Записки В.А.Тиморина глава 2

Ìíîãî÷ëåíû
Ìàòåìàòèêà ìîæåò óïðîùàòü ôîðìóëû. Äëÿ ýòîãî ñëóæèò âñòðîåííàÿ êîìàíäà Simplify.
Simplify[x∧2 + 2x y + y ∧2]
(x + y)2
âîñïðîèçâîäèì In[1] :=
(ìû áîëüøå íå
è Out[1] :=, êîòîðûå ïèøåò
ñèñòåìà Ìàòåìàòèêà).
Ýòî êîìàíäà, êîíå÷íî, î÷åíü ïîëåçíà è óíèâåðñàëüíà. Ñëåäóåò,
îäíàêî, èìåòü â âèäó, ÷òî ýòà êîìàíäà ìîæåò ðàáîòàòü äîëãî. Ïîýòîìó åå íå ñòîèò èñïîëüçîâàòü â ïðîãðàììàõ, îò êîòîðûõ òðåáóåòñÿ
ýôôåêòèâíîñòü ïî âðåìåíè. Êðîìå òîãî, ðåçóëüòàò óïðîùåíèÿ áûâàåò òÿæåëî ïðåäñòàçàòü äëÿ ýòîãî íóæíî õîðîøî ïîíèìàòü, ïî
êàêîìó ïðèíöèïó îäíè âûðàæåíèÿ ñ÷èòàþòñÿ ïðîùå äðóãèõ, è êàêèå èìåííî ïðåîáðàçîâàíèÿ ïðîèçâîäÿòñÿ ñèñòåìîé Ìàòåìàòèêà ñ
öåëüþ óïðîñòèòü âûðàæåíèå.
Ïðè ïîìîùè Simplify, ìîæíî óïîùàòü íå òîëüêî ìíîãî÷ëåíû è
ðàöèîíàëüíûå ôóíêöèè, íî, íàïðèìåð, è òðèãîíîìåòðè÷åñêèå âûðàæåíèÿ:
Simplify[2Sin[x]Cos[x]]
Sin[2 x]
Ìîæíî èçáàâëÿòüñÿ îò èððàöèîíàëüíîñòè â çíàìåíàòåëå:
Simplify
√ [1/(1 + Sqrt[2])]
−1 +
2
Îäíàêî, âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ èððàöèîíàëüíîñòü â çíàìåíàòåëå îñòàåòñÿ, òàê êàê èçáàâëåíèå îò ýòîé èððàöèîíàëüíîñòè íå äåëàåò âûðàæåíèå ïðîùå ñ òî÷êè çðåíèÿ èñïîëüçóåìûõ ñèñòåìîé Ìàòåìàòèêà
êðèòåðèåâ:
Simplify[1/(1 + Sqrt[3])]
1
√
1+ 3
Êîìàíäà FullSimplify ñëóæèò òîé æå öåëè, ÷òî è Simplify, îäíàêî èñïîëüçóåò áîëüøå ïðåîáðàçîâàíèé, ìîãóùèõ ïðèâåñòè ê óïðîùåíèþ âûðàæåíèÿ. Âîò íåïîëíûé ñïèñîê òåõ óïðîùåíèé, êîòîðûå
Simplify íå âûïîëíÿåò, q
à FullSimplify âûïîëíÿåò:
√
√
3 + 2 2 = 1 + 2.
(çäåñü
(−1)1/5 + (−1)2/5 + (−1)3/5 + (−1)4/5 = 0.
(−1)1/5 îçíà÷àåò ÷èñëî eπi/5 ).
Γ(x + 1) − xΓ(x) = 0.
1
2
(Γ îáîçíà÷àåò ãàììà-ôóíêöèþ).
Èíîãäà íóæíî óêàçûâàåò äîïîëíèòåëüíûå ïðåäïîëîæåíèÿ, ïðè
êîòîðûõ äàííîå âûðàæåíèå óïðîùàåòñÿ.
Íàïðèìåð, ñèñòåìà Ìàòå√
2
ìàòèêà íå óïðîùàåò âûðàæåíèå x äî x, ïîñêîëüêó êâàäðàòíûé
êîðåíü ïî óìîë÷àíèþ ïðåäïîëàãàåòñÿ êîðíåì èç êîìïëåêñíîãî ÷èñëà. Åñëè æå ÿâíî óêàçàòü,
√ ÷òî ìû ñ÷èòàåì ÷èñëî x äåéñòâèòåëüíûì
è ïîëîæèòåëüíûì, òî x2 óïðîñòèòñÿ äî x:
Simplify[Sqrt[x∧2], Assumptions → x > 0]
x
Âàæíàÿ îïåðàöèÿ ðàçëîæåíèå ìíîãî÷ëåíîâ íà ìíîæèòåëè. Â
ñèñòåìå Ìàòåìàòèêà ðàçëîæèòü íà ìíîæèòåëè ìîæíî ïðè ïîìîùè
êîìàíäû Factor. Âûðàæåíèå, óêàçàííîå â êà÷åñòâå àðãóìåíòà, âîñïðèíèìàåòñÿ êàê ìíîãî÷ëåí îò íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ ñ öåëûìè
êîýôôèöèåíòàìè, è ðàñêëàäûâàåòñÿ íà ìíîæèòåëè â êëàññå òàêèõ
ìíîãî÷ëåíîâ. Ïðîñòåéøèé ïðèìåð:
Factor[x∧2 − 1]
(−1 + x)(1 + x)
ìíîãî÷ëåí x4 + 1 íå
Îäíàêî, íàïðèìåð,
áóäåò ðàçëîæåí íà ìíîæèòåëè òàêèì ñïîñîáîì, íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî îí ðàñêëàäûâàåòñÿ
íà äâà êâàäðàòè÷íûõ ìíîæèòåëÿ íàä äåéñòâèòåëüíûìè (íî íå íàä
öåëûìè!) ÷èñëàìè:
√
√
x4 + 1 = 1 − 2x + x2 1 + 2x + x2
Ïîïðîáóåì ïîíÿòü ýêñïåðèìåíòàëüíî, êàê âûãëÿäèò ðàçëîæåíèå
÷èñëà xn − 1 íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè. Âî-ïåðâûõ, ìîæíî çàìåòèòü,
÷òî åñëè n ïðîñòîå ÷èñëî (è òîëüêî â ýòîì ñëó÷àå), xn − 1 èìååò
ðîâíî äâà ïðîñòûõ ìíîæèòåëÿ. Ýòè ìíîæèòåëè, êîíå÷íî, ðàâíû
x−1 è
xn−1 + xn−2 + · · · + 1.
Îáîçíà÷èì x − 1 ÷åðåç Φ1(x), è äëÿ êàæäîãî ïðîñòîãî p, îáîçíà÷èì ìíîãî÷ëåí xp−1 + xp−2 + · · · + 1 ÷åðåç Φp(x). Òàêèì îáðàçîì,
ðàçëîæåíèå ìíîãî÷ëåíà xp − 1 äëÿ ïðîñòîãî p âûãëÿäèò òàê:
xp − 1 = Φ1 (x)Φp (x).
Òåïåðü íàéäåì ðàçëîæåíèå ìíîãî÷ëåíà x4 − 1:
x4 − 1 = (−1 + x)(1 + x) 1 + x2 .
Ïåðâûå äâà ìíîæèòåëÿ ìû ìîæåì èäåíòèôèöèðîâàòü: ýòî Φ1(x)
è Φ2(x). Ïîñëåäíèé ìíîæèòåëü ìû èäåíòèôèöèðîâàòü íå ìîæåì;
íè÷åãî íå îñòàåòñÿ, êàê îáîçíà÷èòü ýòîò ìíîæèòåëü ÷åðåç Φ4(x).
3
Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì x4 − 1 = Φ1(x)Φ2(x)Φ4(x). Òåïåðü ðàçëîæèì íà ìíîæèòåëè ìíîãî÷ëåí x6 − 1:
x6 − 1 = (−1 + x)(1 + x) 1 − x + x2
1 + x + x2
Çäåñü òîæå ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî òðè ìíîæèòåëÿ èç ïðàâîé ÷àñòè
ìû óæå çíàåì: ïåðâûé ðàâåí Φ1(x), âòîðîé ðàâåí Φ2(x), ÷åòâåðòûé
ðàâåí Φ3(x). Îáîçíà÷èì òðåòèé ìíîæèòåëü ÷åðåç Φ6(x). Ïîëó÷àåì:
x6 − 1 = Φ1 (x)Φ2 (x)Φ3 (x)Φ6 (x).
Ïðèâåäåííûõ âû÷èñëåíèé äîñòàòî÷íî, ÷òîáû çàìåòèòü ñëåäóþùóþ çàêîíîìåðíîñòü: ïðîñòûå ìíîæèòåëè â ðàçëîæåíèè ìíîãî÷ëåíà xn − 1 ýòî â òî÷íîñòè ìíîãî÷ëåíû Φd(x), ãäå d ïðîè÷çâîëüíûé íàòóðàëüíûé äåëèòåëü ÷èñëà n. Áîëåå òîãî, ìíîãî÷ëåíû Φn(x)
ìîæíî îïðåäåëèòü ïî èíäóêöèè ôîðìóëîé
xn − 1
Φn (x) = Q
Φd (x)
(ïðîèçâåäåíèå â çíàìåíàòåëå ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ íà âñå ñîáñòâåííûå
äåëèòåëè ÷èñëà n). Òàêèì îáðàçîì âû÷èñëåíèå ìíîãî÷ëåíà Φn(x)
ñâîäèòñÿ ê âû÷èñëåíèþ ìíîãî÷ëåíîâ Φd ïðè d < n. Ìíîãî÷ëåíû
Φn (x) íàçûâàþòñÿ êðóãîâûìè ìíîãî÷ëåíàìè.
Ñèñòåìà Ìàòåìàòèêà óìååò ðàáîòàòü ñ êðóãîâûìè ìíîãî÷ëåíàìè
íàïðÿìóþ:
Cyclotomic[5, x]
1 + x + x2 + x3 + x4
Ìû ìîæåì ïðîâåðèòü, ñêàæåì, ÷òî ïðîèçâåäåíèå ìíîãî÷ëåíîâ Φd(x)
ïî âñåì äåëèòåëÿì ÷èñëà 24 äåéñòâèòåëüíî ðàâíî x24 − 1:
l = Divisors[24]
Product[Cyclotomic[l[[i]], x], {i, 1, Length[l]}]//Simplify
{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
−1 + x24
Çàìåòèì, ÷òî ìíîãî÷ëåí xn −1 ðàñêëàäûâàåòñÿ íà ëèíåéíûå ìíî-
æèòåëè íàä êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè: ëèíåéíûå äåëèòåëè ìíîãî÷ëåíà xn − 1 èìåþò âèä x − ζ , ãäå ζ ïðîèçâîëüíûé êîðåíü ñòåïåíè
n èç åäèíèöû, òî åñòü òàêîå êîìïëåêñíîå ÷èñëî, ÷òî ζ n = 1. Åñëè d ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì äåëèòåëåì ÷èñëà n, à ζ óäîâëåòâîðÿåò
óñëîâèþ ζ d = 1, òî è ïîäàâíî ζ n = 1. Îäíàêî, x − ζ íå âîéäåò â
ðàçëîæåíèå êðóãîâîãî ìíîãî÷ëåíà Φn(z), ïîñêîëüêó ýòîò ëèíåéíûé
äåëèòåëü óæå âõîäèò â ðàçëîæåíèå ìíîãî÷ëåíà zd − 1, à çíà÷èò, â
ðàçëîæåíèå êðóãîâîãî ìíîãî÷ëåíà Φk (x) äëÿ íåêîòîðîãî k, äåëÿùåãî d. Îòñþäà ìû ïîëó÷àåì, ÷òî êðóãîâîé ìíîãî÷ëåí Φn(x) ÿâëÿåòñÿ
4
ïðîèçâåäåíèåì ëèíåéíûõ ìíîæèòåëåé âèäà x − ζ , ãäå ζ ïðîáåãàåò
âñå ïðèìèòèâíûå êîðíè ñòåïåíè n èç åäèíèöû, òî åñòü òàêèå ÷èñëà,
äëÿ êîòîðûõ ζ n = 1, íî ζ k 6= 1 íè ïðè êàêîì k < n.
Ïîêà ìû òîëüêî çíàåì ÿâíûé âèä êðóãîâûõ ìíîãî÷ëåíîâ Φn(x),
åñëè n ïðîñòîå ÷èñëî. Òåïåðü ïîñ÷èòàåì ýòè ìíîãî÷ëåíû äëÿ
íåêîòîðûõ ñîñòàâíûõ n. Â íåêîòîðîì ñìûñëå ïðîòèâîïîëîæíîñòüþ
ê ïðîñòûì ÷èñëàì ÿâëÿþòñÿ ñòåïåíè äâîéêè. Ïîñ÷èòàåì ïåðâûå 10
êðóãîâûõ ìíîãî÷ëåíîâ Φ2 :
Table[Cyclotomic[2∧k, x], {k, 1, 10}]
k
{1 + x, 1 + x2 , 1 + x4 , 1 + x8 , 1 + x16 , 1 + x32 ,
1 + x64 , 1 + x128 , 1 + x256 , 1 + x512 }
Ýòè âû÷èñëåíèÿ äîñòàòî÷íî óáåäèòåëüíî ãîâîðÿò î òîì, ÷òî Φ2 (x) =
1 + x2
ïðè k ≥ 1.
Ýòó ôîðìóëó íåòðóäíî îáîñíîâàòü. Äåëî â òîì, ÷òî êîìïëåêñíîå ÷èñëî ζ ÿâëÿåòñÿ ïðèìèòèâíûì êîðíåì ñòåïåíè 2k èç åäèíèöû
ðîâíî â òîì ñëó÷àå, êîãäà ζ 2 = −1. Î÷åâèäíî, ÷òî ìíîãî÷ëåí ñî
ñòàðøèì êîýôôèöèåíòîì 1, êîðíÿìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ â òî÷íîñòè âñå êîðíè èç −1 ñòåïåíè 2k−1, ñîâïàäàåò ñ x2 +1. Ïðè ïîìîùè
àíàëîãè÷íûõ ðàññóæäåíèé íåòðóäíî äîêàçàòü, ÷òî
k
k−1
k−1
k−1
Φnk (x) = Φn (xk )
ïðè k ≥ 1, n ≥ 2.
Ìîæåò âîçíèêíóòü îùóùåíèå, ÷òî âñå íåíóëåâûå êîýôôèöèåíòû
ëþáîãî êðóãîâîãî ìíîãî÷ëåíà ðàâíû ±1. Ïî êðàéíåé ìåðå, âî âñåõ
ðàññìîòðåííûõ ïðèìåðàõ ýòî áûëî òàê. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïðîâåðèòü
ýòó ãèïîòåçó, íàïèøåì ôóíêöèþ, êîòîðàÿ âîçâðàùàåò âñå êîýôôèöèåíòû êðóãîâîãî ìíîãî÷ëåíà ñ íîìåðîì n (êîòîðûé ïðèíèìàåòñÿ
ôóíêöèåé â êà÷åñòâå àðãóìåíòà).
c[n_]:=CoecientList[Cyclotomic[n, x], x]//DeleteDuplicates
Ôóíêöèÿ CoecientList ïîðîæäàåò ñïèñîê âñåõ êîýôôèöèåíòîâ ìíîãî÷ëåíà, óêàçàííîãî â ïåðâîì àðãóìåíòå. Âòîðîé àðãóìåíò ýòî
èìÿ íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé (ìû ðàññìàòðèâàåì ïåðâûé àðãóìåíò
êàê ìíîãî÷ëåí èìåííî îò ýòîé ïåðåìåííîé). Êîìàíäà DeleteDuplicates
óäàëÿåò èç ñïèñêà âñå ïîâòîðåíèÿ. Åñëè áû ìû íå èñïîëüçîâàëè ýòó
êîìàíäó, òî âûäàâàëñÿ áû äëèííûé ñïèñîê, ñîñòîÿùèé (ïî êðàéíåé
ìåðå, äëÿ ìíîãèõ n) èç 0 è ±1. À òàê áóäåò âûäàâàòüñÿ ñïèñîê
{1, 0, −1}.
Òåïåðü ïîñ÷èòàåì, êàêèå êîýôôèöèåíòû ìîãóò âñòðå÷àòüñÿ âîîáùå â êàêèõ-ëèáî êðóãîâûõ ìíîãî÷ëåíàõ, ñ íîìåðàìè, ñêàæåì, â
5
ïðåäåëàõ ïåðâîé ñîòíè. Ýòî äåëàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
Table[c[n], {n, 1, 100}]//Flatten//DeleteDuplicates
Êîìàíäà Table, êàê ìû ïîìíèì, ñîçäàåò ñïèñîê, ñîñòîÿùèé èç ýëåìåíòîâ c[n]. À ýëåìåíò c[n], â ñâîþ î÷åðåäü, ÿâëÿåòñÿ ñïèñêîì, ñîäåðæàùèì ðàçëè÷íûå êîýôôèöèåíòû ìíîãî÷ëåíà Φn. Òàêèì îáðàçîì, ìû ñîçäàëè ñïèñîê ñïèñêîâ, òî åñòü äâóìåðíûé ñïèñîê. Êîìàíäà Flatten äåëàåò èç äâóìåðíîãî ñïèñêà îäíîìåðíûé, òî åñòü ïðîñòî
âûäàåò îáúåäèíåíèå âñåõ ñïèñêîâ c[n]. Íàêîíåö, DeleteDuplicates
óäàëÿåò âñå ïîâòîðåíèÿ.
Ñèñòåìà Ìàòåìàòèêà âûäàåò ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò:
{−1, 1, 0}
Ðåçóëüòàò ïîäòâåðæäàåò íàøó ãèïîòåçó. Îäíàêî ìû ïðîÿâèì îñòîðîæíîñòü, è ïîñìîòðèì íà âòîðóþ ñîòíþ êðóãîâûõ ìíîãî÷ëåíîâ.
Âûÿñíÿåòñÿ, ÷òî îñòîðîæíîñòü íå áûëà èçëèøíåé, è ÷òî âî âòîðîé
ñîòíå êðóãîâûõ ìíîãî÷ëåíîâ â êà÷åñòâå êîýôôèöèåíòîâ âñòðå÷àþòñÿ íå òîëüêî 0, 1 è −1, íî è ±2. ×òîáû ïîíÿòü, êàêèå èìåííî
êðóãîâûå ìíîãî÷ëåíû ñîäåðæàò −2 â êà÷åñòâå êîýôôèöèåíòà, íàïèøåì
Select[Table[{c[n], n}, {n, 1, 200}], MemberQ[#, −2, 3]&]
Âî-ïåðâûõ ìû ñîçäàëè ñïèñîê, ñîñòîÿùèé èç ïàð {c[n], n}, ãäå c[n]
ýòî ìíîæåñòâî (áåç ïîâòîðåíèé) êîýôôèöèåíòîâ ìíîãî÷ëåíà Φn.
Ïðè ïîìîùè êîìàíäû Select, ìû âûáèðàåì èç ýòîãî ñïèñêà ýëåìåíòû, óäîâëåòâîðÿþùèå îïðåäåëåííûì óñëîâèÿì. Óñëîâèÿ çàäàþòñÿ
âî âòîðîì àðãóìåíòå êîìàíäû Select, è äîëæíû áûòü îôîðìëåíû
êàê ôóíêöèÿ, ïðèíèìàþùàÿ çíà÷åíèÿ True èëè False.  íàøåì
ñëó÷àå, ìû ñòàâèì òàêîå óñëîâèå: ÷èñëî −2 äîëæíî âñòðå÷àòüñÿ
â ñïèñêå {c[n], n} èëè åãî ïîäñïèñêå, èëè â ïîäñïèñêå ïîäñïèñêà
(ïîñëåäíèé àðãóìåíò 3 ó êîìàíäû MemberQ îãðàíè÷èâàåò ãëóáèíó
ïîèñêà).
Âîò ðåçóëüòàò:
{{{1, 0, −1, −2}, 105}, {{1, 0, −1, −2}, 195}}
Äåéñòâèòåëüíî, êàê ëåãêî ïðîâåðèòü, êðóãîâîé ìíîãî÷ëåí Φ105 èìååò äâà êîýôôèöèåíòà ðàâíûå −2.
Ïåðåéäåì òåïåðü ê èçó÷åíèþ ñîâñåì äðóãîãî êëàññà ìíîãî÷ëåíîâ
ìíîãî÷ëåíîâ ×åáûøåâà. Ìíîãî÷ëåíû ×åáûøåâà Tn îïðåäåëÿþòñÿ ïî ñëåäóþùåé ôîðìóëå:
Tn (z + z −1 ) = z n + z −n .
6
Íàïðèìåð, T2(x) = x2 − 2, ïîñêîëüêó
1
z+
z
2
− 2 = z2 +
1
.
z2
Íåòðóäíî ïîëó÷èòü ðåêóððåíòíóþ ôîðìóëó äëÿ ìíîãî÷ëåíîâ ×åáûøåâà:
(z+z −1 )Tn (z+z −1 ) = (z+z −1 )(z n +z −n ) = z n+1 +z −(n+1) +z n−1 +z −(n−1) ,
îòêóäà
xTn (x) = Tn+1 (x) + Tn−1 (x).
Ìîæíî ïðè ïîìîùè ñèñòåìû Ìàòåìàòèêà ïîïûòàòüñÿ âû÷èñëèòü
ìíîãî÷ëåíû ×åáûøåâà íåïîñðåäñòâåííî ïî îïðåäåëåíèþ. Íàïðèìåð, ÷òîáû ïîñ÷èòàòü T5(x), ìû ñíà÷àëà ðåøèì óðàâíåíèå z +z−1 =
x îòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíîé z , à çàòåì ïîäñòàâèì ýòî ðåøåíèå â
ôîðìóëó z5 + z−5.
r = Solve[z + 1/z == x, z]
√
√
1
1
2
2
x − −4 + x
x + −4 + x
z→
, z→
2
2
z ∧ 5 + z ∧ (−5)/.r[[1]]//Simplify
u 5 − 5x2 + x4
Çàìåòèì, ÷òî ìíîãî÷ëåí ×åáûøåâà ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç êîñèíóñ è àðêêîñèíóñ. À èìåííî, åñëè z = exi, òî z + z−1 = 2 cos(x), à
z n + z −n = 2 cos(nx). Òàêèì îáðàçîì,
Tn (x) = 2 cos(n arccos(x/2)).
Èíîãäà ìíîãî÷ëåíû ×åáûøåâà îïðåäåëÿþò êàê
T̃n (x) = cos(n arccos(x)).
Ïîíÿòíî, ÷òî ìíîãî÷ëåíû T̃n îòëè÷àþòñÿ îò Tn ëèøü ëèíåéíîé çàìåíîé êîîðäèíàò. Ôîðìóëó ñ êîñèíóñîì è àðêêîñèíóñîì ñëåäóåò
ïîíèìàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì.  ïðàâîé ÷àñòè íàïèñàíî âûðàæåíèå, êîòîðîå ñîâïàäàåò ñ ìíîãî÷ëåíîì ×åáûøåâà, âîîáùå ãîâîðÿ,
íå âåçäå, íî ïî êðàéíåé ìåðå ïðè äåéñòâèòåëüíûõ x â èíòåðâàëå
(−1, 1).
Ê ñîæàëåíèþ, Ìàòåìàòèêà íå õî÷åò óïðîùàòü âûðàæåíèå cos(n arccos x),
äàæå åñëè ââåñòè ïðåäïîëîæåíèå î òîì, ÷òî x ∈ (−1, 1):
FullSimplify[Cos[2ArcCos[x]], Assumptions → −1 < x&&x < 1]
Cos[2ArcCos[x]]
7
Ñèñòåìà Ìàòåìàòèêà óìååò ðàáîòàòü ñ ìíîãî÷ëåíàìè ×åáûøåâà íåïîñðåäñòâåííî. Êîìàíäà ChebyshevT[n,x] ñ÷èòàåò ìíîãî÷ëåí
T̃n (x):
2ChebyshevT[5, x/2]//Simplify
x 5 − 5x2 + x4
Íàðèñóåì ãðàôèêè ïåðâûõ øåñòè ìíîãî÷ëåíîâ ×åáûøåâà:
Plot[Evaluate[Table[ChebyshevT[n, x], {n, 1, 6}]], {x, −1, 1}]
1.0
0.5
-1.0
0.5
-0.5
1.0
-0.5
Òåîðåìà ×åáûøåâà ñîñòîèò â òîì, ÷òî ñðåäè âñåõ ìíîãî÷ëåíîâ
ñòåïåíè n ñî ñòàðøèì êîýôôèöèåíòîì 1 íàèìåíüøåå óêëîíåíèå îò
íóëÿ íà îòðåçêå [−2, 2] èìååò ìíîãî÷ëåí ×åáûøåâà Tn(x). Óêëîíåíèåì ìíîãî÷ëåíà P îò íóëÿ íà îòðåçêå íàçûâàåòñÿ ìàêñèìóì ìîäóëÿ ìíîãî÷ëåíà P , âû÷èñëåííûé íà ýòîì îòðåçêå. Òåîðåìà ×åáûøåâà äîïóñêàåò âïîëíå ýëåìåíòàðíîå äîêàçàòåëüñòâî çàèíòåðåñîâàííûé ÷èòàòåëü ìîæåò ïîïûòàòüñÿ åãî âîñïðîèçâåñòè.
-1.0