Ìàëàÿ òåîðåìà Ôåðìà ÌÀËÀß ÒÅÎÐÅÌÀ ÔÅÐÌÀ 9 Â.ÑÅÍÄÅÐÎÂ, À.ÑÏÈÂÀÊ × ÅÌ ÎÒËÈ×ÀÅÒÑß Ó×ÅÍÈÊ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÃÎ Èëëþñòðàöèÿ Â.Õëåáíèêîâîé êëàññà îò ó÷åíèêà ãåîãðàôè÷åñêîãî, ýêîíîìè÷åñêîãî, ïîëèòîëîãè÷åñêîãî èëè êîððåêöèîííîãî êëàññà? Òåì, ÷òî îí áîëüøå ðàçìûøëÿåò íàä çàäà÷àìè? Äà, è ýòèì òîæå. Íî íå òîëüêî. Åùå îí çíàåò ìàëóþ òåîðåìó Ôåðìà. Ïðîãðàììû îáó÷åíèÿ ìàòåìàòèêå áûâàþò ðàçíûå: ìîæíî íà÷àòü ñ ïîäðîáíîãî èçó÷åíèÿ ãåîìåòðèè, ìîæíî ñ êîìáèíàòîðèêè, êòî-òî íà÷èíàåò ñ òåîðèè ìíîæåñòâ, âñå íå ïåðå÷åñòü. Íî ìàëàÿ òåîðåìà Ôåðìà ïðî÷íî âîøëà â ïðîãðàììó ìàòåìàòè÷åñêèõ êëàññîâ. Êîìïüþòåðùèêè 3 Êâàíò ¹ 1 àâòîðû ó÷åáíèêà «Êîíêðåòíàÿ ìàòåìàòèêà» Ð.Ãðýõåì, Ä.Êíóò è Î.Ïàòàøíèê òîæå âêëþ÷èëè åå â òîò íàáîð ñâåäåíèé, ñ êîòîðûì îíè çíàêîìÿò ñâîèõ ñòóäåíòîâ. Ôîðìóëèðóåòñÿ ýòà òåîðåìà, îòêðûòàÿ ñîâåòíèêîì ïàðëàìåíòà Òóëóçû (Ôðàíöèÿ) Ïüåðîì Ôåðìà (16011665) â 1640 ãîäó, î÷åíü êîðîòêî: åñëè p ïðîñòîå ÷èñëî, a öåëîå ÷èñëî, òî a p à êðàòíî p. Ñðàçó è íå âèäíî, ïî÷åìó ñêðîìíîå ñ âèäó óòâåðæäåíèå ñòîëü âàæíî. Òåì íå ìåíåå, îíî çàñëóæèâàåò âåëè÷àéøåãî âíèìàíèÿ. Ìû íà÷íåì ñ ìàòåðèàëà, êîòîðûé äîñòóïåí ñåìèêëàññíèêó, à çàêîí÷èì íåäàâíèìè îòêðûòèÿìè â êðèïòîãðàôèè. ÊÂÀÍT 2000/¹1 10 ×àñòíûå ñëó÷àè Åñëè èç êíèãè âûòåêàåò êàêîé-íèáóäü ïîó÷èòåëüíûé âûâîä, îí äîëæåí ïîëó÷àòüñÿ ïîìèìî âîëè àâòîðà, â ñèëó ñàìèõ èçîáðàæåííûõ ôàêòîâ. Ãè äå Ìîïàññàí Èç ëþáûõ äâóõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ öåëûõ ÷èñåë a è a + 1 îäíî ÷åòíîå, à äðóãîå íå÷åòíîå. Ïîýòîìó ïðîèçâåäå2 íèå a(a + 1) = a + a ÷åòíî ïðè ëþáîì öåëîì a. 2 Äåëèìîñòü ÷èñëà a + a íà 2 ìîæíî äîêàçàòü è ïîäðóãîìó, ðàçîáðàâ äâà ñëó÷àÿ: 2 åñëè a ÷åòíî, òî a òîæå ÷åòíî, à ñóììà äâóõ ÷åòíûõ 2 ÷èñåë a è a ÷åòíà; 2 åñëè a íå÷åòíî, òî a òîæå íå÷åòíî, à ñóììà äâóõ 2 íå÷åòíûõ ÷èñåë a è a ÷åòíà. Âîò òàê äîêàçûâàþò çàìå÷àòåëüíîå ñâîéñòâî ìíîãî÷ëåíà 2 a + a. Âïðî÷åì, ïðè F = 2 â ìàëîé òåîðåìå Ôåðìà 2 ôèãóðèðóåò äðóãîé ìíîãî÷ëåí: a a = (a 1)a. Âñå åãî çíà÷åíèÿ â öåëûõ òî÷êàõ ÷åòíûå ÷èñëà (äîêàæèòå!). Òåïåðü ðàññìîòðèì ìíîãî÷ëåí =3 =. Åãî ëåãêî ðàçëîæèòü íà ìíîæèòåëè: e 3 2 j b gb g a − a = a a −1 = a a −1 a +1 . Ïîëó÷èëè ïðîèçâåäåíèå òðåõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ öåëûõ ÷èñåë: a 1, a è a + 1. Êàê ìû óæå çíàåì, ýòî ïðîèçâåäåíèå ÷åòíî. Ïîñêîëüêó èç ëþáûõ òðåõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ ÷èñåë 3 îäíî êðàòíî 3, èõ ïðîèçâåäåíèå (a 1)a(a + 1) = a a êðàòíî 3 (è, çíà÷èò, äàæå êðàòíî 6). Óïðàæíåíèå 1. Ïðè ëþáîì öåëîì a ñóììà a 3 + 5a êðàòíà 6. Äîêàæèòå ýòî. 4 Ìíîãî÷ëåí = = ïðè a = 2 è a = 3 ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ 4 2 2 = 14 è 3 3 = 78. Êîíå÷íî, ýòè çíà÷åíèÿ ÷åòíû, íî íèêàêîãî îáùåãî äåëèòåëÿ êðîìå 2 (è 1) ó íèõ íåò. Íå ïîâåçëî! Âïðî÷åì, ÷èñëî 4 ñîñòàâíîå, à ìàëàÿ òåîðåìà Ôåðìà ãîâîðèò òîëüêî î ìíîãî÷ëåíàõ âèäà a p a, ãäå p ïðîñòîå ÷èñëî. Ïóñòü F= 5. Âû÷èñëèì íåñêîëüêî çíà÷åíèé ìíîãî÷ëåíà 5 a a. Ïðè a = ± 1 è ïðè a = 0 ïîëó÷àåì íîëü. Ñìîòðèì 5 5 5 5 äàëüøå: 2 2 = 30, 3 3 = 240, 4 4 = 1020, 5 5 = 5 = 3120, 6 6 = 7770,... Âñå ýòè çíà÷åíèÿ êðàòíû ÷èñëó 30. Ïîñêîëüêó 30 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5, äîêàçàòåëüñòâî äåëèìîñòè íà 30 ðàñïàäàåòñÿ íà òðè ÷àñòè: âî-ïåðâûõ, íàäî äîêàçàòü, 5 ÷òî a a êðàòíî 2; âî-âòîðûõ, a 5 a êðàòíî 3; â-òðåòüèõ, 5 a a êðàòíî 5. 5 Ïåðâàÿ ÷àñòü î÷åâèäíà: ÷èñëà a è a ëèáî îáà ÷åòíû, ëèáî îáà íå÷åòíû. Íå âûçûâàåò çàòðóäíåíèé è âòîðàÿ ÷àñòü: 5 4 2 2 2 a − a = a a −1 = a a −1 a +1 = a −1 a a +1 a +1 , 4 e j e je j b gb ge j ïðîèçâåäåíèå òðåõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ ÷èñåë âñåãäà êðàòíî 3. ×óòü ñëîæíåå òðåòüÿ ÷àñòü. Íåò, êîíå÷íî, èç ïÿòè ïîñëåäîâàòåëüíûõ öåëûõ ÷èñåë îáÿçàòåëüíî îäíî êðàòíî 5, òàê ÷òî ïðîèçâåäåíèå (a 2)(a 1)a(a + 1)(a + 2) 2 êðàòíî 5. Íî a + 1 ≠ (a 2)(a + 2). Êàê æå áûòü? Ñàìûé áåñõèòðîñòíûé ñïîñîá ïåðåáðàòü âñå ïîäðÿä îñòàòêè îò äåëåíèÿ íà 5: ëþáîå öåëîå ÷èñëî ïðè äåëåíèè íà 5 äàåò â îñòàòêå 0, 1, 2, 3 èëè 4. Åñëè îñòàòîê ðàâåí 0, òî êðàòåí 5 âòîðîé ìíîæèòåëü ïðîèçâåäåíèÿ 2 (a 1)a(a + 1)( a + 1). Åñëè îñòàòîê ðàâåí 1 èëè 4, òî êðàòåí 5 ïåðâûé èëè òðåòèé ìíîæèòåëü. Åñëè æå îñòàòîê ðàâåí 2 èëè 3, òî â äåëî âñòóïàåò ÷åòâåðòûé ìíîæèòåëü. (Äëÿ òåõ, êòî åùå íå ïðèâûê ðàáîòàòü ñ îñòàòêàìè, îáúÿñíèì: åñëè a = 5b + 2, ò. å. åñëè a äàåò îñòàòîê 2 ïðè 2 2 2 äåëåíèè íà 5, òî a + 1 = 5b + 2 + 1 = 5 5b + 4b + 1 . Àíàëîãè÷íî ìîæíî ðàññìîòðåòü ñëó÷àé a = 5b + 3.) Åñòü è äðóãîé ñïîñîá: b b 2 e g gb j g a + 1 = a − 2 a + 2 + 5, çíà÷èò, åñëè íàñ èíòåðåñóþò òîëüêî îñòàòêè îò äåëåíèÿ íà 2 5, òî a + 1 ìîæíî-òàêè çàìåíèòü íà (a 2)(a + 2). Ôîðìóëîé ýòî çàïèñûâàþò òàê: b 2 gb a +1 ≡ a −2 a +2 g bmod 5g . Ïðåäëîæåííîå â 1801 ãîäó Ê. Ô. Ãàóññîì îáîçíà÷åíèå « ≡ » åùå íå ðàç áóäåò èñïîëüçîâàíî íàìè. Ïî îïðåäåëåíèþ, a ñðàâíèìî ñ b ïî ìîäóëþ n, åñëè a b êðàòíî n, ò. å. a b = kn, ãäå k öåëîå ÷èñëî. Îáîçíà÷åíèå a≡b mod n îêàçàëîñü óäà÷íûì ïîòîìó, ÷òî ñâîéñòâà ñðàâíåíèé ïîõîæè íà ñâîéñòâà îáû÷íûõ ðàâåíñòâ. Ñðàâíåíèÿ ìîæíî ñêëàäûâàòü: åñëè a ≡ b mod n è c ≡ d mod n , òî a + + c ≡ b + d mod n .  