Задачи контрольной работы по МС, PDF

ÔÍÁÈÊ, Êàôåäðà ìàòåìàòèêè è ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè
"Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà" 2012
Êð2
1. Ïóñòü {x1 , . . . , xN } -íåçàâèñèìûå öåëî÷èñëåííûå âûáîðî÷íûå çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû x, èìåþùåé áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå
m m
B(p, M ) : PM {x = m} = CM
p (1 − p)M −m .
Ïîêàçàòü, ÷òî xn /M è xi /M (1−xj /M ), i 6= j , ìîæíî èñïîëüçîâàòü êàê âûáîðî÷íûå íåñìåùåííûå
îöåíêè p è σ 2 = p(1 − p) ñîîòâåòñòâåííî. Íàïîìíèì, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ íàçûâàåòñÿ
íåñìåùåííîé îöåíêîé ïàðàìåòðà θ , åñëè Eξ = θ .
1. Ïóñòü {x1 , . . . , xN } -íåçàâèñèìûå öåëî÷èñëåííûå âûáîðî÷íûå çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé âåëèm
÷èíû x, èìåþùåé ïóàññîíîâñêîå ðàñïðåäåëåíèå Pλ {x = m} = λm! e−λ . Ïîêàçàòü, ÷òî x(N ) =
PN
n=1 xn /N ìîæíî èñïîëüçîâàòü êàê ñîñòîÿòåëüíóþ âûáîðî÷íóþ îöåíêó λ ïðè ëþáîì N .
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà âîñïîëüçîâàòüñÿ íåðàâåíñòâîì ×åáûøåâà P {|χ − c| ≥ } ≤ 1 E |χ − c|2 .
Íàïîìíèì, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà
P {|x(N ) − θ| ≥ } → 0
ïðè
N →∞
x(N )
íàçûâàåòñÿ
äëÿ ëþáîãî
> 0.
ñîñòîÿòåëüíîé
îöåíêîé ïàðàìåòðà
θ,
åñëè
1. Ïóñòü {xn }N
1 - íåçàâèñèìûå
PNâûáîðî÷íûå çíà÷åíèÿ2 ñëó÷àéíîé
PN âåëè÷èíû ξ2 ∈ N (µ, σ).
1
1
Ïîêàçàòü, ÷òî ñðåäíåå µN = N n=1 xn è äèñïåðñèÿ σN = N −1 n=1 (xn − µN ) ÿâëÿþòñÿ
íåçàâèñèìûìè ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè.
1. Ïóñòü {xn }N
1 - íåçàâèñèìûå âûáîðî÷íûå çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ∈ N (µ, σ).
Èñïîëüçóÿ ðàñïðåäåëåíèå Ñòüþäåíòà îöåíèòü âåðîÿòíîñòü µN − ≤ µ ≤ µN + δ .
1. Ïóñòü {xn }N
1 - íåçàâèñèìûå âûáîðî÷íûå çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ∈ N (µ, σ).
2
2
Èñïîëüçóÿ ðàñïðåäåëåíèå Ôèøåðà îöåíèòü âåðîÿòíîñòü σN
− ≤ σ 2 ≤ σN
+ δ.
1. Ïóñòü x, y ∈ [−1, 1] íåçàâèñèìûå äåéñòâèòåëüíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ñ ïëîòíîñòÿìè
ðàñïðåäåëåíèÿ px (r) ≡ 21 è py (r) ≡ 12 . Âû÷èñëèòü ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû
z = max{x, y}.
1. Ïóñòü x, y ∈ [−1, 1] íåçàâèñèìûå äåéñòâèòåëüíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ñ ïëîòíîñòÿìè
ðàñïðåäåëåíèÿ px (r) ≡ 21 è py (r) ≡ 12 . Âû÷èñëèòü ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû
z = min{x, y}.
N
1. Ïóñòü x = {ξn }N
1 ∈ R , ãäå ξn íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ñî ñòàíäàðòíûì
íîðìàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì. Âû÷èñëèòü ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû r = |x|2 ∈ R+ .
