Малая теорема Ферма

Ìàëàÿ òåîðåìà Ôåðìà
ÌÀËÀß
ÒÅÎÐÅÌÀ
15
ÔÅÐÌÀ
Â.ÑÅÍÄÅÐÎÂ, À.ÑÏÈÂÀÊ
Íàïîìèíàíèå
Ìàëàÿ òåîðåìà Ôåðìà ãëàñèò: åñëè à –
öåëîå ÷èñëî, íå äåëÿùååñÿ íà ïðîñòîå
÷èñëî ð, òî ap−1 – 1 äåëèòñÿ íà ð.
Ôóíêöèÿ Ýéëåðà ϕ n – ýòî êîëè÷åñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë îò 1 äî n, âçàèìíî ïðîñòûõ ñ n.
Ôóíêöèÿ Êàðìàéêëà λ n – ýòî òàêîå
íàèìåíüøåå íàòóðàëüíîå ÷èñëî k, ÷òî
äëÿ âñÿêîãî öåëîãî ÷èñëà à, âçàèìíî
ïðîñòîãî ñ íàòóðàëüíûì ÷èñëîì n, ðàçíîñòü ak – 1 äåëèòñÿ íà n.
×èñëî g íàçûâàþò ïåðâîîáðàçíûì êîðíåì ïî ìîäóëþ n, åñëè äëÿ âñÿêîãî
öåëîãî à, âçàèìíî ïðîñòîãî ñ n, ñóùåñòâóåò òàêîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî m, ÷òî
g m ≡ a mod n .
Ïîäðîáíî îá ýòèõ è ìíîãèõ äðóãèõ
ïîíÿòèÿõ è òåîðåìàõ àðèôìåòèêè ìîæíî
ïðî÷èòàòü â ïðåäûäóùèõ ÷àñòÿõ ñòàòüè.
Òàì íå áûëî äîêàçàíî ñóùåñòâîâàíèå
ïåðâîîáðàçíîãî êîðíÿ ïî ïðîñòîìó ìîäóëþ. Ïðèøëà ïîðà ýòî ñäåëàòü.
bg
bg
b
g
Ïåðâîîáðàçíûå êîðíè
Ïåðâîîáðàçíûå êîðíè
ïî ìîäóëþ 11
×èñëî 2 – ïåðâîîáðàçíûé êîðåíü ïî
ìîäóëþ 11. Êàêèå åùå åñòü ïåðâîîáðàçíûå êîðíè ïî ýòîìó ìîäóëþ?
Äëÿ îòâåòà íå íóæíî ïåðåáèðàòü
âñå ÷èñëà 3, 4, 5, ..., 9, 10 è ñîñòàâëÿòü äëÿ êàæäîãî èç íèõ òàáëèöó.
Íåêîòîðûå ñòåïåíè äâîéêè ìîæíî
ñðàçó îòáðîñèòü:
c2 h = 2 ≡ 1 ,
c2 h = 2 ≡ 1,
e2 j ≡ 1 ,
e2 j ≡ 1 ,
e2 j ≡ 1 bmod11g .
2 5
4
10
5
20
5
2
òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà s è
p – 1 âçàèìíî ïðîñòû.
Óïðàæíåíèÿ
44. Äîêàæèòå ýòî.
45. Äëÿ òîãî ÷òîáû ÷èñëî a áûëî
ïåðâîîáðàçíûì êîðíåì ïî ïðîñòîìó ìîäóëþ p, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû
a íå äåëèëîñü íà p è íè äëÿ êàêîãî
ïðîñòîãî äåëèòåëÿ q ÷èñëà p – 1 ðàçíîñòü
ab p −1g q − 1 íå äåëèëàñü áû íà p. Äîêàæèòå
ýòî.
46. Íàéäèòå íàèìåíüøåå íàòóðàëüíîå
÷èñëî, ÿâëÿþùååñÿ ïåðâîîáðàçíûì êîðíåì ïî ìîäóëþ à) 23; á) 41; â) 257.
47. a) Ïðîâåðüòå, ÷òî 2 íå ÿâëÿåòñÿ
ïåðâîîáðàçíûì êîðíåì ïî ìîäóëþ 263, à
–2 ÿâëÿåòñÿ.
3
á) Ïóñòü a − a íå äåëèòñÿ íà 83.
Äîêàæèòå, ÷òî ðîâíî îäíî èç ÷èñåë a è
–a ÿâëÿåòñÿ ïåðâîîáðàçíûì êîðíåì ïî
ìîäóëþ 83.
48. a) Ïóñòü p – ïðîñòîå ÷èñëî,
p ≡ 1 mod 4 . Äîêàæèòå, ÷òî ÷èñëî –a
ÿâëÿåòñÿ ïåðâîîáðàçíûì êîðíåì ïî ìîäóëþ p òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñàìî
÷èñëî a – ïåðâîîáðàçíûé êîðåíü ïî
ìîäóëþ p.
á) Ïóñòü p – ïðîñòîå ÷èñëî,
p ≡ 3 mod 4 . Äîêàæèòå, ÷òî ÷èñëî a
ÿâëÿåòñÿ ïåðâîîáðàçíûì êîðíåì ïî ìîäóëþ p òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
ïîðÿäîê ÷èñëà –a ïî ìîäóëþ p ðàâåí
(p – 1)/2.
b
g
b
g
Ïîðÿäêè êëàññîâ âû÷åòîâ
 òàáëèöå 5 äëÿ êàæäîãî íåíóëåâîãî
îñòàòêà a mod11 óêàçàí åãî ïîðÿäîê k.
Êàê è äîëæíî áûòü, ïîðÿäêè –
äåëèòåëè ÷èñëà 10. Äàâàéòå ïîñ÷èòàåì, ñêîëüêî ðàç â íèæíåé ñòðîêå
b
g
Òàáëèöà 5
6 5
8
5
3
À âîò ñòåïåíè äâîéêè 21 ≡ 2 , 2 ≡ 8 ,
27 ≡ 7 è 2 9 ≡ 6 , ïîêàçàòåëè êîòîðûõ
âçàèìíî ïðîñòû ñ 10, ÿâëÿþòñÿ ïåðâîîáðàçíûìè êîðíÿìè. (Îáäóìàéòå
ýòî!)