ñàìîì äåëå, ïî îïðåäåëåíèþ, a = = b + kn è c = d + ln, ãäå k, l öåëûå ÷èñëà. Çíà÷èò, b b b g b g b g b g g b g b g g a + c = b + kn + d + ln = b + d + k + l n , ÷òî è òðåáîâàëîñü. Àíàëîãè÷íî, ôîðìóëû b g b g a − c = b + kn − d + ln = b − d + k − l n , b gb g ac = b + kn d + ln = bd + knd + bln + kln2 = b g = bd + kd + bl + kln n ïîçâîëÿþò óòâåðæäàòü, ÷òî ñðàâíåíèÿ ìîæíî âû÷èòàòü è óìíîæàòü. Êîëè ìîæíî óìíîæàòü, òî ìîæíî è âîçâîäèòü â ñòåïåíü: åñëè a ≡ b mod n , òî äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî m m ÷èñëà m âåðíî ñðàâíåíèå a ≡ b mod n . Ñîêðàùàòü ñðàâíåíèÿ íàäî ñ îñòîðîæíîñòüþ: b g b g 6 ≡ 36 (mod 10), íî 1/ ≡ 6 (mod 10). Óïðàæíåíèÿ 2. Ðåøèòå ñðàâíåíèå 3 x ≡ 11 mod 101 . 3. Êàêèå öåëûå ÷èñëà x óäîâëåòâîðÿþò ñðàâíåíèþ 14x ≡ 0 mod 12 ? 4. Ïóñòü k ≠ 0. Äîêàæèòå, ÷òî à) åñëè ka ≡ kb mod kn , òî a ≡ b mod n ; á) åñëè ka ≡ kb mod n è ÷èñëà k, n âçàèìíî ïðîñòû, òî a ≡ b mod n . b b b g g b g b g g b g Ïðîäîëæèì èçó÷åíèå ìíîãî÷ëåíîâ âèäà a p a: äîêàæåì, ÷òî ïðè ëþáîì öåëîì a ÷èñëî =7 = êðàòíî 7. Êàê âñåãäà, ìîæíî ðàññìîòðåòü âñå 7 îñòàòêîâ îò äåëåíèÿ íà 7 7 7 7 7: 0 0 = 0, 1 1 = 0, 2 2 = 126 = 7 ⋅ 18,..., 6 6 = = 279930 = 7 ⋅ 39990. (Ìîæíî è ÷óòî÷êó ñýêîíîìèòü: ïîñêîëüêó ëþáîå öåëîå ÷èñëî ïðåäñòàâèìî â âèäå a = 7b, 7b ± 1, 7b ± 2 èëè 7b ± 3, î÷åâèäíî, ïðè ïðîâåðêå ìàëîé òåîðåìû Ôåðìà äëÿ p = 7 ìîæíî îãðàíè÷èòüñÿ ðàññìîòðåíèåì ñëó÷àåâ a = 0, 1, 2 è 3.) Íî áåçäóìíàÿ ïðîâåðêà íå ìîæåò íàó÷èòü íàñ íè÷åìó èíòåðåñíîìó. Ëó÷øå ðàññìîòðèì ðàçëîæåíèå íà ÌÀËÀß ìíîæèòåëè: e 7 j e 6 3 je 3 Ïîñêîëüêó 2 ge 2 j jb ge j 2 = a a −1 a + a +1 a +1 a − a +1 . e j 2 2 a + a +1 = a + a− 6 + 7 ≡a + a − 6 = b gb g bmod 7g è a − a + 1 ≡ a − a − 6 = b a + 2 gba − 3 g b mod 7 g , èìååì: a − a ≡ aba − 1gb a − 2 gba + 3 g b a + 1gb a + 2gb a − 3g b mod 7g . = a−2 a+3 2 2 7 Ïðîèçâåäåíèå ñåìè ïîñëåäîâàòåëüíûõ öåëûõ ÷èñåë êðàòíî 7. Óïðàæíåíèå 5. Äîêàæèòå, ÷òî à) íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü ÷èñåë âèäà a7 a ðàâåí 42; á) íàèáîëüøèé îáùèé 9 äåëèòåëü ÷èñåë âèäà a a ðàâåí 30. (Çàìåòüòå: 30 íå êðàòíî 9. Ýòî íàõîäèòñÿ â ñîãëàñèè ñ òåì, ÷òî ÷èñëî 9 íå ïðîñòîå, à ñîñòàâíîå.) Òåïåðü ðàññìîòðèì ÷èñëî p = 11. Î÷åâèäíî, d = aba − 1ge a i d 11 id i a − a = a a10 − 1 = a a5 − 1 a5 + 1 = 4 3 2 jb 11 ÔÅÐÌÀ 10. à) Äîêàæèòå, ÷òî 2222 a − a = a a −1 =a a −1 a +1 = b ÒÅÎÐÅÌÀ ge 4 3 j 2 5555 FH + 5555 14 16 IK 2222 17 êðàòíî 7. á) Íàéäèòå 19 20 + 18 íà 7. îñòàòîê îò äåëåíèÿ ÷èñëà 13 + 15 10 11. Äîêàæèòå, ÷òî ÷èñëî 11 1 îêàí÷èâàåòñÿ íà äâà íóëÿ (ò.å. êðàòíî 100). 10 12. à) Íàéäèòå âñå öåëûå ÷èñëà a, äëÿ êîòîðûõ a + 1 îêàí÷èâàåòñÿ öèôðîé íîëü. á) Äîêàæèòå, ÷òî íè ïðè êàêîì 100 öåëîì a ÷èñëî a + 1 íå îêàí÷èâàåòñÿ öèôðîé íîëü. 13. Ïóñòü n ÷åòíîå ÷èñëî. Íàéäèòå íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü ÷èñåë âèäà a n a, ãäå a öåëîå ÷èñëî. 14. Ïóñòü n íàòóðàëüíîå ÷èñëî, n n> 1. Äîêàæèòå, ÷òî íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü ÷èñåë âèäà a a, ãäå a ïðîáåãàåò ìíîæåñòâî âñåõ öåëûõ ÷èñåë, ñîâïàäàåò ñ íàèáîëüøèì îáùèì n äåëèòåëåì ÷èñåë âèäà a a, ãäå a = 1, 2, 3,..., 2 n . (Çàìåòüòå: èçn ýòîãî ñëåäóåò, ÷òî íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü ÷èñåë âèäà a a, ãäå a öåëîå, ñîâïàäàåò ñ íàèáîëüøèì îáùèì äåëèòåëåì ÷èñåë òàêîãî âèäà, ãäå a íàòóðàëüíîå.) Îáùèé ñëó÷àé È êàæäîãî â ñâîþ óëîæàò ÿìó. Ýæåí Ãèëüâèê Âûïèøåì â ñòðî÷êó ÷èñëà 1, 2, 3, ..., p 1, äîìíîæèì êàæäîå èç íèõ íà k, ãäå k íå êðàòíî p, è ðàññìîòðèì îñòàòêè îò äåëåíèÿ íà p. Íàïðèìåð, ïðè p = 19 è k = 4 ïîëó÷èì òàáëèöó 1.  íèæíåé ñòðîêå òàáëèöû òå æå Òàáëèöà 1 + a + a + a +1 a +1 a − a + a − a +1 . ï 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Òóò íå òàê-òî ïðîñòî äîãàäàòüñÿ, êàê áûòü äàëüøå. Íî ïîëíûé ïåðåáîð âñåõ 11 îñòàòêîâ âñå åùå âîçìîæåí. È êîãäà ìû åãî âûïîëíèì, îêàæåòñÿ, ÷òî çíà÷åíèÿ ìíîãî4 3 2 ÷ëåíà a + a + a + a + 1 êðàòíû 11 ïðè a ≡ 3, 4, 5 èëè 3 4 2 9 mod 11 , à çíà÷åíèÿ ìíîãî÷ëåíà a a + a a + 1 êðàòíû 11 ïðè a ≡ 2, 6, 7 èëè 8. Ìåæäó ïðî÷èì, åñëè ìû ðàñêðîåì ñêîáêè â ïðîèçâåäåíèè (a 3)(a 4)(a 5)( a 9), ïîëó÷èì 4a 4 8 12 16 20 24 28 32 36 4a mod19 4 8 12 16 1 5 9 13 17 ï 10 11 12 13 14 15 16 17 18 4a 40 44 48 52 56 60 64 68 72 4a mod19 2 6 10 14 18 3 7 11 15 b ea 2 g je 2 j e 2 je 2 j − 7a + 12 a − 14a + 45 ≡ a + 4a + 1 a − 3a + 1 = 4 3 2 4 3 2 = a + a − 10a + a + 1 ≡ a + a + a + a + 1 bmod 11g . Àíàëîãè÷íî ìîæíî ïðîâåðèòü, ÷òî (a 2)(a 6)(a 4 3 2 7)(a 8) ≡ a a + a à + 1 mod 11 . ×òî äàëüøå? Ïðè p = 13, åñëè äåéñòâîâàòü íàøèì ñïîñîáîì, ïðèäåòñÿ âîçâîäèòü â äâåíàäöàòóþ ñòåïåíü ÷èñëà îò 1 äî 12 èëè ðàñêðûâàòü ñêîáêè â ïðîèçâåäåíèè òðèíàäöàòè ìíîæèòåëåé: a 6, a 5,..., a + 5, a + 6. Çàíèìàòüñÿ ýòèì íå õî÷åòñÿ, äàæå åñëè îãðàíè÷èòüñÿ âîçâåäåíèåì â ñòåïåíü ÷èñåë 1, 2, 3, 4, 5, 6 èëè ïåðåìíî2 2 2 æàòü «âñåãî ëèøü» øåñòü ñêîáîê: ( a 1)( a 4)( a 2 2 2 9)( a 16)( a 25)( a 36). ×åì áîëüøå p, òåì áîëüøå âàðèàíòîâ íàäî ïåðåáèðàòü. Ïîýòîìó ìû ïðåêðàòèì ðàçáîð ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ è ïåðåéäåì ê äîêàçàòåëüñòâó ìàëîé òåîðåìû Ôåðìà, êîòîðîå îõâàòûâàåò ñðàçó âñå ïðîñòûå ÷èñëà p. b g Óïðàæíåíèÿ 6. à) Ïðîèçâåäåíèå ëþáûõ ÷åòûðåõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ öåëûõ ÷èñåë êðàòíî 24. Äîêàæèòå ýòî. á) Ïðîèçâåäåíèå ëþáûõ ïÿòè ïîñëåäîâàòåëüíûõ öåëûõ ÷èñåë êðàòíî 120. Äîêàæèòå ýòî. â) Äîêàæèòå, ÷òî a 5 5a3 + 4a ïðè âñÿêîì öåëîì a êðàòíî 120. 7. Äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî a ÷èñëî a5 îêàí÷èâàåòñÿ íà òó æå öèôðó, ÷òî è a. Äîêàæèòå ýòî. 5 5 8. Äîêàæèòå, ÷òî m n mn êðàòíî 30 ïðè ëþáûõ öåëûõ m è n. 4 9. Åñëè ÷èñëî k íå êðàòíî íè 2, íè 3, íè 5, òî k 1 êðàòíî 240. Äîêàæèòå ýòî. 3* ñàìûå ÷èñëà, ÷òî è â âåðõíåé, òîëüêî îíè ðàñïîëîæåíû â äðóãîì ïîðÿäêå! Îêàçûâàåòñÿ, ýòî îáùèé çàêîí: íå òîëüêî ïðè p = 19 è k = 4, íî ïðè ëþáîì ïðîñòîì p è íå êðàòíîì p öåëîì ÷èñëå k âñåãäà ïîëó÷àòñÿ òå æå ñàìûå ÷èñëà 1, 2, 3, ..., p 1, âîçìîæíî, çàïèñàííûå â íåêîòîðîì äðóãîì ïîðÿäêå. Ïî÷åìó? Íó, âî-ïåðâûõ, â íèæíåé ñòðîêå íå ìîæåò ïîÿâèòüñÿ 0, èáî ïðîèçâåäåíèå íå êðàòíûõ ïðîñòîìó ÷èñëó p ÷èñåë a è k íå ìîæåò áûòü êðàòíî p. Âî-âòîðûõ, âñå ÷èñëà íèæíåé ñòðîêè ðàçíûå (ýòî ëåãêî äîêàçàòü «îò ïðîòèâíîãî»: åñëè áû ÷èñëà ak è bk äàâàëè ïðè äåëåíèè íà p îäèíàêîâûå îñòàòêè, òî ðàçíîñòü ak bk = (a b)k áûëà áû êðàòíà p, ÷òî íåâîçìîæíî, ïîñêîëüêó a b íå êðàòíî p). Ýòèõ äâóõ çàìå÷àíèé äîñòàòî÷íî: íåíóëåâûõ îñòàòêîâ îò äåëåíèÿ íà p ñóùåñòâóåò p 1 øòóê, âñå îíè âûíóæäåíû ïî îäíîìó ðàçó ïîÿâèòüñÿ â íèæíåé ñòðîêå òàáëèöû. Óïðàæíåíèÿ 15. Ñóùåñòâóåò ëè òàêîå íàòóðàëüíîå n, ÷òî ÷èñëî 1999n îêàí÷èâàåòñÿ íà öèôðû 987654321? 16. Åñëè öåëîå ÷èñëî k âçàèìíî ïðîñòî ñ íàòóðàëüíûì ÷èñëîì n, òî ñóùåñòâóåò òàêîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî x, ÷òî kx 1 êðàòíî n. Äîêàæèòå ýòî. 17. Åñëè öåëûå ÷èñëà a è b âçàèìíî ïðîñòû, òî ëþáîå öåëîå ÷èñëî c ïðåäñòàâèìî â âèäå c = ax + by, ãäå x, y öåëûå ÷èñëà. Äîêàæèòå ýòî. Êàê âû ïîìíèòå, ìàëàÿ òåîðåìà Ôåðìà óòâåðæäàåò, ÷òî ïðè ëþáîì öåëîì k è ïðîñòîì p ÷èñëî k p k = k k p−1 − 1 d i ÊÂÀÍT 2000/¹1 12 êðàòíî p. Çíà÷èò, äëÿ ÷èñåë k, íå êðàòíûõ p, òåîðåìó ìîæíî ôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: Òåîðåìà 1. Åñëè öåëîå ÷èñëî k íå êðàòíî ïðîñòîìó p−1 ÷èñëó p, òî k äàåò îñòàòîê 1 ïðè äåëåíèè íà p. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó îñòàòêè îò äåëåíèÿ íà p ÷èñåë k, 2k, 3k, ..., (p 1)k ýòî (ñ òî÷íîñòüþ äî ïåðåñòàíîâêè) ÷èñëà 1, 2, 3, ..., p 1, òî k ⋅ 2k ⋅ 3k ⋅ K ⋅ p − 1 k ≡ 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅K ⋅ p − 1 mod p , îòêóäà p−1 k p −1 ! ≡ p−1 ! mod p . b g b g b b g b g b g g Ñîêðàòèâ íà (p 1)!, ïîëó÷èì æåëàåìîå: k p−1 ≡1 bmod pg . À òîò, êòî íå ðåøèë óïðàæíåíèå 4 á) è íå çíàåò, ïî÷åìó ñðàâíåíèÿ ìîæíî ñîêðàùàòü (íà ÷èñëî, âçàèìíî ïðîñòîå ñ ìîäóëåì), ïóñòü ðàññóæäàåò ñëåäóþùèì îáðàçîì: ïî1 ñêîëüêó ïðîèçâåäåíèå k p− − 1 ⋅ p − 1 ! êðàòíî p, à ÷èñëî (p 1)! íå êðàòíî p, òî ÷èñëî k p−1 1 êðàòíî ïðîñòîìó ÷èñëó p. jb e g Óïðàæíåíèÿ 18. Íàéäèòå îñòàòîê îò äåëåíèÿ ÷èñëà 32000 íà 43. 19. Åñëè öåëîå ÷èñëî a íå êðàòíî 17, òî a 8 1 èëè a 8 + 1 êðàòíî 17. Äîêàæèòå ýòî. 61 61 20. Äîêàæèòå, ÷òî m n mn êðàòíî 56786730 ïðè ëþáûõ öåëûõ m è n. 2 p 21. Íàéäèòå âñå òàêèå ïðîñòûå ÷èñëà p, ÷òî 5 + 1 êðàòíî p. 22. Ïóñòü p ïðîñòîå ÷èñëî, p ≠ 2 . Äîêàæèòå, ÷òî ÷èñëî p p 7 5 2 êðàòíî 6p. p−1 p−1 p− 23. Åñëè p ïðîñòîå ÷èñëî, òî ñóììà 1 + 2 + ... + p − 1 1 ïðè äåëåíèè íà p äàåò îñòàòîê p 1. Äîêàæèòå ýòî. 24. Øåñòèçíà÷íîå ÷èñëî êðàòíî 7. Åãî ïåðâóþ öèôðó ñòåðëè è çàòåì çàïèñàëè åå ïîçàäè ïîñëåäíåé öèôðû ÷èñëà. Äîêàæèòå, ÷òî ïîëó÷åííîå ÷èñëî òîæå êðàòíî 7. (Íàïðèìåð, èç êðàòíûõ 7 ÷èñåë 632387 è 200004 òàêèì îáðàçîì ïîëó÷àåì ÷èñëà 323876 è 42, êîòîðûå òîæå êðàòíû 7.) 25. Ïóñòü p ïðîñòîå ÷èñëî, îòëè÷íîå îò 2, 3 è 5. Äîêàæèòå, ÷òî ÷èñëî, çàïèñàííîå p 1 åäèíèöåé, êðàòíî p. (Íàïðèìåð, 111111 êðàòíî 7.) 26*. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáîãî ïðîñòîãî p ÷èñëî 11...1122...22...99...99, ñîñòîÿùåå èç 9p öèôð (ñíà÷àëà p åäèíèö, ïîòîì p äâîåê, p òðîåê, ..., íàêîíåö, p äåâÿòîê), ïðè äåëåíèè íà p äàåò òàêîé æå îñòàòîê, êàê è ÷èñëî 123456789. b g Òàáëèöû óìíîæåíèÿ Íàçëî åé ÿ âñå-òàêè ïîìíîæèë çåìëåêîïîâ. Ïðàâäà, íè÷åãî õîðîøåãî ïðî íèõ íå óçíàë, íî çàòî òåïåðü ìîæíî áûëî ïåðåõîäèòü ê äðóãîìó âîïðîñó. Ë.Ãåðàñêèíà Ðàññìîòðèì âñå n 1 ðàçíûõ íåíóëåâûõ îñòàòêîâ îò äåëåíèÿ íà n. Ñîñòàâèì òàáëèöó óìíîæåíèÿ, íàïèñàâ íà ïåðåñå÷åíèè a-ãî ñòîëáöà è b-é ñòðîêè îñòàòîê îò äåëåíèÿ íà n ïðîèçâåäåíèÿ ab. Íàïðèìåð, ïðè n = 5 ïîëó÷èì òàáëèöó 2, ïðè n = 11 òàáëèöó 3. Òàáëèöà 2 × 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 2 4 1 3 3 3 1 4 2 4 4 3 2 1 Òàáëèöà 3 × 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 2 4 6 8 10 1 3 5 7 9 3 3 6 9 1 4 7 10 2 5 8 4 4 8 1 5 9 2 6 10 3 7 5 5 10 4 9 3 8 2 7 1 6 6 6 1 7 2 8 3 9 4 10 5 7 7 3 10 6 2 9 5 1 8 4 8 8 5 2 10 7 4 1 9 6 3 9 9 7 5 3 1 10 8 6 4 2 10 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Òàáëèöà 4 × 1 2 3 1 1 2 3 2 2 0 2 3 3 2 1 Òàáëèöà 5 × 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10 3 3 6 9 0 3 6 9 0 3 6 9 4 4 8 0 4 8 0 4 8 0 4 8 5 5 10 3 8 1 6 11 4 9 2 7 6 6 0 6 0 6 0 6 0 6 0 6 7 7 2 9 4 11 6 1 8 3 10 5 8 8 4 0 8 4 0 8 4 0 8 4 9 9 6 3 0 9 6 3 0 9 6 3 10 10 8 6 4 2 0 10 8 6 4 2 11 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Ïîñêîëüêó â îáîèõ ïðèìåðàõ ÷èñëî n ïðîñòîå, â êàæäîé ñòðîêå, êàê è â êàæäîì ñòîëáöå, âîçíèêàåò íåêîòîðàÿ ïåðåñòàíîâêà ÷èñåë 1, 2, ..., n 1. Åñëè æå ðàññìîòðåòü ñîñòàâíîå ÷èñëî, òî â òàáëèöå îáÿçàòåëüíî âñòðåòèòñÿ íóëü. Íàïðèìåð, ïðè n = 4 èìååì 2 ⋅ 2 ≡ 0 (òàáë.4); íå ëó÷øå ñèòóàöèÿ è ïðè n = 12 (òàáë.5): îïÿòü â íåêîòîðûõ ñòðîêàõ åñòü íóëè! È âîîáùå, ïðè ëþáîì ñîñòàâíîì ÷èñëå n = ab, ãäå 1 < a, b < n, íà ïåðåñå÷åíèè a-é ñòðîêè è b-ãî ñòîëáöà ñòîèò îñòàòîê îò äåëåíèÿ ab íà n, ò.