1.  êàêîé òî÷êå ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ Ôèøåðà PfM,N (x) äîñòèãàåò ìàêñèìóìà?
1. Ñóùåñòâóåò ëè ïðåäåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå P (x) = limN →∞ PtN (x), ãäå PtN (x) - ðàñïðåäåëåíèå Ñòüþäåíòà ñ N ñòåïåíÿìè ñâîáîäû?
2
1. Ïóñòü µN è σN
âûáîðî÷íûå îöåíêè ïàðàìåòðîâ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ N (µ, σ)
s σ2
s σ2
è s1 , s2 > 0. Âû÷èñëèòü âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ µN − √1 NN < µ < µN + √2 NN .
2
1. Ïóñòü µN è σN
âûáîðî÷íûå îöåíêè ïàðàìåòðîâ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ N (µ, σ)
2
2
(N −1)σN
(N −1)σN
< σ2 <
.
è g1 > g2 > 0. Âû÷èñëèòü âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ
g1
g2
1. Ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû Ñòèðëèíãà ïîêàçàòü, ÷òî ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ Ñòüþäåíòà
ptN (x) ñõîäèòñÿ ê ñòàíäàðòíîìó íîðìàëüíîìó ðàñïðåäåëåíèþ. Íàïîìíèì, ÷òî
Γ N2
cN
.
ptN (x) = N2 , cN = p
N −1
2
π(N − 1)Γ 2
1+ x
N −1
1. Ïîêàçàòü, ÷òî åñëè F (x) êóìóëÿòèâíîå ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ , òî
ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà µ = F (ξ) èìååò ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå.
1. Ïóñòü F (x) êóìóëÿòèâíîå ðàñïðåäåëåíèå äåéñòâèòåëüíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ .
Âû÷èñëèòü ñðåäíåå çíà÷åíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû µ = F (ξ).
1. Ïóñòü F (x) êóìóëÿòèâíîå ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ . Âû÷èñëèòü äèñïåðñèþ
ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû µ = F (ξ).
1. Ïóñòü ä. ñ. â. ξ èìååò ðàñïðåäåëåíèå Ïàðåòî P (1, a) è xN = min{ξ1 , . . . , ξN }. Âû÷èñëèòü
E ln xN .
1. Ïóñòü ξ ∈ N (0, 1) è µ ∈ χ2n íåçàâèñèìûå ä. ñ. â. Âû÷èñëèòü ðàñïðåäåëåíèå
ξ
.
χ2n
1. Ïîêàçàòü, ÷òî êîâàðèàöèîííàÿ ìàòðèöà n-ìåðíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ñ äåéñòâèòåëüíûìè
êîìïîíåíòàìè íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåëåíà.
2. Äëÿ ìàññèâà èç N = 100 ýêñïåðèìåíòàëüíûõ òî÷åê îïðåäåëåíî âûáîðî÷íîå ñðåäíåå
2
= 0.04. Êàêóþ ïîãðåøíîñòü ìîæíî ãàðàíòèðîâàòü ñ âåðîÿòíîñòüþ
µN = 1 è äèñïåðñèÿ σN
P = 0.95? Âîñïîëüçóéòåñü öåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìîé è ãðàôèêîì êóìóëÿòèâíîãî
ðàñïðåäåëåíèÿ ñòàíäàðòíîé íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0
1
2
3
4
2. Äëÿ ìàññèâà èç N = 100 ýêñïåðèìåíòàëüíûõ òî÷åê îïðåäåëåíî âûáîðî÷íîå ñðåäíåå
2
µN = 1 è äèñïåðñèÿ σN
= 0.04. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî èñòèííîå ñðåäíåå îòëè÷àåòñÿ
îò µN â ëþáóþ ñòîðîíó íå áîëåå, ÷åì íà 0.1? Âîñïîëüçóéòåñü öåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîé
òåîðåìîé è ãðàôèêîì êóìóëÿòèâíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñòàíäàðòíîé íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííîé
ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0
1
2
3
4
2. Äëÿ ìàññèâà èç N = 10 ñëó÷àéíûõ òî÷åê
{3.307, 3.513, 3.979, 3.298, 3.081, 3.519, 3.371, 4.101, 3.789, 3.091},
èìåþùèõ íåèçâåñòíîå ñðåäíåå µ è èçâåñòíóþ äèñïåðñèþ σ 2 = 0.25 îïðåäåëåíû âûáîðî÷íîå
2
= 0.222. Èñïîëüçóÿ ïðèâåäåííîå íà ãðàôèêå
ñðåäíåå µN = 3.4 è âûáîðî÷íàÿ äèñïåðñèÿ σN
ðàñïðåäåëåíèå Ñòüþäåíòà c 9 ñòåïåíÿìè ñâîáîäû, íàéäèòå äîâåðèòåëüíûå èíòåðâàëû, ñîäåðæàùèå
ñðåäíåå çíà÷åíèå µ ñ âåðîÿòíîñòÿìè 0.1, 0.5, 0.9.
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2. Äëÿ ìàññèâà èç N = 10 ñëó÷àéíûõ òî÷åê
{3.307, 3.513, 3.979, 3.298, 3.081, 3.519, 3.371, 4.101, 3.789, 3.091},
èìåþùèõ íåèçâåñòíîå ñðåäíåå µ è èçâåñòíóþ äèñïåðñèþ σ 2 = 0.25 îïðåäåëåíû âûáîðî÷íîå
2
ñðåäíåå µN = 3.4 è âûáîðî÷íàÿ äèñïåðñèÿ σN
= 0.222. Èñïîëüçóÿ ïðèâåäåííîå íà ãðàôèêå
ðàñïðåäåëåíèå Ñòüþäåíòà c 9 ñòåïåíÿìè ñâîáîäû, íàéäèòå âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ µ ∈ [π, µN ].
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2. Äëÿ ìàññèâà èç N = 10 ñëó÷àéíûõ òî÷åê
{2.637, 3.349, 2.466, 2.77, 3.767, 2.351, 2.365, 2.253, 2.753, 2.707},
èìåþùèõ èçâåñòíîå ñðåäíåå µ = π è íåèçâåñòíóþ äèñïåðñèþ îïðåäåëåíà âûáîðî÷íàÿ äèñïåðñèÿ
2
= 0.227. Èñïîëüçóÿ ïðèâåäåííîå íà ãðàôèêå ðàñïðåäåëåíèå
σN
CDF[ChiSquareDistribution[9], 9/(1 − eps)] − CDF[ChiSquareDistribution[9], 9/(1 + eps)],
2
2
íàéäèòå âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ σ 2 ∈ [σN
(1 − ), σN
(1 + )], = 0.1.
0.45
0.40
0.35
0.30
0.25
0.20
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
2. Äëÿ ìàññèâà èç N = 10 ñëó÷àéíûõ òî÷åê
{2.637, 3.349, 2.466, 2.77, 3.767, 2.351, 2.365, 2.253, 2.753, 2.707},
èìåþùèõ èçâåñòíîå ñðåäíåå µ = π è íåèçâåñòíóþ äèñïåðñèþ σ îïðåäåëèòü âûáîðî÷íóþ
äèñïåðñèþ Èñïîëüçóÿ ïðèâåäåííîå íà ãðàôèêå ðàñïðåäåëåíèå
CDF[ChiSquareDistribution[9], 9/(1 − eps)] − CDF[ChiSquareDistribution[9], 9/(1 + eps)],
0.45
0.40
0.35
0.30
0.25
0.20
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
2
2
íàéäèòå âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ σ 2 ∈ [σN
(1 − ), σN
(1 + )], σ 2 = 0.25, = 0.3.