È âîîáùå, åñëè g – ïåðâîîáðàçíûé
s
êîðåíü ïî ïðîñòîìó ìîäóëþ p, òî g
ÿâëÿåòñÿ ïåðâîîáðàçíûì êîðíåì â
Îêîí÷àíèå. Íà÷àëî ñì. â «Êâàíòå»
¹1, 3.
4*
a
1
3
4
5
6
9
10
k
1 10 5
5
5
10 10 10 5
2
2
7
8
òàáëèöû 5 âñòðå÷àþòñÿ ÷èñëà 1, 2, 5
è 10. Îòâåòû çàïèøåì â âèäå òàáëèöû 6.
Òàáëèöà 6
Ïîðÿ äîê
1
2
5
10
 ñòðå÷àåòñÿ
1
1
4
4
Âèäíà çàêîíîìåðíîñòü? Åñëè íåò,
ïîñìîòðèòå íà òàáëèöó 7, ñîñòàâëåííóþ äëÿ p = 13.
Òàáëèöà 7
a
1
2
3
4
5
6
k
1
12
3
6
4
12
a
7
8
9
10
11
12
k
12
4
3
6
12
2
 íåé ïîðÿäêè – äåëèòåëè ÷èñëà
12. Ïîñ÷èòàåì, ñêîëüêî ðàç âñòðå÷àþòñÿ â íèæíåé ñòðîêå òàáëèöû 7
÷èñëà 1, 2, 3, 4, 6 è 12 (òàáë.8).
Òàáëèöà 8
Ïîðÿ äîê
1
2
3
4
6
12
 ñòðå÷àåòñÿ
1
1
2
2
2
4
Åñëè âû âñå åùå íå äîãàäàëèñü,
ñîñòàâüòå òàêèå òàáëèöû äëÿ íåñêîëüêèõ äðóãèõ ïðîñòûõ ÷èñåë p, è ðàíî
èëè ïîçäíî óâèäèòå, ÷òî â íèæíèõ
ñòðîêàõ ýòèõ òàáëèö – çíà÷åíèÿ
ôóíêöèè Ýéëåðà: ϕ 1 = 1, ϕ 2 = 1,
ϕ 3 = 2, ϕ 4 = 2, ϕ 5 = 4, ϕ 6 =
= 2, ϕ 10 = 4, ϕ 12 = 4.
Âåëèêèé íåìåöêèé ìàòåìàòèê
Ê.Ô.Ãàóññ (1777—1855) â «Àðèôìåòè÷åñêèõ èññëåäîâàíèÿõ», îïóáëèêîâàííûõ â 1801 ãîäó, äîêàçàë, ÷òî
ýòî íå ñëó÷àéíîñòü, à îáùèé çàêîí.
Òåîðåìà 4. Ñðåäè p – 1 íåíóëåâûõ
êëàññîâ âû÷åòîâ ïî ïðîñòîìó ìîäóëþ p ïîðÿäîê k, ãäå k – äåëèòåëü
÷èñëà p – 1, èìåþò ðîâíî ϕ (k)
êëàññîâ âû÷åòîâ. ( ÷àñòíîñòè,
äëÿ ëþáîãî ïðîñòîãî ÷èñëà p ñóùåñòâóåò ϕ (p –1) ïåðâîîáðàçíûõ êîðíåé ïî ìîäóëþ p.)
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 4 ìû
èñïîëüçóåì òåîðåìó Áåçó è îäíî
èíòåðåñíîå ñâîéñòâî ôóíêöèè Ýéëåðà.
bg
b g
bg
bg
bg
b g
bg
bg
Òåîðåìà Áåçó
Äëÿ òåõ, êòî çíàêîì ñ äåëåíèåì
ìíîãî÷ëåíîâ ñ îñòàòêîì, òåîðåìó
Áåçó1 ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü è äî1
Ýòüåí Áåçó (1730–1783) – ôðàíöóçñêèé ìàòåìàòèê.
ÊÂÀÍT 2000/¹4
16
êàçàòü î÷åíü êîðîòêî.  ðàâåíñòâî
bg
h c
bg
hbg
ãäå g x – ìíîãî÷ëåí (íåïîëíîå ÷àñòíîå), à r – ÷èñëî (îñòàòîê), ìîæíî
ïîäñòàâèòü âìåñòî x ÷èñëî a. Ïîëó÷èì
ìíîãî÷ëåíà f x , òî f x
=
= x − a1 x − a2 ... x − am g x , ãäå
g – íåêîòîðûé ìíîãî÷ëåí.
Ïðèìåíèâ ýòî ñîîáðàæåíèå ê ìíîãî÷ëåíó x p−1 − 1 , ïîëó÷èì çàìå÷àòåëüíóþ ïåðåôîðìóëèðîâêó ìàëîé
òåîðåìû Ôåðìà:
f a = a − a g a + r = r.
x p−1 − 1 ≡ x − 1 x − 2 K x − p + 1 ,
Çíà÷èò, îñòàòîê r îò äåëåíèÿ f x íà
x – a ðàâåí f a . Ýòî è åñòü òåîðåìà
Áåçó.
À äëÿ îñòàëüíûõ ÷èòàòåëåé òåîðåìó Áåçó ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü è
äîêàçàòü ÷óòü áîëåå äëèííûì, íî íå
ìåíåå åñòåñòâåííûì ñïîñîáîì.
Òåîðåìà 5. ×èñëî a ÿâëÿåòñÿ êîðíåì ìíîãî÷ëåíà f(x) â òîì è òîëüêî
òîì ñëó÷àå, êîãäà f(x) äåëèòñÿ íà x
– a, ò.å. êîãäà
ãäå çíàê ñðàâíåíèÿ îçíà÷àåò, ÷òî
åñëè ðàñêðûòü âñå ñêîáêè â ïðàâîé
÷àñòè è âû÷åñòü èç íåå ëåâóþ, òî
ïîëó÷èì ìíîãî÷ëåí, êîýôôèöèåíòû
êîòîðîãî êðàòíû p. Êàê âû ïîìíèòå,
äëÿ ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ p = 2, 3, 5, 7 è
11 ýòî ðàçëîæåíèå íà ìíîæèòåëè
âñòðå÷àëîñü â ïåðâîé ÷àñòè ñòàòüè.
bg b
c
gbg
f x = x − a g x + r,
bg
bg b
gbg
b
bg
bg
f(x) = (x –a)g(x),
bg b gbg
f ba g = b a − a gg b ag = 0 .
