåãî 2 íè÷üè, òî áîëüøå îí íè ñ êåì íå ñûãðàë âíè÷üþ. Èç ñêàçàííîãî âèäíî, ÷òî (ï 1)-é è (n 2)-é ó÷àñòíèêè ñäåëàëè íè÷üþ ñ n-ì, à 2-é íå ñäåëàë. Ïðîäîëæàÿ â òîì æå äóõå, ïîëó÷àåì, ÷òî ïðè i £ n - 1 2 ó÷àñòíèê i ñûãðàë âíè÷üþ ñ ó÷àñòíèêàìè n 1,..., n i, à ó÷àñòíèê n i ñûãðàë âíè÷üþ ñ ó÷àñòíèêàìè îò i äî n (ðàçóìååòñÿ, íå ñ÷èòàÿ ñåáÿ). Ýòèì ðåøåíà çàäà÷à äëÿ íå÷åòíîãî n: ñ n-ì ó÷àñòíèêîì ñäåëàëè íè÷üè (ï 1)/2 = % ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ = [n/2] ñïîðòñìåíîâ. Ïðè ÷åòíîì n îñòàëîñü ðàññìîòðåòü ó÷àñòíèêà n/2.  ñèëó ñêàçàííîãî âûøå, ìåíüøèå íîìåðà íå ñäåëàëè ñ íèì íè÷üèõ. Òàê êàê âñåãî îí ñäåëàë n/2 íè÷üèõ, òî îí ñûãðàë âíè÷üþ ñî âñåìè ïîñëåäóþùèìè íîìåðàìè, âêëþ÷àÿ n. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ó÷àñòíèê n ñäåëàë n/2 = [n/2] íè÷üèõ. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî òóðíèð îáëàäàåò ñâîéñòâîì Pk , åñëè äëÿ ëþáûõ k ó÷àñòíèêîâ íàéäåòñÿ ó÷àñòíèê, ïîáåäèâøèé èõ âñåõ. Çàäà÷à 34 (À.Òîëïûãî). à) Äîêàæèòå, ÷òî åñëè â ëþáîì òóðíèðå, îáëàäàþùåì ñâîéñòâîì Pk , ó÷àñòâóþò íå ìåíåå ï èãðîêîâ, òî â ëþáîì òóðíèðå, îáëàäàþùåì ñâîéñòâîì Pk +1 , ó÷àñòâóþò íå ìåíåå 2n + 1 èãðîêîâ. á) Ïðè êàêîì íàèìåíüøåì ï ñóùåñòâóåò òóðíèð n èãðîêîâ ñî ñâîéñòâîì P2 ? (Îòâåò. n = 7.) â) Ïîñòðîéòå òóðíèð 19 èãðîêîâ ñî ñâîéñòâîì P3 . (Îòâåò. Çàíóìåðóåì èãðîêîâ ÷èñëàìè îò 0 äî 18, è ïóñòü èãðîê i âûèãðûâàåò ó èãðîêà j òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà i - j º l 2 mod 19 .) ã) Äîêàæèòå, ÷òî òóðíèðû ñî ñâîéñòâîì Pk ñóùåñòâóþò äëÿ ëþáîãî k. (Óêàçàíèå. Îöåíèòå âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â òóðíèðå n ó÷àñòíèêîâ äàííûå k íå èìåþò îáùåãî ïîáåäèòåëÿ.) Îòâåò íà âîïðîñ, ïðè êàêîì ìèíèìàëüíîì n ñóùåñòâóåò òóðíèð n ó÷àñòíèêîâ ñî ñâîéñòâîì Pk , íåèçâåñòåí äàæå ïðè k = 3. Èç ïóíêòîâ à), á), î÷åâèäíî, ñëåäóåò, ÷òî n ³ 15 , à èç ïóíêòà â) ÷òî n £ 19 . Äëÿ áîëüøèõ çíà÷åíèé k íåèçâåñòíû äàæå ïðèáëèçèòåëüíûå îöåíêè. ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ Ýíåðãåòè÷åñêèé ìåòîä èññëåäîâàíèÿ êîëåáàíèé À.