2. Äëÿ äâóõ ìàññèâîâ èç N = 10 è M = 8 ñëó÷àéíûõ òî÷åê
{−0.925, 0.0462, −0.359, 0.259, 0.581, −0.260, −0.399, −0.700, 0.915, 0.143},
{0.148, −0.810, −0.357, 0.0389, −0.484, −0.080, −0.350, 0.813}
2
=
èìåþùèõ ñðåäíåå µ = 0 è íåèçâåñòíûå äèñïåðñèè îïðåäåëåíû âûáîðî÷íûå äèñïåðñèè σ10
2
0.173, σ8 = 0.279. Èñïîëüçóÿ ïðèâåäåííîå íà ãðàôèêå ðàñïðåäåëåíèå
CDF[FRatioDistribution[10, 8], 1 + eps] − CDF[FRatioDistribution[10, 8], 1 − eps]
2
ñî ñòåïåíÿìè ñâîáîäû (10,8), íàéäèòå âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ σ10
/σ82 = 0.621 ∈ [1 − , 1 + )], äëÿ
ìèíèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ .
0.45
0.40
0.35
0.30
0.25
0.20
0.15
0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40
2. Äëÿ äâóõ ìàññèâîâ èç N = 30 è M = 20 ñëó÷àéíûõ òî÷åê ïîñòðîåíû ãðàôèêè ðàíãîâûõ
ðàñïðåäåëåíèé è íàéäåíà èõ ðàçíîñòü, èçîáðàæåííàÿ íà ëåâîì ãðàôèêå. Íà ïðàâîì ãðàôèêå
ïðèâîäèòñÿ ðàñïðåäåëåíèå Êîëìîãîðîâà. Ñ ïîìîùüþ êðèòåðèÿ ÑìèðíîâàÊîëìîãîðîâà ïðîâåðèòü ãèïîòåçó î ñîâïàäåíèè âûáîðî÷íûõ ðàñïðåäåëåíèé. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî
ðàñïðåäåëåíèÿ ñîâïàäàþò?
2. Íàéòè òî÷êó, â êîòîðîé pχ2N (x) äîñòèãàåò ìàêñèìóìà.
2. Âû÷èñëèòü ñðåäíåå è äèñïåðñèþ ðàñïðåäåëåíèÿ tN .
2. Âû÷èñëèòü ñðåäíåå è äèñïåðñèþ ðàñïðåäåëåíèÿ χ2N .
2. Âû÷èñëèòü ñðåäíåå ðàñïðåäåëåíèÿ Ôèøåðà fk,m .
0.25
1.0
0.20
0.8
0.15
0.6
0.10
0.4
0.05
0.2
0.00
0.0
0
10
20
30
40
50
0.5
1.0
1.5
2.0
2. Âû÷èñëèòü êîâàðèàöèîííóþ ìàòðèöó ïîãðåøíîñòè îöåíêè b−b∗ = (AT A)−1 AT ξ ïàðàìåòðîâ
b äëÿ ìåòîäà íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ, ñ÷èòàÿ, ÷òî êîìïîíåíòû âåêòîðà îøèáîê íåçàâèñèìûå
ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, èìåþùèå ðàñïðåäåëåíèå N (0, σ).
2. Ïóñòü x ∈ R, ξ ä. ñ. â. è µ(ξ|x) = I(−∞,x] (ξ). Âû÷èñëèòü ñðåäíåå è äèñïåðñèþ ä. ñ. â.
µ(x, ξ).
3. Ïóñòü {x1,1 , . . . , x1,N1 ; x2,1 , . . . , x2,N2 ; . . . ; xK,1 , . . . , xK,NK } - âûáîðî÷íûå çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé
âåëè÷èíû ξ ∈P
N (µ, σ) ðàçáèòûå íà K ãðóïï ïî N1 , . . . , NK ýëåìåíòîâ,
N = N1 + · · · + NK .
P
1
1
Ïóñòü X = N k,n xk,n - ãëîáàëüíîå âûáîðî÷íîå ñðåäíåå è Xk = Nk n xk,n - âíóòðèãðóïïîâûå
ñðåäíèå. Ïîêàçàòü, ÷òî èìååò ìåñòî òåîðåìà Ïèôàãîðà Q = Q1 + Q2 , ãäå
X
X
X
(Xk − xk,n )2 .
Nk (X − Xk )2 ,
Q2 =
(X − xk,n )2 ,
Q1 =
Q=
k,n
k
k,n
3. Ïóñòü {x1,1 , . . . , x1,N1 ; x2,1 , . . . , x2,N2 ; . . . ; xK,1 , . . . , xK,NK } - âûáîðî÷íûå çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíûP
ξ ∈ N (µ, σ) ðàçáèòûå íà K ãðóïï ïî N1 , . . . , NK ýëåìåíòîâ,
N = N1 + · · · + NK .
P
1
1
Ïóñòü X = N k,n xk,n - ãëîáàëüíîå âûáîðî÷íîå ñðåäíåå è Xk = Nk n xk,n - âíóòðèãðóïïîâûå
ñðåäíèå
X
X
X
Q=
(X − xk,n )2 ,
Q1 =
Nk (X − Xk )2 ,
Q2 =
(Xk − xk,n )2 .
k,n
k
k,n
Ïðåäñòàâèòü Q1 è Q2 â âèäå êâàäðàòè÷íûõ ôîðì ïðîåêòîðîâ.
3. Ïóñòü {x1,1 , . . . , x1,N1 ; x2,1 , . . . , x2,N2 ; . . . ; xK,1 , . . . , xK,NK } - âûáîðî÷íûå çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíûP
ξ ∈ N (µ, σ) ðàçáèòûå íà K ãðóïï ïî N1 , . . . , NK ýëåìåíòîâ,
N = N1 + · · · + NK .
P
Ïóñòü X = N1 k,n xk,n - ãëîáàëüíîå âûáîðî÷íîå ñðåäíåå è Xk = N1k n xk,n - âíóòðèãðóïïîâûå
ñðåäíèå
X
X
X
Q=
(X − xk,n )2 ,
Q1 =
Nk (X − Xk )2 ,
Q2 =
(Xk − xk,n )2 .
k,n
k
Ñêîëüêî ñòåïåíåé ñâîáîäû èìåþò ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Q1 è Q2 ?
k,n
3. Ïóñòü R > 0 è x ãàóññîâà ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ñ íóëåâûì ñðåäíèì è íîðìàëüíûì
ðàñïðåäåëåíèåì
Z
1
1
−1
√
e− 2 (x,R x) dK x.
P (x ∈ B) =
(2π)K/2 det R B
Ïîêàçàòü, ÷òî E(h, x)(g, x) = (h, E x ⊗ x g) = (h, Rg) äëÿ ëþáûõ g, h ∈ RK , òî åñòü R êîâàðèàöèîííàÿ ìàòðèöà.
3. Ïóñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà x èìååò ðàñïðåäåëåíèå pk = P (x ∈ Ωk ), Ω = tk Ωk è
IΩk (x) − pk
∈ RK .
z(x) =
√
pk
Ïîêàçàòü, ÷òî êîâàðèàöèîííàÿ ìàòðèöà ñëó÷àéíîãî âåêòîðà z(x) ðàâíà R = Ez(x) ⊗ Z(x) =
√
√
I − ep ⊗ ep , ãäå ep = { p1 , . . . , pK }.
3. Ïóñòü A : RK → RN - ìàòðèöà ïîëíîãî ðàíãà K < N . Ïîêàçàòü, ÷òî detAT A > 0 è
äëÿ ëþáîãî y ∈ RN
argminb |y − Ab| = (AT A)−1 AT y.
3. Ïóñòü A : RK → RN - ìàòðèöà ïîëíîãî ðàíãà K < N . Ïîêàçàòü, ÷òî åñëè b∗ =
(AT A)−1 AT y , Ab = y + ξ , ãäå Eξ = 0, òî E(bk − b∗k )2 = Λkk , ãäå Λ = (AT A)−1 .
3. Ïóñòü A : RK → RN - ìàòðèöà ïîëíîãî ðàíãà K < N . Ïîêàçàòü, ÷òî åñëè ξ ∈ N (0, 1),
òî b − b∗ è (ξ, (I − πA )ξ) íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû.
3. Ïóñòü A : RK → RN - ìàòðèöà ïîëíîãî ðàíãà K < N . Äëÿ ïåðåîïðåäåëåííîé ñèñòåìû
yn + ξn = b0 + b1 xn c çàäàííûìè {xn , yn }, íàéòè b∗0 , b∗1 ìåòîäîì íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ.