Îáðàòíî, ïóñòü f ba g = 0 . Ïîäñòàâèì
â ìíîãî÷ëåí
f b xg = k x + k x + K
f x = x−a g x ,
n −1
n−1
... + k2 x 2 + k1 x + k0
÷èñëî a. Ïîëó÷èì
bg
0 = f a = kn a n + kn−1a n
−1
+K
2
... +k2 a + k1 a + k0 .
Ñëåäîâàòåëüíî,
bg bg bg
= k ex − a j + k ex − a j + K
... +k e x − a j + k b x − a g .
f x =f x −f a =
n
n
n
n −1
2
2
Êàæäàÿ èç ðàçíîñòåé
x – a,
b
gb
n −1
2
n −1
1
g
x2 − a2 = x − a x + a ,
...
xn − an =
b
ge
= x − a xn−1 + xn−2 a +K+ xan−2 + an−1
êðàòíà x – a. Òåîðåìà äîêàçàíà.
g b
g
Óïðàæíåíèå 49. Ïîäñòàâèâ x = 0,
äîêàæèòå
òåîðåìó
Âèëüñîíà:
p − 1 ! ≡ −1 mod p äëÿ ëþáîãî ïðîñòîãî
÷èñëà p.
b
g
b
g
b
òî
n
gb
Ñðàâíåíèå x k ≡ 1 mod p
ãäå g – íåêîòîðûé ìíîãî÷ëåí.
Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè
n
hc
j
Ïåðåôîðìóëèðîâêà ìàëîé
òåîðåìû Ôåðìà
Èç òåîðåìû Áåçó ñëåäóåò, ÷òî åñëè
a1 , a2 , ..., am – ðàçëè÷íûå êîðíè
g
Åñëè k – äåëèòåëü ÷èñëà p – 1, ò.å.
p – 1 = km, òî
x
p−1
−1 =
e
je
k
= x −1 x
b g + x k b m −2 g + K + x k
k m−1
j
+1 .
Çíà÷èò, ìíîãî÷ëåí x k − 1 ÿâëÿåòñÿ
1
äåëèòåëåì ìíîãî÷ëåíà x p− − 1 . Ïîp−1
ñêîëüêó x
− 1 ðàçëàãàåòñÿ â ïðîèçâåäåíèå ìíîãî÷ëåíîâ ïåðâîé ñòåïåíè, òî åãî äåëèòåëü x k − 1 ÿâëÿåòñÿ
ïðîèçâåäåíèåì k ìíîãî÷ëåíîâ ïåðâîé ñòåïåíè.
Íåìíîãî ïîäóìàâ, ìîæíî ñîîáðàçèòü, ÷òî ìû äîêàçàëè ñëåäóþùåå
óòâåðæäåíèå.
Òåîðåìà 6. Åñëè p – ïðîñòîå ÷èñëî, k – äåëèòåëü ÷èñëà p – 1, òî
k
ñðàâíåíèþ x ≡ 1 (mod p) óäîâëåòâîðÿþò ðîâíî k êëàññîâ âû÷åòîâ ïî
ìîäóëþ p.
Óïðàæíåíèÿ
50. Ðåøèòå ñðàâíåíèÿ
à) x 4 ≡ 1 mod 13 ; á) x1604 ≡ 1 mod 17 .
(Óêàçàíèå. 2 è 3 – ïåðâîîáðàçíûå êîðíè, ñîîòâåòñòâåííî, ïî ìîäóëþ 13 è ïî
ìîäóëþ 17.)
51. Çíàÿ, ÷òî 2 – ïåðâîîáðàçíûé êîðåíü ïî ìîäóëþ 29, ðåøèòå ñðàâíåíèå
b
g
b
g
b
g
x + x + x + x + x + x + 1 ≡ 0 mod 29 .
6
5
4
3
2
52. Ïóñòü p – ïðîñòîå ÷èñëî. Ïðè
k
k
k
êàêèõ k ñóììà 1 + 2 + K + p − 1 êðàòíà p?
53. à) Ñêîëüêî ñóùåñòâóåò òàêèõ ïàð
(a,b) íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, ÷òî a, b ≤ 1717
è a 8 + b 8 êðàòíî 17?
á) Ñêîëüêî ñóùåñòâóåò òàêèõ òðîåê
(a,b,ñ) íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, ÷òî
b
g
a, b, c ≤ 289 è a
17?
1000
+b
3000
+c
9000
êðàòíî
Ñóììà çíà÷åíèé ôóíêöèè Ýéëåðà
Ðàññìîòðèì 100 äðîáåé: 1/100,
2/100, ..., 100/100. Åñëè êàæäóþ
èç íèõ ïðèâåñòè ê íåñîêðàòèìîìó
âèäó, òî ïîëó÷èì ϕ 100 = 40 äðîáåé
ñî çíàìåíàòåëåì 100, ϕ 50 = 20
äðîáåé ñî çíàìåíàòåëåì 50, è òàê
äàëåå: äëÿ êàæäîãî äåëèòåëÿ d ÷èñëà 100 ïîëó÷èì ϕ d äðîáåé ñî çíàìåíàòåëåì d. (Ïî÷åìó? Ïîòîìó ÷òî
ϕ d – ýòî êîëè÷åñòâî íåñîêðàòèìûõ ïðàâèëüíûõ äðîáåé ñî çíàìåíàòåëåì d.)
Ìû ïîëó÷èëè çàìå÷àòåëüíîå ðàâåíñòâî:
b g
b g
bg
bg
b g b g b g b g
+ ϕb10g + ϕb 5g + ϕb 4g + ϕb2g + ϕb1g .
