Движение массивного тела в расширяющейся Вселенной

Äâèæåíèå ìàññèâíîãî òåëà â ðàñøèðÿþùåéñÿ Âñåëåííîé: íüþòîíîâ ïîäõîä
Äâèæåíèå ìàññèâíîãî òåëà â ðàñøèðÿþùåéñÿ
Âñåëåííîé: íüþòîíîâ ïîäõîä
Ëþäìèëà Áèøëåð
íàó÷íûé ðóêîâîäèòåëü:
äîêòîð ôèç.-ìàò. íàóê, àêàäåìèê
Ðóáàêîâ Âàëåðèé Àíàòîëüåâè÷
Ìàé, 2015
Äâèæåíèå ìàññèâíîãî òåëà â ðàñøèðÿþùåéñÿ Âñåëåííîé: íüþòîíîâ ïîäõîä
Öåëü
Çàäà÷à
Àíàëèç äâèæåíèÿ ãðàâèòàöèîííî ñâÿçàííûõ îáúåêòîâ â
ðàñøèðÿþùåéñÿ Âñåëåííîé. Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì áåñêîíå÷íîå
îäíîðîäíîå è èçîòðîïíîå ïðîñòðàíñòâî, çàïîëíåííîå ïûëüþ ñ
íóëåâûì äàâëåíèåì, íàéäåì åãî ïîòåíöèàë, à çàòåì
ïðîàíàëèçèðóåì, êàê ýòîò ïîòåíöèàë âëèÿåò íà äâèæåíèå
ïëàíåòû â ïîëå òÿæåñòè ìàññèâíîãî òåëà.
Ïðè ðåøåíèè çàäà÷è ó÷èòûâàëèñü îñîáåííîñòè ñîâðåìåííîé
Âñåëåííîé:
1
Îäíîðîäíîñòü è èçîòðîïíîñòü
2
Ðàñøèðåíèå
3
Ïðîñòðàíñòâåííàÿ êðèâèçíà, åñëè è îòëè÷íà îò íóëÿ, òî
ìàëà
Äâèæåíèå ìàññèâíîãî òåëà â ðàñøèðÿþùåéñÿ Âñåëåííîé: íüþòîíîâ ïîäõîä
Íàõîæäåíèå ïîòåíöèàëà
Ñèñòåìà óðàâíåíèé è åå îäíîðîäíîå ðåøåíèå
Óðàâíåíèå Ýéëåðà:
∂v
∂v
∂ϕ
+v
=− ,
∂t
∂r
∂r
(1)
óðàâíåíèå íåïðåðûâíîñòè:
1 ∂ 2 ∂ρ
+ 2
r ρv = 0,
∂t
r ∂r
(2)
1 ∂
r 2 ∂r
(3)
óðàâíåíèå Ïóàññîíà:
∂ϕ
r
∂r
2
= 4πG ρ,
ãäå v = v (r , t), ϕ = ϕ(r , t), ρ = ρ(t) (òàê êàê ñðåäà îäíîðîäíà â
ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè)
Äâèæåíèå ìàññèâíîãî òåëà â ðàñøèðÿþùåéñÿ Âñåëåííîé: íüþòîíîâ ïîäõîä
Íàõîæäåíèå ïîòåíöèàëà
Ðåøàÿ äàííóþ ñèñòåìó ïðèõîäèì, ó óðàâíåíèþ
2
8πG 1
ȧ
κ
=
+ ,
a
3α3 a3 a2
ãäå a(t) = 1/(αρ1/3 ), α ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ. Ýòî
óðàâíåíèå ñîâïàäàåò ñ óðàâíåíèåì Ôðèäìàíà:
2
8πG
æ
ȧ
=
ρ − 2,
a
3
a
(4)
(5)
ãäå a(t) ìàñøòàáíûé ôàêòîð, ȧa ïàðàìåòð Õàááëà, ρ ïëîòíîñòü ýíåðãèè, æ ðîñòîðàíñòâåííàÿ êðèâèçíà. Â ïëîñêîì
ïðîñòðàíñòâå æ = 0. Òîãäà
1
ȧ
2
a(t) = (6πG )1/3 (t)2/3 , H = = ,
(6)
α
a
3t
à èñêîìûé ïîòåíöèàë ðàâåí
2
1 r2
ϕ = πG ρr 2 =
.