3. Ìåòîäîì Ôîðñàéòà ïîñòðîèòü 4 îðòîãîíàëüíûõ ïîëèíîìà íà ðàâíîìåðíîé ñåòêå, èìåþùèé
øàã h è ñîñòîÿùåé èç N óçëîâ.
3. Ïóñòü A -K × M -ìàòðèöà ðàíãà K < M , K ÷èñëî ñòðîê. Êàê äîêàçàòü, ÷òî ìàòðèöà
AAT ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíà è èìååò ðàíã K ?
R
3. Óáåäèòüñÿ, ÷òî R δ(x − λy)f (y) dy = |λ|−1 f (λ−1 x). Êàê âûãëÿäèò ýòà ôîðìóëà â
Q
x, y ∈ RN , åñëè δ(x) = N
n=1 δ(xn ) è λ íåâûðîæäåííàÿ (n × n)-ìàòðèöà?
3. Ïóñòü pn âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî âûáîðî÷íîå çíà÷åíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ïîïàäàåò
â îáëàñòü Ωn , n ≤ N . Îáëàñòè Ωn íå ïåðåñåêàþòñÿ, à èç îáúåäèíåíèå ñîäåðæèò âñå âîçìîæíûå
çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ . Âû÷èñëèòü êîððåëÿöèîííóþ ôóíêöèþ êîìïîíåíò zn (ξ) =
IΩn (ξ)−pn
√
ñëó÷àéíîãî âåêòîðà z(ξ) ∈ RN .
pn
3. Âûâåñòè ôîðìóëû ÌÍÊ äëÿ ïîãðåøíîñòåé îöåíîê êîýôôèöèåíòîâ bn −b∗n ïðè èñïîëüçîâàíèè
îðòîãîíàëüíûõ ñåòî÷íûõ ïîëèíîìîâ è âû÷èñëèòü êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè E(bn − b∗n )(bm −
b∗m ) ïðè ñòàíäàðòíûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ îòíîñèòåëüíî ïîãðåøíîñòåé èçìåðåíèé.
3. Âûâåñòè ôîðìóëû ÌÍÊ äëÿ ïîãðåøíîñòåé îöåíîê ýêñïåðèìåíòàëüíûõ òî÷åê yn −yn∗ ïðè
èñïîëüçîâàíèè îðòîãîíàëüíûõ ñåòî÷íûõ ïîëèíîìîâ è âû÷èñëèòü êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè
∗
E(yn −yn∗ )(ym −ym
) ïðè ñòàíäàðòíûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ îòíîñèòåëüíî ïîãðåøíîñòåé èçìåðåíèé.
3. Âûâåñòè ôîðìóëû ÌÍÊ äëÿ ïîãðåøíîñòåé îöåíîê êîýôôèöèåíòîâ bn −b∗n ïðè èñïîëüçîâàíèè
ñåòî÷íûõ ïîëèíîìîâ è âû÷èñëèòü êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè E(bn −b∗n )(bm −b∗m ) ïðè ñòàíäàðòíûõ
ïðåäïîëîæåíèÿõ îòíîñèòåëüíî ïîãðåøíîñòåé èçìåðåíèé.
3. Âûâåñòè ôîðìóëû ÌÍÊ äëÿ ïîãðåøíîñòåé îöåíîê ýêñïåðèìåíòàëüíûõ òî÷åê yn −yn∗ ïðè
èñïîëüçîâàíèè ñåòî÷íûõ ïîëèíîìîâ è âû÷èñëèòü êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè E(yn − yn∗ )(ym −
∗
) ïðè ñòàíäàðòíûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ îòíîñèòåëüíî ïîãðåøíîñòåé èçìåðåíèé.
ym
N
4. Ïóñòü
âåëè÷èíû ξ è
Rx
PNx ∈ R, {ξn }1 - íåçàâèñèìûå âûáîðî÷íûå çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé
1
FN (x) = N n=1 I(−∞,x] (ξn ) -ðàíãîâîå ðàñïðåäåëåíèå, EFN (x) = F (x) = −∞ p(ξ)dξ . Âû÷èñëèòü
êîâàðèàöèþ E(FN (x) − F (x))2 .
