Ëåêöèÿ 8

Ëåêöèÿ 8
Òåìà
Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè
Ñîäåðæàíèå òåìû
Çàäà÷à ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè
Íàó÷íûå ïðåäïîñûëêè ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè
Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè
Îñíîâíûå õàðàêòåðèñòèêè âûáîðîê
Îñíîâíûå êàòåãîðèè
âûáîðêà, âàðèàöèîííûé ðÿä, ìåäèàíà, ìîäà
âàðèàíòû, ñòàòèñòè÷åñêèé ðÿä, ÷àñòîòû, ÷àñòîñòè, ïîëèãîí
âûáîðî÷íîå ñðåäíåå, ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå,
âûáîðî÷íàÿ äèñïåðñèÿ, íåñìåùåííàÿ îöåíêà.
Ì.Ï. Õàðëàìîâ
http://inter.vags.ru/hmp
ÒÂ è ÌÑ. Ëåêöèÿ 8
Ðàçëè÷íûå çíà÷åíèÿ òåðìèíà ¾ñòàòèñòèêà¿
Ñòàòèñòèêà ñåìåéñòâî äèñöèïëèí, èçó÷àþùèõ îáúåì íàêîïëåííûõ
äàííûõ â îïðåäåëåííîé îòðàñëè è ïðèåìû èõ îáðàáîòêè (ñîöèàëüíàÿ
ñòàòèñòèêà, ôèíàíñîâàÿ ñòàòèñòèêà, ýêîíîìè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà,
ñòàòèñòèêà îòðàñëåé íàðîäíîãî õîçÿéñòâà, ñòàòèñòèêà ïðåñòóïëåíèé
è ò.ï.).
Ñòàòèñòèêà ïðîöåññ ñáîðà îò÷åòíîé èíôîðìàöèè îá îïðåäåëåííîì
íàáîðå ïîêàçàòåëåé ïî îïðåäåëåííîìó âîïðîñó.
Ñòàòèñòèêà, èëè ñòàòèñòè÷åñêàÿ èíôîðìàöèÿ ÷èñëîâàÿ è
ñòðóêòóðèðîâàííàÿ èíôîðìàöèÿ î íåêîòîðûõ îáúåêòàõ èëè ïðîöåññàõ.
Ñòðóêòóðèðîâàííîñòü ïðåäïîëàãàåò, ÷òî ÷åòêî îïðåäåëåí íàáîð
÷èñëîâûõ ïðèçíàêîâ, çíà÷åíèÿ êîòîðîãî ñîáðàíû ïî ìíîæåñòâó
îäíîðîäíûõ îáúåêòîâ èëè ïðîöåññîâ.
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà íàóêà îá îáîñíîâàííûõ ñïîñîáàõ
îáðàáîòêè ñòàòèñòè÷åñêîé èíôîðìàöèè. Îáåñïå÷èâàåò îòðàñëåâûå
ñìåæíûå äèñöèïëèíû íàó÷íûì òåîðåòè÷åñêèì ôóíäàìåíòîì.
Ì.Ï. Õàðëàìîâ
http://inter.vags.ru/hmp
ÒÂ è ÌÑ. Ëåêöèÿ 8
Ïðåäïîñûëêè ÌÑ ¾ïðåäåëüíûå òåîðåìû¿
Íåòî÷íûå, ãèïîòåòè÷åñêèå óòâåðæäåíèÿ:
Ïåðâàÿ èäåÿ ïðè áîëüøîì êîëè÷åñòâå ýêñïåðèìåíòîâ ñðåäíÿÿ âåëè÷èíà
èçìåðåííîãî ïðèçíàêà ñòðåìèòñÿ ê åãî ìàòåìàòè÷åñêîìó îæèäàíèþ.
Âòîðàÿ èäåÿ ïðè áîëüøîì êîëè÷åñòâå ýêñïåðèìåíòîâ ëþáîé èçìåðåííûé
ïðèçíàê ¾â ñðåäíåì¿ ïîä÷èíÿåòñÿ íîðìàëüíîìó çàêîíó (Ãàóññà).
Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííîé
ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû çàêîí Ãàóññà N (µ, σ) ñ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì
µ è äèñïåðñèåé σ 2 èìååò âèä
Íàïîìèíàíèå.
f (x) =
(x−µ)2
1
√ e− 2σ2 .
σ 2π
Îïðåäåëåíèå. Ñòàíäàðòíîé íîðìàëüíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé íàçûâàåòñÿ
ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, ðàñïðåäåëåííàÿ ïî çàêîíó N (0, 1), òî åñòü ñ
ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ è õàðàêòåðèñòèêàìè
x2
1
f (x) = √ e− 2 ,
2π
Ì.Ï. Õàðëàìîâ
M (X) = 0,
http://inter.vags.ru/hmp
D(X) = 1,
ÒÂ è ÌÑ. Ëåêöèÿ 8
σ(X) = 1.
Ïåðâûå ïðåäïîñûëêè òåîðåìû Áåðíóëëè è ×åáûøåâà
Òåîðåìà Áåðíóëëè. Â ñõåìå Áåðíóëëè ñ âåðîÿòíîñòüþ óñïåõà
p îòíîñèòåëüíàÿ ÷àñòîòà óñïåõà â n èñïûòàíèÿõ ñòðåìèòñÿ ¾ïî
âåðîÿòíîñòè¿ ê p ïðè íåîãðàíè÷åííîì óâåëè÷åíèè ÷èñëà èñïûòàíèé,
òî åñòü äëÿ ëþáîãî ñêîëü óãîäíî ìàëîãî ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà ε è
êîëè÷åñòâà óñïåõîâ k
lim P {|
n→∞
k
− p| 6 ε} = 1.
n
Òåîðåìà ×åáûøåâà. Ïóñòü X1 , X2 , . . . , Xn , . . . îäèíàêîâî
ðàñïðåäåëåííûå íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ñ ìàòåìàòè÷åñêèì
îæèäàíèåì a. Ïóñòü Yn îáîçíà÷àåò ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå ïåðâûõ
n âåëè÷èí
X1 + . . . + Xn
Yn =
.
n
Òîãäà äëÿ ëþáîãî ñêîëü óãîäíî ìàëîãî ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà ε
lim P {|Yn − a| > ε} = 0.
n→∞
Ýòî îäíà èç ôîðìóëèðîâîê
Ì.Ï. Õàðëàìîâ
Çàêîíà Áîëüøèõ ×èñåë.
http://inter.vags.ru/hmp
ÒÂ è ÌÑ. Ëåêöèÿ 8
Äàëüíåéøèå ïðåäïîñûëêè ¾ïðåäåëüíûå òåîðåìû¿
Òåîðåìà
ÌóàâðàËàïëàñà. Ðàññìîòðèì ñõåìó Áåðíóëëè ñ
ôèêñèðîâàííîé âåðîÿòíîñòüþ óñïåõà p. Ïóñòü X áèíîìèàëüíàÿ
ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà êîëè÷åñòâî óñïåõîâ â n èñïûòàíèÿõ, à ÷åðåç
q = 1−p îáîçíà÷åíà âåðîÿòíîñòü íåóäà÷è. Åñëè êîëè÷åñòâî èñïûòàíèé
n ñòðåìèòñÿ ê ∞, òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà
X − np
Z= √
npq
ñòðåìèòñÿ ê ñòàíäàðòíîìó íîðìàëüíîìó çàêîíó N (0, 1).
Öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà (Ëÿïóíîâ è ïîñëåäîâàòåëè).
Ïóñòü X1 , . . . , Xn , . . . ïðîèçâîëüíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, îäèíàêîâî
ðàñïðåäåëåííûå è M (Xi ) = a, σ(Xi ) = σ . Òîãäà çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ
¾ñðåäíåé è íîðìàëèçîâàííîé¿ âåëè÷èíû
Yn =
X1 +...+Xn
n
√
σ/ n
−a
.
