5

ÃÅÎÌÅÒÐÈß
Òåîðåìà î ñòðîãîé îòäåëèìîñòè. Âûïóêëîå çàìêíóòîå ìíîæåñòâî íà ïëîñêîñòè ìîæíî ñòðîãî îòäåëèòü
îò òî÷êè, åìó íå ïðèíàäëåæàùåé.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ìíîæåñòâî À âûïóêëî è
çàìêíóòî è òî÷êà  åìó íå ïðèíàäëåæèò. Íàéäåì ñðåäè
òî÷åê èç À òî÷êó Ñ, áëèæàéøóþ ê Â.
Ïðåäñòàâüòå ñåáå, ÷òî ãðàíèöà À – ýòî áåðåã îñòðîâà,
ðàñïîëîæåííîãî â íåïîäâèæíîé ãëàäè îçåðà, è êòî-òî
áðîñèë êàìåíü «â òî÷êó ». Ñíà÷àëà êðóãè, ðàñõîäÿùèåñÿ îò áðîøåííîãî êàìíÿ, íå áóäóò èìåòü îáùèõ
òî÷åê ñ À, íî â íåêîòîðûé ìîìåíò âîëíîâîé ôðîíò
âïåðâûå êîñíåòñÿ À. Òî÷êó êàñàíèÿ ìû è îáîçíà÷èëè
áóêâîé Ñ.
 òå÷åíèå î÷åíü äëèòåëüíîãî âðåìåíè ìàòåìàòèêè ñ÷èòàëè
ïîäîáíûå óòâåðæäåíèÿ î ñóùåñòâîâàíèè áëèæàéøèõ òî÷åê
î÷åâèäíûìè è íèêàêèõ äîêàçàòåëüñòâ íå ïðèâîäèëè. Â
äåâÿòíàäöàòîì âåêå äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òàêèõ ôàêòîâ Îãþñòåíîì Êîøè è Êàðëîì Âåéåðøòðàññîì áûëà ïîäâåäåíà áàçà.
Îíà îñíîâûâàåòñÿ íà ïîíÿòèè íåïðåðûâíîñòè è êîìïàêòíîñòè. Êðàòêî ðàññêàæåì îá ýòîì.
×èñëîâàÿ ôóíêöèÿ f íà ïëîñêîñòè íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíîé â òî÷êå A0 , åñëè äëÿ ëþáîãî ÷èñëà ε > 0 íàéäåòñÿ ÷èñëî
δ > 0 òàêîå, ÷òî åñëè ðàññòîÿíèå îò òî÷êè À äî òî÷êè A0
ìåíüøå δ , ðàçíîñòü çíà÷åíèé ôóíêöèè f â òî÷êå À è â òî÷êå
A0 ïî ìîäóëþ ìåíüøå ε . Âåéåðøòðàññ äîêàçàë âàæíóþ
òåîðåìó, ñîãëàñíî êîòîðîé íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ íà êîìïàêòå äîñòèãàåò è ñâîåãî ìàêñèìóìà è ñâîåãî ìèíèìóìà. Ïðèìåíèì ýòó òåîðåìó ê íàøåìó ñëó÷àþ.
Ðàññòîÿíèå îò òî÷êè  äî òî÷åê ïëîñêîñòè – íåïðåðûâíàÿ
ôóíêöèÿ íà ïëîñêîñòè. Ïî òåîðåìå Âåéåðøòðàññà (èáî
ìîæíî îãðàíè÷èòüñÿ êîìïàêòîì, ÿâëÿþùèìñÿ ïåðåñå÷åíèåì
À ñ êðóãîì ðàäèóñà, ðàâíîãî ðàññòîÿíèþ îò  äî ëþáîé òî÷êè
A′ èç À – ðèñ.4), îíà äîñòèãàåò ñâîåãî ìèíèìóìà íà À â
òî÷êå Ñ. Ïðîäîëæèì äîêàçàòåëüñòâî.
Ïðÿìàÿ Í, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç Ñ ïåðïåíäèêóëÿðíî
ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç  è Ñ, èñêîìàÿ. Äåéñòâèòåëüíî, Â, î÷åâèäíî, íå ïðèíàäëåæèò Í. Äîïóñòèì
òåïåðü, ÷òî â òîé æå (îòêðûòîé) ïîëóïëîñêîñòè, ÷òî
è Â, ëåæèò òî÷êà D èç À. Òîãäà óãîë BCD îñòðûé è
äëÿ ëþáîé òî÷êè D′ íà îòðåçêå CD òàêîé, ÷òî óãîë
BD′C – òóïîé, ðàññòîÿíèå
)
îò  äî D′ ìåíüøå, ÷åì îò
 äî Ñ (ïðîòèâ áîëüøåãî
A′
óãëà ëåæèò áîëüøàÿ ñòîðî0
C
íà) (ñì. ðèñ.4). Òåîðåìà äîD′
êàçàíà.
Ñëåäñòâèå (òåîðåìà Ìèíêîâñêîãî). Äëÿ òîãî ÷òîáû
D
B
ôèãóðà íà ïëîñêîñòè ÿâëÿëàñü ïåðåñå÷åíèåì ïîëóïëîñêîñòåé, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû îíà áûëà âûÐèñ.4. Òåîðåìà î ñòðîãîé îò- ïóêëîé è çàìêíóòîé.
äåëèìîñòè
Äåéñòâèòåëüíî, ïåðåñå÷åíèå
ïîëóïëîñêîñòåé âûïóêëî è çàìêíóòî. Åñëè æå äîïóñòèòü, ÷òî ïåðåñå÷åíèþ ïîëóïëîñêîñòåé A1 , ñîäåðæàùèõ âûïóêëóþ è çàìêíóòóþ ôèãóðó À, ïðèíàäëåæèò
òî÷êà Â, íå ïðèíàäëåæàùàÿ À, òî, ñòðîãî îòäåëèâ ýòó
òî÷êó îò À, ïðèõîäèì ê ïðîòèâîðå÷èþ.
ÂÛÏÓÊËÎÑÒÈ
5
Òåîðåìà î ñòðîãîé îòäåëèìîñòè è ñëåäñòâèå èç íåå áûëè
äîêàçàíû çàìå÷àòåëüíûì íåìåöêèì ìàòåìàòèêîì Ãåðìàíîì
Ìèíêîâñêèì (1864–1909), êîòîðûé ÿâèëñÿ îäíèì èç îñíîâîïîëîæíèêîâ âûïóêëîé ãåîìåòðèè. Òåîðåìà Ìèíêîâñêîãî
áûëà ïåðåíåñåíà ïîëüñêèì ìàòåìàòèêîì Ñòàíèñëàâîì Ìàçóðîì (1905–1981) íà áåñêîíå÷íîìåðíûé ñëó÷àé. Îá ýòîì
áåñêîíå÷íîìåðíîì ñëó÷àå è î òåîðåìå Ìàçóðà ìû åùå ïîãîâîðèì â êîíöå.
Íåêîòîðûå òåîðåìû âûïóêëîé ãåîìåòðèè
Òî÷êè ìíîæåñòâà, êîòîðûå íå ÿâëÿþòñÿ âíóòðåííèìè
íè äëÿ êàêîãî îòðåçêà, ðàñïîëîæåííîãî â ýòîì ìíîæåñòâå, íàçûâàþòñÿ êðàéíèìè òî÷êàìè ýòîãî ìíîæåñòâà.
 òðåóãîëüíèêå ýòî åãî âåðøèíû, â êðóãå – òî÷êè
îêðóæíîñòè, îãðàíè÷èD
âàþùåé êðóã (ðèñ.5).
B
Ïåðåñå÷åíèå âûïóêëûõ çàìêíóòûõ ìíîæåñòâ, ñîäåðæàùèõ äàííîå ìíîæåñòâî, íàçûâàåòñÿ åãî âûïóêëûì çàC
A
ìûêàíèåì.1
Òåîðåìà (Êðåéíà– Ðèñ.5. Êðàéíèå òî÷êè
Ìèëüìàíà). Âûïóêëûé
êîìïàêò ÿâëÿåòñÿ âûïóêëûì çàìûêàíèåì ñâîèõ êðàéíèõ òî÷åê.
Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì ñíà÷àëà, ÷òî ìíîæåñòâî
êðàéíèõ òî÷åê ìíîæåñòâà À íåïóñòî.
Ïóñòü H0 – ëþáàÿ ïðÿìàÿ. Âîçìîæíî, ÷òî H0 èìååò
îáùèå òî÷êè ñ À, à ñàìî ìíîæåñòâî ëåæèò ïî îäíó
ñòîðîíó îò ýòîé ïðÿìîé (òàêèå ïðÿìûå íàçûâàþò
îïîðíûìè ê À). Åñëè æå
0
ïðÿìàÿ H0 îïîðíîé íå
ÿâëÿåòñÿ, íà÷íåì «äâèãàòü» ïðÿìóþ H0 ïàðàëëåëüíî ñàìîé ñåáå äî òåõ
ïîð, ïîêà îíà íå ñòàíåò
îïîðíîé (ðèñ.6).
È çäåñü ïîÿñíèì, êàê
ñòðîãî äîêàçàòü ýòî (íà)
ãëÿäíî î÷åâèäíîå) óòâåðæäåíèå.
Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ íà
ïëîñêîñòè – ðàññòîÿíèå îò Ðèñ.6. Ñóùåñòâîâàíèå êðàéíèõ òîòî÷êè ïëîñêîñòè äî H0 . ÷åê
Ýòî íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ,
è çíà÷èò, ïî òåîðåìå Âåéåðøòðàññà îíà äîñòèãàåò ìàêñèìóìà è ìèíèìóìà íà À. Ïðÿìûå, ïàðàëëåëüíûå H0 , íàõîäÿùèåñÿ íà ìàêñèìàëüíîì è ìèíèìàëüíîì ðàññòîÿíèÿõ, –
îïîðíûå.
Îïîðíàÿ ïðÿìàÿ ïåðåñåêàåòñÿ ñ À ïî îòðåçêó (ìîæåò
áûòü, âûðîæäàþùåìóñÿ â òî÷êó), è òîãäà êðàéíÿÿ
òî÷êà ýòîãî îòðåçêà áóäåò êðàéíåé òî÷êîé è äëÿ À.
(Äîêàæèòå ýòî.)
Ïóñòü òåïåðü A1 – âûïóêëîå çàìûêàíèå êðàéíèõ
òî÷åê èç À. Îíî îãðàíè÷åíî è çàìêíóòî (à ñëåäîâà1 Îòìåòèì, ÷òî âûïóêëîå çàìûêàíèå ìíîæåñòâà è åãî âûïóêëàÿ
îáîëî÷êà ìîãóò íå ñîâïàäàòü. Íàïðèìåð, âûïóêëàÿ îáîëî÷êà îòêðûòîãî êðóãà ñîâïàäàåò ñ íèì ñàìèì, à åãî âûïóêëîå çàìûêàíèå ñîäåðæèò
ãðàíè÷íóþ îêðóæíîñòü.