1 (4 балла). Плотность распределения случайной величины ξ

(4 áàëëà). Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé
âåëè÷èíû ξ ðàâíà
c(t2 + t) ïðè 1 6 t 6 2,
fξ (t) =
0
èíà÷å.
à) Íàéòè ïîñòîÿííóþ c, á) íàðèñîâàòü ãðàôèê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñ.â. ξ,
â) íàéòè ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû √ξ, ã) íàéòè âåðîÿòíîñòü P(ξ > Eξ).
2 (2 áàëëà). Èç êàðòî÷åê, íà êîòîðûõ íàïèñàíû ÷èñëà 1, 2, 2, 2, 3, íàóäà÷ó âûáèðàåòñÿ îäíà.
à) Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ÷èñëà íà âûáðàííîé êàðòî÷êå,
á) íàéòè êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè ýòîãî ÷èñëà è èíäèêàòîðà òîãî, ÷òî ýòî ÷èñëî ÷¼òíîå.
3 (2 áàëëà). Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 , . . . , ξn , ϕ íåçàâèñèìû â ñîâîêóïíîñòè, ξi ⊂
= U1, 2 , ϕ ⊂
= B2/3 . Íàðèñîâàòü ãðàôèê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ϕ max(ξ1, . . . , ξn) è íàéòè å¼ ìàò. îæèäàíèå.
4 (2 áàëëà). Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 , . . . , ξn íåçàâèñèìû è èìåþò îäíî è òî æå ðàñïðåäåëåíèå Áåðíóëëè
ñ ïàðàìåòðîì p = 1/3η, η = ξ1 + . . . + ξn. Íàéòè òàáëèöó ðàñïðåäåëåíèÿ è ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå
ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 3 .
5 (2 áàëëà). Ïóñòü ξ è η íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, èìåþùèå îäíî è òî æå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè a = 2, σ2 = 4. Íàéòè ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ − 3η − 3 è
−2ξ + 1.
6∗ (3 áàëëà). Ïóñòü h[0, 1], B([0, 1]), λ(·)i âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî. Ïîñòðîèòü äâå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ è η òàêèå, ÷òî ρ(ξ, η) = 1, íî ïðè ëþáûõ a 6= 0 è b ðàâåíñòâî η(ω) = aξ(ω) + b âûïîëíåíî íå ïðè
âñåõ ω ∈ [0, 1].
ÔÈÎ
Ãðóïïà
1
1a
1á
1â
1ã
2à
2á
3
4
5
6
P
(4 áàëëà). Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé
âåëè÷èíû ξ ðàâíà
c(t + 2) ïðè 1 6 t 6 3,
fξ (t) =
0
èíà÷å.
à) Íàéòè ïîñòîÿííóþ c, á) íàðèñîâàòü ãðàôèê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñ.â. ξ,
â) íàéòè ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû eξ, ã) íàéòè âåðîÿòíîñòü P(ξ > Eξ).
2 (2 áàëëà). Èç óðíû, â êîòîðîé äâà áåëûõ è òðè ÷¼ðíûõ øàðà, íàóäà÷ó áåðóò òðè øàðà.
à) Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ÷èñëà âûíóòûõ áåëûõ øàðîâ,
á) íàéòè êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè ýòîãî ÷èñëà è èíäèêàòîðà òîãî, ÷òî ñðåäè âûíóòûõ øàðîâ åñòü õîòÿ
áû îäèí áåëûé øàð.
3 (2 áàëëà). Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 , . . . , ξn , ϕ íåçàâèñèìû â ñîâîêóïíîñòè, ξi ⊂
= E2 , ϕ ⊂
= B3/4 . Íàðèñîâàòü
ãðàôèê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ϕ min(ξ1, . . . , ξn) è íàéòè å¼ ìàò. îæèäàíèå.
4 (2 áàëëà). Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 , . . . , ξn íåçàâèñèìû è èìåþò îäíî è òî æå ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà
ñ ïàðàìåòðîì λ = 2, η = ξ1 + . . . + ξn. Íàéòè òàáëèöó ðàñïðåäåëåíèÿ è ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå
ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 7η.
5 (2 áàëëà). Ïóñòü ξ è η íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, èìåþùèå îäíî è òî æå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè a = 1, σ2 = 9. Íàéòè ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí 2ξ − 5η − 3
è −3η.
6∗ (3 áàëëà). Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ èìååò àáñîëþòíî íåïðåðûâíîå ðàñïðåäåëåíèå. Êàêèì ñâîéñòâîì äîëæíà îáëàäàòü å¼ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ, ÷òîáû ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà min(|ξ|, 2) èìåëà àáñîëþòíî íåïðåðûâíîå ðàñïðåäåëåíèå?
