20 - Квант

ÊÂÀÍT 1999/¹3
20
Óïðàæíåíèÿ
28. Äëÿ êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z = 2 + i îòìåòüòå íà êîìïëåêñíîé
ïëîñêîñòè ÷èñëà iz, –z, –iz.
29. Àññîöèèðîâàííûå ñ ÷èñëîì z ÷èñëà – ýòî â òî÷íîñòè ÷èñëà
âèäà εz , ãäå ε – äåëèòåëü åäèíèöû. Äîêàæèòå ýòî.
30. Äîêàæèòå, ÷òî à) ÷èñëà 1 + i è 1 – i àññîöèèðîâàíû;
á) ÷èñëà a + bi è a – bi àññîöèèðîâàíû â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå,
êîãäà âûïîëíåíî õîòÿ áû îäíî èç óñëîâèé: a = 0, b = 0, a = b,
a = –b.
Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû 2
ãäå öåëûå ãàóññîâû ÷èñëà (a + bi) è (c + di) – íå äåëèòåëè
åäèíèöû. Ïîñêîëüêó ìîäóëü ïðîèçâåäåíèÿ ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ìîäóëåé, èìååì
2
e
2
2
je
2
2
j
2
2
2
je
j
+ b j è e c + d j ðàâåí 1, à äðóãîé ðàâåí
2
2
2
2
2
2
2
p , ëèáî p = a + b = c + d .  ïåðâîì ñëó÷àå ÿñíî, ÷òî
÷èñëî p áûëî ïðåäñòàâëåíî â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ äåëèòåëÿ
åäèíèöû è àññîöèèðîâàííîãî ñ p ÷èñëà. Âòîðîé ñëó÷àé
íåâîçìîæåí â ñèëó òåîðåìû 3.
2
Ñ ÷èñëîì 2 äåëî îáñòîèò åùå ïðîùå: 2 = –i 1 + i .
Âïðî÷åì, ìû äîëæíû îáúÿñíèòü, ïî÷åìó ÷èñëî 1 + i
ïðîñòîå.
Ëåììà 3. Ïðîñòîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî p íåëüçÿ ïðåäñòàâèòü â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ áîëåå ÷åì äâóõ öåëûõ
ãàóññîâûõ ÷èñåë, íå ÿâëÿþùèõñÿ äåëèòåëÿìè åäèíèöû.
(Äðóãèìè ñëîâàìè, åñëè p àññîöèèðîâàíî ñ ïðîèçâåäåíèåì äâóõ íå ÿâëÿþùèõñÿ äåëèòåëÿìè åäèíèöû öåëûõ
ãàóññîâûõ ÷èñåë, òî ýòè ÷èñëà – ïðîñòûå.)
Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû 3. Åñëè p = (a + bi)(c + di)(e +
+ fi), òî
p = a + bi ⋅ c + di ⋅ e + fi ,
b g
e
je
je
2
2
j
îòêóäà p2 = a 2 + b 2 c2 + d 2 e + f . Êâàäðàò ïðîñòîãî
÷èñëà íèêàê íå ìîæåò áûòü ïðîèçâåäåíèåì òðåõ îòëè÷íûõ
îò 1 íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Ëåììà 3 è òåîðåìà 8 äîêàçàíû.
Óïðàæíåíèÿ
31. Èçîáðàçèòå íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè âñå ÷èñëà, íà
êîòîðûå íàöåëî äåëèòñÿ ÷èñëî 5 – i.
32. Ñêîëüêî ñðåäè äåëèòåëåé ÷èñëà à) 3 – 11i; á) 6 + 12i òàêèõ,
ó êîòîðûõ è âåùåñòâåííàÿ, è ìíèìàÿ ÷àñòè ïîëîæèòåëüíû?
33. Ðàçëîæèòå íà ïðîñòûå ãàóññîâû ìíîæèòåëè ÷èñëà à) 16;
á) 1001; â) 47 + i.
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 2
p = (a + bi)(c + di),
2
e
ìíîæèòåëåé e a
2
Âåðíåìñÿ ê ëåììå 2, îò êîòîðîé ìû íàäîëãî îòâëåêëèñü,
÷òîáû ïðèäàòü ñìûñë ðàçëîæåíèþ m2 + 1 = (m + i)(m –
– i). ×èñëó p íå êðàòåí íè îäèí èç ìíîæèòåëåé m + i è
m – i, íî êðàòíî ïðîèçâåäåíèå m2 + 1. ×òî ýòî çíà÷èò? Êàê
ìîæåò ïðîèçâåäåíèå áûòü êðàòíî p, åñëè íè îäèí èç
ìíîæèòåëåé íå êðàòåí p? Íåóæåëè àðèôìåòèêà ãàóññîâûõ ÷èñåë íàñòîëüêî ñâîåîáû÷íà, ÷òî â íåé íåò íèêàêèõ
ïðèâû÷íûõ íàì çàêîíîâ? Íàïðèìåð, ìû ïðèâûêëè ê
òîìó, ÷òî ðàçëîæåíèå íàòóðàëüíîãî ÷èñëà íà ïðîñòûå
ìíîæèòåëè åäèíñòâåííî ñ òî÷íîñòüþ äî ïîðÿäêà ìíîæèòåëåé. Âäðóã îñíîâíàÿ òåîðåìà àðèôìåòèêè íåâåðíà äëÿ
Z[i]?