100 = ϕ 100 + ϕ 50 + ϕ 25 + ϕ 20 +
2
Åñëè áû ìû ðàññìîòðåëè íå äðîáè
ñî çíàìåíàòåëåì 100, à äðîáè ñî
çíàìåíàòåëåì n, òî òî÷íî òàê æå
äîêàçàëè áû ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.
Òåîðåìà 7. Äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà n ñóììà çíà÷åíèé ôóíêöèè Ýéëåðà ϕ(d) ïî âñåì äåëèòåëÿì
d ÷èñëà n ðàâíà n.
Óïðàæíåíèÿ
54. Åñëè d – äåëèòåëü ÷èñëà n, òî
ñóøåñòâóåò ðîâíî ϕ n d òàêèõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë k, ÷òî k ≤ n è
ÍÎÄ k, n = d . Äîêàæèòå ýòî.
55. Ïóñòü n > 1. Íàéäèòå ñóììó âñåõ
íåñîêðàòèìûõ ïðàâèëüíûõ äðîáåé, çíàìåíàòåëè êîòîðûõ ðàâíû n.
b g
b g
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 4
Ìû äîëæíû äîêàçàòü, ÷òî åñëè k –
äåëèòåëü ÷èñëà p – 1, òî ñðåäè íåíóëåâûõ êëàññîâ âû÷åòîâ ïî ïðîñòîìó
ìîäóëþ p ñóùåñòâóåò ðîâíî ϕ k
êëàññîâ ïîðÿäêà k.
Ïðèìåíèì èíäóêöèþ. Áàçà. Äëÿ
k = 1 óòâåðæäåíèå âåðíî.
Ïåðåõîä. Ðàññìîòðèì íåêîòîðûé
äåëèòåëü k ÷èñëà p – 1. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ ëþáîãî äåëèòåëÿ d
÷èñëà k, ãäå d < k, ñóùåñòâóåò ðîâíî
ϕ d êëàññîâ âû÷åòîâ ïîðÿäêà d.
Íàéäåì êîëè÷åñòâî êëàññîâ âû÷åòîâ
ïîðÿäêà k.
 ñèëó òåîðåìû 6, ñðàâíåíèþ
x k ≡ 1 mod p óäîâëåòâîðÿþò ðîâíî
k êëàññîâ âû÷åòîâ. Êàæäîå ðåøåíèå
x ýòîãî ñðàâíåíèÿ èìååò íåêîòîðûé
bg
bg
b
g
2
Äëÿ Ôîìû íåâåðóþùåãî: 40 + 20 +
+ 20 + 8 + 4 + 4 + 2 + 1 + 1 = 100.
ÌÀËÀß
ïîðÿäîê ïî ìîäóëþ p, ïðè÷åì ýòîò
ïîðÿäîê – äåëèòåëü ÷èñëà k. Îñòàëîñü âñïîìíèòü òåîðåìó 7 – è ñòàíîâèòñÿ ÿñíî, ÷òî êëàññîâ ïîðÿäêà k
ñóùåñòâóåò ðîâíî ϕ k øòóê. Òåîðåìà 4 äîêàçàíà.
bg
Óïðàæíåíèÿ
56. Ïóñòü p – ïðîñòîå ÷èñëî, p > 3.
Íàéäèòå îñòàòîê îò äåëåíèÿ íà p ïðîèçâåäåíèÿ òåõ èç ÷èñåë 1, 2, ..., p – 1,
êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ïåðâîîáðàçíûìè êîðíÿìè ïî ìîäóëþ p.
57. a) Åñëè ïîðÿäêè ÷èñåë a è b ïî
ìîäóëþ p ðàâíû m è n ñîîòâåòñòâåííî, òî
ïîðÿäîê ïðîèçâåäåíèÿ ab – äåëèòåëü
÷èñëà ÍÎÊ[m, n]. Äîêàæèòå ýòî.
á) Ïîêàæèòå, ÷òî ïîðÿäîê ÷èñëà ab
ðàâåí mn, åñëè ÷èñëà m è n âçàèìíî
ïðîñòû, è íå îáÿçàòåëüíî ðàâåí ÷èñëó
ÍÎÊ[m, n], åñëè m è n íå âçàèìíî
ïðîñòû.
58. à) Ïóñòü p – ïðîñòîå ÷èñëî, p > 2,
a
a
b
b p −1g
= g1
a
q 1
1
g
b p −1g
g2
a
q 2
2
b p −1g
K gs
a
qs s
bg
n→ ∞
b g=
bg
πg n
π n
=
bg
Ãèïîòåçà Àðòèíà
Êàê ìû òîëüêî ÷òî äîêàçàëè, äëÿ
êàæäîãî ïðîñòîãî ÷èñëà p ñóùåñòâóåò
ïåðâîîáðàçíûé êîðåíü ïî ìîäóëþ p.
Èíòåðåñíî: êàêèå öåëûå ÷èñëà áûâàþò
ïåðâîîáðàçíûìè êîðíÿìè, à êàêèå íå
áûâàþò?
Î÷åâèäíî, –1 ÿâëÿåòñÿ ïåðâîîáðàçíûì êîðíåì òîëüêî ïî ìîäóëþ 2 èëè 3.
b p −1g 2
Äàëåå, èç ðàâåíñòâà a2
= a p −1 ñëåäóåò, ÷òî òî÷íûé êâàäðàò íå ìîæåò áûòü
ïåðâîîáðàçíûì êîðíåì íè ïî êàêîìó
íå÷åòíîìó ïðîñòîìó ìîäóëþ p.
Íåìåöêèé àëãåáðàèñò Ýìèëü Àðòèí
(1898–1962) ïðåäïîëîæèë, ÷òî äëÿ ëþáîãî öåëîãî ÷èñëà g ≠ −1 , íå ÿâëÿþùåãîñÿ êâàäðàòîì öåëîãî ÷èñëà, ñóùåñòâóåò
áåñêîíå÷íî ìíîãî òàêèõ ïðîñòûõ p, ÷òî g
– ïåðâîîáðàçíûé êîðåíü ïî ìîäóëþ p.