å. 0. Èòàê, åñëè n ñîñòàâíîå, òî èìåþòñÿ äåëèòåëè íóëÿ íåíóëåâûå îñòàòêè a è b, ïðîèçâåäåíèå ab êîòîðûõ êðàòíî n, èíûìè ñëîâàìè, ðàâíî íóëþ ïî ìîäóëþ n. Íî äàæå ïðè ñîñòàâíîì n â íåêîòîðûõ ñòðîêàõ òàáëèöû óìíîæåíèÿ íåò íóëåé.  òàáëèöå 4 òàêîâû ïåðâàÿ è òðåòüÿ ñòðîêè, à â ÌÀËÀß ÒÅÎÐÅÌÀ òàáëèöå 5 ïåðâàÿ, ïÿòàÿ, ñåäüìàÿ è îäèííàäöàòàÿ. Ïîäóìàâ íåìíîãî, ìîæíî ïîíÿòü, ÷òî íóëè ïðèñóòñòâóþò â òåõ è òîëüêî òåõ ñòðîêàõ, íîìåðà êîòîðûõ èìåþò ñ ÷èñëîì n îáùèé äåëèòåëü, îòëè÷íûé îò 1 (äîêàæèòå ýòî!). Äàâàéòå æå âû÷åðêíåì èç òàáëèöû âñå òàêèå ñòðîêè è Òàáëèöà 7 × Òàáëèöà 6 1 5 7 11 1 1 5 7 11 × 1 3 5 5 1 11 7 1 1 3 7 7 11 1 5 3 3 1 11 11 7 5 1 ñòîëáöû. (Åñëè n ïðîñòîå ÷èñëî, òî âû÷åðêèâàòü íè÷åãî íå ïðèäåòñÿ.) Ïðè n = 4 ïîëó÷èì òàáëèöó èç äâóõ ñòðîê è ñòîëáöîâ (òàáë.6), à ïðè n = 12 îñòàíåòñÿ òàáëèöà ðàçìåðîì 4 × 4 (òàáë.7). Óïðàæíåíèå 27. Çàìåòüòå, ÷òî êàæäàÿ èç òàáëèö 27 ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî îáåèõ ñâîèõ äèàãîíàëåé. Äîêàæèòå, ÷òî ýòî òàê äëÿ ëþáîãî n. Òåîðåìà Ýéëåðà ×òîáû îáîáùèòü ìàëóþ òåîðåìó Ôåðìà íà ñëó÷àé ñîñòàâíîãî ÷èñëà n, îñòàâèì â òàáëèöå óìíîæåíèÿ òîëüêî òå ñòðîêè è ñòîëáöû, â êîòîðûõ íåò íóëåé, ò.å. ðàññìîòðèì âçàèìíî ïðîñòûå ñ n îñòàòêè îò äåëåíèÿ íà n.  íîâîé òàáëèöå ñòðîêè (è ñòîëáöû) îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà ëèøü ïîðÿäêîì, â êîòîðîì ðàñïîëîæåíû ÷èñëà. Äðóãèìè ñëîâàìè, åñëè ìû äëÿ íàòóðàëüíîãî ÷èñëà n âûïèøåì âñå îñòàòêè a1 , a2 , ..., ar , âçàèìíî ïðîñòûå ñ n, è äîìíîæèì êàæäûé èç íèõ íà âçàèìíî ïðîñòîå ñ n ÷èñëî k, òî ïîëó÷èì ÷èñëà ka1 , ka2 ,..., kar , êîòîðûå òîæå âçàèìíî ïðîñòû ñ n è äàþò ðàçíûå îñòàòêè ïðè äåëåíèè íà n (äîêàæèòå!). Èòàê, ñòðîêà îñòàòêîâ îò äåëåíèÿ íà n ÷èñåë ka1 , ka2 ,... ..., kar ìîæåò îòëè÷àòüñÿ îò ñòðîêè a1 , a2 , ..., ar òîëüêî ïîðÿäêîì ðàñïîëîæåíèÿ ÷èñåë. Ïîýòîìó òî÷íî òàê æå, êàê äëÿ ïðîñòîãî p, äëÿ ñîñòàâíîãî n èìååì: b g ka1ka2 K kar ≡ a1a2 K ar mod n , ek − 1ja a K a ≡ 0 bmod ng . Çíà÷èò, ïðîèçâåäåíèå ek − 1ja a K a êðàòíî n. Ïîñêîëür r r 1 2 r r êó ÷èñëà a1 , a2 , ..., ar âçàèìíî ïðîñòû ñ n, òî k 1 êðàòíî n. Åñëè n ïðîñòîå ÷èñëî, òî r = n 1 è ïîëó÷àåì â òî÷íîñòè óòâåðæäåíèå ìàëîé òåîðåìû Ôåðìà.  îáùåì æå ñëó÷àå ïðèõîäèì ê òåîðåìå Ýéëåðà: Òåîðåìà 2. Åñëè k öåëîå ÷èñëî, âçàèìíî ïðîñòîå ñ r íàòóðàëüíûì ÷èñëîì n, òî k 1 êðàòíî n, ãäå r êîëè÷åñòâî âçàèìíî ïðîñòûõ ñ n íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, íå ïðåâîñõîäÿùèõ n. Óïðàæíåíèÿ 28. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè ÷èñëî k íå êðàòíî 3, òî à) k 3 ïðè äåëåíèè íà 9 äàåò îñòàòîê 1 èëè 8; á) k 81 ïðè äåëåíèè íà 243 äàåò îñòàòîê 1 èëè 242. 3 3 3 29. à) Åñëè a + b + c êðàòíî 9, òî õîòÿ áû îäíî èç öåëûõ ÷èñåë a, b, c êðàòíî 3. Äîêàæèòå ýòî. 4 Êâàíò ¹ 1 á) Ñóììà êâàäðàòîâ òðåõ öåëûõ ÷èñåë êðàòíà 7 â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà ñóììà ÷åòâåðòûõ ñòåïåíåé ýòèõ ÷èñåë êðàòíà 7. Äîêàæèòå ýòî. 7 7 7 7 7 7 7 7 7 êðàòíî 10. 30. Äîêàæèòå, ÷òî ÷èñëî 7 9999 31. Êàêîâû òðè ïîñëåäíèå öèôðû ÷èñëà 7 ? 32. Åñëè öåëîå ÷èñëî a âçàèìíî ïðîñòî ñ íàòóðàëüíûì ÷èñëîì n > 1, òî ñðàâíåíèå ax ≡ b mod n ðàâíîñèëüíî ñðàâíåíèþ b r1 b g g x ≡ a b mod n . Äîêàæèòå ýòî. n! 33. Åñëè n íå÷åòíîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, òî 2 1 êðàòíî n. Äîêàæèòå ýòî. 34*. Íàéäèòå âñå íàòóðàëüíûå n > 1, äëÿ êîòîðûõ ñóììà n n n 1 + 2 + ... + n − 1 êðàòíà n. 35*. Äëÿ êàæäîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà s ñóùåñòâóåò êðàòíîå åìó íàòóðàëüíîå ÷èñëî n, ñóììà öèôð êîòîðîãî ðàâíà s. Äîêàæèòå ýòî. b g Ôóíêöèÿ Ýéëåðà  1763 ãîäó Ëåîíàðä Ýéëåð (17071783) ââåë îáîçíà÷åíèå ϕ n (÷èòàþò: ôè îò ýí) äëÿ êîëè÷åñòâà r îñòàòêîâ, âçàèìíî ïðîñòûõ ñ n. Íàïðèìåð, ϕ 1 = 1, ϕ 4 = 2, ϕ 12 = = 4. Åñëè ÷èñëî p ïðîñòîå, òî ϕ p = p 1. Ëåãêî âû÷èñëèòü m è ϕ p , ãäå m íàòóðàëüíîå ÷èñëî.  ñàìîì äåëå, m âûïèøåì âñå p âîçìîæíûõ îñòàòêîâ: 0, 1, 2, ..., p m 1. Èç íèõ êðàòíû p â òî÷íîñòè îñòàòêè 0, p, 2p,..., p m p. Çíà÷èò, 1 m m m −1 m ϕ p = p −p = p 1− . p bg bg e j e j b bg bg F GH g b g I JK Äàâàéòå âû÷èñëèì ϕ 1000 êîëè÷åñòâî ÷èñåë ïåðâîé òûñÿ÷è, êîòîðûå íå êðàòíû íè 2, íè 5. Äëÿ ýòîãî èç 1000 âû÷òåì ñíà÷àëà 500 èìåííî ñòîëüêî â ïåðâîé òûñÿ÷å ÷åòíûõ ÷èñåë. Íå çàáóäåì âû÷åñòü è 200 ñòîëüêî â ïåðâîé òûñÿ÷å ÷èñåë, êðàòíûõ 5. ×òî åùå? Åùå ìû äîëæíû ó÷åñòü, ÷òî íåêîòîðûå ÷èñëà (îêàí÷èâàþùèåñÿ öèôðîé 0) êðàòíû è 2, è 5. Òàêèõ ÷èñåë 100 øòóê; êàæäîå èç íèõ ìû ó÷èòûâàëè îáà ðàçà, à íàäî áûëî òîëüêî îäèí ðàç! Ïîýòîìó ïðàâèëüíûé îòâåò äàåò ôîðìóëà b g ϕ 1000 = 1000 500 200 + 100 = 400. Óïðàæíåíèÿ d i a b îòêóäà 1 2 13 ÔÅÐÌÀ 36. Íàéäèòå ϕ 2 5 , ãäå a, b íàòóðàëüíûå ÷èñëà. 37. Ïóñòü p, q ðàçëè÷íûå ïðîñòûå ÷èñëà. Íàéäèòå à) ϕ pq , a b á) ϕ p q , ãäå a, b íàòóðàëüíûå ÷èñëà. FH IK b g FH IK 38. Ðåøèòå óðàâíåíèÿ: à) ϕ 7 x FH x = 294; á) ϕ 3 5 y IK = 360.  