ñòðåìèòñÿ ê íîðìàëüíîìó çàêîíó N (0, 1) ïðè n → ∞.
Ì.Ï. Õàðëàìîâ
http://inter.vags.ru/hmp
ÒÂ è ÌÑ. Ëåêöèÿ 8
Ïðèìåð
Çàäà÷à äëÿ ñòðàõîâîé êîìïàíèè
 îïðåäåëåííîì ðåãèîíå ñðåäíÿÿ ïðîäîëæèòåëüíîñòü æèçíè
ñîñòàâëÿåò 60 ëåò, ñðåäíåêâàäðàòè÷íîå îòêëîíåíèå 15 ëåò.
Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñðåäíÿÿ ïðîäîëæèòåëüíîñòü æèçíè 100
ñëó÷àéíî âûáðàííûõ æèòåëåé áóäåò îò 60 äî 63 ëåò?
Íàáðîñîê ðåøåíèÿ
X ÑÂ, âûðàæàþùàÿ ïðîäîëæèòåëüíîñòü æèçíè. Òîãäà ïî èñõîäíûì
äàííûì: a = M (X) = 60, σ = σ(X) = 15. Âûáðàëè n = 100 ÷åëîâåê
è âû÷èñëèëè ñðåäíåå
Z=
1
(X1 + X2 + ... + X100 ).
100
Ïî ÖÏÒ ýòó âåëè÷èíó ìîæíî ñ÷èòàòü íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííîé
ñ ìàòåìàòè÷åñêèì
√ îæèäàíèåì a = 60 è ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèì
îòêëîíåíèåì σ/ n = 1.5. Âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî 60 6 Z 6 63 òåïåðü
ìîæíî íàéòè ïî ïðàâèëó òðåõ ñèãì.
Ì.Ï. Õàðëàìîâ
http://inter.vags.ru/hmp
ÒÂ è ÌÑ. Ëåêöèÿ 8
Íà÷àëà ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè
Ïðåäïîëîæåíèå. Âûáðàí è èçìåðÿåòñÿ â ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
ýêñïåðèìåíòîâ íåêîòîðûé ÷èñëîâîé ïðèçíàê (ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà) X .
Ãåíåðàëüíàÿ ñîâîêóïíîñòü âñå âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ
ïðèçíàêà â ðåçóëüòàòå âñåõ âîçìîæíûõ ìûñëèìûõ ýêñïåðèìåíòîâ.
Îïðåäåëåíèå.
Êàê ïðàâèëî, ãåíåðàëüíàÿ ñîâîêóïíîñòü íàì íåäîñòóïíà, à åñëè è
ìîæåò áûòü óêàçàíà, òî òîëüêî òåîðåòè÷åñêè.
Âûáîðêà ïîëíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü çíà÷åíèé
ïðèçíàêà, ïîëó÷åííàÿ â ðåçóëüòàòå âñåõ ýêñïåðèìåíòîâ. Îáúåì
âûáîðêè êîëè÷åñòâî ïîëó÷åííûõ çíà÷åíèé ïðèçíàêà (â òîì ÷èñëå
è ïîâòîðÿþùèõñÿ) â ðåçóëüòàòå âñåõ ýêñïåðèìåíòîâ (ôàêòè÷åñêè êîëè÷åñòâî ýêñïåðèìåíòîâ).
Îïðåäåëåíèå.
Ì.Ï. Õàðëàìîâ
http://inter.vags.ru/hmp
ÒÂ è ÌÑ. Ëåêöèÿ 8
Âàæíîå ïîíÿòèå ðåïðåçåíòàòèâíîñòü âûáîðêè
Îïðåäåëåíèå.
Âûáîðêà
íàçûâàåòñÿ
ðåïðåçåíòàòèâíîé
(ïðåäñòàâèòåëüíîé), åñëè îíà ñîñòàâëåíà òàê, ÷òî ÿâëÿåòñÿ
äîñòàòî÷íîé äëÿ íàäåæíûõ âûâîäîâ î âñåé ãåíåðàëüíîé
ñîâîêóïíîñòè.
Ïî÷òè íåâîçìîæíî äîêàçàòü ðåïðåçåíòàòèâíîñòü âûáîðêè,
îäíàêî, ÷àñòî ìîæíî îáîñíîâàòü îáðàòíîå òî åñòü
óêàçàòü íåêîòîðûå ñâîéñòâà, ïðè íåâûïîëíåíèè êîòîðûõ
âûáîðêà çàâåäîìî íå áóäåò ðåïðåçåíòàòèâíîé (íàïðèìåð,
ïðè ñîöèîëîãè÷åñêîì îïðîñå ïåðåä âûáîðàìè íåëüçÿ
îãðàíè÷èâàòüñÿ òîëüêî ïåíñèîíåðàìè èëè òîëüêî ëþäüìè,
èìåþùèìè ìîáèëüíûå òåëåôîíû).
Ì.Ï. Õàðëàìîâ
http://inter.vags.ru/hmp
ÒÂ è ÌÑ. Ëåêöèÿ 8
Âàðèàöèîííûé ðÿä
Âàðèàöèîííûì ðÿäîì íàçûâàþòñÿ çíà÷åíèÿ
ïðèçíàêà âûáîðêè, ðàñïîëîæåííûå â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ:
Îïðåäåëåíèå.
x1 6 x2 6 . . . 6 xn .
Îïðåäåëåíèå. Ìåäèàíîé Me âàðèàöèîííîãî ðÿäà íàçûâàåòñÿ
çíà÷åíèå, ðàñïîëîæåííîå â åãî ñåðåäèíå (åñëè n íå÷åòíîå, òî
â òî÷íîñòè â ñåðåäèíå, åñëè n ÷åòíîå, òî ëèáî äâà ñîñåäíèõ â
ñåðåäèíå, ëèáî èõ ïîëóñóììà).
Îïðåäåëåíèå. Ìîäîé Mo âàðèàöèîííîãî ðÿäà íàçûâàåòñÿ
çíà÷åíèå, êîòîðîå âñòðå÷àåòñÿ â íåì ÷àùå âñåãî. Åñëè òàêèõ
çíà÷åíèé íåñêîëüêî, òî ðÿä íàçûâàåòñÿ ïîëèìîäàëüíûì.
Âàðèàöèîííûì ðàçìàõîì
R âàðèàöèîííîãî
ðÿäà íàçûâàåòñÿ ðàçíîñòü ìåæäó íàèáîëüøèì è íàèìåíüøèì
çíà÷åíèÿìè ïðèçíàêà â ðÿäå.
Îïðåäåëåíèå.
Ì.Ï. Õàðëàìîâ
http://inter.vags.ru/hmp
ÒÂ è ÌÑ. Ëåêöèÿ 8
Ñòàòèñòè÷åñêèé ðÿä
Ïóñòü äàíà âûáîðêà. Ðàññìîòðèì òîëüêî ðàçëè÷íûå çíà÷åíèÿ
ïðèçíàêà â âûáîðêå è îáîçíà÷èì èõ â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ
÷åðåç x1 , . . . , xk . Îíè íàçûâàþòñÿ âàðèàíòàìè. Âàðèàíòà ìîæåò
âñòðå÷àòüñÿ íåñêîëüêî ðàç. Êîëè÷åñòâî ïîÿâëåíèé çíà÷åíèÿ xi
â âàðèàöèîííîì ðÿäå íàçûâàåòñÿ ÷àñòîòîé ýòîãî çíà÷åíèÿ è
îáîçíà÷àåòñÿ ni . Ñóììà âñåõ ÷àñòîò ðàâíà îáúåìó âûáîðêè:
n1 + . . . + nk = n.
Ñòàòèñòè÷åñêèì ðÿäîì íàçûâàåòñÿ ðàíæèðîâàííûé
(òî åñòü óïîðÿäî÷åííûé ïî âîçðàñòàíèþ) íàáîð ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé
ïðèçíàêà â âûáîðêå (âàðèàíò), âìåñòå ñ èõ âåñàìè (÷àñòîòàìè).
