Математическое ожидание и дисперсия дискретных случайных

11. Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèÿ äèñêðåòíûõ ñëó÷àéíûõ
âåëè÷èí
11.1. Ïðåäâàðèòåëüíûå ñâåäåíèÿ
Ïóñòü ðàñïðåäåëåíèå äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ èìååò âèä: Pξ
Ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ íàçûâàåòñÿ ÷èñëî
Eξ =
X
...
...
x1
p1
xn
pn
...
...
xi pi
i
ïðè óñëîâèè, ÷òî ðÿä ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî, èíà÷å Eξ íå ñóùåñòâóåò.
Äèñïåðñèåé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ íàçûâàåòñÿ ÷èñëî
Var ξ = E(ξ − Eξ)2 = Eξ 2 − (Eξ)2 =
X
i
x2i pi −
X
xi pi
2
i
ïðè óñëîâèè, ÷òî ðÿäû ñõîäÿòñÿ àáñîëþòíî, èíà÷å Var ξ íå ñóùåñòâóåò.
Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ôóíêöèè g îò ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ðàâíî Eg(ξ) = P g(xi )pi .
i
11.2. Ïðàêòè÷åñêîå çàíÿòèå
Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò ðàñïðåäåëåíèå, çàäàâàåìîå ôîðìóëàìè P(ξ = k) = c/kα , k = 1, 2, . . .,
c, α > 0. Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ α âåëè÷èíà ξ èìååò:
à) êîíå÷íîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå;
á) êîíå÷íóþ äèñïåðñèþ?
à) α > 2; á) α > 3.
Áðîøåíû äâå èãðàëüíûå êîñòè. Íàéòè ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñóììû âûïàâøèõ î÷êîâ. Êàê èçìåíèòñÿ îòâåò, åñëè èçâåñòíî, ÷òî âûïàëè ðàçíûå ãðàíè?
7. Íèêàê.
Ïóñòü ξ íåîòðèöàòåëüíàÿ
öåëî÷èñëåííàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ñ êîíå÷íûì ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäà∞
P
íèåì. Äîêàçàòü, ÷òî Eξ = P(ξ ≥ i).
i=1
Áîëüøîå ÷èñëî N ëþäåé ñäàþò àíàëèç êðîâè. Èññëåäîâàíèå ìîæåò áûòü îðãàíèçîâàíî äâóìÿ ñïîñîáàìè.
1) Êðîâü êàæäîãî ÷åëîâåêà èññëåäóåòñÿ îòäåëüíî. Òðåáóåòñÿ ïðîâåñòè N àíàëèçîâ.
2) Êðîâü k ÷åëîâåê ñìåøèâàåòñÿ è àíàëèçèðóåòñÿ ïîëó÷åííàÿ ñìåñü. Åñëè ðåçóëüòàò îòðèöàòåëåí, òî
äîñòàòî÷íî îäíîãî àíàëèçà äëÿ ýòèõ k ÷åëîâåê. Åñëè ðåçóëüòàò ïîëîæèòåëåí, òî êðîâü êàæäîãî
èññëåäóåòñÿ îòäåëüíî, è âñåãî íóæíî ïðîâåñòè k + 1 àíàëèç.
Ñ÷èòàÿ, ÷òî âåðîÿòíîñòü ïîëîæèòåëüíîãî ðåçóëüòàòà ðàâíà p, íàéòè:
à) âåðîÿòíîñòü ïîëîæèòåëüíîãî ðåçóëüòàòà â ãðóïïå èç k ÷åëîâåê;
á) ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ÷èñëà àíàëèçîâ ïðè âòîðîì ñïîñîáå èññëåäîâàíèÿ;
1.
Îòâåò.
2.
Îòâåò.
3.
4.
1
â) äëÿ p = 0.05 îïðåäåëèòü îïòèìàëüíîå çíà÷åíèå k.
à) 1 − (1 − p)k ; á) N (1 + k1 − (1 − p)k ); â) 5.
Ñîãëàñíî çàêîíàì î òðóäîóñòðîéñòâå â ãîðîäå N, íàíèìàòåëè îáÿçàíû ïðåäîñòàâëÿòü âñåì ðàáî÷èì
âûõîäíîé, åñëè õîòÿ áû ó îäíîãî èç íèõ äåíü ðîæäåíèÿ, è ïðèíèìàòü íà ðàáîòó íåçàâèñèìî îò äíÿ
ðîæäåíèÿ. Çà èñêëþ÷åíèåì ýòèõ âûõîäíûõ, ðàáî÷èå òðóäÿòñÿ âåñü ãîä èç 365 äíåé. Íàíèìàòåëü õî÷åò
ìàêñèìèçèðîâàòü ñðåäíåå ÷èñëî ÷åëîâåêî-äíåé â ãîäó. Ñêîëüêî äëÿ ýòîãî íóæíî íàíÿòü ðàáî÷èõ? Íàéòè
òàêæå ñðåäíåå ÷èñëî âûõîäíûõ äíåé â ãîäó â ýòîì ñëó÷àå.
364 ÷åëîâåêà, ≈ 231 âûõîäíîé äåíü.
Ïóñòü wn ÷èñëî âûõîäíûõ äíåé â ãîäó, åñëè íàíÿòî n ðàáî÷èõ. Íàéòè Ewn , íàïðèìåð,
ïðåäñòàâèâ wn â âèäå ñóììû èíäèêàòîðîâ.
Îòâåò.
5.
Îòâåò.
Óêàçàíèå.
11.3. Äîìàøíåå çàäàíèå
4
, k = 1, 2, . . ..
Ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëàìè P(ξ = k) = k(k+1)(k+2)
Íàéòè Eξ è Var ξ.
Eξ = 2, Var ξ = ∞.
Ïðè áðîñàíèè òðåõ èãðàëüíûõ êîñòåé èãðîê âûèãðûâàåò
• 1800 ó. å., åñëè íà âñåõ òðåõ êîñòÿõ âûïàäàåò ïî 6 î÷êîâ;
• 140 ó. å., åñëè íà äâóõ êîñòÿõ âûïàäàåò ïî 6 î÷êîâ;
• 20 ó. å., åñëè òîëüêî íà îäíîé êîñòè âûïàäàåò 6 î÷êîâ.
Êàêîâà äîëæíà áûòü ñòàâêà çà ó÷àñòèå â ýòîé èãðå, ÷òîáû îíà áûëà áåçîáèäíîé? (Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå âûèãðûøà â áåçîáèäíîé èãðå ðàâíî íóëþ.)
25 ó. å.
Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ ïðèíèìàåò êîíå÷íîå√ ÷èñëî çíà÷åíèé 0 < x1 < . . . < xm ñ íåíóëåâûìè âåðîÿòíîñòÿìè. Âû÷èñëèòü ïðåäåëû n→∞
lim EξEξ , lim
Eξ n .
n→∞
 îäíîé èç âåðøèí òåòðàýäðà ñèäèò ïàóê. Ìóõà ïîëçàåò ïî ðåáðàì òåòðàýäðà èç îäíîé âåðøèíû â
äðóãóþ, âûáèðàÿ êàæäûé ðàç ðåáðî íàóäà÷ó. Ñ÷èòàÿ, ÷òî ðåáðî ïðîõîäèòñÿ çà åäèíèöó âðåìåíè, íàéòè
ñðåäíåå è äèñïåðñèþ âðåìåíè æèçíè ìóõè.
3 è 6.
6.
Îòâåò.
7.
Îòâåò.
8.
n+1
n
n
9.
Îòâåò.
2