ïðèíöèïå, ïðèìåíåííûé íàìè ñïîñîá ïîçâîëÿåò âû÷èñëèòü ϕ n äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà n. Íàïðèìåð, ÷òîáû âû÷èñëèòü ϕ 300 , ìû ìîæåì âûïèñàòü âñå ÷èñëà îò 1 äî 300 è âû÷åðêíóòü 150 ÷åòíûõ ÷èñåë, à òàêæå 100 ÷èñåë, êðàòíûõ 3, è 60 ÷èñåë, êðàòíûõ 5. Çàòåì ìû äîëæíû âñïîìíèòü, ÷òî íåêîòîðûå ÷èñëà âû÷åðêíóòû äâàæäû (à èíûå äàæå òðèæäû), è «âîññòàíîâèòü ñïðàâåäëèâîñòü», ò.å. ê ÷èñëó 300 150 100 60 ïðèáàâèòü 50 ÷èñåë, êðàòíûõ 2 ⋅ 3 = 6, à òàêæå 30 ÷èñåë, êðàòíûõ 2 ⋅ 5 = = 10, è 20 ÷èñåë, êðàòíûõ 3 ⋅ 5 = 15. Íî è ýòîãî íåäîñòàòî÷íî: êàæäîå èç äåñÿòè ÷èñåë, êðàòíûõ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = = 30, áûëî ñíà÷àëà òðèæäû âûáðîøåíî (êàê êðàòíîå 2, 3, 5) è çàòåì òðèæäû âîçâðàùåíî (êàê êðàòíîå 6, 10, 15). Íî âûáðîñèòü ýòè 10 ÷èñåë âñå-òàêè íàäî! Ïîýòîìó bg b g b g ϕ 300 = 300 − 150 − 100 − 60 + 50 + 30 + 20 − 10 = 80 . ÊÂÀÍT 2000/¹1 14 Íè÷åãî ñëîæíîãî, êàê âèäèòå, íåò. Íî ñ ðîñòîì êîëè÷åñòâà ïðîñòûõ äåëèòåëåé ÷èñëà n ìû áóäåì ïîëó÷àòü îòâåò, â êîòîðîì âñå áîëüøå è áîëüøå ñëàãàåìûõ è âû÷èòàåìûõ.  ñòàòüå Í. Âàñèëüåâà è Â.Ãóòåíìàõåðà «Àðèôìåòèêà è ïðèíöèïû ïîäñ÷åòà» (Ïðèëîæåíèå ê æóðíàëó «Êâàíò» ¹2 çà 1994 ãîä) ýòî âñå ïîäðîáíî îáúÿñíåíî. À çäåñü ìû èçëîæèì äðóãîé ñïîñîá. Òåîðåìà 3. Ôóíêöèÿ Ýéëåðà ìóëüòèïëèêàòèâíà, ò.å. b g b gbg ϕ mn = ϕ m ϕ n äëÿ ëþáûõ âçàèìíî ïðîñòûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë m è n. Ñëåäñòâèå. Åñëè n = p1a1 p2a2 ⋅ K ⋅ psas , ãäå p1 , p2 ,..., p s ðàçëè÷íûå ïðîñòûå ÷èñëà, a1 , a2 ,..., as íàòóðàëüíûå ÷èñëà, òî bg e je j = ep a a e j − p je p a ϕ n = ϕ p1 1 ϕ p2 2 ⋅ K ⋅ ϕ ps s = a1 1 a1 −1 1 a2 2 a −1 − p2 2 j ⋅ K⋅ e p as s a −1 − ps s j. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 3. Ðàññìîòðèì ÷èñëà âèäà mx + ny, ãäå 0 ≤ x < n è 0 ≤ y < m. Çàïèøåì èõ â âèäå òàáëèöû ðàçìåðîì n × m. Íàïðèìåð, ïðè n = 5 è m = 8 ïîëó÷àåì òàáëèöó 8. Òàáëèöà 8 x\ y 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0 5 10 15 20 25 30 35 1 8 13 18 23 28 33 38 43 2 16 21 26 31 36 41 46 51 3 24 29 34 39 44 49 54 59 4 32 37 42 47 52 57 62 67 Îñòàòêè îò äåëåíèÿ íà mn âñåõ ÷èñåë ýòîé òàáëèöû ðàçíûå.  ñàìîì äåëå, åñëè áû êàêèå-òî äâà îñòàòêà ñîâïàëè, òî áûëî áû âûïîëíåíî ñðàâíåíèå mx1 + ny1 ≡ mx2 + ny2 bmod mng , ãäå 0 ≤ x1 , x2 < n è 0 ≤ y1 , y2 < m. Îòñþäà ñëåäóþò äâà ñðàâíåíèÿ: mx1 + ny1 ≡ mx2 + ny2 mod m è mx1 + ny1 ≡ mx2 + ny2 mod n . b b Ïåðâîå ïðèâîäèò ê ñðàâíåíèþ b g g g ny1 ≡ ny2 mod m , èç êîòîðîãî âñëåäñòâèå âçàèìíîé ïðîñòîòû ÷èñåë m è n Ðèñ.1 ïîëó÷àåì b g y1 ≡ y2 mod m . Âñïîìíèâ, ÷òî 0 ≤ y1 , y2 < m, ïîëó÷àåì: y1 = y2 . Àíàëîãè÷íî, ñðàâíåíèå ïî ìîäóëþ n ïðèâîäèò ê ðàâåíñòâó x1 = x2 . Èòàê, âñå mn ÷èñåë òàáëèöû äàþò ðàçíûå îñòàòêè ïðè äåëåíèè íà mn. Íî âîçìîæíûõ îñòàòêîâ îò äåëåíèÿ íà mn ðîâíî ñòîëüêî æå, ñêîëüêî ÷èñåë â òàáëèöå! Çíà÷èò, ðàññìàòðèâàåìûå ÷èñëà äàþò âñå âîçìîæíûå îñòàòêè îò äåëåíèÿ íà mn. Äðóãèìè ñëîâàìè, äëÿ ëþáîãî ÷èñëà d = = 0, 1,..., mn 1 ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííà òàêàÿ ïàðà öåëûõ ÷èñåë x, y, ÷òî 0 ≤ x < n, 0 ≤ y < m è d ≡ mx + + ny mod mn .  òàáëèöå 8 ÷åòíûå ÷èñëà îáðàçóþò ÷åòûðå ñòîëáöà, à ÷èñëà, êðàòíûå 5, îáðàçóþò îäíó ñòðîêó. Ýòî íå ñëó÷àéíî: b g ÍÎÄ(mx + ny, m) = ÍÎÄ(ny, m) = ÍÎÄ(y, m); àíàëîãè÷íî, ÍÎÄ(mx + ny, n) = ÍÎÄ(x, n). Ïî ýòîé ïðè÷èíå â ðàññìàòðèâàåìîé òàáëèöå ÷èñëà, âçàèìíî ïðîñòûå ñ m, ðàñïîëîæåíû â ϕ m ñòîëáöàõ (òåõ, ãäå y âçàèìíî ïðîñòî ñ m), à ÷èñëà, âçàèìíî ïðîñòûå ñ n, îáðàçóþò ϕ n ñòðîê. Òåïåðü äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 3 íå ñîñòàâëÿåò òðóäà: ÷òîáû d áûëî âçàèìíî ïðîñòî ñ mn, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû d áûëî âçàèìíî ïðîñòî ñ ÷èñëàìè m è n. Òàêèå ÷èñëà d ëåæàò íà ïåðåñå÷åíèè ϕ m ñòîëáöîâ (ñîñòîÿùèõ èç ÷èñåë, âçàèìíî ïðîñòûõ ñ m) ñ ϕ n ñòðîêàìè (ñîñòîÿùèìè èç ÷èñåë, âçàèìíî ïðîñòûõ ñ n). Âñåãî ïîëó÷àåì «ðåøåòêó» èç ϕ m ϕ n ÷èñåë, ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. b g bg b g bg b g bg Óïðàæíåíèÿ 39. Çàïèøåì ÷èñëà îò 0 äî mn 1 â òàáëèöó èç m ñòðîê è n ñòîëáöîâ (òàáë.9). Òàáëèöà 9 0 1 2 ... n1 n n+1 n+2 ... 2n 1 2n 2n + 1 2n + 2 ... 3n 1 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... (m 1)n (m 1)n + 1 (m 1)n + 2 ... mn 1 à) Ñîñòàâüòå òàêóþ òàáëèöó äëÿ m = 3 è n = 4. Çà÷åðêíèòå â íåé ñíà÷àëà âñå ÷åòíûå ÷èñëà, à çàòåì òå èç îñòàâøèõñÿ ÷èñåë, êîòîðûå êðàòíû 3. Çàìåòüòå, ÷òî íåçà÷åðêíóòûìè îñòàëèñü â ÌÀËÀß ÒÅÎÐÅÌÀ òî÷íîñòè ÷èñëà, âçàèìíî ïðîñòûå ñ 12, è ÷òî íåçà÷åðêíóòûå ÷èñëà íå îáðàçóþò ðåøåòêè. á) Äîêàæèòå òåîðåìó Ýéëåðà ïî ñëåäóþùåìó ïëàíó: 1) ÷èñëà, âçàèìíî ïðîñòûå ñ n, çàïîëíÿþò ñîáîé ϕ n ñòîëáöîâ òàáëèöû 9; 2) îñòàòêè îò äåëåíèÿ íà m âñåõ m ÷èñåë ëþáîãî ñòîëáöà òàáëèöû 9 ðàçëè÷íû; 3) â êàæäîì ñòîëáöå ïðèñóòñòâóåò ðîâíî ϕ m ÷èñåë, âçàèìíî ïðîñòûõ ñ m; 4) ÷èñëî âçàèìíî ïðîñòî ñ mn òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíî âçàèìíî ïðîñòî ñ n (òàêèå ÷èñëà ëåæàò â ϕ n ñòîëáöàõ) è âçàèìíî ïðîñòî ñ m (â êàæäîì ñòîëáöå òàêèõ ÷èñåë ϕ m ). 40. Îêðóæíîñòü ðàçäåëèëè n òî÷êàìè íà n ðàâíûõ ÷àñòåé. Ñêîëüêî ìîæíî ïîñòðîèòü ðàçëè÷íûõ çàìêíóòûõ ëîìàíûõ èç n ðàâíûõ çâåíüåâ ñ âåðøèíàìè â ýòèõ òî÷êàõ? (Äâå ëîìàíûå, ïîëó÷àþùèåñÿ îäíà èç äðóãîé ïîâîðîòîì, ñ÷èòàåì îäèíàêîâûìè. Íà ðèñóíêå 1 èçîáðàæåíû âñå òàêèå ëîìàíûå ïðè n = 20.) 41. Äëÿ ëþáûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë m è n äîêàæèòå ðàâåíñòâà: à) ϕ m ϕ n = ϕ HOK m, n ϕ HOÄ m, n ; á) ϕ mn = ϕ HOK m, n ⋅ HOÄ m, n ; â) ϕ m ϕ n ÍÎÄ m, n = ϕ mn ϕ ÍÎÄ m, n . ã) Ïóñòü m è n íàòóðàëüíûå ÷èñëà, ïðè÷åì ÍÎÄ(m,n) > 1. Äîêàæèòå íåðàâåíñòâî ϕ mn > ϕ m ϕ n . 42. Ðåøèòå óðàâíåíèÿ: à) ϕ x = 18; á) ϕ x = 12; â) x ϕ x = bg b g bg b g b g b g d b gi d b gi b g d b gi b g b g b g b g b g d b gi b g b gbg bg bg bg F I = 12; ã*) ϕ H x K = x x; ä) ϕ b x g = x/2; å) ϕ b x g = x/3; æ*) ϕ b x g = = x/n, ãäå n íàòóðàëüíîå ÷èñëî, n > 3; ç) ϕ bnx g = ϕ b x g , ãäå n 2 2 íàòóðàëüíîå ÷èñëî, n > 1. 15 ÔÅÐÌÀ Ïîëó÷èëîñü íåêîòîðîå 78-çíà÷íîå ÷èñëî x. Çàòåì âçÿëè 64-çíà÷íîå ïðîñòîå ÷èñëî p è 65-çíà÷íîå ïðîñòîå ÷èñëî q. Ïåðåìíîæèëè èõ (íå âðó÷íóþ, ðàçóìååòñÿ, à íà êîìïüþòåðå): pq = 11438162575788886766932577997614661201021829 67212423625625618429357069352457338978305971235639 58705058989075147599290026879543541. Òåïåðü ãëàâíîå: b g y ≡ x 9007 mod pq . Ïîíèìàåòå? Îíè îïóáëèêîâàëè è ïðîèçâåäåíèå pq, è ÷èñëî 9007, è ñàì ìåòîä øèôðîâàíèÿ (è, ðàçóìååòñÿ, ÷èñëî y). Áûëî äàæå ñêàçàíî, ÷òî èç ÷èñåë p è q îäíî 64çíà÷íîå, à äðóãîå 65-çíà÷íîå.  ñåêðåòå îñòàëèñü òîëüêî ñàìè ÷èñëà p è q. Òðåáîâàëîñü íàéòè x. Ýòà èñòîðèÿ çàâåðøèëàñü â 1994 ãîäó, êîãäà Àòêèíñ, Êðàôò, Ëåíñòðà è Ëåéëàíä ðàñøèôðîâàëè ýòó ôðàçó. ×èñëà p è q îêàçàëèñü ðàâíû p = 349052951084765094914784961990389813341776463 8493387843990820577, q = 327691329932667095499619881908344614131776429 67992942539798288533. Âîîáðàçèòå, ÷òî âàì íóæíî ïîëó÷èòü çàøèôðîâàííîå ñîîáùåíèå îò âàøåãî äðóãà, íî âû ñ íèì íå äîãîâîðèëèñü çàðàíåå, êàêèì øèôðîì áóäåòå ïîëüçîâàòüñÿ. Êàê áûòü? Ñóùåñòâóåò ëè òàêîé ìåòîä øèôðîâàíèÿ, ÷òî åãî ìîæíî ñîîáùèòü âñåìó ìèðó (â òîì ÷èñëå è âàøåìó äðóãó, è âðàãàì), íî ýòî íå äàñò âðàãàì âîçìîæíîñòè ðàñøèôðîâàòü ñîîáùåíèå? Ýòî áûë áû çàìå÷àòåëüíûé øèôð: â îòëè÷èå îò ñòàðûõ øèôðîâ, ãäå ãëàâíûé ñåêðåò êëþ÷, çíàíèå êîòîðîãî ïîçâîëÿåò è çàøèôðîâûâàòü, è ðàñøèôðîâûâàòü ñîîáùåíèÿ, íîâûé øèôð «ñ îòêðûòûì êëþ÷îì»: êàæäûé ìîæåò çàøèôðîâûâàòü, íî òîëüêî àâòîð øèôðà ìîæåò ðàñøèôðîâàòü ïîëó÷àåìûå ñîîáùåíèÿ.  êíèãå «Ââåäåíèå â êðèïòîãðàôèþ» (Ì., ÌÖÍÌÎ, 1998 ã.) ñêàçàíî: «Ýòîò çàìå÷àòåëüíûé ðåçóëüòàò (ðàçëîæåíèå íà ìíîæèòåëè 129-çíà÷íîãî ÷èñëà) áûë äîñòèãíóò áëàãîäàðÿ èñïîëüçîâàíèþ àëãîðèòìà ðàçëîæåíèÿ ÷èñåë íà ìíîæèòåëè, íàçûâàåìîãî ìåòîäîì êâàäðàòè÷íîãî ðåøåòà. Âûïîëíåíèå âû÷èñëåíèé ïîòðåáîâàëî êîëîññàëüíûõ ðåñóðñîâ.  ðàáîòå, âîçãëàâëÿâøåéñÿ ÷åòûðüìÿ àâòîðàìè ïðîåêòà è ïðîäîëæàâøåéñÿ ïîñëå ïðåäâàðèòåëüíîé òåîðåòè÷åñêîé ïîäãîòîâêè ïðèìåðíî 220 äíåé, íà äîáðîâîëüíûõ íà÷àëàõ ó÷àñòâîâàëî îêîëî 600 ÷åëîâåê è ïðèìåðíî 1600 êîìïüþòåðîâ, îáúåäèíåííûõ ñåòüþ Internet.» Ê ñîæàëåíèþ, ðàññêàç î ìåòîäå êâàäðàòè÷íîãî ðåøåòà óâåë áû íàñ äàëåêî â ñòîðîíó îò îñíîâíîé òåìû. Ïîòîìó îñòàâèì åãî äî ëó÷øèõ âðåìåí, à çäåñü îáñóäèì îñíîâíóþ èäåþ ñèñòåìû RSA (ïî ïåðâûì áóêâàì ôàìèëèé àâòîðîâ: Rivest, Shamir, Adleman). Èäåÿ î÷åíü êðàñèâà. Âî-ïåðâûõ, çíàÿ p è q, ìîæíî íàéòè ϕ pq = (p 1)(q 1). Âî-âòîðûõ (è ýòî ãëàâíîå!), åñëè Øèôð RSA ef = 1 + kϕ pq , Øèôðû ñ îòêðûòûì êëþ÷îì Íà âîïðîñ, ÷òî îí íàïèñàë â øèôðîâêå, Øòèðëèö îòâåòèë: «Íå ïîìíþ. Òåïåðü ýòî çíàåò òîëüêî Öåíòð.» ...Òàê íà÷àëèñü íåîáû÷àéíûå ñîáûòèÿ, êîòîðûå âîâëåêëè â ñâîé êðóãîâîðîò íåìàëî ëþäåé. Å.Âåëòèñòîâ Ñêîðåå âñåãî, øèôð ñ îòêðûòûì êëþ÷îì óæå èçîáðåòåí!  1978 ãîäó òðè ìàòåìàòèêà Ðèâåñò, Øàìèð è Àäëåìàí çàøèôðîâàëè íåêîòîðóþ àíãëèéñêóþ ôðàçó è ïîîáåùàëè íàãðàäó â 100$ ïåðâîìó, êòî ðàñøèôðóåò ñîîáùåíèå y = 968696137546220614771409222543558829057599911 2457431987469512093081629822514570835693147662288 3989628013391990551829945157815154. Îíè ïîäðîáíî îáúÿñíèëè ñïîñîá øèôðîâàíèÿ. Ñíà÷àëà ôðàçó áåñõèòðîñòíî (a = 01, b = 02, c = 03,..., z = 26, ïðîáåë = 00) çàïèñàëè â âèäå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè öèôð. 4* b g b g ãäå e, f, k íàòóðàëüíûå ÷èñëà, òî äëÿ ëþáîãî ÷èñëà x, âçàèìíî ïðîñòîãî ñ pq, ïî òåîðåìå Ýéëåðà èìååì x ef e j = x⋅ x b g k ϕ pq ≡ x ⋅1 = x bmod pqg . Âû ïîíÿëè, ÷òî òàêîå e è f?  íàøåì ïðèìåðå e = 9007 (åäèíñòâåííîå îáÿçàòåëüíîå ìàòåìàòè÷åñêîå òðåáîâàíèå ê ÷èñëó e åãî âçàèìíàÿ ïðîñòîòà ñ ÷èñëîì (p 1)(q 1); âïðî÷åì, áðàòü e = 1 èëè e = (p 1)(q 1) 1 âðÿä ëè ðàçóìíî, åñëè õîòèòå ñîõðàíèòü ñåêðåòû). À ÷èñëî f, êàê óæå áûëî ñêàçàíî, ðåøåíèå ñðàâíåíèÿ ef ≡ 1 dmod ϕb pqgi . ( Ïðèëîæåíèè ðàññêàçàíî, êàê àëãîðèòì Åâêëèäà ïîçâîëÿåò ðåøàòü òàêèå ñðàâíåíèÿ.) ÊÂÀÍT 2000/¹1 16 Ñðàâíåíèÿ f y ≡x ef ≡x bmod pqg ïîêàçûâàþò, ÷òî äëÿ íàõîæäåíèÿ x äîñòàòî÷íî íàéòè f îñòàòîê îò äåëåíèÿ y íà pq. (×èñëà âûáðàíû òàê, ÷òî x < pq. Ïðè ýòîì x íå êðàòíî íè p, íè q. Íå ïîäóìàéòå, ÷òî ýòî âñåðüåç íàñ îãðàíè÷èâàåò: åñëè p è q áîëüøèå ÷èñëà, òî âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî x íàöåëî ðàçäåëèòñÿ íà p èëè q, ïðåíåáðåæèìî ìàëà. Êðîìå òîãî, ìîæíî ïðåäóñìîòðåòü â àëãîðèòìå, ÷òîáû â ñëó÷àå ÷åãî ñîîáùåíèå x áûëî àâòîìàòè÷åñêè êàê-òî òàê ÷óòü-÷óòü èçìåíåíî, áåç èçìåíåíèÿ åãî ñìûñëà, ÷òî x è pq ñòàíóò âçàèìíî ïðîñòû.) Ïî÷åìó ìíîãèå íàäåþòñÿ, ÷òî øèôð RSA ÿâëÿåòñÿ øèôðîì ñ îòêðûòûì êëþ÷îì? Äà ïîòîìó, ÷òî ÷èñëà pq è e ìîæíî ñäåëàòü îáùåäîñòóïíûìè. Òîãäà çàøèôðîâàòü ñîîáùåíèå ñìîæåò ëþáîé, ó êîãî åñòü êîìïüþòåð (è êàêàÿíèáóäü ïðîãðàììà, ïîçâîëÿþùàÿ âûïîëíÿòü äåéñòâèÿ ñ ìíîãîçíà÷íûìè ÷èñëàìè). Ðàñøèôðîâàòü ñîîáùåíèå ëåãêî, åñëè ìû çíàåì ÷èñëî f. Íî åäèíñòâåííûé èçâåñòíûé íûíå ñïîñîá íàõîæäåíèÿ ÷èñëà f òðåáóåò íàõîæäåíèÿ ÷èñåë p è q, ò.å. ðàçëîæåíèÿ ïðîèçâåäåíèÿ pq íà ìíîæèòåëè. À ýôôåêòèâíûõ àëãîðèòìîâ ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è ïîêà íåò (óäà÷à 1994 ãîäà íå â ñ÷åò: åñëè áû â ÷èñëàõ p è q áûëî íå 64 è 65, à õîòÿ áû ïî 300 öèôð, òî è ðåñóðñîâ ñåòè Internet íå õâàòèëî áû!). Âïðî÷åì, íåò ñåé÷àñ è äîêàçàòåëüñòâà òîãî, ÷òî íèêòî íèêîãäà íå íàó÷èòñÿ áûñòðî (ìàòåìàòèê ñêàçàë áû: «çà âðåìÿ, ïîëèíîìèàëüíîå îò êîëè÷åñòâà öèôð») ðàçëàãàòü ÷èñëà íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè. Óïðàæíåíèå 43 (Ì1086). Ñ ÷èñëîì ðàçðåøåíî ïðîèçâîäèòü äâå îïåðàöèè: «óâåëè÷èòü â 2 ðàçà» è «óâåëè÷èòü íà 1». Çà êàêîå íàèìåíüøåå ÷èñëî îïåðàöèé ìîæíî èç ÷èñëà 0 ïîëó÷èòü ÷èñëî à) 100; á) 9907; â) n, åñëè â äâîè÷íîé ñèñòåìå ñ÷èñëåíèÿ n èìååò âèä a m a m −1 K a1a 0 ? Àëãîðèòì Åâêëèäà Àëãîðèòì Åâêëèäà ýòî ñïîñîá îòûñêàíèÿ íàèáîëüøåãî îáùåãî äåëèòåëÿ, îñíîâàííûé íà ôîðìóëå ÍÎÄ(a,b) = ÍÎÄ(a bq, b), êîòîðàÿ âåðíà äëÿ ëþáûõ öåëûõ ÷èñåë a, b, q. (Äîêàæèòå ýòó ôîðìóëó!) Ïîäðîáíî î íåì ðàññêàçàíî â ñòàòüå Í.Âàñèëüåâà «Àëãîðèòì Åâêëèäà è îñíîâíàÿ òåîðåìà àðèôìåòèêè» (Ïðèëîæåíèå ê æóðíàëó «Êâàíò» ¹ 6 çà 1998 ãîä). Ñîáñòâåííî ãîâîðÿ, íàì íóæåí äàæå íå àëãîðèòì Åâêëèäà, à îñíîâàííûé íà íåì ñïîñîá ðåøåíèÿ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé. Èòàê, äàíû äâà âçàèìíî ïðîñòûõ ÷èñëà e è m (â èíòåðåñîâàâøåì íàñ ñëó÷àå m = ϕ pq , íî çäåñü ýòî íå âàæíî). Íóæíî íàéòè òàêèå ÷èñëà f è k, ÷òî b g ef = 1 + km. Åñëè áû m áûëî íå î÷åíü áîëüøèì, òî ìîæíî áûëî áû âûïîëíèòü ïîëíûé ïåðåáîð âñåõ m îñòàòêîâ. Íî åñëè m áîëüøîå, òî ïåðåáîð íåðåàëåí. Îêàçûâàåòñÿ, àëãîðèòì Åâêëèäà ïîçâîëÿåò áûñòðî ðåøàòü ýòó çàäà÷ó. ×òîáû îáúÿñíèòü, êàê îí ðàáîòàåò, ðàññìîòðèì ïðèìåð: e = = 9007, m = 19876. (Ìû õîòåëè âçÿòü ñòî-ñ-ëèøíèì-çíà÷íîå ÷èñëî m, íî â ïîñëåäíèé ìîìåíò ñòðóñèëè.) Óðàâíåíèå 9007f = 1 + 19876k ìîæíî çàïèñàòü â âèäå 9007f = 1 + 9007 ⋅ 2k + 1862k, Ïðèëîæåíèå ò.å. Êàê âîçâîäèòü â áîëüøóþ ñòåïåíü? 9007(f 2k) = 1 + 1862k. ×òîáû âîçâåñòè ÷èñëî x â 9007-þ ñòåïåíü, ïî îïðåäåëåíèþ, äîñòàòî÷íî âûïîëíèòü 9006 óìíîæåíèé. Íî ìîæíî îáîéòèñü è 2 d i ìåíüøèì ÷èñëîì îïåðàöèé: âû÷èñëèòü x , x2 8 FH = x ,..., x 2048 IK 2 = x 4096 FH , íàêîíåö, x âàòüñÿ ôîðìóëîé x 9007 2 4 8 =x⋅x ⋅x ⋅x ⋅x 32 4096 ⋅x 256 IK 2 ⋅x = x 2 4 FH IK = x , x 8192 4 2 Îáîçíà÷èì a = f 2k. Òîãäà 9007a = 1 + 1862k. = è âîñïîëüçî- Çàìåòüòå: ïîëó÷èëîñü óðàâíåíèå òîãî æå òèïà, ÷òî è èñõîäíîå, òîëüêî êîýôôèöèåíòû ñòàëè ìåíüøå. Òåïåðü ñëåäóþùèé øàã: , ò.å. 1862 ⋅ 4a + 1559a = 1 + 1862k, 512 ⋅x 8192 êîòîðàÿ îñíîâàíà íà òîì, ÷òî â äâîè÷íîé ñèñòåìå ñ÷èñëåíèÿ 9007 èìååò âèä 9007 10 = 100011001011112 . Ïîíèìàåòå? Ìû ðàçëîæèëè 9007 â ñóììó 1 + 2 + 4 + 8 + 32 + + 256 +512 + 8192 è ñìîãëè ñèëüíî ñýêîíîìèòü: îáîøëèñü 13-þ âîçâåäåíèÿìè â êâàäðàò íà ïåðâîì ýòàïå âû÷èñëåíèé è 7-þ óìíîæåíèÿìè íà âòîðîì ýòàïå. Âñåãî 20 óìíîæåíèé âìåñòî 9006. Îãðîìíàÿ ýêîíîìèÿ! (Äëÿ ïðèäèð÷èâîãî ÷èòàòåëÿ îòìåòèì, ÷òî âûøå ñëåäîâàëî áû ãîâîðèòü íå îá óìíîæåíèÿõ, à îá óìíîæåíèÿõ ïî ìîäóëþ pq: äàáû êîëè÷åñòâî öèôð íå ðîñëî êàòàñòðîôè÷åñêè, ìû âñÿêèé ðàç äîëæíû íå òîëüêî ïåðåìíîæàòü, íî è áðàòü îñòàòîê îò äåëåíèÿ íà pq. Íî ñåé÷àñ ðàçãîâîð íå îá ýòîì.) Ïðåèìóùåñòâà èçëîæåííîãî ìåòîäà âîçâåäåíèÿ â ñòåïåíü òåì íàãëÿäíåå, ÷åì áîëüøå ïîêàçàòåëü ñòåïåíè. Íàïðèìåð, åñëè ïîêàçàòåëü ñòåïåíè ñîñòîèò íå èç ÷åòûðåõ öèôð, êàê 9007, à èç íåñêîëüêèõ äåñÿòêîâ èëè ñîòåí öèôð, òî íàèâíûé ñïîñîá íå òî ÷òî óòîìèòåëåí, à íåîñóùåñòâèì íè íà êàêèõ, äàæå ñàìûõ ìîùíûõ, êîìïüþòåðàõ. À îñíîâàííûé íà äâîè÷íîé ñèñòåìå ðàáîòàåò è â òàêîé ñèòóàöèè! 