ðóæíîñòü ðàäèóñîì 1, â íåêîòîðûå ... ìíîãîóãîëüíèêà ïðîâåäåíû âåêòîðû. Ìîæåò ëè ...

ÇÀÄÀ×ÍÈÊ «ÊÂÀÍÒÀ»
ðóæíîñòü ðàäèóñîì 1, â íåêîòîðûå âåðøèíû ýòîãî
ìíîãîóãîëüíèêà ïðîâåäåíû âåêòîðû. Ìîæåò ëè äëèíà
ñóììû ýòèõ âåêòîðîâ ðàâíÿòüñÿ à) 1998; á)* 1998 ?
Îòâåò íà îáà âîïðîñà çàäà÷è óòâåðäèòåëüíûé. Íà÷íåì
→
ïîñòðîåíèå ïðèìåðà ê ïóíêòó à). Äëèíà ñóììû OB2 +
→
→
+ OB3 + OB4 âåêòîðîâ ðèñóíêà 2 ðàâíà 2. ×òîáû ïîñòðîèòü ñèñòåìó âåêòîðîâ, äëèíà ñóììû êîòîðûõ ðàâíà 3,
ïîìèìî øåñòèóãîëüíèêà ðàññìîòðèì ïÿòèóãîëüíèê (ðèñ.3).
Áëàãîäàðÿ ôîðìóëå (1)
B
B
ñóììà ÷åòûðåõ âåêòî→
→
ðîâ OC1 + OC2 +
→
→
+ OC3 + OC4 , ïðîâåäåííûõ èç öåíòðà â ÷åB$ òûðå âåðøèíû ïðàâèëüB!
íîãî ïÿòèóãîëüíèêà,
O
ïðîòèâîïîëîæíà âåêòî→
ðó OC5 , ñîåäèíÿþùåìó öåíòð ñ ïÿòîé âåðB#
B"
øèíîé ïÿòèóãîëüíèêà.
Ðèñ.2
È âåðøèíû ïÿòèóãîëüíèêà, è âåðøèíû øåñòèóãîëüíèêà ëåæàò â âåðøèíàõ
ïðàâèëüíîãî 30-óãîëüíèêà.
Àíàëîãè÷íî, ÷òîáû ïîñòðîèòü ñèñòåìó âåêòîðîâ, äëèíà
→
ñóììû êîòîðûõ ðàâíà 4, äîáàâèì åùå 6 âåêòîðîâ OA1 ,...
→
..., OA6 , ñîåäèíÿþùèõ
C
öåíòð ñ âåðøèíàìè ñåìèóãîëüíèêà (ñì. ðèñ.1).
Ïðîäîëæàÿ â òàêîì æå
äóõå, ìû è ïîëó÷èì ïðèC# ìåð ê ïóíêòó à).
O
Ôîðìàëüíîå îïèñàíèå
èçëîæåííîé êîíñòðóêöèè
òàêîâî. Ïóñòü n1 , n2 ,...
C!
n1998 – ïîïàðíî âçàèì...,
C"
íî
ïðîñòûå
÷èñëà. ÐàññìîòÐèñ.3
ðèì ïðàâèëüíûé n1 n2 ...
... n1998 -óãîëüíèê. Çàôèêñèðóåì íåêîòîðóþ åãî âåðøèíó
A. Íàçîâåì «âûäåëåííûì» ni -óãîëüíèêîì (i = 1,...
..., 1998) ïðàâèëüíûé ni -óãîëüíèê, îäíîé èç âåðøèí
êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ òî÷êà A, à äðóãèå âåðøèíû ÿâëÿþòñÿ
âåðøèíàìè n1 n2 ... n1998 -óãîëüíèêà. Âûäåëåííûå ni -óãîëüíèê è n j -óãîëüíèê (i ≠ j) èìåþò, áëàãîäàðÿ âçàèìíîé
ïðîñòîòå ÷èñåë ni è n j , åäèíñòâåííóþ îáùóþ âåðøèíó A.
Ðàññìîòðèì âåêòîðû, èäóùèå èç öåíòðà O ìíîãîóãîëüíèêà âî âñå âåðøèíû âñåõ âûäåëåííûõ ni -óãîëüíè→
êîâ, êðîìå A. Èõ ñóììà ðàâíà —1998 OA , ÷òî è òðåáîâàëîñü.
á)  ñëåäóþùåì ðàçäåëå ñòàòüè ìû ïîñòðîèì ñ ïðèâëå÷åíèåì êîìïëåêñíûõ ÷èñåë ñóììó äëèíîé n ïðè ëþáîì
íàòóðàëüíîì n, à ïîêà ïðåäëàãàåì ðÿä óïðàæíåíèé. Òîò,
êòî ñïðàâèòñÿ ñ íèìè, ïîëó÷èò ðåøåíèå ïóíêòà á), íå
èñïîëüçóþùåå íèêàêèõ âûõîäÿùèõ çà ðàìêè øêîëüíîé
ïðîãðàììû ïîíÿòèé (íî, ê ñîæàëåíèþ, ñóùåñòâåííî
èñïîëüçóþùåå ñïåöèôèêó ÷èñëà 1998 ).
C
Óïðàæíåíèå 1. Âîñïîëüçîâàâøèñü ïðèåìîì ðåøåíèÿ ïóíêòà
à), äîêàæèòå, ÷òî åñëè ìîæíî ïðåäñòàâèòü â èñêîìîì âèäå (ò.å.
