1. Если все касательные плоской кривой длины L пересекают

1. Åñëè âñå êàñàòåëüíûå ïëîñêîé êðèâîé äëèíû L ïåðåñåêàþò êðóã ðàäèóñà ε, òî
max |k(s)| ≤
[0,L]
ε
,
(a + L)L
ãäå a ðàññòîÿíèå îò òî÷êè íà êðèâîé äî öåíòðà êðóãà. À â ïðîñòðàíñòâå?
2. Ïóñòü γ(s) ïëîñêàÿ êðèâàÿ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóåò êîíñòàíòà l òàêàÿ,
÷òî ïëîùàäü ìåæäó êàñàòåëüíîé è îòðåçêîì êðèâîé äëèíû l ïîñòîÿííà è ðàâíà
S äëÿ êàæäîé òî÷êè íà êðèâîé. Âåðíî ëè, ÷òî êðèâèçíà êðèâîé äîëæíà áûòü
ïîñòîÿííîé?
3. Ïóñòü γ ïëîñêàÿ êðèâàÿ, ïàðàìåòðèçîâàííàÿ íàòóðàëüíî âåêòîð-ôóíêöèåé
⃗r(s). Îáîçíà÷èì ÷åðåç α óãîë ìåæäó ⃗r(s) è âåêòîðîì ãëàâíîé íîðìàëè êðèâîé.
Ïîëîæèì r = |⃗r(s)|. Ïîêàæèòå, ÷òî
r′ = sin α,
α′ = k +
cosα
,
r
ãäå k - êðèâèçíà êðèâîé.
4. Ïóñòü ⃗γ êðèâàÿ íà ïîâåðõíîñòè F 2 ⊂ E 3 , ïàðàìåòðèçîâàííàÿ íàòóðàëüíî
âåêòîð-ôóíêöèåé ⃗r(s). Îáîçíà÷èì ÷åðåç α óãîë ìåæäó ⃗r(s) è âåêòîðîì ãëàâíîé
íîðìàëè êðèâîé, à ÷åðåç θ óãîë ìåæäó ⃗r(s) è åäèíè÷íûì âåêòîðîì íîðìàëè
ïîâåðõíîñòè. Ïîëîæèì r = |⃗r(s)|. Ïîêàæèòå, ÷òî
r′ = sin α sin θ,
α′ = ctg θ(kn cos α − κg sin α) + kg +
θ′ = kn sin θ + κg cos θ +
cos α
,
r sin θ
sin α cos θ
,
r
ãäå kg , kn è κg ãåîäåçè÷åñêàÿ êðèâèçíà, íîðìàëüíàÿ êðèâèçíà è ãåîäåçè÷åñêîå
êðó÷åíèå êðèâîé, ñîîòâåòñòâåííî.
Îáîçíà÷èì ÷åðåç β óãîë ìåæäó ⃗r(s) è âåêòîðîì êàñàòåëüíîé êðèâîé ⃗γ . Òîãäà
cos β = sin α sin θ.
5. Ïóñòü ⃗r ðåãóëÿðíàÿ ïàðàìåòðèçàöèÿ ïîâåðõíîñòè F 2 ⊂ E 3 . Ïîëîæèì r = |⃗r| è
îáîçíà÷èì ÷åðåç θ óãîë ìåæäó ⃗r è íîðìàëüþ ê ïîâåðõíîñòè â ñîîòâåòñòâóþùåé
òî÷êå. Ïîêàæèòå, ÷òî
| grad r|S
,
tg θ =
r
ãäå | grad r|S ìîäóëü ãðàäèåíòà ôóíêöèè r íà åäèíè÷íîé ñôåðå S : ρ
⃗ = 1r ⃗r.
Óòâåðæäåíèå âåðíî äëÿ ãèïåðïîâåðõíîñòè F n ⊂ E n+1 . Îáîñíóéòå.
1
 ÷àñòíîñòè, äëÿ êðèâîé íà ïëîñêîñòè
tg θ =
rω
,
r
ãäå ω óãîë ìåæäó ⃗r è ôèêñèðîâàííûì íàïðàâëåíèåì (ïîëÿðíûé óãîë). Ëîãàðèôìè÷åñêèå ñïèðàëè
⃗r = eω tg θ {cos ω, sin ω}
ñîñòàâëÿþò åäèíñòâåííîå ñ òî÷íîñòüþ äî ïîâîðîòà íà ïîñòîÿííûé óãîë ñåìåéñòâî êðèâûõ ñ ïîñòîÿííûì óãëîì θ ̸= 0.
6. Ïóñòü (u, v) êîîðäèíàòû òî÷êè, ÿâëÿþùåéñÿ îáðàçîì òî÷êè (x, y, z) ïðè ñòåðåîãðàôè÷åñêîé ïðîåêöèè èç âåðõíåé ïîëîâèíû äâóïîëîñòíîãî ãèïåðáîëîèäà
x2 + y 2 − z 2 = −1, Äîêàæèòå, ÷òî
2u
x=
,
1 − u2 − v 2
2v
y=
,
1 − u2 − v 2
1 + u2 + v 2
z=
.
1 − u2 − v 2
7. Ïóñòü (u, v) êîîðäèíàòû òî÷êè, ÿâëÿþùåéñÿ îáðàçîì òî÷êè (x, y, z) ïðè ñòåðåîãðàôè÷åñêîé ïðîåêöèè èç ñåâåðíîãî ïîëþñà ñòàíäàðòíîé ñôåðû x2 +y 2 +z 2 =
1, Äîêàæèòå, ÷òî
x=
2u
,
1 + u2 + v 2
y=
2v
,
1 + u2 + v 2
z=
1 − u2 − v 2
.
1 + u2 + v 2
8. Äîêàæèòå, ÷òî ïðè ñòåðåîãðàôè÷åñêîé ïðîåêöèè èç ñåâåðíîãî ïîëþñà ñôåðû
îêðóæíîñòè, íå ïðîõîäÿùèå ÷åðåç ïîëþñ, ïåðåõîäÿò â îêðóæíîñòè íà ïëîñêîñòè, à îêðóæíîñòè, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç ïîëþñ â ïðÿìûå.
9. Äîêàæèòå, ÷òî ñòåðåîãðàôè÷åñêàÿ ïðîåêöèÿ ñôåðû íà ýêâàòîðèàëüíóþ ïëîñêîñòü ÿâëÿåòñÿ êîíôîðìíûì îòîáðàæåíèåì, ïðèâîäÿùèì 1 êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó ñôåðû ðàäèóñà R ê âèäó:
4R4
(dx2 + dy 2 )
ds =
2
2
2
2
(R + x + y )
2
10. Ïðîâåðüòå, ÷òî ïðè ñòåðåîãðàôè÷åñêîé ïðîåêöèè ñôåðû íà ýêâàòîðèàëüíóþ
ïëîñêîñòü, ïðîîáðàçîì îêðóæíîñòè
x = a + r cos t,
b + r sin t
ÿâëÿåòñÿ îêðóæíîñòü ñ ãåîäåçè÷åñêîé êðèâèçíîé
kg =
1 R2 − r2 + a2 + b2
,
2
R2 r
à ïðÿìàÿ
x = a 1 t + b1 ,
2
y = a2 t + b2
â îêðóæíîñòü ñ ãåîäåçè÷åñêîé êðèâèçíîé
a 1 b2 − a 2 b1
kg = √ 2
.
a1 + a22
11. Íàéäèòå äèôôåðåíöèàë îòîáðàæåíèÿ ñòåðåîãðàôè÷åñêîãî ïðîåêòèðîâàíèÿ. Íàéäèòå îáðàç âåêòîðà {1, 1}, êàñàòåëüíîãî ê ñôåðå â òî÷êå (u, v) = (π/4, 0).
12. Ïîêàæèòå, ÷òî ãåîäåçè÷åñêàÿ êðèâèçíà îêðóæíîñòè âíåøíåãî ðàäèóñà r íà ñôåðå ðàäèóñà R ðàâíà
√
R2 − r 2
kg =
Rr
13. Ïîêàæèòå, ÷òî êðèâûìè ïîñòîÿííîé ãåîäåçè÷åñêîé êðèâèçíû íà ñôåðå ÿâëÿþòñÿ îêðóæíîñòè è òîëüêî îíè.
14. Íà ïëîñêîñòè Ëîáà÷åâñêîãî ñ ìåòðèêîé Ïóàíêàðå ds2 =
äåçè÷åñêàÿ êðèâèçíà kg åâêëèäîâîé îêðóæíîñòè
R2 (dx2 +dy 2 )
y2
(y > 0) ãåî-
{x = x0 + r cos t, y = y0 + r sin t}
âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé
y0
,
Rr
à ãåîäåçè÷åñêàÿ êðèâèçíà åâêëèäîâîé ïðÿìîé
kg =
{x = a1 t + b1 , y = a2 t + b2 }
âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé
kg =
a
1
√ 1
2
R a1 + a22
15. Ïóñòü {x(t), y(t)} êðèâàÿ íà ïëîñêîñòè Ëîáà÷åâñêîãî ñ ìåòðêîé Ïóàíêàðå
ds2 =
R2 (dx2 + dy 2 )
(y > 0).
y2
Ïîêàæèòå, ÷òî åå ãåîäåçè÷åñêàÿ êðèâèçíà ìîæåò áûòü âûðàæåíà ôîðìóëîé
)
(
1
x′
kg =
yk0 + √
,
R
(x′ )2 + (y ′ )2
ãäå k0 êðèâèçíà ýòîé êðèâîé íà åâêëèäîâîé ïëîñêîñòè.
3
16. Ïîêàæèòå, ÷òî ñóììàðíûé îðèåíòèðîâàííûé óãîë ïîâîðîòà ∆α êàñàòåëüíîãî
âåêòîðíîãî ïîëÿ îòíîñèòåëüíî ïàðàëëåëüíîãî âäîëü êðèâîé íà ïëîñêîñòè Ëîáà÷åâñêîãî ñ ìåòðèêîé Ïóàíêàðå âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé
∫
dx
∆α = ∆α0 +
,
y
γ
ãäå ∆α0 ñóììàðíûé ïîâîðîò ýòîãî ïîëÿ âäîëü òîé æå êðèâîé íà åâêëèäîâîé
ïëîñêîñòè.
17. Ïîêàæèòå, ÷òî íà ïîâåðõíîñòè ñ ìåòðèêîé ds2 = A2 du2 + B 2 dv 2 ñóììàðíûé
ïîâîðîò ïàðàëëåëüíî ïåðåíîñèìîãî âåêòîðà âäîëü êîîðäèíàòíûõ ëèíèé ðàâåí
∫u2
∆φ|v=const =
∫v2
∂v A
du,
B
∆φ|u=const = −
u1
∂u B
dv.
A
v1
 ÷àñòíîñòè, íà ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ ñ ìåòðèêîé ds2 = du2 + f 2 (u)dv 2 ïðè
îáõîäå âäîëü çàìêíóòîé ïàðàëëåëè u = u0 ïàðàëëåëüíî ïåðåíîñèìûé âåêòîð
èñïûòûâàåò ïîâîðîò íà óãîë
∫2π
∆φ = −
f ′ (u0 )dv = −2π f ′ (u0 ).
0
Ïîêàæèòå íåçàâèñèìûì âû÷èñëåíèåì, ÷òî ïðîâîðîò êàñàòåëüíîãî ê çàìêíóòîé
ïàðàëëåëè âåêòîðà îòíîñèòåëüíî ïàðàëëåëüíî ïåðåíîñèìîãî âåêòîðà ðàâåí
∆α = +2πf ′ (u0 ).
18. Ïîêàæèòå, ÷òî ñóììàðíûé ïîâîðîò ïàðàëëåëüíî ïåðåíîñèìîãî âåêòîðà âäîëü
ãåîäåçè÷åñêèõ ëèíèé ðàâåí 0.
19. Ïóñòü {x(t), y(t)} êðèâàÿ íà ïîâåðõíîñòè ñ êîíôîðìíîé ìåòðèêîé
ds2 = eA (dx2 + dy 2 ).
Ïîêàæèòå, ÷òî åå ãåîäåçè÷åñêàÿ êðèâèçíà ìîæåò áûòü âûðàæåíà ôîðìóëîé
⟨
⟩
kg = e−A k0 − νg , grad A = e−A k0 − dA(νg ),
ãäå k0 êðèâèçíà ýòîé êðèâîé íà åâêëèäîâîé ïëîñêîñòè, à νg åäèíè÷íûé
ïîëîæèòåëüíî îðèåíòèðîâàííûé âåêòîð ãåîäåçè÷åñêîé íîðìàëè êðèâîé.
20. Ïîêàæèòå, ÷òî ãåîäåçè÷åñêàÿ êðèâèçíà êîîðäèíàòíûõ ëèíèé äàííîé ïîâåðõíîñòè âû÷èñëÿþòñÿ êàê
√
√
det g 2 1 2 det g 1 1
1
2
1
2
1 1.
,
k
(u
,
u
)
=
−
Γ
(u
,
u
)
Γ
(u
,
u
)
kg (u , u0 ) =
g
2
2
2
0
u =u0
u =u0
(g11 )3/2 11
(g22 )3/2 22
 ÷àñòíîñòè,
4
• íà ïîâåðõíîñòè êàñàòåëüíûõ ïðîñòðàíñòâåííîé êðèâîé ⃗r = ρ⃗(s) + tτ (s)
[
]
k ′ + k(1 + t20 k 2 )
kg = 0, −
;
(1 + t20 k 2 )3/2
• íà ïîâåðõíîñòè ãëàâíûõ íîðìàëåé ⃗r = ρ⃗(s) + tν(s)
[
]
k − t0 (k 2 + κ 2 )
kg = 0,
;
(1 − t0 k)2 + t20 κ 2
• íà ïîâåðõíîñòè áèíîðìàëåé ⃗r = ρ⃗(s) + tβ(s)
[
]
t0 κ 2
,
kg = 0, −
1 + t20 κ 2
ãäå k è κ êðèâèçíà è êðó÷åíèå áàçîâîé êðèâîé.  ÷àñòíîñòè, äëÿ ïðîñòîé âèíòîâîé ëèíèè ãåîäåçè÷åñêàÿ êðèâèçíà ýêâèäèñòàíò áàçîâîé êðèâîé
ïîñòîÿííà (îêðóæíîñòè ïî Äàðáó). Íî ýòè ëèíèè íå çàìêíóòû, äàæå äëÿ
ïîâåðõíîñòè êàñàòåëüíûõ, êîòîðàÿ èçîìåòðè÷íà ïëîñêîñòè.
21. Íà ïîâåðõíîñòè
x = u cos v,
y = u sin v,
z = a ln(u +
√
u2 − a2 )
íàéäèòå êðèâûå, ïåðåñåêàþùèå êðèâóþ v = const ïîä ïîñòîÿííûì óãëîì ϑ.
Òàêèå êðèâûå íà ïîâåðõíîñòÿõ âðàùåíèÿ íàçûâàþòñÿ ëîêñîäðîìèÿìè.
22. Äîêàæèòå, ÷òî êðèâèçíà C 2 - ðåãóëÿðíîé êðèâîé ïðîïîðöèîíàëüíà êðó÷åíèþ
⟨ ⟩
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà íàéäåòñÿ òàêîé ïîñòîÿííûé âåêòîð ⃗a, ÷òî ⃗a, ⃗τ =
const, ãäå ⃗τ åäèíè÷íûé âåêòîðî êàñàòåëüíîé ê êðèâîé.
23. Ïîêàæèòå, ÷òî íîðìàëüíàÿ êðèâèçíà êðèâîé kn , åå ãåîäåçè÷åñêîå êðó÷åíèå κg ,
ãàóññîâà êðèâèçíà K è ñðåäíÿÿ êðèâèçíà H ïîâåðõíîñòè ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì
kn2 + κg2 = 2Hkn − K.
 ÷àñòíîñòè, âäîëü àñèìïòîòè÷åñêîé ëèíèè κ = κg = −K , ãäå κ ïðîñòðàíñòâåííîå êðó÷åíèå êðèâîé (òåîðåìà Áåëüòðàìè-Ýííåïåðà).
24. Ïîêàæèòå, ÷òî ãàóññîâà è ñðåäíÿÿ êðèâèçíû ïîâåðõíîñòè è åå λ-ýêâèäèñòàíòû
ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì
K∗ =
K
K
=
;
det(A − λA)
1 − 2λH + λ2 K 2
1
H − λK
H ∗ = trace((I − λA)−1 A) =
,
2
1 − 2λH + λ2 K 2
ãäå A ìàòðèöà Âåéíãàðòåíà, I åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà.
5
25. Ïîêàæèòå, ÷òî ôîðìóëó äëÿ ñðåäíåé êðèâèçíû λ- ýêâèäèñòàíòíîé ïîâåðõíîñòè
F n ⊂ E n−1 ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
(
)
1 d
∗
H =
ln det(I − λA)
n dλ
26. Íîðìàëüíàÿ êðèâèçíà è ãåîäåçè÷åñêîå êðó÷åíèå ïîâåðõíîñòè è åå λ- ýêâèäèñòàíòû ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì
kn∗ =
kn − λ(kn2 + κg2 )
;
(1 − λkn )2 + λ2 κg2
κg∗ =
κg
.
(1 − λkn )2 + λ2 κg2
27. Ïîêàæèòå, ÷òî ãåîäåçè÷åñêàÿ êðèâèçíà êðèâîé íà ïîâåðõíîñòè è åå îáðàçà íà
λ - ýêâèäèñòàíòíîé ïîâåðõíîñòè ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì
kg∗
kg − λ(κg′ + 2kn kg ) + λ2 (kn κg′ − κg kn′ + kg (kn2 + κg2 ))
=
.
((1 − λkn )2 + λ2 κg2 )3/2
 ÷àñòíîñòè, äëÿ ëèíèè êðèâèçíû
kg∗ =
kg
.
1 − λkn
28. Àñèìïòîòè÷åñêàÿ ëèíèÿ íà ïîâåðõíîñòè ïåðåõîäèò â àñèìïòîòè÷åñêóþ ëèíèþ
ýêâèäèñòàíòû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ãàóññîâà êðèâèçíà ïîâåðõíîñòè â
òî÷êàõ ýòîé ëèíèè ðàâíà 0.
29. Ïîâåðõíîñòè
Φ1 : ρ⃗ = ⃗r + r1⃗n è Φ2 = ρ⃗ = ⃗r + r2⃗n,
ãäå r1 è r2 ãëàâíûå ðàäèóñû êðèâèçíû ïîâåðõíîñòè ⃗r = ⃗r(u, v) è ⃗n åäèíè÷íûé âåêòîð íîðìàëè, íàçûâàþòñÿ ôîêàëüíûìè (äëÿ äàííîé ïîâåðõíîñòè).
Ïîêàæèòå, ÷òî ôîêàëüíûå ïîâåðõíîñòè âçàèìíî îðòîãîíàëüíû (âäîëü ëèíèè èõ
ïåðåñå÷åíèÿ).
30. Ïóñòü ⃗γ = ⃗γ (u) ïàðàìåòðèçîâàííàÿ ïðîñòðàíñòâåííàÿ êðèâàÿ, ⃗a åäèíè÷íîå
âåêòîðíîå ïîëå â òî÷êàõ êðèâîé ⃗γ . Ïîâåðõíîñòü
Φ : ⃗r = ⃗γ (u) + v⃗a(u) (⃗a ′ ̸= ⃗0)
íàçûâàåòñÿ îáùåé ïàðàìåòðèçîâàííîé ëèíåé÷àòîé ïîâåðõíîñòüþ. Ïîêàæèòå,
÷òî ãàóññîâà êðèâèçíà îáùåé ïàðàìåòðèçîâàííîé ëèíåé÷àòîé ïîâåðõíîñòè âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
K = −(
(⃗a ′ , ⃗γ ′ , ⃗a)2
⟨
⟩ 2 )2
|⃗γ ′ + v⃗a ′ |2 − ⃗γ ′ , ⃗a
6
31. Ïîêàæèòå, ÷òî íîðìàëü ê îáùåé ëèíåé÷àòîé ïîâåðõíîñòè ñòàöèîíàðíà âäîëü
êàæäîé îáðàçóþùåé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ãàóññîâà êðèâèçíà ïîâåðõíîñòè
K = 0.
32. Ëèíèÿ íà îáùåé ëèíåé÷àòîé ïîâåðõíîñòè ⃗r = ⃗γ (u) + v⃗a(u), ïàðàìåòðèçîâàííàÿ
âåêòîð-ôóíêöèåé
⟨ ′ ′⟩
⃗γ , ⃗a
ρ⃗ = ⃗γ −
⃗a
|⃗a ′ |2
íàçûâàåòñÿ ëèíèåé ñæàòèÿ (ñòðèêöèîííîé ëèíèåé). Ïîêàæèòå, ÷òî ñòðèêöèîííàÿ ëèíèè åñòü ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê ïîâåðõíîñòè, ãäå ðàâíà íóëþ ãåîäåçè÷åñêàÿ êðèâèçíà îðòîãîíàëüíûõ òðàåêòîðèé îáðàçóþùèõ.
33. Äîêàæèòå, ÷òî ñòðèêöèîííàÿ ëèíèÿ åñòü ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê ïîâåðõíîñòè, â êîòîðûõ ìèíèìàëüíà ãàóññîâà êðèâèçíà ïîâåðõíîñòè âäîëü ñîîòâåòñòâóþùåé îáðàçóþùåé.
34. (Ôîðìóëà Áåðòðàíà-Ïþèçå) Îáîçíà÷èì ÷åðåç r ðàäèóñ ãåîäåçè÷åñêîé îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì òî÷êå q íà ïîâåðõíîñòè, à ÷åðåç Lr åå äëèíó. Òîãäà äëÿ Ãàóññîâîé
êðèâèçíû ïîâåðõíîñòè èìååò ìåñòî ôîðìóëà
3 2πr − Lr
.
r→0 π
r3
K(q) = lim
35. Îáîçíà÷èì ÷åðåç Fr ïëîùàäü ãåîäåçè÷åñêîãî êðóãà ðàäèóñà r ñ öåíòðîì â
òî÷êå q íà ïîâåðõíîñòè. Òîãäà äëÿ Ãàóññîâîé êðèâèçíû ïîâåðõíîñòè èìååò ìåñòî
ôîðìóëà
12 πr2 − Fr
K(q) = lim
.
r→0 π
r4
36. Êðèâàÿ ïîñòîÿííîé ãåîäåçè÷åñêîé êðèâèçíû íà ïîâåðõíîñòè íàçûâàåòñÿ îêðóæíîñòüþ Äàðáó. Åñëè êàæäàÿ îêðóæíîñòü íà ïîâåðõíîñòè ÿâëÿåòñÿ îêðóæíîñòüþ
Äàðáó, òî ãàóññîâà êðèâèçíà ïîâåðõíîñòè ïîñòîÿííà. Îáðàòíîå íåâåðíî (ïðèâåäèòå ïðèìåð). Îäíàêî, åñëè êàæäàÿ îêðóæíîñòü Äàðáó çàìêíóòà, òî ïîâåðõíîñòü èìååò ïîñòîÿííóþ ãàóññîâó êðèâèçíó.
37. (Òåîðåìà ßêîáè) Ïóñòü γ ðåãóëÿðíàÿ çàìêíóòàÿ êðèâàÿ â E 3 , íîðìàëüíûé
ñôåðè÷åñêèé îáðàç êîòîðîé γ ∗ íå èìååò ñàìîïåðåñå÷åíèé. Òîãäà γ ∗ äåëèò ñôåðó
íà äâå ðàâíîâåëèêèå ÷àñòè.
38. Ïóñòü γ ðåãóëÿðíàÿ çàìêíóòàÿ ãåîäåçè÷åñêàÿ íà âûïóêëîé ïîâåðõíîñòè â E 3
êëàññà C 2 . Òîãäà åå ñôåðè÷åñêèé îáðàç êîòîðîé γ ∗ íå èìååò ñàìîïåðåñå÷åíèé.
Òîãäà åå íîðìàëüíûé ñôåðè÷åñêèé îáðàç γ ∗ äåëèò ñôåðó íà äâå ðàâíîâåëèêèå
÷àñòè.
7
39. Ïîêàæèòå, ÷òî äèâåðãåíöèÿ åäèíè÷íîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ ξ íà ïîâåðõíîñòè ïî
ìîäóëþ ðàâíà ãåîäåçè÷åñêîé êðèâèçíå îðòîãîíàëüíûõ òðàåêòîðèé ýòîãî ïîëÿ
|kg (γ)| = |div(ξ)|.
 ÷àñòíîñòè, äëÿ ñåìåéñòâà ëèíèé íà ïëîñêîñòè, çàäàííîãî óðàâíåíèåì F (x, y) =
const èìååò ìåñòî ôîðìóëà
)
(
)
(
) (
grad
F
F
F
x
= ∂x √ x
√
|k| = div
+
∂
.
y
2
2
2
2
|grad F | Fx + Fy
Fx + Fy 8