1559a = 1 + 1862(k 4a). Îáîçíà÷èì k 4a = b, òîãäà 1559a = 1 + 1862b. Äàëåå, 1559(a b) = 1 + 303b. Îáîçíà÷èâ a b = c, ïîëó÷àåì óðàâíåíèå 1559c = 1 + 303b. Äàëüøå òàê æå: 44c = 1 + 303(b 5c), d = b 5c, 44c = 1 + 303d; 44(c 6d) = 1 +39d, x = c 6d, 44x = 1 + 39d; 5x = 1 + 39(d x), y = d x, 5x = 1 + 39y. Ìàøèíà ïðîäîëæèëà áû âû÷èñëåíèÿ äàëüøå, ïîêà êîýôôèöèåíò ïðè îäíîé èç íåèçâåñòíûõ íå ñòàë áû ðàâåí 1. À ìû îñòàíîâèìñÿ óæå çäåñü: î÷åâèäíî, x = 8, y = 1 îäíî èç ðåøåíèé Îêîí÷àíèå ñì. íà ñ. 37 ØÊÎËÀ øòóê â êóáè÷åñêîì ìåòðå, íî âñå îíè îäèíàêîâû è íàõîäÿòñÿ â ñðåäíåì íà îäíîì è òîì æå ðàññòîÿíèè äðóã îò äðóãà ïîðÿäêà 1 3 N . È â ðåçóëüòàòå íàéäåì íåêîòîðóþ ýôôåêòèâíóþ, èëè ñðåäíåîáúåìíóþ, äèýëåêòðè÷åñêóþ ïðîíèöàåìîñòü òàêîé ïóçûðüêîâîé æèäêîñòè. Íî äàæå ýòó ñêðîìíóþ ïðîãðàììó âûïîëíèòü íå î÷åíü ëåãêî, äà ýòî è íå îáÿçàòåëüíî äåëàòü ñåé÷àñ äî êîíöà íà îñíîâå äâóõ ðàññìîòðåííûõ âûøå ïðèìåðîâ ÿñíî, ÷òî ðåçóëüòàò áóäåò çàâèñåòü îò ñóììàðíîãî îáúåìà ïóçûðüêîâ, ïîïàâøèõ â êîíäåíñàòîð, è ÷òî âðåìåííáÿ çàâèñèìîñòü òîêà áóäåò ñêîðåå âñåãî èíîé, ÷åì â óïîìÿíóòûõ ïðèìåðàõ. À ÷òî åùå ìû íå ó÷ëè â ýòèõ ñëó÷àÿõ? Ìíîãîå. Íàïðèìåð, ÷òî äèýëåêòðèê âòÿãèâàåòñÿ â êîíäåíñàòîð. Ýòî çíà÷èò, ÷òî â ïåðâîì ñëó÷àå «ñíàðÿäíîãî» òå÷åíèÿ ãàçîâûé ïóçûðü, ïîïàâøèé â êîíäåíñàòîð, áóäåò ñæèìàòüñÿ ñëåâà è ñïðàâà äâóìÿ ïðîáêàìè æèäêîñòè. Òî æå ñàìîå áóäåò ïðîèñõîäèòü è ñ ïóçûðüêîâîé æèäêîñòüþ, åñëè ñóììàðíûé îáúåì ïóçûðüêîâ áóäåò íåïîñòîÿíåí â ïðîñòðàíñòâå, òàê ÷òî äâè-  «ÊÂÀÍÒÅ» æåíèå òàêîé ãàçîæèäêîñòíîé ñìåñè â êîíäåíñàòîðå íå áóäåò ðàâíîìåðíûì. Äàëåå, â ðåàëüíîñòè ñóùåñòâóåò ñîïðîòèâëåíèå ïðîâîäîâ è âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå èñòî÷íèêà íàïðÿæåíèÿ. Åñëè èõ ñóììà ðàâíà r, òî ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ ìåæäó ïëàñòèíàìè êîíäåíñàòîðà çàïèøåòñÿ â âèäå q >C C t >C = U − rI t è óæå íå áóäåò ïîñòîÿííîé âåëè÷èíîé. À åñëè ó÷åñòü åùå èíäóêòèâíîñòü öåïè L è ñîîòâåòñòâóþùóþ åé ÝÄÑ ñàìîèídI äóêöèè −L , òî çàêîí Êèðõãîôà dt äàñò ñòðàøíîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ çàðÿäà: 2 d q 2 +r dq Ìàëàÿ òåîðåìà Ôåðìà (Íà÷àëî ñì. íà ñ. 9) ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ. Çíàÿ x è y, ëåãêî íàõîäèì d = x + y = 9, c = x + 6d = 62, b = d + 5c = 319, a = b + c = 381, k = b + 4a = 1843, f = a + 2k = 4067. Ïîáåäà! ×èñëà k è f íàéäåíû! (Ïðîâåðêà: 9007 ⋅ 4067 = = 36631469 = 1 + 19876 ⋅ 1843.) Óïðàæíåíèå 44* (äëÿ òåõ, êòî î÷åíü ëþáèò ïðîãðàììèðîâàòü). à) Íàéäèòå ÷èñëî f, êîòîðîå íàøëè Àòêèíñ, Êðàôò, Ëåíñòðà è Ëåéëàíä. á) Ðàñøèôðóéòå ôðàçó, çàøèôðîâàííóþ â 1978 ãîäó Ðèâåñòîì, Øàìèðîì è Àäëåìàíîì. ×òî äàëüøå? ×òî îñòàåòñÿ îò ñêàçêè ïîòîì, Ïîñëå òîãî, êàê åå ðàññêàçàëè? Â.Âûñîöêèé Ïîäûòîæèì.  ïåðâîé ÷àñòè ñòàòüè ìû äîêàçàëè ìàëóþ òåîðåìó Ôåðìà è åå îáîáùåíèå òåîðåìó Ýéëåðà. Ðàññêàçàëè î ïðàêòè÷åñêîì ïðèìåíåíèè òåîðåìû Ýéëåðà â êðèïòîãðàôèè. Ïðàâäà, îñòàëîñü òàéíîé, îòêóäà âçÿëèñü ÷èñëà p, q (òî÷íåå ãîâîðÿ, êàê ìîæíî êîíñòðóèðîâàòü áîëüøèå â íåñêîëüêî äåñÿòêîâ èëè ñîòåí öèôð ïðîñòûå ÷èñëà). Âî âòîðîé ÷àñòè ìû ðàññêàæåì îá îñíîâàííûõ íà ìàëîé òåîðåìå Ôåðìà ìåòîäàõ êîíñòðóèðîâàíèÿ áîëüøèõ ïðîñòûõ ÷èñåë. Ðàññêàæåì è î ÷èñëàõ Êàðìàéêëà, èñòîðèÿ êîòîðûõ + q =U, dt C t dt êîòîðîå îïèñûâàåò çàòóõàþùèå êîëåáàíèÿ. Ðåøèòü ýòî óðàâíåíèå ñëîæíî, òàê êàê åìêîñòü êîíäåíñàòîðà èçìåíÿåòñÿ ñî âðåìåíåì (â ýòîì-òî è ñîñòîèò ñóòü ìåòîäà), íî ìîæíî îæèäàòü, ÷òî íà âûøåíàðèñîâàííûå êðèâûå çàâèñèìîñòè çàðÿäà è òîêà îò âðåìåíè íàëîL >C 37 æàòñÿ «ãàðìîøêè» êîëåáàíèé (ñì. ðèñ.2, òî÷å÷íûå êðèâûå). Êðîìå òîãî, ìîæíî ïðåäëîæèòü è äðóãóþ ñõåìó èçìåðåíèé. Íàïðèìåð, çàðÿäèòü êîíäåíñàòîð îò êàêîãî-ëèáî èñòî÷íèêà, çàòåì îòêëþ÷èòü ïîñëåäíèé è ñîõðàíÿòü íà ïëàñòèíàõ ïîñòîÿííûé çàðÿä (âîò òóò-òî è ïðèãîäèòñÿ ïðåíåáðåæèìî ìàëàÿ ýëåêòðîïðîâîäíîñòü æèäêîñòè). Òîãäà ïðè ïðîõîæäåíèè ÷åðåç êîíäåíñàòîð æèäêîñòè ñ ðàçëè÷íûì ñîäåðæàíèåì ãàçà â ïóçûðüêàõ áóäåò èçìåíÿòüñÿ ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ ìåæäó ïëàñòèíàìè. Òàêèå ïðèáîðû ñóùåñòâóþò è íàçûâàþòñÿ åìêîñòíûìè äàò÷èêàìè. Íàäî ïðèçíàòüñÿ, ÷òî òàêèìè ñïîñîáàìè ìû íàéäåì òîëüêî ñóììàðíûé îòíîñèòåëüíûé îáúåì ãàçîâîé ôàçû, à íå êîíöåíòðàöèþ ïóçûðüêîâ. Íå õóäî áûëî áû îïðåäåëèòü êàê-íèáóäü è èõ ñðåäíèé ðàçìåð. Íóæíî, ñëåäîâàòåëüíî, èñïîëüçîâàòü åùå êàêèå-òî ôèçè÷åñêèå ÿâëåíèÿ è ïðèáîðû (íàïðèìåð, îïòè÷åñêèå)... Òàê ÷òî, ïðåæäå ÷åì îòêðûòü áóòûëêó íàðçàíà, ïîäóìàéòå î ÷èñëå ïóçûðüêîâ è çàêîíàõ ôèçèêè. È ïðèÿòíîãî àïïåòèòà! íà÷àëàñü â äðåâíîñòè, à ñóùåñòâîâàíèå áåñêîíå÷íîãî ìíîæåñòâà êîòîðûõ äîêàçàíî â 1994 ãîäó. Ìàëóþ òåîðåìó Ôåðìà íå îáÿçàòåëüíî äîêàçûâàòü èìåííî òàê, êàê ýòî ñäåëàíî âûøå. Âî âòîðîé ÷àñòè ìû èçëîæèì äðóãèå ñïîñîáû. Îäèí èç íèõ ïðèâåäåò ê òåîðåìå î ñóùåñòâîâàíèè ïåðâîîáðàçíîãî êîðíÿ ïî ïðîñòîìó ìîäóëþ è äàëåå ê òåîðåìå î ñòðîåíèè ìóëüòèïëèêàòèâíîé ãðóïïû âû÷åòîâ ïî (íå îáÿçàòåëüíî ïðîñòîìó) ìîäóëþ n. ×òîáû âû ëó÷øå îöåíèëè ñèëó ðåçóëüòàòîâ âòîðîé ÷àñòè ñòàòüè, ïîäóìàéòå íàä ñëåäóþùèìè çàäà÷àìè. Âñå îíè áóäóò ðåøåíû âî âòîðîé ÷àñòè. Íå îãîð÷àéòåñü äàæå â òîì ñëó÷àå, åñëè íè îäíà èç íèõ íå ïîëó÷èòñÿ: ýòî íå óïðàæíåíèÿ, à äîâîëüíî òðóäíûå çàäà÷è! Çàäà÷è 1. Ñóùåñòâóåò ëè òàêîå ñîñòàâíîå ÷èñëî n (÷èñëî Êàðìàéêëà), ÷òî äëÿ ëþáîãî öåëîãî ÷èñëà a ðàçíîñòü an a êðàòíà n? n 2. Íè äëÿ êàêîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà n ÷èñëî 2 + 1 íå êðàòíî n + 1. Äîêàæèòå ýòî. 3. Åñëè 2n + 1 êðàòíî n, òî n = 1 èëè n êðàòíî 3. Äîêàæèòå ýòî. 4. Äëÿ êàêèõ n ÷èñëà 1, 2,... ..., n 1 ìîæíî ðàññòàâèòü âäîëü îêðóæíîñòè òàê, ÷òîáû äëÿ ëþ- # ! áûõ ïîäðÿä èäóùèõ ÷èñåë a, b, c ðàçíîñòü b2 ac áûëà êðàòíà n? (Íà ðèñóíêàå 2 èçîáðàæåí ñëó÷àé n = 7.) 5. Äëÿ êàêèõ ïðîñòûõ ÷èñåë " p ñóùåñòâóåò òàêîå öåëîå ÷èñëî a, ÷òî a4 + a3 + a2 + a + 1 êðàòíî p? $ Ðèñ. 2