3
9 t2
(7)
Äâèæåíèå ìàññèâíîãî òåëà â ðàñøèðÿþùåéñÿ Âñåëåííîé: íüþòîíîâ ïîäõîä
Ìàññèâíîå òåëî â ðàñøèðÿþùåéñÿ Âñåëåííîé
Äâèæåíèå ïëàíåòû â ïîëå òÿæåñòè ìàññèâíîãî òåëà
Çàïèøåì ëàãðàíæèàí ïëàíåòû â ðàñøèðÿþùåéñÿ Âñåëåííîé:
L=
mr˙2 m(r ϕ̇)2
mM
m
r2
+
+G
−
,
2
2
r
9 (t + t1 )2
(8)
ãäå t1 ìîìåíò íà÷àëà íàáëþäåíèÿ çà äâèæåíèåì. Óðàâíåíèå
äâèæåíèÿ ïëàíåòû:
r¨ −
ãäå L = mr 2 ϕ̇.
r
L2
GM
2
+ 2 +
= 0,
m2 r 3
r
9 (t + t1 )2
(9)
Äâèæåíèå ìàññèâíîãî òåëà â ðàñøèðÿþùåéñÿ Âñåëåííîé: íüþòîíîâ ïîäõîä
Ìàññèâíîå òåëî â ðàñøèðÿþùåéñÿ Âñåëåííîé
Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ
Óðàâíåíèå
r¨ −
L2
r
GM
2
+ 2 +
=0
2 3
m r
r
9 (t + t1 )2
(10)
ðåøàåì ìåòîäîì ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé. Â íóëåâîì
ïðèáëèæåíèè 29 (t+tr 1 )2 = 0 è r¨ = 0. Ïîëó÷àåì íåâîçìóùåííîå
ðåøåíèå
L2
.
(11)
r0 =
GMm2
Ðåøåíèå â ïåðâûõ äâóõ ïîðÿäêàõ òåîðèè âîçìóùåíèé:
r (t) =
ãäå ω0 =
L
.
mr02
L2
2
2 6
r0
r0
+
−
,
2
4
2
2
GMm
9 ω0 (t + t1 )
9 ω0 (t + t1 )4
(12)
Äâèæåíèå ìàññèâíîãî òåëà â ðàñøèðÿþùåéñÿ Âñåëåííîé: íüþòîíîâ ïîäõîä
Ìàññèâíîå òåëî â ðàñøèðÿþùåéñÿ Âñåëåííîé
Ñ ìîìåíòà âðåìåíè t1 (t = 0) â ïðåäåëå ïðè t → ∞ ðàäèóñ
îðáèòû óâåëè÷èòñÿ íà âåëè÷èíó
∆r =
2 r0
2 6 r0
H 2 (t1 )
−
.
∼
r
0
9 ω02 (t1 )2 9 ω04 (t1 )4
ω02
(13)
Äëÿ ñîâðåìåííîãî çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà Õàááëà è ÷àñòîòû
îáðàùåíèÿ Çåìëè âîêðóã Ñîëíöà èçìåíåíèå ðàäèóñà î÷åíü
ìàëî:
(14)
∆r ∼ 1.5 · 10−9 ì.
Äâèæåíèå ìàññèâíîãî òåëà â ðàñøèðÿþùåéñÿ Âñåëåííîé: íüþòîíîâ ïîäõîä
Âûâîäû
Ðåçóëüòàòû
 ðåçóëüòàòå âûïîëíåíèÿ ðàáîòû íàéäåíû:
ïîòåíöèàë
1 r2
ϕ=
,
(15)
9 t2
çàâèñèìîñòü ïëîòíîñòè ÷àñòèö â ïðîñòðàíñòâå îò âðåìåíè
1 1
ρ=
,
(16)
6πG t 2
ìàñøòàáíûé ôàêòîð
1
a(t) = (6πG )1/3 · t 2/3 ,
(17)
α
ïðè ýòîì âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ ìàñøòàáíîãî ôàêòîðà
îòðèöàòåëüíà. Èç ýòîãî ìîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî
ðàñøèðåíèå áóäåò ïðîèñõîäèòü ñ çàìåäëåíèåì:
1
ä ∼ − 4/3 ,
(18)
t
Äâèæåíèå ìàññèâíîãî òåëà â ðàñøèðÿþùåéñÿ Âñåëåííîé: íüþòîíîâ ïîäõîä
Âûâîäû
ïàðàìåòð Õàááëà aȧ è åãî ñâÿçü ñî ñêîðîñòüþ
ðàäèàëüíîãî äâèæåíèÿ:
21
,
3t
v = Hr (çàêîí
H=
Õàááëà),
(19)
èçìåíåíèå ðàäèóñà îðáèòû çà áåñêîíå÷íîå âðåìÿ ñ
ìîìåíòà âðåìåíè t1 :
∆r =
H 2 (t1 )
2 r0
2 6 r0
−
∼
r
.