Áîëåå òîãî, íåêîòîðûå âåðîÿòíîñòíûå
ñîîáðàæåíèÿ ïðèâåëè Àðòèíà ê ñëåäóþùåìó óòî÷íåíèþ åãî ãèïîòåçû: åñëè k
åñòü íàèáîëüøåå òàêîå ÷èñëî, ÷òî g ÿâëÿ-
d i
F
F
I
I
∏ GH1 − q − 1 JK ⋅ ∏ GGH1 − qbq − 1g JJK ,
1
k Mq
1
k íå M q
ãäå ïåðâîå ïðîèçâåäåíèå ðàñïðîñòðàíåíî íà âñå ïðîñòûå ÷èñëà q, ÿâëÿþùèåñÿ
äåëèòåëÿìè k, à âòîðîå – íà âñå ïðîñòûå
÷èñëà q, íå ÿâëÿþùèåñÿ äåëèòåëÿìè k.
Ê íàñòîÿùåìó âðåìåíè ãèïîòåçà Àðòèíà íå äîêàçàíà, õîòÿ íåêîòîðûé åå àíàëîã, îòíîñÿùèéñÿ ê ïîëþ ðàöèîíàëüíûõ
ôóíêöèé îò îäíîé ïåðåìåííîé íàä êîíå÷íûì ïîëåì, äîêàçàòü óäàëîñü.
×èñëà Êàðìàéêëà
 ñèëó ìàëîé òåîðåìû Ôåðìà,
2 p −1 ≡ 1 mod p äëÿ ëþáîãî íå÷åòíîãî ïðîñòîãî ÷èñëà p. Ñóùåñòâóþò ëè
ñîñòàâíûå ÷èñëà ñ òåì æå ñâîéñòâîì?
Äà, ñóùåñòâóþò:
b
g
b
g
2340 ≡ 1 mod 341 .
– ïåðâî-
îáðàçíûé êîðåíü ïî ìîäóëþ p. (Çàìåòüòå: ìû ïîëó÷èëè åùå îäíî äîêàçàòåëüñòâî ñóùåñòâîâàíèÿ ïåðâîîáðàçíîãî êîðíÿ ïî ïðîñòîìó ìîäóëþ!)
á) Äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî n ñóùåñòâóåò âçàèìíî ïðîñòîå ñ n öåëîå ÷èñëî a,
ïîðÿäîê êîòîðîãî ïî ìîäóëþ n ðàâåí
λ n . Äîêàæèòå ýòî.
m
m
â) Åñëè n = 2, 4, p èëè 2p , ãäå p –
íå÷åòíîå ïðîñòîå, m – íàòóðàëüíîå, òî
ñóùåñòâóåò ïåðâîîáðàçíûé êîðåíü ïî
ìîäóëþ n. Äîêàæèòå ýòî.
5 Êâàíò ¹ 4
bg
lim
 ñàìîì äåëå, 341 = 11 ⋅ 31, ïðè÷åì
210 – 1 = 1023 = 3 ⋅ 11 ⋅ 31. (Ìîæíî
ïðîâåðèòü, ÷òî ÷èñëî 341 – íàèìåíüøåå ñîñòàâíîå ÷èñëî n ñî ñâîéñòâîì
2n−1 ≡ 1 mod n .)
b
g
d
i
Óïðàæíåíèå 59. à) Åñëè n = 4 p − 1 3 ,
ãäå p – ïðîñòîå ÷èñëî, p > 3, òî
2n −1 ≡ 1 mod n . Äîêàæèòå ýòî.
á) (Ì672) Ïóñòü a – òàêîå íàòóðàëüa
íîå ÷èñëî, ÷òî 2 − 2 êðàòíî a (íàïðèìåð, a = 3). Îïðåäåëèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü x1 , x 2 , x 3 , ... óñëîâèÿìè x1 = a,
b
g
x
x n +1 = 2 n − 1 . Äîêàæèòå, ÷òî 2
êðàòíî x n ïðè ëþáîì n.
xn
−2
Íî ïî÷åìó ìû çàèíòåðåñîâàëèñü
èìåííî ñëó÷àåì a = 2? Íàâåðíîå,
ðàçóìíåå ñïðîñèòü: ñóùåñòâóþò ëè
òàêèå ñîñòàâíûå ÷èñëà n, ÷òî äëÿ
ëþáîãî a, âçàèìíî ïðîñòîãî ñ n,
âûïîëíåíî
ñðàâíåíèå
a n–1 ≡
≡ 1 mod n ? Òàêèå ÷èñëà òîæå ñóùåñòâóþò! Èõ íàçûâàþò ÷èñëàìè Êàðìàéêëà. Íàèìåíüøåå ÷èñëî – ýòî
561 = 3 ⋅ 11 ⋅ 17,
çà íèì èäóò
1105 = 5 ⋅ 13 ⋅ 17, 1729 = 7 ⋅ 13 ⋅ 19,
2465 = 5 ⋅ 17 ⋅ 29, 2821 = 7 ⋅ 13 ⋅ 31,
6601 = 7 ⋅ 23 ⋅ 41, 8911 = 7 ⋅ 19 ⋅ 67,
10585 = 5 ⋅ 29 ⋅ 73, 15841 = 7 ⋅ 31 ⋅ 73,
29341 = 13 ⋅ 37 ⋅ 61,
41041 = 7 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 41,...
b
g
17
ÔÅÐÌÀ
åòñÿ k-é ñòåïåíüþ, òî îòíîøåíèå êîëè÷åñòâà π g n ïðîñòûõ ÷èñåë, íå ïðåâîñõîäÿùèõ n, ïî ìîäóëþ êîòîðûõ g ÿâëÿåòñÿ
ïåðâîîáðàçíûì êîðíåì, ê êîëè÷åñòâó
π n âñåõ ïðîñòûõ ÷èñåë, íå ïðåâîñõîäÿùèõ n, ñòðåìèòñÿ ïðè n → ∞ ê çàâèñÿùåìó òîëüêî îò k ïðåäåëó
a
p – 1 = q11q22 K q s s – ðàçëîæåíèå ÷èñëà
p – 1 â ïðîèçâåäåíèå ñòåïåíåé ðàçëè÷íûõ
ïðîñòûõ ÷èñåë. Ïóñòü g1 , g 2 , ..., g s –
òàêèå íå êðàòíûå p ÷èñëà, ÷òî
p −1 q
gib g i ≡/ 1 mod p ïðè i = 1, 2, ..., s.