Îêàçûâàåòñÿ, âñå íå òàê ïëîõî. Ðàçëîæåíèå íà ïðîñòûå
ìíîæèòåëè â Z[i] åäèíñòâåííî â òîì æå ñìûñëå, â êàêîì
îíî åäèíñòâåííî äëÿ îáû÷íûõ öåëûõ ÷èñåë (ìû äîêàæåì
ýòî â ðàçäåëå «Îñíîâíàÿ òåîðåìà àðèôìåòèêè»). À êàæóùååñÿ ïðîòèâîðå÷èå óñòðàíÿåòñÿ òåì, ÷òî ïðîñòîå ÷èñëî
p ìîæåò ïåðåñòàòü áûòü ïðîñòûì ïðè ðàñøèðåíèè Z äî
Z[i]. Íàïðèìåð, 2 = (1 + i)(1 – i) è 5 = (1 + 2i)(1 – 2i).
Âîîáùå, p = (a + bi)(a – bi) äëÿ âñÿêîãî ÷èñëà p = a 2 +
+ b2 .
Èòàê, ðàçðåøèì ñåáå ïîôàíòàçèðîâàòü: âîîáðàçèì, ÷òî
ìû óæå äîêàçàëè òåîðåìó î åäèíñòâåííîñòè ðàçëîæåíèÿ
öåëûõ ãàóññîâûõ ÷èñåë íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè, è äîêàæåì ëåììó 2. Äåëèòåëü p ÷èñëà (m + i)(m – i) íå ìîæåò
áûòü ïðîñòûì ãàóññîâûì ÷èñëîì. Çíà÷èò,
a +b
p = a + bi ⋅ c + di ,
îòêóäà p2 = a 2 + b 2 c2 + d 2 . Çíà÷èò, ëèáî îäèí èç
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Ôåðìà-Ýéëåðà
p=
íà äâà ñîïðÿæåííûõ ìíîæèòåëÿ: p = (a + bi)(a – bi),
ïðè÷åì ìíîæèòåëè a + bi è a – bi – ïðîñòûå ãàóññîâû
÷èñëà.
Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè ÷èñëî p = 4n + 3 ïðåäñòàâëåíî â
âèäå ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ öåëûõ ãàóññîâûõ ÷èñåë p = (a +
+ bi)(c + di), òî
2
c +d ,
2
2
2
ò. å. p = a + b c + d , îòêóäà p = a 2 + b = c + d .
Ëåììà 2, à çàîäíî è òåîðåìà 4 äîêàçàíû.
Ðàçëîæåíèå ïðîñòîãî ÷èñëà íà ïðîñòûå
ìíîæèòåëè
Çàãîëîâîê ýòîãî ïîäðàçäåëà ìîã áû óäèâèòü, åñëè áû
âûøå ìû íå ðàçëàãàëè óæå ïðîñòûå íàòóðàëüíûå ÷èñëà íà
ïðîñòûå ãàóññîâû ìíîæèòåëè. Êàêèå æå ïðîñòûå íàòóðàëüíûå ÷èñëà îñòàíóòñÿ ïðîñòûìè âî ìíîæåñòâå öåëûõ
ãàóññîâûõ ÷èñåë, à êàêèå ñòàíóò ñîñòàâíûìè? È êàê
óñòðîåíû ðàçëîæåíèÿ «íîâûõ ñîñòàâíûõ» ÷èñåë?
Òåîðåìà 8. Âñÿêîå ïðîñòîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî âèäà
p = 4n + 3 ÿâëÿåòñÿ ïðîñòûì â Z[i]; ÷èñëî 2 àññîöèèðîâàíî ñ êâàäðàòîì ïðîñòîãî ãàóññîâà ÷èñëà 1+ i; âñÿêîå
ïðîñòîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî âèäà p = 4n + 1 ðàçëàãàåòñÿ
Ïîìíèòå, ìû îáåùàëè ïîëó÷èòü òåîðåìó 2 êàê îäíî èç
ñëåäñòâèé òåîðèè öåëûõ ãàóññîâûõ ÷èñåë? Íàñòàëî âðåìÿ
ýòî ñäåëàòü. Ïóñòü ïðîñòîå ÷èñëî p íå ïðåäñòàâèìî â âèäå
ñóììû äâóõ êâàäðàòîâ è ñóììà êâàäðàòîâ x2 + y 2 êðàòíà
p. Èç òåîðåìû 8 ñëåäóåò, ÷òî âñÿêîå ïðîñòîå íàòóðàëüíîå
÷èñëî p ëèáî ÿâëÿåòñÿ ïðîñòûì ãàóññîâûì ÷èñëîì, ëèáî
ïðåäñòàâèìî â âèäå ñóììû êâàäðàòîâ äâóõ öåëûõ ÷èñåë.
Çíà÷èò, â ðàññìàòðèâàåìîé ñèòóàöèè p – ïðîñòîå ãàóññîâî
2
2
÷èñëî. Ïîñêîëüêó ïðîèçâåäåíèå (x + iy)(x – iy) = x + y
êðàòíî p, õîòÿ áû îäèí èç ñîìíîæèòåëåé êðàòåí p. Ýòî â
òî÷íîñòè îçíà÷àåò, ÷òî x è y êðàòíû p. Òåîðåìà 2
äîêàçàíà.
Êîëè÷åñòâî ïðåäñòàâëåíèé
Åäèíñòâåííîñòü ïðåäñòàâëåíèÿ ïðîñòîãî ÷èñëà
â âèäå ñóììû äâóõ êâàäðàòîâ
Ïî òåîðåìå Ôåðìà–Ýéëåðà ëþáîå ïðîñòîå ÷èñëî p, êîòîðîå ïðè äåëåíèè íà 4 äàåò îñòàòîê 1, ïðåäñòàâèìî â âèäå
ñóììû äâóõ êâàäðàòîâ. Äàâàéòå äîêàæåì, ÷òî òàêîå
ïðåäñòàâëåíèå åäèíñòâåííî ñ òî÷íîñòüþ äî ïîðÿäêà ñëàãàåìûõ.