0
9 ω02 (t1 )2 9 ω04 (t1 )4
ω02
(20)
Äëÿ ñîâðåìåííîãî çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà H è ÷àñòîòû
îáðàùåíèÿ Çåìëè âîêðóã Ñîëíöà ýòî èçìåíåíèå î÷åíü
ìàëî:
H 2 (t1 )
∼ 10−20 ,
ω02
(21)
−9
∆r ∼ 1.5 · 10 ì.
Äâèæåíèå ìàññèâíîãî òåëà â ðàñøèðÿþùåéñÿ Âñåëåííîé: íüþòîíîâ ïîäõîä
Âûâîäû
Ñïàñèáî çà âíèìàíèå!
Äâèæåíèå ìàññèâíîãî òåëà â ðàñøèðÿþùåéñÿ Âñåëåííîé: íüþòîíîâ ïîäõîä
Âûâîäû
Ñïàñèáî çà âíèìàíèå!
Äâèæåíèå ìàññèâíîãî òåëà â ðàñøèðÿþùåéñÿ Âñåëåííîé: íüþòîíîâ ïîäõîä
Âûâîäû
Îäíîðîäíàÿ è èçîòðîïíàÿ Âñåëåííàÿ
Ìåòðèêà Ôðèäìàíà-Ðîáåðòñîíà-Óîêåðà:
ds 2 = dt 2 − a2 (t)γij dx i dx j .
(22)
Óðàâíåíèå Ôðèäìàíà:
2
8πG
æ
ȧ
ρ − 2,
=
a
3
a
(23)
ãäå a(t) ìàñøòàáíûé ôàêòîð, ȧa òåìï ðàñøèðåíèÿ
Âñåëåííîé (ïàðàìåòð Õàááëà), ρ ïëîòíîñòü ýíåðãèè ìàòåðèè,
æ ïðîñòîðàíñòâåííàÿ êðèâèçíà.
Äâèæåíèå ìàññèâíîãî òåëà â ðàñøèðÿþùåéñÿ Âñåëåííîé: íüþòîíîâ ïîäõîä
Âûâîäû
Òåïåðü ìîæíî âûïèñàòü îêîí÷àòåëüíîå ðåøåíèå íà÷àëüíîé
ñèñòåìû:
1 1
,
6πG t 2
21
r ρ̇
=
r = Hr ,
v =−
3ρ
3t
1 r2
2
,
ϕ = πG ρr 2 =
3
9 t2
1
a(t) = (6πG )1/3 (t)2/3 ,
α
ȧ
21
H= =
a
3t
ρ=
(24)
(25)
(26)
(27)
(28)
Äâèæåíèå ìàññèâíîãî òåëà â ðàñøèðÿþùåéñÿ Âñåëåííîé: íüþòîíîâ ïîäõîä
Âûâîäû
Ñäåëàåì çàìåíó
u=l+
2
r0
9 ω02 (t + t1 )2
(29)
è ïðåîáðàçóåì óðàâíåíèå (??) ê âèäó
ü + ω02 u = 0,
(30)
r0
. Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (29)
ïðåíåáðåãàÿ ÷ëåíîì − 29 ω62 (t+t
1 )4
0
ïðåäñòàâèìî â âèäå:
u = A cos ω0 t + B sin ω0 t.
(31)
Âûáåðåì A = 0 è B = 0, òàê êàê ìû ðàññìàòðèâàåì êðóãîâóþ
îðáèòó. Ïîëó÷àåì
2
r0
l =− 2
(32)
9 ω0 (t + t1 )2
ïåðâàÿ ïîïðàâêà ê ðàäèóñó. Àíàëîãè÷íî âû÷èñëÿåòñÿ
ïîïðàâêè áîëåå ñòàðøèõ ïîðÿäêîâ.