Îïðåäåëåíèå.
Òàêèì îáðàçîì, ñòàòèñòè÷åñêèé ðÿä ýòî òàáëèöà, àíàëîãè÷íàÿ ðÿäó
ðàñïðåäåëåíèÿ äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû:
xi
ni
Ì.Ï. Õàðëàìîâ
x1
n1
http://inter.vags.ru/hmp
...
...
xk
nk
ÒÂ è ÌÑ. Ëåêöèÿ 8
×àñòîñòè
Îïðåäåëåíèå. Îòíîøåíèå ÷àñòîò çíà÷åíèé ñòàòèñòè÷åñêîãî ðÿäà
ê îáúåìó âûáîðêè íàçûâàþòñÿ ÷àñòîñòÿìè èëè îòíîñèòåëüíûìè
÷àñòîòàìè è îáîçíà÷àþòñÿ ÷åðåç wi :
wi =
ni
,
n
i = 1, 2, . . . , k.
Ñòàòèñòè÷åñêèé ðÿä óäîáíî ïðåäñòàâëÿòü è â âèäå òàáëèöû ÷àñòîñòåé:
xi
wi
x1
w1
...
...
xk
wk
Óïðàæíåíèÿ. 1) ×åìó ðàâíà ñóììà ÷àñòîñòåé? 2) Êàê ïî
ñòàòèñòè÷åñêîìó ðÿäó ñðàçó óêàçàòü ìîäó âàðèàöèîííîãî ðÿäà?
Ì.Ï. Õàðëàìîâ
http://inter.vags.ru/hmp
ÒÂ è ÌÑ. Ëåêöèÿ 8
Ïîëèãîí ÷àñòîò èëè ÷àñòîñòåé
Îïðåäåëåíèå. Ïîëèãîíîì ÷àñòîò ñòàòèñòè÷åñêîãî ðÿäà íàçûâàåòñÿ
ëîìàíàÿ, ñîñòàâëåííàÿ ïî òî÷êàì (xi , ni ), òî åñòü ïî îñè
àáñöèññ îòêëàäûâàþòñÿ çíà÷åíèÿ ïðèçíàêà x1 , . . . , xk , à ïî îñè
îðäèíàò èõ ÷àñòîòû n1 , . . . , nk . Åñëè âìåñòî ÷àñòîò ïî îñè
îðäèíàò îòêëàäûâàþòñÿ ÷àñòîñòè, òî ëîìàíàÿ íàçûâàåòñÿ ïîëèãîíîì
÷àñòîñòåé.
Ïðèìåð. Ïîëèãîí ÷àñòîñòåé. Ñòàòèñòè÷åñêèé ðÿä çàäàí òàáëèöåé:
xi
wi
−1
0.2
0
0.1
Ì.Ï. Õàðëàìîâ
2
0.4
3
0.1
5
0.2
http://inter.vags.ru/hmp
ÒÂ è ÌÑ. Ëåêöèÿ 8
Ýìïèðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ
Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü äàíà âûáîðêà îáúåìà n. Äëÿ ëþáîãî ÷èñëà
x âû÷èñëèì k(x) êîëè÷åñòâî ýëåìåíòîâ â âûáîðêå ñî çíà÷åíèåì
ìåíüøèì, ÷åì x. Ýìïèðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ
ïî ôîðìóëå:
F (x) =
k(x)
.
n
Âàæíî! Ãðàôèê ýìïèðè÷åñêîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ èìååò
ñòóïåí÷àòûé âèä.
Óïðàæíåíèå.
Ïîñòðîèòü
ãðàôèê
ýìïèðè÷åñêîé
ðàñïðåäåëåíèÿ ïî ñòàòèñòè÷åñêîìó ðÿäó:
xi
ni
Ì.Ï. Õàðëàìîâ
−1
20
0
10
http://inter.vags.ru/hmp
2
40
3
10
5
20
ÒÂ è ÌÑ. Ëåêöèÿ 8
ôóíêöèè
Âûáîðî÷íûå õàðàêòåðèñòèêè
Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü äàíà âûáîðêà îáúåìà n. Åñëè x1 6 . . . 6 xn âàðèàöèîííûé ðÿä, òî âåëè÷èíà
n
x=
1X
xi
n i=1
ñðåäíåé àðèôìåòè÷åñêîé
âûáîðî÷íûì ñðåäíèì.
íàçûâàåòñÿ
(âàðèàöèîííîãî ðÿäà) èëè
Óïðàæíåíèå. Íàéòè âûáîðî÷íîå ñðåäíåå, åñëè çàäàí ñòàòèñòè÷åñêèé
ðÿä:
xi
ni
−1
20
0
10
2
40
3
10
5
20
Ñëåäñòâèå.
Äëÿ ñòàòèñòè÷åñêîãî ðÿäà (x1 , n1 ), . . . , (xk , nk )
âûáîðî÷íîå ñðåäíåå âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
Pk
k
X
i=1 ni xi
x = Pk
=
wi xi .
i=1 ni
i=1
Ì.Ï. Õàðëàìîâ
http://inter.vags.ru/hmp
ÒÂ è ÌÑ. Ëåêöèÿ 8
Âûáîðî÷íûå õàðàêòåðèñòèêè (ïðîäîëæåíèå)
Îïðåäåëåíèå.
Âûáîðî÷íàÿ äèñïåðñèÿ
îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
2
s =
k
Pk
ñòàòèñòè÷åñêîãî
2
X
i=1 ni (xi − x)
=
wi (xi − x)2 =
n
i=1
k
X
ðÿäà
!
wi x2i
− x2 .
i=1
Ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå ñòàòèñòè÷åñêîãî
ðÿäà îïðåäåëÿåòñÿ êàê êîðåíü êâàäðàòíûé èç âûáîðî÷íîé äèñïåðñèè:
√
s = s2 .
Îïðåäåëåíèå.
Íåñìåùåííàÿ îöåíêà âûáîðî÷íîé
ñòàòèñòè÷åñêîãî ðÿäà îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
Îïðåäåëåíèå.
s2H =
Ì.Ï. Õàðëàìîâ
n 2
s =
n−1
http://inter.vags.ru/hmp
Pk
i=1
ni (xi − x)2
.
n−1
ÒÂ è ÌÑ. Ëåêöèÿ 8
äèñïåðñèè
Êîíòðîëüíûå âîïðîñû
1
Ðàçëè÷íûå ïîíèìàíèÿ òåðìèíà ¾ñòàòèñòèêà¿
2
Òåîðåìû Áåðíóëëè è ×åáûøåâà
3
Òåîðåìà ÌóàâðàËàïëàñà è ÖÏÒ (Ëÿïóíîâà)
4
Ïîíÿòèÿ
ãåíåðàëüíîé
âàðèàöèîííûé ðÿä
ñîâîêóïíîñòè
è
âûáîðêè,
5
Ìåäèàíà, ìîäà, âàðèàöèîííûé ðàçìàõ
6
Âàðèàíòû, ñòàòèñòè÷åñêèé ðÿä, ÷àñòîòû, ÷àñòîñòè, ïîëèãîí
7
Ýìïèðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ, ïðèìåð ãðàôèêà
8
9
Âûáîðî÷íîå ñðåäíåå. Ôîðìóëû äëÿ âàðèàöèîííîãî è
ñòàòèñòè÷åñêîãî ðÿäîâ
Ñðåäíåå
êâàäðàòè÷åñêîå
îòêëîíåíèå,
äèñïåðñèÿ, íåñìåùåííàÿ îöåíêà
Ì.Ï. Õàðëàìîâ
http://inter.vags.ru/hmp
ÒÂ è ÌÑ. Ëåêöèÿ 8
âûáîðî÷íàÿ