â âèäå ñóììû âåêòîðîâ, ïðîâåäåííûõ èç öåíòðà âïèñàííîãî â
åäèíè÷íóþ îêðóæíîñòü ïðàâèëüíîãî
ìíîãîóãîëüíèêà â åãî âåð→
øèíû) íåêîòîðûé
âåêòîð
,
òî
ìîæíî
ïðåäñòàâèòü â òàêîì âèäå
v
→
è âåêòîð a v , ãäå a – íàòóðàëüíîå ÷èñëî.
6*
Óïðàæíåíèå 2. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè ìîæíî ïðåäñòàâèòü â
èñêîìîì âèäå âåêòîð äëèíîé x, òî ìîæíî ïðåäñòàâèòü â òàêîì
2
2
2
2
âèäå è âåêòîð äëèíîé à) x a + b , á) x a + 2b , ãäå a è b –
íàòóðàëüíûå ÷èñëà.
Çàìå÷àíèå. Åñëè â èñêîìîì âèäå ìîæíî ïðåäñòàâèòü íåêîòîðûé âåêòîð äëèíîé m , òî ìîæíî ïðåäñòàâèòü è âåêòîð äëèíîé
2m . Ïîýòîìó â äàëüíåéøåì ìû ìîæåì èñêàòü âåêòîð äëèíîé
n òîëüêî äëÿ íå÷åòíûõ n.
Óïðàæíåíèå 3. Ðåøèòå ïóíêò á) çàäà÷è M1648.
Óêàçàíèå.
2
2
2
2
3 + 18 ⋅ 2 + 2 ⋅ 1 .
1998 =
Êîðíè èç åäèíèöû
Ñåé÷àñ ìû çàïèøåì ðàâåíñòâî (1) â äîâîëüíî íåîæèäàííîì âèäå. Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì óðàâíåíèå z n — 1 = 0 è
ðàçëîæèì åãî ëåâóþ ÷àñòü íà ìíîæèòåëè:
b z − 1ge z
n −1
+z
n−2
j
+ K + z + 1 = 0.
Çíà÷èò, åñëè z = 1 è z ≠ 1, òî
n
z
n −1
+z
n−2
+K+ z + 1 = 0.
(2)
 ñòàòüå «Ìíîãî÷ëåíû äåëåíèÿ êðóãà» («Êâàíò» ¹1 çà
1998 ãîä) ðàññêàçàíî î òîì, ÷òî óðàâíåíèå z n =1 èìååò n
ðåøåíèé – «êîðíåé èç åäèíèöû». Îíè ÿâëÿþòñÿ âåðøèíàìè ïðàâèëüíîãî n-óãîëüíèêà, âïèñàííîãî â åäèíè÷íóþ
îêðóæíîñòü, è èìåþò âèä
2 πk
2 πk
k
ζ = cos
+ i sin
,
n
n
2π
2π
+ i sin
, k = 1,..., n. Ñóììà âñåõ êîðíåé
ãäå ζ = cos
n
n
n-é ñòåïåíè èç åäèíèöû (ïðè n > 1) ðàâíà 0:
1 + ζ +K+ ζ
n−2
+ζ
n −1
= 0.
Ýòî, ïî ñóòè, è åñòü ðàâåíñòâî (1)!
Çíàÿ âñå n êîðíåé ζ , ζ 2 ,..., ζ n (=1) ìíîãî÷ëåíà
n
z — 1, ìû ìîæåì ðàçëîæèòü åãî íà ìíîæèòåëè:
n
b
ge
2
j e
z −1 = z − ζ z −ζ K z − ζ
n −1
jb z − 1g .
Ñîêðàòèâ îáå ÷àñòè íà z — 1, ïîëó÷èì
z
n −1
+z
n−2
b
ge
2
j e
+ K + z + 1 == z − ζ z − ζ K z − ζ
n −1
(3)
j. (4)
Ïîäñòàâèì â ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî âìåñòî z ÷èñëî 1:
b ge
2
j e
n = 1−ζ 1− ζ K 1−ζ
n −1
j.
(5)
Óïðàæíåíèå 4. ×òîáû ïîëó÷èòü ðàâåíñòâî (5), ìû ïîäñòàâèëè z = 1 â ðàâåíñòâî (4), êîòîðîå ïîëó÷èëîñü äåëåíèåì íà
z — 1 îáåèõ ÷àñòåé ðàâåíñòâà (3). Îáúÿñíèòå, ïî÷åìó òàê äåëàòü
ìîæíî, õîòÿ «íà íîëü äåëèòü íåëüçÿ».
Ïóñòü n – íå÷åòíîå ÷èñëî. Òîãäà âñå ìíîæèòåëè ïðàâîé
÷àñòè (5) ìîæíî ðàçáèòü íà êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûå
(ò.å. ñèììåòðè÷íûå îòíîñèòåëüíî îñè àáñöèññ) ïàðû
2πk
2πk
÷èñåë 1— ζk = 1 — cos
— i sin
è 1 — ζ n−k =
n
n
2πk
2πk
= 1 — cos
+ i sin
(ðèñ. 4). Âçÿâ èç êàæäîé ïàðû
n
n
ñîïðÿæåííûõ ìíîæèòåëåé òîëüêî îäèí ìíîæèòåëü, ìû
ïîëó÷èì ÷èñëî, ìîäóëü êîòîðîãî – êâàäðàòíûé êîðåíü èç
!