Äîêàæèòå,
÷òî
÷èñëî
g
=
ÒÅÎÐÅÌÀ
 1994 ãîäó â æóðíàëå Annals of
Mathematics (ò. 139, c. 703—722)
òðè ìàòåìàòèêà – Àëüôîðä, Ãðåíâèëëü è Ïîìåðàíö – îïóáëèêîâàëè
(àáñîëþòíî íåäîñòóïíîå äëÿ øêîëüíèêà) äîêàçàòåëüñòâî áåñêîíå÷íîñòè
ìíîæåñòâà ÷èñåë Êàðìàéêëà.
Óïðàæíåíèå 60. à) Äîêàæèòå, ÷òî
a 561 − a êðàòíî ÷èñëó 561 ïðè ëþáîì
öåëîì a.
á) Äîêàæèòå ïðè n = 1105 ñðàâíåíèÿ
n −1
n −1
mod n . (Ìîæíî äîêàçàòü,
2
≡1≡ 3
÷òî ÷èñëî 1105 – íàèìåíüøåå ñîñòàâíîå
÷èñëî ñ òàêèì ñâîéñòâîì.)
b
g
Î÷åâèäíî, ñîñòàâíîå ÷èñëî n ÿâëÿåòñÿ ÷èñëîì Êàðìàéêëà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà n – 1 äåëèòñÿ íà λ n .
Òåîðåìà 8. Ñîñòàâíîå ÷èñëî n =
= p1m1 p2m2 ⋅ K ⋅ psms , ãäå p1 , p2 , ..., p s –
ðàçëè÷íûå ïðîñòûå ÷èñëà, m1 ,
m2 , ..., m s – íàòóðàëüíûå ÷èñëà,
ÿâëÿåòñÿ ÷èñëîì Êàðìàéêëà â òîì
è òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà m1 =
= m2 = ... = m s = 1 è n – 1 êðàòíî
êàæäîìó èç ÷èñåë p1 – 1, p2 – 1, ...
..., ps – 1.
Ñëåäñòâèå. Åñëè n – ÷èñëî Êàðìàéêëà, òî äëÿ ëþáîãî öåëîãî ÷èñëà
a âåðíî ñðàâíåíèå an ≡ a (mod n).
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 8. Ïóñòü
n – ÷èñëî Êàðìàéêëà. Ïîñêîëüêó
ïðè n > 2 çíà÷åíèå ôóíêöèè Êàðìàéêëà λ n ÷åòíî, òî n – 1 äîëæíî áûòü
÷åòíûì. Ñëåäîâàòåëüíî, n íå÷åòíî.
Ïîñêîëüêó λ n äåëèòñÿ íà
bg
bg
e j
mi
i
mi −1
i
bg
c p − 1h ,
λ p
=p
à n – 1 íå
i
äåëèòñÿ íà pi , òî â ñëó÷àå m i > 1
ïîëó÷àåì ïðîòèâîðå÷èå. Ñëåäîâàòåëüíî, m1 = m2 = ... = m s = 1.
Çàâåðøåíèå äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû
8 ïðåäîñòàâëÿåì ÷èòàòåëþ.
Óïðàæíåíèÿ
61.
b
à)
Äîêàæèòå,
g
÷òî
2161038 ≡ 2 mod 161038 . (Ïðè ïîìîùè êîì-
ïüþòåðà ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî n =
= 161038 = 2 ⋅ 73 ⋅ 1103 – íàèìåíüøåå
÷åòíîå ñîñòàâíîå ÷èñëî, äëÿ êîòîðîãî
n
2 ≡ 2 mod n . Ñëåäóþùåå òàêîå ÷åòíîå
÷èñëî 215326 = 2 ⋅ 23 ⋅ 31 ⋅ 151.)
á) Äëÿ ëþáîãî öåëîãî ÷èñëà a ≠ −1
ñóùåñòâóåò òàêîå ÷åòíîå ÷èñëî n > 2, ÷òî
n
a ≡ a mod n . Äîêàæèòå ýòî.
â*) Äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà a
ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íî ìíîãî òàêèõ ÷åòn
íûõ ÷èñåë n, ÷òî a ≡ a mod n . Äîêàæèòå ýòî. (Óêàçàíèå. Èñïîëüçóéòå òåîðåìó
Áèðêãîôà–Âàíäèâåðà, ñôîðìóëèðîâàííóþ â óïðàæíåíèè 32.)
m
m
62. à) Ïóñòü n = 3 − 2 . Äîêàæèòå,
÷òî åñëè n – 1 êðàòíî m, òî ÷èñëî
n −1
n −1
êðàòíî n.
3
−2
á) Ñóùåñòâóåò ëè ñîñòàâíîå ÷èñëî n,
n −1
n −1
äëÿ êîòîðîãî 3 − 2
êðàòíî n?
b
g
b
g
b
g
ÊÂÀÍT 2000/¹4
18
â) (Ì1510) Äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóåò
áåñêîíå÷íî ìíîãî òàêèõ ñîñòàâíûõ ÷èñåë
n −1
n −1
n, ÷òî 3 − 2
êðàòíî n.
63. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè n – ñîñòàâíîå
n −1
n −1
n−1
≡
+ 2
+ ... + n − 1
÷èñëî è 1
≡ −1 mod n , òî n – ÷èñëî Êàðìàéêëà.
(Âîñïîëüçîâàâøèñü ñïèñêîì ÷èñåë Êàð16
ìàéêëà, íå ïðåâîñõîäÿùèõ 10 , ìîæíî
ïðè ïîìîùè êîìïüþòåðà ïðîâåðèòü, ÷òî
íå ñóùåñòâóåò íè îäíîãî óäîâëåòâîðÿþùåãî ýòîìó ñðàâíåíèþ ÷èñëà, íå ïðåâîñ16
õîäÿùåãî 10 . Ñóùåñòâóþò ëè òàêèå
16
÷èñëà, áîëüøèå 10 , ìû íå çíàåì.)
b
b
g
g
Ïðèëîæåíèÿ
ëîñü:
ba + 1g − ba + 1g ≡
p
p
p
b
g
≡ a + 1 − a − 1 = a − a mod p .