4. Ïóñòü xP∈ R, {ξn }N
1 - íåçàâèñèìûå âûáîðî÷íûå çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé
R x âåëè÷èíû ξ
è FN (x) = N1 N
I
(ξ
)
-ðàíãîâîå
ðàñïðåäåëåíèå,
EF
(x)
=
F
(x)
=
p(ξ)dξ . Ñ
N
n=1 (−∞,x] n
−∞
ïîìîùüþ íåðàâåíñòâà ×åáûøåâà äîêàçàòü ñõîäèìîñòü ðàíãîâîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïî âåðîÿòíîñòè:
limN →∞ P (|FN (x) − F (x)| > ) = 0.
4. Ïóñòü äëÿ âûáîðêè èç 100 òî÷åê max |F (x) − FN (x)| = 0.1. Ñ ïîìîùüþ êðèòåðèÿ
Êîëìîãîðîâà îöåíèòü âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî òàêîé ìàêñèìóì ïðèíèìàåò ìåíüøèå çíà÷åíèÿ.
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
4. Ïóñòü äëÿ íåçàâèñèìûõ âûáîðîê N = 20, M = 25 èç îäíîãî è òîãî æå ðàñïðåäåëåíèÿ
ïîëó÷åíà îöåíêà max |FN (x) − GM (x)| = 0.1. Ñ ïîìîùüþ êðèòåðèÿ Ñìèðíîâà îöåíèòü
âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî òàêîé ìàêñèìóì ïðèíèìàåò ìåíüøèå çíà÷åíèÿ.
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
4. Äëÿ çàäàííîãî íàáîðà {xn } âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ìåòîäîì
ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ íàéòè îöåíêè ïàðàìåòðà θ = {θ1 , θ2 } äëÿ ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ è
äèñïåðñèè íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåèÿ N (µ, σ):
{xn }25
1 = {0.6, 3.32, 0.48, 1.97, 2.51, 1.74, 2.58, 2.94, 3.6, 2.68, 2.84,
3.71, 1.01, 2.05, 3.17, 1.53, 1.57, 2.21, 0.31, 2.1, 1.79, 1.12, 0.41, 2.41, 2.5}.
Îöåíèòü âûáîðî÷íóþ äèñïåðñèþ ýòîé âåëè÷èíû.
4. Äëÿ çàäàííîãî íàáîðà {xn } âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ìåòîäîì
ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ íàéòè îöåíêó ïàðàìåòðà θ äëÿ ãàììà-ðàñïðåäåëåíèÿ Γ(2, θ).
{xn } = {1.11, 0.63, 4.11, 3.03, 1.58, 0.42, 0.37, 0.53, 3.69, 1.29, 2.97, 4.50, 4.57, 1.63,
3.63, 0.98, 0.27, 0.61, 1.15, 3.26, 3.71, 1.3, 2.96, 0.56, 1.08}.
Îöåíèòü âûáîðî÷íóþ äèñïåðñèþ ýòîé âåëè÷èíû.
4. Äëÿ çàäàííîãî íàáîðà {xn } âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ìåòîäîì
ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ íàéòè îöåíêó ïàðàìåòðà θ äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Áåðíóëëè Bi(n, θ).
{xn }25
1 = {3, 3, 4, 2, 1, 0, 1, 2, 2, 2, 1, 4, 0, 2, 2, 1, 1, 2, 7, 2, 3, 2, 1, 2, 2}.
Îöåíèòü âûáîðî÷íóþ äèñïåðñèþ ýòîé âåëè÷èíû.
4. Äëÿ çàäàííîãî íàáîðà {xn } âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ìåòîäîì
ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ íàéòè îöåíêó ïàðàìåòðà θ äëÿ äèñïåðñèè ïóàññîíîâñêîãî ðàñïðåäåëåèÿ Π(θ),
{xn }25
1 = {2, 3, 0, 2, 2, 3, 1, 4, 2, 6, 3, 3, 2, 2, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3}.
Îöåíèòü âûáîðî÷íóþ äèñïåðñèþ ýòîé âåëè÷èíû.
4. Äëÿ çàäàííîãî íàáîðà {xn } âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ìåòîäîì
ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ íàéòè îöåíêè ïàðàìåòðà θ äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Ïàðåòî P (1, θ),
{xn }25
1 = {1.27, 1.2, 1.08, 2.22, 1.13, 1.01, 1.03, 1.05, 1.003, 1.2, 1.09, 1.38, 1.94, 1.09,
1.31, 1.04, 1.05, 1.39, 1.11, 3.7, 9.81, 1.71, 1.18, 1.15, 1.25}.
Îöåíèòü âûáîðî÷íóþ äèñïåðñèþ ýòîé âåëè÷èíû.
4. Âû÷èñëèòü èíôîðìàöèþ Ôèøåðà äëÿ ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåèÿ
N (θ, σ).
4. Âû÷èñëèòü èíôîðìàöèþ Ôèøåðà äëÿ äèñïåðñèè íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåèÿ N (µ, θ).
4. Âû÷èñëèòü èíôîðìàöèþ Ôèøåðà äëÿ ãàììà-ðàñïðåäåëåíèÿ Γ(λ, θ).
4. Âû÷èñëèòü èíôîðìàöèþ Ôèøåðà äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Áåðíóëëè Bi(n, θ).
4. Âû÷èñëèòü èíôîðìàöèþ Ôèøåðà äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Ïàðåòî P (x0 , θ).
4. Âû÷èñëèòü èíôîðìàöèþ Ôèøåðà äëÿ ïóàññîíîâñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ Π(θ).
4. Âû÷èñëèòü èíôîðìàöèþ Ôèøåðà äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Êîøè (0, θ).
4. Ìåòîäîì íàèáîëüøåãî ïðàâäîïîäîáèÿ âû÷èñëèòü îïòèìàëüíóþ îöåíêó ïàðàìåòðà θ
äëÿ ãàììà-ðàñïðåäåëåíèÿ Γ(λ, θ). ßâëÿåòñÿ ëè ýòà îöåíêà íåñìåùåííîé?
4. Ìåòîäîì íàèáîëüøåãî ïðàâäîïîäîáèÿ âû÷èñëèòü îïòèìàëüíóþ îöåíêó ïàðàìåòðà θ
äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Áåðíóëëè Bi(n, θ). ßâëÿåòñÿ ëè ýòà îöåíêà íåñìåùåííîé?
4. Ìåòîäîì íàèáîëüøåãî ïðàâäîïîäîáèÿ âû÷èñëèòü îïòèìàëüíóþ îöåíêó ïàðàìåòðà θ
äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Ïàðåòî P (x0 , θ). ßâëÿåòñÿ ëè ýòà îöåíêà íåñìåùåííîé?
4. Ìåòîäîì íàèáîëüøåãî ïðàâäîïîäîáèÿ âû÷èñëèòü îïòèìàëüíóþ îöåíêó ïàðàìåòðà θ
äëÿ ïóàññîíîâñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ Π(θ). ßâëÿåòñÿ ëè ýòà îöåíêà íåñìåùåííîé?
4. Ìåòîäîì íàèáîëüøåãî ïðàâäîïîäîáèÿ âû÷èñëèòü îïòèìàëüíóþ îöåíêó ïàðàìåòðà θ
äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Êîøè (0, θ). ßâëÿåòñÿ ëè ýòà îöåíêà íåñìåùåííîé?
4. Ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ ôóíêöèè ïðàâäîïîäîáèÿ L(x|θ) âûïîëíåíî ðàâåíñòâî −Eθ ∂θ2 L(x|θ) =
2
Eθ ∂θ L(x|θ) .
4. Ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ ôóíêöèè ïðàâäîïîäîáèÿ L(x|θ) âûïîëíåíî ðàâåíñòâî ∂θ Eθ T (x) =
Eθ T (x)∂θ L(x|θ).