ÔÈÎ
Ãðóïïà
1
1a
1á
1â
1ã
2à
2á
3
4
5
6
P
(4 áàëëà). Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé
âåëè÷èíû ξ ðàâíà
c(2t2 + 1) ïðè 0 6 t 6 2,
fξ (t) =
0
èíà÷å.
à) Íàéòè ïîñòîÿííóþ c, á) íàðèñîâàòü ãðàôèê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñ.â. ξ,
â) íàéòè ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû −2ξ, ã) íàéòè âåðîÿòíîñòü P(ξ > Eξ).
2 (2 áàëëà). Èç êàðòî÷åê, íà êîòîðûõ íàïèñàíû ÷èñëà 1, 2, 1, 1, 4, íàóäà÷ó âûáèðàåòñÿ îäíà.
à) Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ÷èñëà íà âûáðàííîé êàðòî÷êå,
á) íàéòè êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè ýòîãî ÷èñëà è èíäèêàòîðà òîãî, ÷òî ýòî ÷èñëî ÷¼òíîå.
3 (2 áàëëà). Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 , . . . , ξn , ϕ íåçàâèñèìû â ñîâîêóïíîñòè, ξi ⊂
= U2, 3 , ϕ ⊂
= B1/3 . Íàðèñîâàòü ãðàôèê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ϕ max(ξ1, . . . , ξn) è íàéòè å¼ ìàò. îæèäàíèå.
4 (2 áàëëà). Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 , . . . , ξ7 íåçàâèñèìû è èìåþò îäíî è òî æå áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè n = 2 è p = 1/3
, η = ξ1 + . . . + ξ7. Íàéòè òàáëèöó ðàñïðåäåëåíèÿ è ìàòåìàòè÷åñêîå
îæèäàíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 2η.
5 (2 áàëëà). Ïóñòü ξ è η íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, èìåþùèå îäíî è òî æå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè a = −2, σ2 = 16. Íàéòè ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí 5ξ − η − 1
è 4ξ.
6∗ (3 áàëëà). Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 , . . . , ξn íåçàâèñèìû è èìåþò îäíî è òî æå ðàñïðåäåëåíèå Áåðíóëëè
ñ ïàðàìåòðîì 1/2. Íàéòè êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí min(ξ1, . . . , ξn) è max(ξ1, . . . , ξn).
ÔÈÎ
Ãðóïïà
1
1a
1á
1â
1ã
2à
2á
3
4
5
6
P
(4 áàëëà). Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé
âåëè÷èíû ξ ðàâíà
c(t2 + 1) ïðè 0 6 t 6 3,
fξ (t) =
0
èíà÷å.
à) Íàéòè ïîñòîÿííóþ c, á) íàðèñîâàòü ãðàôèê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñ.â. ξ,
â) íàéòè ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ2, ã) íàéòè âåðîÿòíîñòü P(ξ > Eξ).
2 (2 áàëëà). Âåðîÿòíîñòü èçãîòîâëåíèÿ íåñòàíäàðòíîé äåòàëè ðàâíà 1/5. Êîíòðîë¼ð áåð¼ò èç ïàðòèè äåòàëè
îäíó çà äðóãîé, íî íå áîëåå òð¼õ. Ïðè îáíàðóæåíèè íåñòàíäàðòíîé äåòàëè ïðîâåðêà ïðåêðàùàåòñÿ.
à) Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ÷èñëà ïðîâåðåííûõ â ïàðòèè äåòàëåé,
á) Íàéòè êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè ýòîãî ÷èñëà è èíäèêàòîðà òîãî, ÷òî ïåðâàÿ ïðîâåðåííàÿ äåòàëü
ñòàíäàðòíà.
3 (2 áàëëà). Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 , . . . , ξn , ϕ íåçàâèñèìû â ñîâîêóïíîñòè, ξi ⊂
= E3 , ϕ ⊂
= B1/4 . Íàðèñîâàòü
ãðàôèê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ϕ min(ξ1, . . . , ξn) è íàéòè å¼ ìàò. îæèäàíèå.
4 (2 áàëëà). Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 , . . . , ξn íåçàâèñèìû è èìåþò îäíî è òî æå ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà
ñ ïàðàìåòðîì λ = 3, ηη = ξ1 + . . . + ξn. Íàéòè òàáëèöó ðàñïðåäåëåíèÿ è ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå
ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 2 .
5 (2 áàëëà). Ïóñòü ξ è η íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, èìåþùèå îäíî è òî æå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè a = −2, σ2 = 16. Íàéòè ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí 5ξ − η − 1
è 4ξ + 2 .
6∗ (3 áàëëà). Ïóñòü ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 è ξ2 ïîëîæèòåëüíû è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû. Ïðèâåñòè
ïðèìåð, ïîêàçûâàþùèé, ÷òî íå îáÿçàòåëüíî E ξξ1 = E ξξ2 , äàæå åñëè ýòè ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ
2
1
ñóùåñòâóþò.
ÔÈÎ
Ãðóïïà
1
1a
1á
1â
1ã
2à
2á
3
4
5
6
P
(4 áàëëà). Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé
âåëè÷èíû ξ ðàâíà
c(3t − 1) ïðè 1 6 t 6 3,
fξ (t) =
0
èíà÷å.
à) Íàéòè ïîñòîÿííóþ c, á) íàðèñîâàòü ãðàôèê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñ.â. ξ,
â) íàéòè ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû √ξ, ã) íàéòè âåðîÿòíîñòü P(ξ > Eξ).
2 (2 áàëëà). Èç êàðòî÷åê, íà êîòîðûõ íàïèñàíû ÷èñëà 1, 2, 1, 3, 3, íàóäà÷ó âûáèðàåòñÿ îäíà.
à) Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ÷èñëà íà âûáðàííîé êàðòî÷êå,
á) íàéòè êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè ýòîãî ÷èñëà è èíäèêàòîðà òîãî, ÷òî ýòî ÷èñëî íå÷¼òíîå.
3 (2 áàëëà). Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 , . . . , ξn , ϕ íåçàâèñèìû â ñîâîêóïíîñòè, ξi ⊂
= U1, 3 , ϕ ⊂
= B3/5 . Íàðèñîâàòü ãðàôèê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ϕ max(ξ1, . . . , ξn) è íàéòè å¼ ìàò. îæèäàíèå.
4 (2 áàëëà). Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 , . . . , ξ4 íåçàâèñèìû è èìåþò îäíî è òî æå áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè n = 3 è p = 2/3
, η = ξ1 + . . . + ξ4. Íàéòè òàáëèöó ðàñïðåäåëåíèÿ è ìàòåìàòè÷åñêîå
îæèäàíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 5η.
5 (2 áàëëà). Ïóñòü ξ è η íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, èìåþùèå îäíî è òî æå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè a = 2, σ2 = 16. Íàéòè ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ − 5η − 2
è −4η.
6∗ (3 áàëëà). Ïóñòü h[0, 1], B([0, 1]), λ(·)i âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî. Ïîñòðîèòü äâå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ è η òàêèå, ÷òî ρ(ξ, η) = −1, íî ïðè ëþáûõ a 6= 0 è b ðàâåíñòâî η(ω) = aξ(ω) + b âûïîëíåíî íå
ïðè âñåõ ω ∈ [0, 1].
ÔÈÎ
Ãðóïïà
1
1a
1á
1â
1ã
2à
2á
3
4
5
6
P
(4 áàëëà). Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ðàâíà
c(t2 − 2t) ïðè 2 6 t 6 4,
fξ (t) =
0
èíà÷å.
à) Íàéòè ïîñòîÿííóþ c, á) íàðèñîâàòü ãðàôèê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñ.â. ξ,
â) íàéòè ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ2, ã) íàéòè âåðîÿòíîñòü P(ξ > Eξ).
2 (2 áàëëà). Âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ áàñêåòáîëüíîãî ìÿ÷à â êîëüöî ïðè áðîñàíèè íà÷èíàþùèì ñïîðòñìåíîì ðàâíà 0,1. Ìÿ÷ áðîñàþò äî ïåðâîãî ïîïàäàíèÿ, íî äàþò íå áîëåå òð¼õ ïîïûòîê.
à) Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ÷èñëà âûïîëíåííûõ áðîñêîâ,
á) Íàéòè êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè ÷èñëà âûïîëíåííûõ áðîñêîâ è ÷èñëà ïðîìàõîâ ïðè ïåðâîì áðîñêå.
3 (2 áàëëà). Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 , . . . , ξn , ϕ íåçàâèñèìû â ñîâîêóïíîñòè, ξi ⊂
= E4 , ϕ ⊂
= B5/6 . Íàðèñîâàòü
ãðàôèê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ϕ min(ξ1, . . . , ξn) è íàéòè å¼ ìàò. îæèäàíèå.
4 (2 áàëëà). Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 , . . . , ξn íåçàâèñèìû è èìåþò îäíî è òî æå ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà
ñ ïàðàìåòðîì λ = 2, ηη = ξ1 + . . . + ξn. Íàéòè òàáëèöó ðàñïðåäåëåíèÿ è ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå
ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 3 .
5 (2 áàëëà). Ïóñòü ξ è η íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, èìåþùèå îäíî è òî æå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè a = −1, σ2 = 4. Íàéòè ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí 3ξ − η − 1
è 2ξ.
6∗ (3 áàëëà). Ïóñòü ξ è η ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ñóùåñòâóþò Eξ è Eη, òî ñóùåñòâóåò
E max{ξ, η}. Ïðèâåñòè ïðèìåð, ïîêàçûâàþùèé, ÷òî îáðàòíîå íåâåðíî.