Óïðàæíåíèå 65. Åñëè n ñîñòàâíîå, òî
õîòÿ áû îäèí èç áèíîìèàëüíûõ êîýôôèn −2
k
n −1
2
öèåíòîâ C n , Cn , ..., C n , ..., C n íå
êðàòåí n. Äîêàæèòå ýòî.
Êîìáèíàòîðíîå äîêàçàòåëüñòâî
Íà ðèñóíêå èçîáðàæåíû âñå 32 ñïîñîáà
ðàñêðàñêè â äâà öâåòà êðóãà, êîòîðûé
ðàçäåëåí íà 5 ðàâíûõ ñåêòîðîâ. Ñðåäè
Áèíîì Íüþòîíà
Ìàëóþ òåîðåìó Ôåðìà ëåãêî äîêàçàòü
ïî èíäóêöèè, åñëè èñïîëüçîâàòü ôîðìóëó áèíîìà Íüþòîíà. Ìû ñäåëàåì ýòî äëÿ
íàòóðàëüíûõ ÷èñåë a, îñòàâèâ ñëó÷àé
îòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë ÷èòàòåëþ.
Ïóñòü ñíà÷àëà p = 3. Áàçà èíäóêöèè:
13 – 1 = 0 äåëèòñÿ íà 3. Ïåðåõîä: åñëè äëÿ
íåêîòîðîãî ÷èñëà a óæå äîêàçàëè, ÷òî
3
a – a êðàòíî 3, òî
ba + 1g − ba + 1g =
3
b
g
3
2
= a + 3a + 3 a + 1 − a + 1 ≡
b
g
≡ a 3 + 1 − a − 1 = a 3 − a ≡ 0 mod 3 .
Àíàëîãè÷íî äëÿ p = 5: áàçà î÷åâèäíà
5
1 − 1 ≡ 0 mod 5 , à äëÿ ïåðåõîäà èñïîëüçóåì ôîðìóëó
b
e
ba + 1g
5
gj
5
4
3
2
= a + 5 a + 10 a + 10a + 5 a + 1 .
3
2
4
Âèäèòå, êîýôôèöèåíòû ïðè a , a , a è
a êðàòíû 5. Ïîýòîìó
ba + 1g
5
b
5
g
≡ a + 1 mod 5 ,
îòêóäà è ñëåäóåò âîçìîæíîñòü èíäóêöèîííîãî ïåðåõîäà:
ba + 1g − ba + 1g ≡
5
5
b
5
g
≡ a + 1 − a − 1 = a − a mod 5 .
Óïðàæíåíèå 64. Äîêàæèòå èíäóêöèåé
ïî a ìàëóþ òåîðåìó Ôåðìà äëÿ à) p = 2;
á) p = 7.
Çàéìåìñÿ îáùèì ñëó÷àåì. Ôîðìóëà
áèíîìà èìååò âèä
ba + 1g
p
= a + pa
p −1
b
gb
p
+
+
b
... +
Êîýôôèöèåíòû
1
2
2
p−2
+
g a +K+
pb p − 1g
a + pa + 1 .
p p −1 p − 2
3!
ga
p p −1
p− 3
2
2
b
g
C p = p , C p = p p − 1 2 , ...
k
b
g b
g
...C p = p p − 1 ... p − k + 1 k ! ,...
p −1
...C p
=p
êðàòíû ïðîñòîìó ÷èñëó p. Ïîýòîìó
p
p
a + 1 ≡ a + 1 mod p , ÷òî è òðåáîâà-
b
g
b
g
íèõ âûäåëÿþòñÿ äâà ñïîñîáà – êîãäà âåñü
êðóã ñèíèé è êîãäà îí âåñü êðàñíûé. À
îñòàëüíûå ðàçáèòû íà 6 ãðóïï ïî 5
ðàñêðàñîê, ïîëó÷àþùèõñÿ îäíà èç äðóãîé ïîâîðîòîì.
Çàäà÷à. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî
ðàñêðàñèòü a ðàçíûìè êðàñêàìè êðóã,
ðàçáèòûé íà p îäèíàêîâûõ ñåêòîðîâ, ãäå
p – ïðîñòîå ÷èñëî? (Êàæäûé ñåêòîð
îêðàøèâàåòñÿ îäíîé êðàñêîé; íå îáÿçàòåëüíî èñïîëüçîâàòü âñå êðàñêè; äâå ðàñêðàñêè, ñîâïàäàþùèå ïðè ïîâîðîòå êðóãà, ñ÷èòàþòñÿ îäèíàêîâûìè.)
Ðåøåíèå. Î÷åâèäíî, ìîæíî âñå ñåêòîðû ïîêðàñèòü îäíîé êðàñêîé. Òàêèõ ñïîñîáîâ ñòîëüêî æå, ñêîëüêî êðàñîê, ò.å. a
ñïîñîáîâ.
À âîò èç ëþáîé äðóãîé ðàñêðàñêè ïîâîðîòàìè ìîæíî ïîëó÷èòü p ðàçíûõ ðàñêðàñîê (ñ÷èòàÿ è ñàìó ýòó ðàñêðàñêó: îíà
ïîëó÷àåòñÿ ïîâîðîòîì íà 0°). Çíà÷èò,
îòâåò òàêîâ:
p
a+
a −a
p
.
Ïîñêîëüêó êîëè÷åñòâî ñïîñîáîâ íå áûp
âàåò äðîáíûì, ÷èñëî a − a îáÿçàíî íàöåëî äåëèòüñÿ íà p.
Óïðàæíåíèå 66. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî ðàñêðàñèòü a ðàçíûìè êðàñêà2
ìè êðóã, ðàçáèòûé à) íà p ñåêòîðîâ, ãäå
p – ïðîñòîå ÷èñëî? á) íà pq ñåêòîðîâ, ãäå
p, q – ïðîñòûå ÷èñëà, p ≠ q ? (Êàæäûé
ñåêòîð îêðàøèâàåì îäíîé êðàñêîé; íå
îáÿçàòåëüíî èñïîëüçîâàòü âñå êðàñêè;
äâå ðàñêðàñêè, ñîâïàäàþùèå ïðè ïîâîðîòå êðóãà, ñ÷èòàåì îäèíàêîâûìè.)