×ÅÐÍÎÓÖÀÍ Î ÄÍÀ ÈÇ ÂÀÆÍÛÕ ÇÀÄÀ× ÒÅÎÐÈÈ ÊÎËÅÁÀÍÈÉ ÍÀÉ- òè ïåðèîä ìàëûõ êîëåáàíèé ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû îêîëî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ.  øêîëüíîì êóðñå ôèçèêè êîëè÷åñòâåííî ðàññìàòðèâàþòñÿ êîëåáàíèÿ ñèñòåì òîëüêî ñ îäíîé ñòåïåíüþ ñâîáîäû (ïîëîæåíèå êîòîðûõ çàäàåòñÿ îäíèì ïàðàìåòðîì ñìåùåíèåì, óãëîì îòêëîíåíèÿ è ò.ä.) è ïðîèñõîäÿùèå áåç ïîòåðü ýíåðãèè. Ïðîñòåéøèå ïðèìåðû òàêèõ ñèñòåì ãðóç íà ïðóæèíå è ìàòåìàòè÷åñêèé ìàÿòíèê. Îáû÷íî êîëåáàíèÿ òàêèõ ñèñòåì èçó÷àþòñÿ äèíàìè÷åñêèì ìåòîäîì. Ýòîò ìåòîä ñîñòîèò â ïðèâåäåíèè óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ñèñòåìû (âòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà) ê âèäó, ñîîòâåòñòâó- þùåìó óðàâíåíèþ ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé x ¢¢ + ω2 x = 0 , (1) ãäå x¢¢ âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ îò ïàðàìåòðà x ïî âðåìåíè. Îäíàêî â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ øêîëüíèêó îêàçûâàåòñÿ ñëîæíî çàïèñàòü óðàâíåíèå äâèæåíèÿ. Ýòî îòíîñèòñÿ â ïåðâóþ î÷åðåäü ê ñèñòåìàì ñ ðàñïðåäåëåííîé ìàññîé. Íàïðèìåð, äëÿ ïîëó÷åíèÿ óðàâíåíèÿ êîëåáàíèé ïðîòÿæåííîãî òâåðäîãî òåëà ôèçè÷åñêîãî ìàÿòíèêà íóæíî çàïèñàòü óðàâíåíèå äèíàìèêè âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ, íî åãî â øêîëå íå èçó÷àþò. È òóò, êàê âñåãäà, íà ïîìîùü ïðèõîäèò çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè, êîòîðûé ïîçâîëÿåò ñóùåñòâåííî ðàñøèðèòü êðóã çàäà÷, äîñòóïíûõ äëÿ ðåøåíèÿ øêîëüíûìè ìåòîäàìè.  ÷åì æå çàêëþ÷àåòñÿ ýíåðãåòè÷åñêèé ìåòîä èññëåäîâàíèÿ êîëåáàíèé? Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî îí ñîñòîèò â ñîïîñòàâëåíèè ýíåðãèè êîëåáàòåëüíîé ñèñòåìû ñ ýíåðãèåé ïðîñòåéøåãî ìàÿòíèêà ãðóçà ìàññîé m íà ïðóæèíå æåñòêîñòüþ k. Åñëè âûðàæåíèå äëÿ ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè ñèñòåìû, îòêëîíåíèå êîòîðîé îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ïàðàìåòðîì x, óäàëîñü ïðèâåñòè ê âèäó mýô x ¢2 kýô x2 , (2) + E= 2 2 òî ñèñòåìà ñîâåðøàåò ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ x = A cos ωt + ϕ0 , öèêëè÷åñêàÿ ÷àñòîòà êîòîðûõ ðàâíà ω= kýô mýô . (3)