ÔÈÎ
Ãðóïïà
1
1a
1á
1â
1ã
2à
2á
3
4
5
6
P
(4 áàëëà). Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ðàâíà
c(t2 + 7t) ïðè − 3 6 t 6 −1,
fξ (t) =
0
èíà÷å.
à) Íàéòè ïîñòîÿííóþ c, á) íàðèñîâàòü ãðàôèê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñ.â. ξ,
â) íàéòè ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû −2ξ, ã) íàéòè âåðîÿòíîñòü P(ξ > Eξ).
2 (2 áàëëà). Èç êàðòî÷åê, íà êîòîðûõ íàïèñàíû ÷èñëà 1, 2, 2, 3, 3, íàóäà÷ó âûáèðàåòñÿ îäíà.
à) Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ÷èñëà íà âûáðàííîé êàðòî÷êå,
á) íàéòè êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè ýòîãî ÷èñëà è èíäèêàòîðà òîãî, ÷òî ýòî ÷èñëî ÷¼òíîå.
3 (2 áàëëà). Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 , . . . , ξn , ϕ íåçàâèñèìû â ñîâîêóïíîñòè, ξi ⊂
= U1, 3 , ϕ ⊂
= B2/3 . Íàðèñîâàòü ãðàôèê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ϕ max(ξ1, . . . , ξn) è íàéòè å¼ ìàò. îæèäàíèå.
4 (2 áàëëà). Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 , . . . , ξn íåçàâèñèìû è èìåþò îäíî è òî æå ðàñïðåäåëåíèå Áåðíóëëè
ñ ïàðàìåòðîì p = 1/3η, η = ξ1 + . . . + ξn. Íàéòè òàáëèöó ðàñïðåäåëåíèÿ è ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå
ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 5 .
5 (2 áàëëà). Ïóñòü ξ è η íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, èìåþùèå îäíî è òî æå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè a = 1, σ2 = 9. Íàéòè ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ − 3η − 3 è
−2ξ + 3.
6∗ (3 áàëëà). Ïóñòü ξ è η íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, èìåþùèå ãåîìåòðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå ñ
ðàçíûìè ïàðàìåòðàìè p1 è p2. Äîêàçàòü, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ν = min(ξ, η) òàêæå èìååò ãåîìåòðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå. Íàéòè ïàðàìåòð ýòîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.
ÔÈÎ
Ãðóïïà
1
1a
1á
1â
1ã
2à
2á
3
4
5
6
P
(4 áàëëà). Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ðàâíà
c(t2 − 2t) ïðè 1 6 t 6 2,
fξ (t) =
0
èíà÷å.
à) Íàéòè ïîñòîÿííóþ c, á) íàðèñîâàòü ãðàôèê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñ.â. ξ,
â) íàéòè ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû eξ, ã) íàéòè âåðîÿòíîñòü P(ξ > Eξ).
2 (2 áàëëà). Èç óðíû, â êîòîðîé äâà áåëûõ è òðè ÷¼ðíûõ øàðà, íàóäà÷ó áåðóò òðè øàðà.
à) Ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ÷èñëà âûíóòûõ áåëûõ øàðîâ,
á) íàéòè êîýôôèöèåíò êîððåëÿöèè ýòîãî ÷èñëà è èíäèêàòîðà òîãî, ÷òî ñðåäè âûíóòûõ øàðîâ åñòü õîòÿ
áû îäèí ÷¼ðíûé øàð.
3 (2 áàëëà). Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 , . . . , ξn , ϕ íåçàâèñèìû â ñîâîêóïíîñòè, ξi ⊂
= E3 , ϕ ⊂
= B3/5 . Íàðèñîâàòü
ãðàôèê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ϕ min(ξ1, . . . , ξn) è íàéòè å¼ ìàò. îæèäàíèå.
4 (2 áàëëà). Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξ1 , . . . , ξn íåçàâèñèìû è èìåþò îäíî è òî æå ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà
ñ ïàðàìåòðîì λ = 2, η = ξ1 + . . . + ξn. Íàéòè òàáëèöó ðàñïðåäåëåíèÿ è ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå
ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 3η.
5 (2 áàëëà). Ïóñòü ξ è η íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, èìåþùèå îäíî è òî æå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè a = −1, σ2 = 16. Íàéòè ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí 2ξ − η − 3
è 3η + 1 .
6∗ (3 áàëëà). Ïóñòü ξ èìååò ñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. Ïîëîæèì η = 0 ïðè ξ 6 0 è η = 1
ïðè ξ > 0. Äîêàçàòü, ÷òî ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû |ξ| è η íåçàâèñèìû.
ÔÈÎ
Ãðóïïà
1
1a
1á
1â
1ã
2à
2á
3
4
5
6
P