Êàê ñòðîÿò áîëüøèå ïðîñòûå
÷èñëà?
Êàê ïîìíèò ÷èòàòåëü ïåðâîé ÷àñòè ñòàòüè, äëÿ êðèïòîãðàôè÷åñêîé ñèñòåìû RSA
íóæíû áîëüøèå (ëó÷øå âñåãî – äëèíîé
â íåñêîëüêî ñîò öèôð) ïðîñòûå ÷èñëà.
Íàèáîëåå ýôôåêòèâíûì ñðåäñòâîì ïîñòðîåíèÿ òàêèõ ÷èñåë ñåé÷àñ ÿâëÿåòñÿ ìåòîä, îñíîâàííûé íà ñëåäóþùåé ëåììå.
Ëåììà. Ïóñòü q – íå÷åòíîå ïðîñòîå
÷èñëî, r – ÷åòíîå íàòóðàëüíîå, n = qr +
+ 1. Åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå öåëîå ÷èñëî
a, ÷òî a
b
n−1
FH
g
IK
r
≡ 1 mod n è ÍÎÄ a − 1,n =
= 1, òî êàæäûé ïðîñòîé äåëèòåëü p
÷èñëà n óäîâëåòâîðÿåò ñðàâíåíèþ
p ≡ 1 mod 2q .
Äîêàçàòåëüñòâî. Îáîçíà÷èì ïîðÿäîê
÷èñëà a ïî ìîäóëþ p áóêâîé k. Ïîñêîëüb n −1g q 1 mod p , òî
êó a n−1 ≡ 1 mod p è a
≡/
k äåëèòñÿ íà q.  ñèëó òåîðåìû 3, p – 1
äåëèòñÿ íà k. Ñëåäîâàòåëüíî, p – 1
äåëèòñÿ íà q. Êðîìå òîãî, p – 1 ÷åòíî.
Ëåììà äîêàçàíà.
Ñëåäñòâèå. Åñëè âûïîëíåíû óñëîâèÿ
ëåììû è r ≤ 4q + 2 , òî n – ïðîñòîå
÷èñëî.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü n ðàâíÿåòñÿ
ïðîèçâåäåíèþ íå ìåíåå ÷åì äâóõ ïðîñòûõ ÷èñåë. Ïîñêîëüêó êàæäîå èç íèõ íå
ìåíüøå 2q + 1, ïîëó÷àåì ïðîòèâîðå÷èå:
b
g
b
b2q + 1g
2
b
g
g
2
≤ n = qr + 1 ≤ 4 q + 2q + 1 .
Ïîêàæåì òåïåðü, êàê, èìåÿ áîëüøîå
ïðîñòîå ÷èñëî q, ìîæíî ïûòàòüñÿ ñòðîèòü ñóùåñòâåííî áîëüøåå ïðîñòîå ÷èñëî
n. Âûáåðåì ñëó÷àéíûì îáðàçîì ÷åòíîå
÷èñëî r íà ïðîìåæóòêå q < r ≤ 4q + 2 è
ïîëîæèì n = qr + 1. Çàòåì ïðîâåðèì n íà
îòñóòñòâèå ìàëûõ ïðîñòûõ äåëèòåëåé,
ïåðåïðîáîâàâ ìàëûå ïðîñòûå ÷èñëà. 3
Åñëè ïðè ýòîì âûÿñíèòñÿ, ÷òî n – ñîñòàâíîå, òî ñëåäóåò âûáðàòü íîâîå çíà÷åíèå
r è ïîâòîðèòü âû÷èñëåíèÿ.
Åñëè æå åñòü íàäåæäà, ÷òî n ïðîñòîå,
òî ìîæíî ñëó÷àéíûì îáðàçîì âûáðàòü
÷èñëî a è ïðîâåðèòü, âûïîëíåíû ëè äëÿ
n−1
íåãî ñîîòíîøåíèÿ a
≡ 1 mod n è
e
r
j
b
g
ÍÎÄ a − 1, n = 1 . Åñëè âûïîëíåíû, òî
ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî n ïðîñòîå (çà2
ìåòüòå: n > q , òàê ÷òî ÷èñëî n çàïèñûâàåòñÿ ïðèìåðíî âäâîå áîëüøèì êîëè÷åñòâîì öèôð, ÷åì q). Åñëè æå íåò, òî
ìîæíî âçÿòü äðóãîå çíà÷åíèå a, è òàê
äàëåå.
 íàñòîÿùèé ìîìåíò íåò äîêàçàòåëüñòâà òîãî, ÷òî ýòîò àëãîðèòì ñðàáîòàåò è
òåì áîëåå – ÷òî îí ñðàáîòàåò äîñòàòî÷íî
áûñòðî. Îäíàêî íà ïðàêòèêå îí ïîçâîëÿ300
åò ñòðîèòü áîëüøèå (ïîðÿäêà 10 ) ïðîñòûå ÷èñëà.
3
 ýòîì ìåñòå ìû ÷óòü ëóêàâèì:
ñëåäóåò íå òîëüêî äåëèòü íà ìàëûå ïðîñòûå ÷èñëà, íî è ïðèìåíÿòü áîëåå õèòðûå
ìåòîäû ïðîâåðêè íà ïðîñòîòó. Õîòÿ ýòè
ìåòîäû îñíîâàíû íà ìàëîé òåîðåìå Ôåðìà è ïî ñóòè ñâîäÿòñÿ ê òîìó, ÷òî åñëè
äëÿ íåêîòîðîãî a, âçàèìíî ïðîñòîãî c n,
n−1
÷èñëî a íå ñðàâíèìî ñ 1 ïî ìîäóëþ n, òî
n ñîñòàâíîå, ïîäðîáíîå îáñóæäåíèå çàâåëî
áû íàñ ñëèøêîì äàëåêî â áóðíî ðàçâèâàþùóþñÿ îáëàñòü òåîðèè ÷èñåë è âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè.