Суммы квадратов и целые гауссовы цисла

14
ÊÂÀÍT 1999/¹3
Ñóììû êâàäðàòîâ
è öåëûå ãàóññîâû öèñëà
Â.ÑÅÍÄÅÐÎÂ, À.ÑÏÈÂÀÊ
«Çà÷åì ñêëàäûâàòü ïðîñòûå ÷èñëà? – íåäîóìåâàë âåëèêèé ôèçèê Ëàíäàó. –
Ïðîñòûå ÷èñëà ñîçäàíû äëÿ òîãî, ÷òîáû èõ óìíîæàòü, à íå ñêëàäûâàòü!»
Ç
À×ÅÌ ÑÊËÀÄÛÂÀÒÜ ÊÂÀÄÐÀÒÛ ÖÅËÛÕ ×ÈÑÅË?
«Äåòàëè» – ýòî êðèòåðèé òîãî, êàêèå íàòóðàëüíûå
÷èñëà ïðåäñòàâèìû â âèäå ñóììû êâàäðàòîâ äâóõ öåëûõ
÷èñåë.  äîêàçàòåëüñòâå ýòîãî êðèòåðèÿ áóäóò èñïîëüçîâàíû íå òîëüêî «îáû÷íûå» öåëûå ÷èñëà, íî è ÷èñëà
êîìïëåêñíûå – ïðåêðàñíûé ïðèìåð ïðèìåíåíèÿ àáñòðàêòíîé òåîðèè ê êîíêðåòíîé àðèôìåòè÷åñêîé çàäà÷å! Õîòÿ
ýòà ñòàòüÿ ñîäåðæèò ëèøü ìàëóþ ÷àñòü áîãàòåéøåé òåîðèè
äåëèìîñòè àëãåáðàè÷åñêèõ ÷èñåë, íàäååìñÿ, åå î÷àðîâàíèå íèêîãî íå îñòàâèò ðàâíîäóøíûì.
Èëëþñòðàöèÿ Â.Âëàñîâà
Ïî÷åìó áû íå ñêëàäûâàòü èõ êóáû èëè 666-å
ñòåïåíè? Âîïðîñû ýòè âåñüìà ñåðüåçíû è âñòàþò
ïåðåä êàæäûì, êòî íà÷èíàåò èçó÷àòü ìàòåìàòèêó. Èç
îãðîìíîãî ðàçíîîáðàçèÿ çàäà÷ íå âñå äîñòîéíû ïðèñòàëüíîãî âíèìàíèÿ. Çàäà÷à î ñóììå êâàäðàòî⠖ â âûñøåé
ñòåïåíè äîñòîéíà. Ê ñîæàëåíèþ äëÿ ôèëîñîôà, ýòî
íåâîçìîæíî îáúÿñíèòü, íå ðàññêàçàâ åå ðåøåíèå è íå
óãëóáèâøèñü òåì ñàìûì â äåòàëè.
1*
ÑÓÌÌÛ
ÊÂÀÄÐÀÒÎÂ
È
ÖÅËÛÅ
Åñëè âû âíèìàòåëüíî ïðîñëåäèòå çà âû÷èñëåíèÿìè â
îñíîâíîì òåêñòå è áóäåòå ðàññìàòðèâàòü óïðàæíåíèÿ
âû÷èñëèòåëüíîãî õàðàêòåðà íå òîëüêî êàê îòíèìàþùèå
âðåìÿ (íåèçáåæíî îíè îáëàäàþò ýòîé îñîáåííîñòüþ), íî
è êàê ïðåäñòàâëÿþùèå èíòåðåñ, äîñòàâëÿþùèå íàñëàæäåíèå è ïîíèìàíèå, òî ÿ óáåæäåí, ÷òî âû ñìîæåòå
îöåíèòü êàê ìîùü, òàê è êðàéíþþ ïðîñòîòó òåîðèè.
Ã.Ýäâàðäñ
Òàáëèöà ñóìì êâàäðàòîâ
Ðàññìîòðèì òàáëèöó, â âåðõíåé ñòðîêå è ëåâîì ñòîëáöå
êîòîðîé – êâàäðàòû öåëûõ ÷èñåë, à â äðóãèõ êëåòêàõ –
ñóììû êâàäðàòîâ:
0
1
4
9
16
25
36
49
64
81 100
1
2
5
10
17
26
37
50
65
82 101
4
5
8
13
20
29
40
53
68
85 104
9
10
13
18
25
34
45
58
73
90 109
16
17
20
25
32
41
52
65
80
97 116
25
26
29
34
41
50
61
74
89 106 125
36
37
40
45
52
61
72
85 100 117 136
49
50
53
58
65
74
85
98 113 130 149
64
65
68
73
80
89 100 113 128 145 164
81
82
85
90
97 106 117 130 145
101 104 109 116 125 136
149 164
Îñòàòêè îò äåëåíèÿ íà 3
Íàèìåíüøåå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, íå ïðåäñòàâèìîå â âèäå
ñóììû äâóõ êâàäðàòîâ öåëûõ ÷èñåë,– ýòî 3. Êðàòíûå 3
÷èñëà 6, 12, 15, 21 òîæå íå ïðåäñòàâèìû, à âîò ÷èñëà 9 =
2
= 32 + 02 è 18 = 3 + 32 – ïðåäñòàâèìû. Âîçíèêàåò
ãèïîòåçà: ÷èñëà, êîòîðûå êðàòíû 3, íî íå êðàòíû 9, íå
ïðåäñòàâèìû â âèäå ñóììû äâóõ êâàäðàòîâ. Ýòà ãèïîòåçà
âåðíà. Âåðíî äàæå áîëåå ñèëüíîå óòâåðæäåíèå:
2
2
Òåîðåìà 1. Åñëè ñóììà êâàäðàòîâ x + y öåëûõ ÷èñåë
x, y êðàòíà 3, òî ÷èñëà x, y òîæå êðàòíû 3.
Äîêàçàòåëüñòâî. Âûïèøåì îñòàòêè îò äåëåíèÿ êâàäðàòîâ öåëûõ ÷èñåë íà 3:
Çàêîíîìåðíîñòü î÷åâèäíà: îñòàòêè ïåðèîäè÷åñêè ïîâòî4
9
16
25
36
49
64
Î ñòàòîê
0
1
1
0
1
1
0
1
1
81 100
0
Ñëåäóþùåå ïîñëå 3 è 6 íå ïðåäñòàâèìîå â âèäå ñóììû
äâóõ êâàäðàòîâ ÷èñëî – ýòî 7. Êðàòíûå 7 ÷èñëà 14, 21, 28,
35, 42, 56, 63 íå ïðåäñòàâèìû â âèäå ñóììû êâàäðàòîâ.
Îïÿòü âîçíèêàåò ãèïîòåçà: åñëè ñóììà êâàäðàòîâ x2 + y 2
êðàòíà 7, òî è ñàìè öåëûå ÷èñëà x, y êðàòíû 7.
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñîñòàâèì òàáëèöó îñòàòêîâ îò äåëåíèÿ êâàäðàòîâ íà 7:
2
4
1
0
1
4
2
2
4
1
0
Óïðàæíåíèÿ
Óïðàæíåíèå 1. Íàéäèòå íàèìåíüøåå ÷èñëî, êîòîðîå äâóìÿ
ñóùåñòâåííî ðàçíûìè (ò. å. íå ïîëó÷àþùèìèñÿ îäèí èç äðóãîãî
ïåðåñòàíîâêîé ñëàãàåìûõ) ñïîñîáàìè ïðåäñòàâèìî â âèäå ñóììû äâóõ êâàäðàòîâ à) öåëûõ; á) íàòóðàëüíûõ ÷èñåë.
1
Îñòàòêè îò äåëåíèÿ íà 7
Îñòàòêè, êàê âèäèòå, ïåðèîäè÷åñêè ïîâòîðÿþòñÿ. Ïîñêîëüêó ñóììà íèêàêèõ äâóõ èç îñòàòêîâ 1, 2, 4 íå êðàòíà
7, ìû äîêàçàëè íàøó ãèïîòåçó.
181 200
0
Óïðàæíåíèå 2. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè ñóììà êâàäðàòîâ äâóõ
öåëûõ ÷èñåë êðàòíà 31999 , òî ýòà ñóììà êðàòíà 32000 .
Î ñòàòîê 0 1 4 2
162 181
Kâàäðàò
âòîðîì ñëó÷àå x = 9k 2 ± 6k + 1 äàåò ïðè äåëåíèè íà 3
îñòàòîê 1.)
Ñóììû îñòàòêîâ 0 + 1 è 1 + 1 íå êðàòíû 3. Çíà÷èò, ñóììà
êâàäðàòîâ x2 + y 2 êðàòíà 3 â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå,
êîãäà x è y êðàòíû 3.
Kâàäðàò 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196
Ýòà òàáëèöà ïîçâîëÿåò âûïèñàòü ïðåäñòàâëåíèÿ: 1 =
2
= 12 + 02 , 2 = 12 + 12 , 4 = 2 + 02 , 5 = 22 + 12 , 8 = 22 + 22 ,
2
2
2
2
2
2
9 = 3 + 0 , 10 = 3 + 1 , 13 = 3 + 2 ,... Íå âîøåäøèå â
òàáëèöó ÷èñëà ïåðâîé ñîòíè (3, 6, 7, 11, 12, 14, 15,...) â
âèäå ñóììû äâóõ êâàäðàòîâ íå ïðåäñòàâèìû.
1
ðÿþòñÿ, è íèêàêèõ îñòàòêîâ êðîìå 0 è 1 íå áûâàåò.
(Òî÷íåå ãîâîðÿ, îñòàòîê îò äåëåíèÿ êâàäðàòà öåëîãî ÷èñëà
x íà 3 ðàâåí 0, åñëè x êðàòíî 3, ò. å. ïðåäñòàâèìî â âèäå
x = 3k, ãäå k – öåëîå ÷èñëî, è îñòàòîê ðàâåí 1, åñëè x íå
êðàòíî 3, ò. å. ïðåäñòàâèìî â âèäå x = 3k ± 1. Â ñàìîì äåëå,
2
â ïåðâîì ñëó÷àå x = 9k 2 äåëèòñÿ íà 3 áåç îñòàòêà, à âî
4*
15
×ÈÑËÀ
2
Ñóììû êâàäðàòîâ
100
ÃÀÓÑÑÎÂÛ
3. Îñòàòîê îò äåëåíèÿ êâàäðàòà öåëîãî ÷èñëà x íà 7 ðàâåí 0,
åñëè x = 7k, ãäå k – öåëîå ÷èñëî; ðàâåí 1, åñëè x = 7k ± 1; ðàâåí
2, åñëè x = 7k ± 3; ðàâåí 4, åñëè x = 7k ± 2. Äîêàæèòå ýòî.
4. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè ñóììà êâàäðàòîâ äâóõ öåëûõ ÷èñåë
êðàòíà 21, òî îíà êðàòíà è 441.
5. à) Êàêèå îñòàòêè äàþò êâàäðàòû öåëûõ ÷èñåë ïðè äåëåíèè
íà 11? á) Äîêàæèòå, ÷òî åñëè ñóììà êâàäðàòîâ äâóõ öåëûõ ÷èñåë
êðàòíà 11, òî îíà êðàòíà 121. â) Äîêàæèòå, ÷òî åñëè ñóììà
êâàäðàòîâ äâóõ öåëûõ ÷èñåë êðàòíà 1331, òî îíà êðàòíà è 14641.
Îñòàòêè îò äåëåíèÿ íà 19
Åñëè ïðîñòîå ÷èñëî p ïðåäñòàâëåíî â âèäå ñóììû êâàäðàòîâ, p = x2 + y 2 , òî, î÷åâèäíî, ÷èñëà x, y ìåíüøå p è
ïîòîìó íå ìîãóò áûòü êðàòíû p. Çíà÷èò, íà ðîëü òåõ ÷èñåë
p, äëÿ êîòîðûõ èç äåëèìîñòè ñóììû êâàäðàòîâ íà p
ñëåäóåò äåëèìîñòü íà p îáîèõ ñëàãàåìûõ, ïðåòåíäóþò
òîëüêî ÷èñëà, íå ïðåäñòàâèìûå â âèäå ñóììû äâóõ
êâàäðàòîâ. Ëþáîå òàêîå ÷èñëî ìîæíî èññëåäîâàòü àíàëîãè÷íî ÷èñëàì 3 è 7.
Íàïðèìåð, ïóñòü p = 19. Ñîñòàâèì òàáëèöó îñòàòêîâ îò
äåëåíèÿ êâàäðàòîâ íà 19:
Kâàäðàò
0
1
4
9
16
25
36
Î ñòàòîê
0
1
4
9
16
6
17
Kâàäðàò
49
64
81
100
121
144
169
Î ñòàòîê
11
7
5
5
7
11
17
Kâàäðàò
196
225
256
289
324
Î ñòàòîê
6
16
9
4
1
 âåðõíåé ñòðîêå – êâàäðàòû ÷èñåë 0, 1,..., 18. (Äðóãèå
êâàäðàòû ìîæíî íå ðàññìàòðèâàòü, ïîñêîëüêó ëþáîå
öåëîå ÷èñëî x ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå x = 19q + r, ãäå
q – öåëîå, 0 ≤ r ≤ 18, è ïðè ýòîì ÷èñëî x2 = 192 q 2 +
ÊÂÀÍT 1999/¹3
16
+ 38qr + r 2 äàåò ïðè äåëåíèè íà 19 òàêîé æå îñòàòîê, êàê
2
è r .)
 íèæíåé ñòðîêå òàáëèöû îäèí ðàç ïðèñóòñòâóåò ÷èñëî
0 è ïî äâà ðàçà – ÷èñëà 1, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 16 è 17.
Íåíóëåâûå îñòàòêè îò äåëåíèÿ êâàäðàòîâ öåëûõ ÷èñåë íà
ïðîñòîå ÷èñëî p > 2 íàçûâàþò êâàäðàòè÷íûìè âû÷åòàìè
ïî ìîäóëþ p. Âñå äðóãèå íåíóëåâûå îñòàòêè – êâàäðàòè÷íûå íåâû÷åòû (ïðè p = 19 ýòî 2, 3, 8, 10, 12, 13, 14, 15
è 18).
Ïîñêîëüêó ñóììà íèêàêèõ äâóõ èç ÷èñåë 1, 4, 5, 6, 7, 9,
11, 16 è 17 íå êðàòíà 19, ïðèõîäèì ê âûâîäó: ñóììà
êâàäðàòîâ äâóõ öåëûõ ÷èñåë êðàòíà 19 â òîì è òîëüêî òîì
ñëó÷àå, êîãäà ñëàãàåìûå êðàòíû 19.
Óïðàæíåíèå 6. Åñëè p – ïðîñòîå ÷èñëî, p > 2, òî ñóùåñòâóåò
(p – 1)/2 êâàäðàòè÷íûõ âû÷åòîâ è ðîâíî ñòîëüêî æå êâàäðàòè÷íûõ íåâû÷åòîâ ïî ìîäóëþ p. Äîêàæèòå ýòî.
Ñâîéñòâî ïðîñòûõ ÷èñåë, íå ÿâëÿþùèõñÿ
ñóììàìè äâóõ êâàäðàòîâ
Êàê îòíîñèòüñÿ ê òðóäíîñòÿì? Â îáëàñòè íåâåäîìîãî
íàäî ðàññìàòðèâàòü òðóäíîñòè êàê ñêðûòûé êëàä! Îáû÷íî: ÷åì òðóäíåå, òåì ïîëåçíåå. Íå òàê öåííî, åñëè
òðóäíîñòè âîçíèêàþò îò òâîåé áîðüáû ñ ñàìèì ñîáîé.
Íî êîãäà òðóäíîñòè èñõîäÿò îò óâåëè÷èâøåãîñÿ ñîïðîòèâëåíèÿ ïðåäìåòà – ýòî ïðåêðàñíî!!
À.È.Ñîëæåíèöûí
×åì áîëüøå ïî âåëè÷èíå ïðîñòîå ÷èñëî p, òåì áîëüøå
êâàäðàòè÷íûõ âû÷åòîâ ïî ìîäóëþ p. Ïîýòîìó ïîðà ìåíÿòü ìåòîä èññëåäîâàíèÿ: åñëè ìû íå æåëàåì ïîãðÿçíóòü
â íåñêîí÷àåìûõ âû÷èñëåíèÿõ, òî äîëæíû êàêèì-òî îäíèì
îáùèì ðàññóæäåíèåì îõâàòèòü ÷èñëà 3, 7, 11, 19 è ìíîãèå
äðóãèå ïðîñòûå ÷èñëà.
Ïîêà íå âïîëíå ÿñíî, ÷òî ýòî çà ÷èñëà è ÷åì îíè
îòëè÷àþòñÿ îò ÷èñåë 2, 5, 13, 17,... Âïðî÷åì, îäíî îòëè÷èå
î÷åâèäíî: ÷èñëà 3, 7, 11, 19 íå ïðåäñòàâèìû, à ÷èñëà 2, 5,
13, 17 ïðåäñòàâèìû â âèäå ñóììû êâàäðàòîâ äâóõ öåëûõ
÷èñåë. Êðîìå òîãî, ïðîñòûå ÷èñëà p = 3, 7, 11, 19
îáëàäàþò, êàê ìû óæå äîêàçàëè, òåì ñâîéñòâîì, ÷òî åñëè
ñóììà êâàäðàòîâ öåëûõ ÷èñåë êðàòíà p, òî êàæäîå èç
ñëàãàåìûõ êðàòíî p. Ïðîäîëæèâ (äîâîëüíî óòîìèòåëüíûå, åñëè íå èñïîëüçîâàòü êîìïüþòåð) âû÷èñëåíèÿ, ìîæíî äîêàçàòü ýòî ñâîéñòâî äëÿ p = 23, 31, 43, 47, 59, 67,
71, 79, 83, 87. Îñå÷êè íè ðàçó íå áóäåò:
Òåîðåìà 2. Åñëè ïðîñòîå ÷èñëî p íå ïðåäñòàâèìî â âèäå
2
2
ñóììû äâóõ êâàäðàòîâ è åñëè ñóììà êâàäðàòîâ x + y
êðàòíà p, òî êàæäîå èç öåëûõ ÷èñåë x, y êðàòíî p.
Ìû ïîëó÷èì ýòó òåîðåìó êàê îäíî èç ñëåäñòâèé òåîðèè
öåëûõ ãàóññîâûõ ÷èñåë. Ïîñêîëüêó ýòî íå òàê óæ ïðîñòî,
äàâàéòå îòâëå÷åìñÿ íà íåêîòîðîå âðåìÿ îò òåîðåìû 2 è
îáðàòèì âíèìàíèå íà äðóãîå ñâîéñòâî ðàññìàòðèâàåìûõ
ïðîñòûõ ÷èñåë 3, 7, 11,..., 83, 87: ïðè äåëåíèè íà 4 îíè
äàþò îñòàòîê 3.
×èñëà âèäà 4n + 3
 âèäå ñóììû äâóõ êâàäðàòîâ íå ïðåäñòàâèìû íå òîëüêî
ïðîñòûå ÷èñëà, êîòîðûå ïðè äåëåíèè íà 4 äàþò îñòàòîê 3,
íî è âîîáùå âñå ÷èñëà 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27,...:
Òåîðåìà 3. Âñÿêîå ïðåäñòàâèìîå â âèäå ñóììû êâàäðàòîâ äâóõ öåëûõ ÷èñåë íå÷åòíîå ÷èñëî ïðè äåëåíèè íà
4 äàåò îñòàòîê 1, à íå 3.
Äîêàçàòåëüñòâî. Èç äâóõ êâàäðàòîâ, ñóììà êîòîðûõ
íå÷åòíà, îáÿçàòåëüíî îäèí ÷åòåí, à äðóãîé íå÷åòåí. Êâàäðàò ÷åòíîãî ÷èñëà íàöåëî äåëèòñÿ íà 4, à êâàäðàò íå-
÷åòíîãî ÷èñëà ïðè äåëåíèè íà 4 äàåò îñòàòîê 1 (ïðîâåðüòå!).
Óïðàæíåíèå. 7 à) Êâàäðàò íå÷åòíîãî ÷èñëà äàåò îñòàòîê 1 íå
òîëüêî ïðè äåëåíèè íà 4, íî äàæå ïðè äåëåíèè íà 8. Äîêàæèòå
2
ýòî. á) Ðåøèòå â öåëûõ ÷èñëàõ óðàâíåíèå x2 + y2 + z = 8n –
– 1. â) Íèêàêîå ÷èñëî âèäà 4 m 8n + 7 , ãäå m, n – öåëûå
íåîòðèöàòåëüíûå ÷èñëà, íå ïðåäñòàâèìî â âèäå ñóììû êâàäðàòîâ òðåõ öåëûõ ÷èñåë. Äîêàæèòå ýòî.
b
g
Ïðîèçâåäåíèå ñóìì êâàäðàòîâ
Ìû óæå íàøëè íåñêîëüêî ïðèçíàêîâ íåïðåäñòàâèìîñòè
÷èñëà â âèäå ñóììû äâóõ êâàäðàòîâ. Íå ìåíåå âàæíû
ïðèçíàêè ïðåäñòàâèìîñòè. Íà÷íåì ñ òîãî, ÷òî åñëè n =
2
2
= x + y , òî
b x + yg + b x − yg
2
2
= x 2 + 2 xy + y 2 + x 2 − 2 xy + y 2 =
e
2
=2 x +y
2
j = 2n .
Çíà÷èò, âìåñòå ñ êàæäûì ïðåäñòàâèìûì ÷èñëîì n
ïðåäñòàâèìî è ÷èñëî 2n. Äàëåå,
b2 x + yg + b x − 2 yg
2
2
= 4 x 2 + 4 xy +
2
2
e
2
2
+ y + x − 4 xy + 4 y = 5 x + y
Ëåãêî ïðîâåðèòü è ôîðìóëû
2
j = 5n.
b2 x + 3yg + b3x − 2 yg = 13n ,
b4x + yg + b x − 4 yg = 17n .
2
2
2
2
Âñå îíè ÿâëÿþòñÿ ÷àñòíûìè ñëó÷àÿìè îáùåé ôîðìóëû,
êîòîðàÿ ïðåäñòàâëÿåò ïðîèçâåäåíèå ñóìì äâóõ êâàäðàòîâ
â âèäå ñóììû äâóõ êâàäðàòîâ. ×òîáû ïîëó÷èòü åå, ðàñêðîåì ñêîáêè
ea
2
je
j
+ b 2 x 2 + y 2 = a 2 x 2 + b 2 x 2 + a2 y 2 + b 2 y 2 ,
ïðèáàâèì è îòíèìåì 2abxy è èçìåíèì ïîðÿäîê ñëàãàåìûõ:
ea
2
je
j
+ b2 x2 + y 2 = a 2 x 2 + 2 axby +
b
+ b 2 y 2 + b 2 x 2 − 2bxay + a 2 y 2 = ax + by
g + bbx − ayg .(1)
2
2
Óïðàæíåíèå 8. Äîêàæèòå, ÷òî
à) åñëè ÷åòíîå ÷èñëî n åñòü ñóììà êâàäðàòîâ äâóõ öåëûõ
÷èñåë, òî è ÷èñëî n/2 ïðåäñòàâèìî â âèäå ñóììû êâàäðàòîâ äâóõ
öåëûõ ÷èñåë;
á)* åñëè êðàòíîå 5 ÷èñëî n åñòü ñóììà êâàäðàòîâ äâóõ öåëûõ
÷èñåë, òî ÷èñëî n/5 òîæå ïðåäñòàâèìî â òàêîì âèäå;
â)* åñëè 13k = x2 + y2 , ãäå k, x, y – öåëûå ÷èñëà, òî õîòÿ áû
F 3 x + 2 y I + FG 2x − 3y IJ
GH 13 JK H 13 K
2
îäíà èç ôîðìóë k =
F 2 x + 3y I
J
+ GG
H 13 JK
2
2
èk=
F 3x − 2y I
GH 13 JK
2
+
ïðåäñòàâëÿåò k â âèäå ñóììû êâàäðàòîâ öåëûõ
÷èñåë.
Òåîðåìà Ôåðìà–Ýéëåðà
Ïîñêîëüêó ìû íàó÷èëèñü ïðåäñòàâëÿòü ïðîèçâåäåíèå
ñóìì äâóõ êâàäðàòîâ â âèäå ñóììû äâóõ êâàäðàòîâ, î÷åíü
âàæíî âûÿñíèòü, êàêèå ïðîñòûå ÷èñëà ïðåäñòàâèìû â
âèäå ñóììû äâóõ êâàäðàòîâ öåëûõ ÷èñåë, à êàêèå íå
ïðåäñòàâèìû. ×èñëà âèäà 4n + 3, êàê óòâåðæäàåò òåîðåìà
3, íå ïðåäñòàâèìû. Ïîýòîìó ðàññìîòðèì ïðîñòûå ÷èñëà,
êîòîðûå ïðè äåëåíèè íà 4 äàþò îñòàòîê 1. Ýòî: 5 = 22 +
ÑÓÌÌÛ
2
ÊÂÀÄÐÀÒÎÂ
2
È
ÖÅËÛÅ
2
ÃÀÓÑÑÎÂÛ
×ÈÑËÀ
17
2
+ 12 , 13 = 3 + 22 , 17 = 4 2 + 12 , 29 = 5 + 22 , 37 = 6 +
2
+ 12 , 41 = 5 + 4 2 , 53 = 72 + 22 ,...
Òåîðåìà 4. Ëþáîå ïðîñòîå ÷èñëî p, êîòîðîå ïðè
äåëåíèè íà 4 äàåò îñòàòîê 1, ïðåäñòàâèìî â âèäå ñóììû
êâàäðàòîâ äâóõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë.
Ìû ïðèâåäåì äîêàçàòåëüñòâî, ñîñòîÿùåå èç ñëåäóþùèõ
äâóõ ëåìì.
Ëåììà 1. Äëÿ ëþáîãî ïðîñòîãî ÷èñëà p = 4n + 1, ãäå
n ∈N, ñóùåñòâóåò òàêîå öåëîå ÷èñëî m, ÷òî m 2 + 1
êðàòíî p.
2
Ëåììà 2. Ëþáîé ïðîñòîé äåëèòåëü p ÷èñëà m + 1, ãäå
m – öåëîå, ïðåäñòàâèì â âèäå ñóììû êâàäðàòîâ äâóõ
íàòóðàëüíûõ ÷èñåë.
 êà÷åñòâå ÷èñëà m â ëåììå 1 ãîäèòñÿ m = (2n)!, ò. å.
ïðîèçâåäåíèå ïåðâûõ 2n íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. ×òîáû ýòî
óâèäåòü, ðàññìîòðèì ÷èñëî
Óïðàæíåíèå 9. Ïîëüçóÿñü ôîðìóëîé (1), îáúÿñíèòå, ïî÷åìó
â ëåììå 2 ñëîâà «ëþáîé ïðîñòîé» ìîæíî çàìåíèòü íà «ëþáîé
íàòóðàëüíûé».
Îíî äàåò ïðè äåëåíèè íà p òàêîé æå îñòàòîê, êàê è ÷èñëî
Ëåììó 1 ìû âûâåäåì èç òåîðåìû Âèëüñîíà (1741–
1793), ëåììó 2 – èç òåîðèè äåëèìîñòè öåëûõ ãàóññîâûõ
÷èñåë. Íî ñíà÷àëà ñôîðìóëèðóåì îòâåò íà îäèí âàæíûé
âîïðîñ.
Êàêèå íàòóðàëüíûå ÷èñëà –
ñóììû äâóõ êâàäðàòîâ?
Ïî òåîðåìàì 3 è 4, ïðîñòîå ÷èñëî p > 2 íå ïðåäñòàâèìî
â âèäå ñóììû äâóõ êâàäðàòîâ, åñëè îíî èìååò âèä p =
= 4k + 3, è ïðåäñòàâèìî – åñëè p = 4k + 1, ãäå k –
öåëîå. Âñïîìíèâ ôîðìóëó (1) è ïðèìåíèâ (åùå íå
äîêàçàííóþ íàìè) òåîðåìó 2, ïîëó÷àåì ñëåäóþùèé ýëåãàíòíûé êðèòåðèé: íàòóðàëüíîå ÷èñëî ïðåäñòàâèìî â
âèäå ñóììû êâàäðàòîâ äâóõ öåëûõ ÷èñåë òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà â åãî ðàçëîæåíèå íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè ëþáîé ïðîñòîé ìíîæèòåëü âèäà 4k + 3 âõîäèò â
÷åòíîé ñòåïåíè.
Ýòîò êðèòåðèé âïåðâûå áûë ñôîðìóëèðîâàí ãîëëàíäöåì Àëüáåðîì Æèðàðîì (1595–1632) â ñëåäóþùåì âèäå:
íàòóðàëüíîå ÷èñëî ïðåäñòàâèìî â âèäå ñóììû äâóõ êâàäðàòîâ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíî ÿâëÿåòñÿ èëè
êâàäðàòîì, èëè ÷èñëîì 2, èëè ïðîñòûì ÷èñëîì, êîòîðîå
íà 1 áîëüøå, ÷åì íåêîòîðîå êðàòíîå 4, èëè ïðîèçâåäåíèåì
íåñêîëüêèõ âûøåïåðå÷èñëåííûõ ÷èñåë. Ñêîðåå âñåãî,
Æèðàð îïèðàëñÿ ëèøü íà èçó÷åíèå òàáëèö è íå ïðåòåíäîâàë íà òî, ÷òî ìîæåò äîêàçàòü íåîáõîäèìîñòü è äîñòàòî÷íîñòü ñâîèõ óñëîâèé.
Óïðàæíåíèÿ
10. Äîêàæèòå, ÷òî 15 íå ïðåäñòàâèìî â âèäå ñóììû êâàäðàòîâ
äâóõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë. (Ýòîò ôàêò óïîìÿíóò â «Àðèôìåòèêå» äðåâíåãðå÷åñêîãî ìàòåìàòèêà Äèîôàíòà.)
11. Âûâåäèòå èç êðèòåðèÿ ïðåäñòàâèìîñòè ÷èñëà â âèäå ñóììû
äâóõ êâàäðàòîâ, ÷òî åñëè ñóììà êâàäðàòîâ x2 + y 2 öåëûõ ÷èñåë
2 s −1
êðàòíà p , ãäå s – íàòóðàëüíîå ÷èñëî, p – ïðîñòîå ÷èñëî,
êîòîðîå ïðè äåëåíèè íà 4 äàåò îñòàòîê 3, òî ÷èñëà x è y êðàòíû
s
p .
12. Äîêàæèòå, ÷òî ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íî ìíîãî íàòóðàëüíûõ
÷èñåë, êîòîðûå äàþò îñòàòîê 1 ïðè äåëåíèè íà 4, íî íå
ïðåäñòàâèìû â âèäå ñóììû êâàäðàòîâ äâóõ öåëûõ ÷èñåë.
2
13. à) Äëÿ ëþáîãî äåëèòåëÿ d ÷èñëà n + 1, ãäå n ∈ N,
2
ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íî ìíîãî òàêèõ m ∈ N, ÷òî m + 1 êðàòíî d.
Äîêàæèòå ýòî. á) Ñêîëüêî ñóùåñòâóåò íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
2
n < 1000, äëÿ êîòîðûõ n + 1 êðàòíî 65?
2
14. Èç ëåììû 2 è òåîðåìû 3 âûâåäèòå, ÷òî ÷èñëî âèäà n + 1,
ãäå n ∈ N, íå èìååò íè îäíîãî äåëèòåëÿ âèäà 4k – 1, ãäå k ∈ N.
15. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè x, y, z – öåëûå ÷èñëà è 4xy – x – y =
2
= z , òî x ≤ 0 è y ≤ 0. (Ýòî óïðàæíåíèå ïðèäóìàë Ë. Ýéëåð.)
5 Êâàíò ¹ 3
16. à) Íèêàêîå ÷èñëî âèäà m + 1 íå êðàòíî íèêàêîìó ÷èñëó
âèäà n 2 – 1, ãäå m, n – öåëûå ÷èñëà, n > 1. Äîêàæèòå ýòî.
2
2
2
2 2
á) Ðåøèòå â öåëûõ ÷èñëàõ óðàâíåíèå x y = x + y + z .
Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû 1
> p − 1C! = 1 ⋅ 2 ⋅K⋅ >2n − 1C ⋅ >2nC ×
× >2 n + 1C ⋅ >2 n + 2 C ⋅ K ⋅ > 4 n − 1C ⋅ > 4 n C =
= 1 ⋅ 2 ⋅ K ⋅ >2n − 1C ⋅ >2nC ⋅ > p − 2 nC ×
× ? p − >2n − 1CD ⋅K ⋅ > p − 2C ⋅ > p − 1C .
>
C > C > C ⋅ >2nC ⋅ >2n − 1C ⋅K⋅ 2 ⋅ 1 = m .
1 ⋅ 2 ⋅ K ⋅ 2 n − 1 ⋅ 2 n ⋅ −1
2
2n
2
Çíà÷èò, m + 1 ïðè äåëåíèè íà p äàåò òàêîé æå îñòàòîê,
êàê è ÷èñëî (p – 1)! + 1. Ïîñëåäíåå ÷èñëî êðàòíî p ïî
òåîðåìå Âèëüñîíà, êîòîðàÿ âïåðâûå áûëà ñôîðìóëèðîâàíà àíãëè÷àíèíîì Ýäóàðäîì Âàðèíãîì (1734–1798), à
äîêàçàíà ôðàíöóçîì Æîçåôîì Ëóè Ëàãðàíæåì (1736–
1813).
Òåîðåìà Âèëüñîíà. Äëÿ ëþáîãî ïðîñòîãî ÷èñëà p ñóììà
(p – 1)! + 1 êðàòíà p. (Äðóãèìè ñëîâàìè, ïðîèçâåäåíèå
1 ⋅ 2 ⋅ ... ⋅ (p – 1) äàåò îñòàòîê (p – 1) ïðè äåëåíèè íà p.)
Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû ìîæíî óçíàòü, íàïðèìåð,
èç ñòàòüè À. Åãîðîâà è À. Êîòîâîé «Íåîáûêíîâåííûå
àðèôìåòèêè» (Ïðèëîæåíèå ê æóðíàëó «Êâàíò» ¹ 2 çà
1994 ãîä).
Èòàê, ìû âûâåëè ëåììó 1 èç òåîðåìû Âèëüñîíà. Èäåÿ
äîêàçàòåëüñòâà ëåììû 2 – ðàçëîæåíèå íà ìíîæèòåëè
m2 + 1 = (m + i)(m – i). ×òî òàêîå i è ÷òî äåëàòü äàëüøå,
âû óçíàåòå, êîãäà ïîçíàêîìèòåñü ñ êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè.
Óïðàæíåíèÿ
17. Äîêàæèòå, ÷òî ÷èñëà à) 97! ⋅ 1901! – 1; á) 98! ⋅ 1900!+1
êðàòíû 1999. Óêàçàíèå. 1999 – ïðîñòîå ÷èñëî.
18. Åñëè p – ïðîñòîå ÷èñëî, p > 2, m = ((p – 1)/2)!, òî
2
> C>
m ≡ −1
C mod p , ò.å. îñòàòîê îò äåëåíèÿ íà p ÷èñëà
> C
p +1 2
m
2
ðàâåí 1, åñëè p = 4n + 3, è ðàâåí p – 1, åñëè p = 4n + 1. Äîêàæèòå
ýòî.
19. Äîêàæèòå, ÷òî à) åñëè ñîñòàâíîå ÷èñëî n > 4, òî (n – 1)!
êðàòíî n; á) åñëè (n – 1)! + 1 êðàòíî n, ãäå n > 1 – íàòóðàëüíîå
÷èñëî, òî n – ïðîñòîå.
Êîìïëåêñíûå ÷èñëà
×òî íàì ñòîèò äîì ïîñòðîèòü?
Íàðèñóåì – áóäåì æèòü!
×òî òàêîå êîìïëåêñíîå ÷èñëî?
Íîâûå ÷èñëà â ìàòåìàòèêå ââîäÿò, êîãäà ñòàðûõ îêàçûâàåòñÿ íåäîñòàòî÷íî. Èçîáðåòåíèå öåëûõ ÷èñåë, ò. å. ðàñøèðåíèå ìíîæåñòâà N = {1, 2, 3,...} íàòóðàëüíûõ ÷èñåë äî
ìíîæåñòâà Z = {..., –2, –1, 0, 1, 2,...}, äàåò âîçìîæíîñòü
ðåøèòü, íàïðèìåð, óðàâíåíèå x + 7 = 5. Ïîñòðîèâ åùå
m
áîëåå øèðîêîå ìíîæåñòâî Q = {
| m ∈ Z, n ∈ N}
n
ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë, ìû ïîëó÷àåì âîçìîæíîñòü ðåøàòü
óðàâíåíèÿ âðîäå 3x = 8. Æåëàíèå èçìåðèòü äèàãîíàëü
åäèíè÷íîãî êâàäðàòà (èëè, ÷òî òî æå, ðåøèòü óðàâíåíèå
x 2 = 2) ïðèâîäèò ê î÷åðåäíîìó ðàñøèðåíèþ ìíîæåñòâà
ÊÂÀÍT 1999/¹3
18
÷èñåë äî ìíîæåñòâà Q[ 2 ] ÷èñåë âèäà a + b 2 , ãäå a,
b ∈ 3. Íåò íèêàêèõ ñîìíåíèé, ÷òî ñóììà, ðàçíîñòü è
ïðîèçâåäåíèå ÷èñåë âèäà a + b 2 – ÷èñëî òàêîãî æå âèäà.
Ñ äåëåíèåì òîæå âñå â ïîðÿäêå:
e1 + 2 je3 + 2 2 j = 7 + 5 2 ,
3 − 2 2 e3 − 2 2 je3 + 2 2 j
2 − 5 2 e2 − 5 2 je 3 − 2 j 16 − 17 2
=
.
=
7
3+ 2
e3 + 2 je3 − 2 j
1+ 2
=
Âèäèòå, êàê ïðîñòî? Â îáùåì âèäå ýòî âûãëÿäèò òàê:
a+b 2
c+d 2
=
ea + b 2 jec − d 2 j = ac − 2bd + bbc − adg
c − 2d
ec + d 2 jec − d 2 j
2
2
2
.
Äëÿ àëãåáðàè÷åñêèõ âû÷èñëåíèé âàæíî, ÷òî êâàäðàò
÷èñëà 2 ðàâåí 2. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà ìû ïîëó÷èì, ââåäÿ
â ðàññìîòðåíèå ÷èñëî i, êâàäðàò êîòîðîãî ðàâåí –1.
Ìîæåò ïîêàçàòüñÿ, ÷òî «òàêîãî íå áûâàåò», âåäü óðàâíåíèå x2 + 1 = 0 íå èìååò ðåøåíèé íå òîëüêî â ðàöèîíàëüíûõ, íî è â âåùåñòâåííûõ ÷èñëàõ. Îäíàêî ÷èñëî 2 ,
çàìåòüòå, òîæå «íå ñóùåñòâîâàëî» äî òåõ ïîð, ïîêà ìû
ðàññìàòðèâàëè òîëüêî ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà.
Èòàê, ðàññìîòðèì âûðàæåíèÿ âèäà a + bi, ãäå a, b –
âåùåñòâåííûå ÷èñëà. Ýòè âûðàæåíèÿ ìû è áóäåì íàçûâàòü êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè. Ñóììó è ïðîèçâåäåíèå
îïðåäåëèì åñòåñòâåííûìè ôîðìóëàìè
ba + big + bc + dig = ba + cg + bb + dgi ,
ba + big ⋅ bc + dig = bac − bdg + bad + bcgi .
Ïîñëåäíÿÿ ôîðìóëà, áûòü ìîæåò, íóæäàåòñÿ â êîììåíòàðèè:
ba + big ⋅ bc + dig = ac + adi + bci + bdi
2
=
= ac + adi + + bci – bd.
Ýòî èìåííî êîììåíòàðèé, à íå äîêàçàòåëüñòâî, ïîñêîëüêó
ïîëüçîâàòüñÿ îáû÷íûìè ïðàâèëàìè ðàñêðûòèÿ ñêîáîê
ìîæíî òîëüêî ïîñëå òîãî, êàê äàíû îïðåäåëåíèÿ ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë è ïðîâåðåíû ýòè
«îáû÷íûå ïðàâèëà», ò. å. ôîðìóëû z1 + z2 =
= z2 + z1 (ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí, èëè êîììóòàòèâíîñòü
ñëîæåíèÿ), z1 z 2 = z 2 z1 (êîììóòàòèâíîñòü óìíîæåíèÿ),
( z1 + z2 ) + z 3 = z1 + ( z2 + z 3 ) (ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí, èëè
àññîöèàòèâíîñòü ñëîæåíèÿ), ( z1 z2 ) z 3 = z1 ( z 2 z 3 ) (àññîöèàòèâíîñòü óìíîæåíèÿ), ( z1 + z2 ) z 3 = z1 z 3 + z 2 z 3 (ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí, èëè äèñòðèáóòèâíîñòü).
Óïðàæíåíèÿ
20. Âûïîëíèòå ýòó ïðîâåðêó.
21. Äîêàæèòå, ÷òî à) äëÿ ëþáîãî êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z
ñóùåñòâóåò è îïðåäåëåíî åäèíñòâåííûì îáðàçîì òàêîå ÷èñëî w,
÷òî z + w = 0 + 0i; á) äëÿ ëþáîãî îòëè÷íîãî îò ÷èñëà 0 + 0i
êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z ñóùåñòâóåò è îïðåäåëåíî åäèíñòâåííûì
îáðàçîì òàêîå ÷èñëî w, ÷òî zw = 1 + 0i.
â) Íàó÷èòåñü äåëèòü êîìïëåêñíûå ÷èñëà, ò.å. äëÿ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë a, b, c, d íàéäèòå, ïðè óñëîâèè c 2 + d 2 ≠ 0, òàêèå
âåùåñòâåííûå ÷èñëà x è y, ÷òî a + bi = (c + di)(x + yi). (Íå
óäèâëÿéòåñü, ÷òî ïîñëåäíÿÿ ôîðìóëà çàïèñàíà áåç çíàêà äåëåíèÿ: åñëè áû îí áûë, òî âñå ðàâíî ïðèøëîñü áû äàòü îïðåäåëåíèå
÷àñòíîãî (a + bi)/(c + di) êîìïëåêñíûõ ÷èñåë. À ñàìûé
ðàçóìíûé ñïîñîá ñäåëàòü ýòî – íàçâàòü ÷àñòíûì u/v, ãäå v ≠ 0,
òàêîå ÷èñëî w, ÷òî u = vw.)
2
4
22. Âû÷èñëèòå: à) i 3 ; á) i ; â) i 1999 ; ã) 1 + i + i + ... + i
11
b g
+ i ; ä) 1 + i
12
e
; å) i
34
+i
39
j ei
41
+i
44
j.
10
+
Ãåîìåòðè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ
Ôîðìóëû ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë
ïîçâîëÿþò îòîæäåñòâèòü êîìïëåêñíîå ÷èñëî a + 0i ñ
âåùåñòâåííûì ÷èñëîì a. Ïîýòîìó â äàëüíåéøåì ìû áóäåì
ïèñàòü íå a + 0i, à ïîïðîñòó a.
Ðàñøèðåíèå ìíîæåñòâà 4 âåùåñòâåííûõ ÷èñåë äî ìíîæåñòâà + êîìïëåêñíûõ ÷èñåë ìîæíî ïîÿñíèòü ãåîìåòðè÷åñêè. Îòîæäåñòâèì îñü àáñöèññ êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè
ñ âåùåñòâåííîé îñüþ
y
(ò.å. ìíîæåñòâîì âñåõ
"+ i
i
âåùåñòâåííûõ ÷èñåë);
åäèíè÷íûé âåêòîð (1;
+i
i
0) îñè àáñöèññ îáîçíà÷èì ïðîñòî 1, à åäè`
íè÷íûé âåêòîð (0; 1)
" x
îñè îðäèíàò îáîçíà÷èì
÷åðåç i (ðèñ.1). Ïðî–i
èçâîëüíûé âåêòîð z = ––i
= (x; y) ïëîñêîñòè Ðèñ. 1
ìîæíî òåïåðü çàïèñàòü
â âèäå z = x(1; 0) + y(0; 1) = x + yi. Ïðèíÿòî âåùåñòâåííûå
÷èñëà x è y íàçûâàòü âåùåñòâåííîé è ìíèìîé ÷àñòÿìè
êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z. Îáîçíà÷åíèÿ: x = Re z , y = Im z .
Ñëîæåíèå êîìïëåêñíûõ ÷èñåë –ýòî îáû÷íîå ñëîæåíèå
âåêòîðîâ. À óìíîæåíèå îïðåäåëÿåòñÿ, êàê ìû óæå âèäåëè,
áîëåå «õèòðîé» ôîðìóëîé.
Ìîäóëü êîìïëåêñíîãî ÷èñëà
Îïðåäåëåíèå. Ìîäóëåì (àáñîëþòíîé âåëè÷èíîé) ÷èñëà
z = a + bi íàçûâàþò ðàññòîÿíèå |z| = a2 + b 2 îò íà÷àëà
êîîðäèíàò äî òî÷êè (a; b).
Òåîðåìà 5. Ìîäóëü ïðîèçâåäåíèÿ êîìïëåêñíûõ ÷èñåë
ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ èõ ìîäóëåé:
ba + bigb x + yig = a + bi ⋅ x + yi .
Äîêàçàòåëüñòâî. Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé (1):
ba + bigb x + yig = bax − byg + bay + bxgi =
= bax − by g + b ay + bx g = ea + b je x
2
2
2
2
2
j
+ y2 =
= a + bi ⋅ x + iy .
Óïðàæíåíèÿ
23. Íàó÷èòåñü èçâëåêàòü êâàäðàòíûé êîðåíü èç êîìïëåêñíîãî
÷èñëà, ò. å. äëÿ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë a, b íàéäèòå òàêèå ïàðû
2
(x; y) âåùåñòâåííûõ ÷èñåë, ÷òî x + iy = a + bi.
2
24. Ðåøèòå â êîìïëåêñíûõ ÷èñëàõ óðàâíåíèÿ: à) z – 2z + 1 =
2
2
z
– 5z + 7 = i; â) z + 10 + 2i = (4 + i)z.
= i; á)
b
g
Ñîïðÿæåííûå ÷èñëà
Óðàâíåíèå z2 = –1 èìååò äâà êîðíÿ: i è –i. Ïîñêîëüêó ïðè
2
âû÷èñëåíèÿõ èñïîëüçóåòñÿ èìåííî ðàâåíñòâî i = –1,
âîçíèêàåò èäåÿ çàìåíèòü i íà –i. Âåðíîå ðàâåíñòâî ïðè
îäíîâðåìåííîé çàìåíå âñåõ âõîäÿùèõ â íåãî ñèìâîëîâ i
íà –i îñòàíåòñÿ âåðíûì!
Òî÷íàÿ ðåàëèçàöèÿ ýòîé èäåè òàêîâà: äâà êîìïëåêñíûõ
÷èñëà, äåéñòâèòåëüíûå ÷àñòè êîòîðûõ ðàâíû, à ìíèìûå
÷àñòè ðàâíû ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå è ïðîòèâîïîëîæíû
ïî çíàêó, íàçûâàþò ñîïðÿæåííûìè. ×èñëî, ñîïðÿæåííîå
ÑÓÌÌÛ
z
yi
x
–yi
z
ÊÂÀÄÐÀÒÎÂ
È
ÖÅËÛÅ
c z = x + yi, îáîçíà÷àþò z = x – yi
(ðèñ.2). Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë
ïåðåõîäà îò ÷èñëà ê ñîïðÿæåííîìó
– ñèììåòðèÿ îòíîñèòåëüíî îñè àáñöèññ. Ëåãêî ïðîâåðèòü òîæäåñòâà
u + v = u + v, u ⋅ v = u ⋅ v,
êîòîðûå êàê ðàç è ïîçâîëÿþò çàìåíÿòü â ôîðìóëàõ âñå ÷èñëà íà
Ðèñ. 2
ñîïðÿæåííûå.
2
2
Ìåæäó ïðî÷èì, z = x 2 + y = (x + iy)(x – iy) = zz .
Ýòî ïîçâîëÿåò î÷åíü èçÿùíî äîêàçàòü òåîðåìó 5:
uv
2
> C
> C> C
2
2
= uv uv = uvuv = uu vv = u ⋅ v .
Ôîðìóëà (1) íå ïîòðåáîâàëàñü! Òî÷íåå, ôîðìóëà (1) –
2
2
2
ýòî ïî ñóòè è åñòü ôîðìóëà uv = u ⋅ v .
ÃÀÓÑÑÎÂÛ
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó
n a − bi
n
na
nb
=
= 2
i
− 2
2
2 ,
a + bi
a + bi a − bi
a +b
a +b
>
>
C>
C
C
íàòóðàëüíîå ÷èñëî n êðàòíî ÷èñëó a + bi òîëüêî â òåõ
ñëó÷àÿõ, êîãäà ÷èñëà na è nb êðàòíû a2 + b2 . Ïîñêîëüêó
÷èñëà a è b âçàèìíî ïðîñòû, ýòî áûâàåò òîëüêî êîãäà n
2
êðàòíî a2 + b .
Óïðàæíåíèÿ
25. Ïðè êàêîì óñëîâèè íà öåëûå ÷èñëà a è b ÷àñòíîå
(a + bi)/(1 + i) ÿâëÿåòñÿ öåëûì ãàóññîâûì ÷èñëîì?
26. Èçîáðàçèòå íà ïëîñêîñòè ÷èñëà, êðàòíûå ÷èñëó à) 1 + 3i;
á) 1 – 3i. â) Êàêèå öåëûå ãàóññîâû ÷èñëà ÿâëÿþòñÿ êðàòíûìè
è ÷èñëà 1 + 3i, è ÷èñëà 1 – 3i îäíîâðåìåííî?
27. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè öåëîå âåùåñòâåííîå ÷èñëî n êðàòíî
íåíóëåâîìó öåëîìó ãàóññîâó ÷èñëó a + bi, òî n êðàòíî ÷èñëó
( a 2 + b2 )/ÍÎÄ(a, b).
Öåëûå ãàóññîâû ÷èñëà
Äåëèòåëè åäèíèöû
Îïðåäåëåíèÿ
Î÷åâèäíî,
Êîìïëåêñíîå ÷èñëî a + bi íàçûâàþò öåëûì ãàóññîâûì,
åñëè a è b – öåëûå ÷èñëà. Ñóììà, ðàçíîñòü è ïðîèçâåäåíèå
öåëûõ ãàóññîâûõ ÷èñåë – öåëûå ãàóññîâû ÷èñëà, òàê ÷òî
ìíîæåñòâî Z[i] öåëûõ ãàóññîâûõ ÷èñåë ÿâëÿåòñÿ, êàê
ãîâîðÿò àëãåáðàèñòû, êîëüöîì.
Îïðåäåëåíèå. Öåëîå ãàóññîâî ÷èñëî u êðàòíî öåëîìó
ãàóññîâó ÷èñëó v, åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå öåëîå ãàóññîâî
÷èñëî w, ÷òî u = vw.
Îòìåòèâ íà ïëîñêîñòè öåëûå ãàóññîâû ÷èñëà, ìû ïîëó÷èì ðåøåòêó (ðèñ.3). Èíòåðåñíî, ÷òî ÷èñëà, êðàòíûå
äàííîìó ÷èñëó z, òîæå îáðàçóþò ðåøåòêó (ðèñ.4).
Íà ðèñóíêå 5 ñèíèì öâåòîì âûäåëåíû êðàòíûå ÷èñëà
2 + i, à êðàñíûì — êðàòíûå ÷èñëà 2 – i. Äàâàéòå ñïðîñèì
ñåáÿ, êàêèå öåëûå ãàóññîâû ÷èñëà ÿâëÿþòñÿ êðàòíûìè è
÷èñëà 2 + i, è ÷èñëà 2 – i îäíîâðåìåííî. Îòâåò î÷åâèäåí:
ïåðåñå÷åíèå ìíîæåñòâ «ñèíèõ» è «êðàñíûõ» ÷èñåë ñîñòîèò èç ÷èñåë, êðàòíûõ 5. Äðóãèìè ñëîâàìè, íàèìåíüøåå
îáùåå êðàòíîå ÷èñåë 2 + i è 2 – i ðàâíî 5.
2
Ïðîèçâåäåíèå (a + bi)(a – bi) = a2 + b êîìïëåêñíîãî
÷èñëà z = a + bi è ñîïðÿæåííîãî ñ íèì ÷èñëà z = a – bi
ÿâëÿåòñÿ ÷èñëîì âåùåñòâåííûì. Ïîýòîìó äëÿ ëþáîãî
íåíóëåâîãî öåëîãî ãàóññîâà ÷èñëà z ñóùåñòâóåò êðàòíîå
åìó íàòóðàëüíîå ÷èñëî zz = a2 + b 2 .
Òåîðåìà 6. Åñëè ÷èñëà a è b âçàèìíî ïðîñòû, òî
íàèìåíüøèì íàòóðàëüíûì ÷èñëîì n, êîòîðîå êðàòíî
2
÷èñëó a + bi, ÿâëÿåòñÿ èìåííî ÷èñëî a2 + b .
> C > C> C > C
1 = 1 ⋅ 1 = i ⋅ − i = −1 ⋅ −1 = −i ⋅ i .
Äðóãèõ ñïîñîáîâ ðàçëîæèòü 1 â ïðîèçâåäåíèå äâóõ öåëûõ
ãàóññîâûõ ÷èñåë íåò:
Òåîðåìà 7. Â Z[i] íåò äåëèòåëåé åäèíèöû, êðîìå
÷èñåë 1, i, –1 è –i. (Äðóãèìè ñëîâàìè, öåëîå ãàóññîâî
÷èñëî a + bi ÿâëÿåòñÿ äåëèòåëåì åäèíèöû â òîì è òîëüêî
òîì ñëó÷àå, êîãäà a2 + b 2 = 1.)
Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè 1 = uv, ãäå u, v ∈ Z[i], òî 1 =
= |u| ⋅ |v|. Ïîñêîëüêó ìîäóëü íåíóëåâîãî öåëîãî ãàóññîâà
÷èñëà íå ìåíüøå 1, èìååì |u| = |v| = 1, îòêóäà è ñëåäóåò
óòâåðæäåíèå òåîðåìû.
Àññîöèèðîâàííûå ÷èñëà
×èñëà u è v íàçûâàþò àññîöèèðîâàííûìè, åñëè îíè
êðàòíû äðóã äðóãó, ò.å. u êðàòíî v è v êðàòíî u. Âñÿêîå
öåëîå ãàóññîâî ÷èñëî z ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ
z = 1 ⋅ z = i −iz = −1 − z = − i iz ,
ïåðâûé ìíîæèòåëü êîòîðîãî – äåëèòåëü åäèíèöû, à
âòîðîé – àññîöèèðîâàí ñ ÷èñëîì z. Ñòîëü æå î÷åâèäíî,
÷òî åñëè öåëîå ãàóññîâî ÷èñëî w êðàòíî ÷èñëó z, òî
äåëèòåëÿìè ÷èñëà w ÿâëÿþòñÿ òàêæå è ÷èñëà –z, iz, –iz.
Ïîýòîìó, ðàññìàòðèâàÿ ðàçëîæåíèÿ íà ìíîæèòåëè, ìîæíî «íå ðàçëè÷àòü» àññîöèèðîâàííûå ÷èñëà.
> C > C> C > C> C
*
iz
*
z
*
*
*
*
*
*
5*
Ðèñ. 4
Ðèñ. 5
*
*
*
*
*
*
*
Ðèñ. 3
19
×ÈÑËÀ
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
ÊÂÀÍT 1999/¹3
20
Óïðàæíåíèÿ
28. Äëÿ êîìïëåêñíîãî ÷èñëà z = 2 + i îòìåòüòå íà êîìïëåêñíîé
ïëîñêîñòè ÷èñëà iz, –z, –iz.
29. Àññîöèèðîâàííûå ñ ÷èñëîì z ÷èñëà – ýòî â òî÷íîñòè ÷èñëà
âèäà εz , ãäå ε – äåëèòåëü åäèíèöû. Äîêàæèòå ýòî.
30. Äîêàæèòå, ÷òî à) ÷èñëà 1 + i è 1 – i àññîöèèðîâàíû;
á) ÷èñëà a + bi è a – bi àññîöèèðîâàíû â òîì è òîëüêî òîì ñëó÷àå,
êîãäà âûïîëíåíî õîòÿ áû îäíî èç óñëîâèé: a = 0, b = 0, a = b,
a = –b.
Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû 2
ãäå öåëûå ãàóññîâû ÷èñëà (a + bi) è (c + di) – íå äåëèòåëè
åäèíèöû. Ïîñêîëüêó ìîäóëü ïðîèçâåäåíèÿ ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ìîäóëåé, èìååì
2
e
2
2
je
2
2
j
2
2
2
je
j
+ b j è e c + d j ðàâåí 1, à äðóãîé ðàâåí
2
2
2
2
2
2
2
p , ëèáî p = a + b = c + d .  ïåðâîì ñëó÷àå ÿñíî, ÷òî
÷èñëî p áûëî ïðåäñòàâëåíî â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ äåëèòåëÿ
åäèíèöû è àññîöèèðîâàííîãî ñ p ÷èñëà. Âòîðîé ñëó÷àé
íåâîçìîæåí â ñèëó òåîðåìû 3.
2
Ñ ÷èñëîì 2 äåëî îáñòîèò åùå ïðîùå: 2 = –i 1 + i .
Âïðî÷åì, ìû äîëæíû îáúÿñíèòü, ïî÷åìó ÷èñëî 1 + i
ïðîñòîå.
Ëåììà 3. Ïðîñòîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî p íåëüçÿ ïðåäñòàâèòü â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ áîëåå ÷åì äâóõ öåëûõ
ãàóññîâûõ ÷èñåë, íå ÿâëÿþùèõñÿ äåëèòåëÿìè åäèíèöû.
(Äðóãèìè ñëîâàìè, åñëè p àññîöèèðîâàíî ñ ïðîèçâåäåíèåì äâóõ íå ÿâëÿþùèõñÿ äåëèòåëÿìè åäèíèöû öåëûõ
ãàóññîâûõ ÷èñåë, òî ýòè ÷èñëà – ïðîñòûå.)
Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû 3. Åñëè p = (a + bi)(c + di)(e +
+ fi), òî
p = a + bi ⋅ c + di ⋅ e + fi ,
b g
e
je
je
2
2
j
îòêóäà p2 = a 2 + b 2 c2 + d 2 e + f . Êâàäðàò ïðîñòîãî
÷èñëà íèêàê íå ìîæåò áûòü ïðîèçâåäåíèåì òðåõ îòëè÷íûõ
îò 1 íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Ëåììà 3 è òåîðåìà 8 äîêàçàíû.
Óïðàæíåíèÿ
31. Èçîáðàçèòå íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè âñå ÷èñëà, íà
êîòîðûå íàöåëî äåëèòñÿ ÷èñëî 5 – i.
32. Ñêîëüêî ñðåäè äåëèòåëåé ÷èñëà à) 3 – 11i; á) 6 + 12i òàêèõ,
ó êîòîðûõ è âåùåñòâåííàÿ, è ìíèìàÿ ÷àñòè ïîëîæèòåëüíû?
33. Ðàçëîæèòå íà ïðîñòûå ãàóññîâû ìíîæèòåëè ÷èñëà à) 16;
á) 1001; â) 47 + i.
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 2
p = (a + bi)(c + di),
2
e
ìíîæèòåëåé e a
2
Âåðíåìñÿ ê ëåììå 2, îò êîòîðîé ìû íàäîëãî îòâëåêëèñü,
÷òîáû ïðèäàòü ñìûñë ðàçëîæåíèþ m2 + 1 = (m + i)(m –
– i). ×èñëó p íå êðàòåí íè îäèí èç ìíîæèòåëåé m + i è
m – i, íî êðàòíî ïðîèçâåäåíèå m2 + 1. ×òî ýòî çíà÷èò? Êàê
ìîæåò ïðîèçâåäåíèå áûòü êðàòíî p, åñëè íè îäèí èç
ìíîæèòåëåé íå êðàòåí p? Íåóæåëè àðèôìåòèêà ãàóññîâûõ ÷èñåë íàñòîëüêî ñâîåîáû÷íà, ÷òî â íåé íåò íèêàêèõ
ïðèâû÷íûõ íàì çàêîíîâ? Íàïðèìåð, ìû ïðèâûêëè ê
òîìó, ÷òî ðàçëîæåíèå íàòóðàëüíîãî ÷èñëà íà ïðîñòûå
ìíîæèòåëè åäèíñòâåííî ñ òî÷íîñòüþ äî ïîðÿäêà ìíîæèòåëåé. Âäðóã îñíîâíàÿ òåîðåìà àðèôìåòèêè íåâåðíà äëÿ
Z[i]?
Îêàçûâàåòñÿ, âñå íå òàê ïëîõî. Ðàçëîæåíèå íà ïðîñòûå
ìíîæèòåëè â Z[i] åäèíñòâåííî â òîì æå ñìûñëå, â êàêîì
îíî åäèíñòâåííî äëÿ îáû÷íûõ öåëûõ ÷èñåë (ìû äîêàæåì
ýòî â ðàçäåëå «Îñíîâíàÿ òåîðåìà àðèôìåòèêè»). À êàæóùååñÿ ïðîòèâîðå÷èå óñòðàíÿåòñÿ òåì, ÷òî ïðîñòîå ÷èñëî
p ìîæåò ïåðåñòàòü áûòü ïðîñòûì ïðè ðàñøèðåíèè Z äî
Z[i]. Íàïðèìåð, 2 = (1 + i)(1 – i) è 5 = (1 + 2i)(1 – 2i).
Âîîáùå, p = (a + bi)(a – bi) äëÿ âñÿêîãî ÷èñëà p = a 2 +
+ b2 .
Èòàê, ðàçðåøèì ñåáå ïîôàíòàçèðîâàòü: âîîáðàçèì, ÷òî
ìû óæå äîêàçàëè òåîðåìó î åäèíñòâåííîñòè ðàçëîæåíèÿ
öåëûõ ãàóññîâûõ ÷èñåë íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè, è äîêàæåì ëåììó 2. Äåëèòåëü p ÷èñëà (m + i)(m – i) íå ìîæåò
áûòü ïðîñòûì ãàóññîâûì ÷èñëîì. Çíà÷èò,
a +b
p = a + bi ⋅ c + di ,
îòêóäà p2 = a 2 + b 2 c2 + d 2 . Çíà÷èò, ëèáî îäèí èç
Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Ôåðìà-Ýéëåðà
p=
íà äâà ñîïðÿæåííûõ ìíîæèòåëÿ: p = (a + bi)(a – bi),
ïðè÷åì ìíîæèòåëè a + bi è a – bi – ïðîñòûå ãàóññîâû
÷èñëà.
Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè ÷èñëî p = 4n + 3 ïðåäñòàâëåíî â
âèäå ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ öåëûõ ãàóññîâûõ ÷èñåë p = (a +
+ bi)(c + di), òî
2
c +d ,
2
2
2
ò. å. p = a + b c + d , îòêóäà p = a 2 + b = c + d .
Ëåììà 2, à çàîäíî è òåîðåìà 4 äîêàçàíû.
Ðàçëîæåíèå ïðîñòîãî ÷èñëà íà ïðîñòûå
ìíîæèòåëè
Çàãîëîâîê ýòîãî ïîäðàçäåëà ìîã áû óäèâèòü, åñëè áû
âûøå ìû íå ðàçëàãàëè óæå ïðîñòûå íàòóðàëüíûå ÷èñëà íà
ïðîñòûå ãàóññîâû ìíîæèòåëè. Êàêèå æå ïðîñòûå íàòóðàëüíûå ÷èñëà îñòàíóòñÿ ïðîñòûìè âî ìíîæåñòâå öåëûõ
ãàóññîâûõ ÷èñåë, à êàêèå ñòàíóò ñîñòàâíûìè? È êàê
óñòðîåíû ðàçëîæåíèÿ «íîâûõ ñîñòàâíûõ» ÷èñåë?
Òåîðåìà 8. Âñÿêîå ïðîñòîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî âèäà
p = 4n + 3 ÿâëÿåòñÿ ïðîñòûì â Z[i]; ÷èñëî 2 àññîöèèðîâàíî ñ êâàäðàòîì ïðîñòîãî ãàóññîâà ÷èñëà 1+ i; âñÿêîå
ïðîñòîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî âèäà p = 4n + 1 ðàçëàãàåòñÿ
Ïîìíèòå, ìû îáåùàëè ïîëó÷èòü òåîðåìó 2 êàê îäíî èç
ñëåäñòâèé òåîðèè öåëûõ ãàóññîâûõ ÷èñåë? Íàñòàëî âðåìÿ
ýòî ñäåëàòü. Ïóñòü ïðîñòîå ÷èñëî p íå ïðåäñòàâèìî â âèäå
ñóììû äâóõ êâàäðàòîâ è ñóììà êâàäðàòîâ x2 + y 2 êðàòíà
p. Èç òåîðåìû 8 ñëåäóåò, ÷òî âñÿêîå ïðîñòîå íàòóðàëüíîå
÷èñëî p ëèáî ÿâëÿåòñÿ ïðîñòûì ãàóññîâûì ÷èñëîì, ëèáî
ïðåäñòàâèìî â âèäå ñóììû êâàäðàòîâ äâóõ öåëûõ ÷èñåë.
Çíà÷èò, â ðàññìàòðèâàåìîé ñèòóàöèè p – ïðîñòîå ãàóññîâî
2
2
÷èñëî. Ïîñêîëüêó ïðîèçâåäåíèå (x + iy)(x – iy) = x + y
êðàòíî p, õîòÿ áû îäèí èç ñîìíîæèòåëåé êðàòåí p. Ýòî â
òî÷íîñòè îçíà÷àåò, ÷òî x è y êðàòíû p. Òåîðåìà 2
äîêàçàíà.
Êîëè÷åñòâî ïðåäñòàâëåíèé
Åäèíñòâåííîñòü ïðåäñòàâëåíèÿ ïðîñòîãî ÷èñëà
â âèäå ñóììû äâóõ êâàäðàòîâ
Ïî òåîðåìå Ôåðìà–Ýéëåðà ëþáîå ïðîñòîå ÷èñëî p, êîòîðîå ïðè äåëåíèè íà 4 äàåò îñòàòîê 1, ïðåäñòàâèìî â âèäå
ñóììû äâóõ êâàäðàòîâ. Äàâàéòå äîêàæåì, ÷òî òàêîå
ïðåäñòàâëåíèå åäèíñòâåííî ñ òî÷íîñòüþ äî ïîðÿäêà ñëàãàåìûõ.
ÑÓÌÌÛ
ÊÂÀÄÐÀÒÎÂ
È
ÖÅËÛÅ
Òåîðåìà 9. Íèêàêîå ïðîñòîå ÷èñëî íå ìîæåò áûòü
ïðåäñòàâëåíî â âèäå ñóììû êâàäðàòîâ äâóõ öåëûõ
÷èñåë ñóùåñòâåííî ðàçíûìè (ò. å. íå ïîëó÷àþùèìèñÿ
îäèí èç äðóãîãî ïåðåñòàíîâêîé ñëàãàåìûõ) ñïîñîáàìè.
Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè áû ïðîñòîå ÷èñëî p èìåëî äâà
2
2
2
2
ñóùåñòâåííî ðàçíûõ ïðåäñòàâëåíèÿ, p = a + b = c + d ,
òî ðàçëîæåíèÿ p = (a + bi)(a – bi) = (c + di)(c – di)
ïðîòèâîðå÷èëè áû òåîðåìå 8.
Óïðàæíåíèå 34 (Ì1288*). Äîêàæèòå, ÷òî ÷èñëî
1000009 = 235 2 + 9722 ñîñòàâíîå.
Ìîæíî îáîéòèñü â äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 9 è áåç
êîìïëåêñíûõ ÷èñåë. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïðîñòîå ÷èñëî p
äâóìÿ ñóùåñòâåííî ðàçíûìè (ò. å. îòëè÷àþùèìèñÿ íå
òîëüêî ïîðÿäêîì ñëàãàåìûõ) ñïîñîáàìè ðàçëîæåíî â
ñóììó êâàäðàòîâ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë:
2
2
2
2
p= a + b = c + d .
2
2
b
g
2 2
Òîãäà a2 ≡ −b2 è c ≡ − d mod p . Ñëåäîâàòåëüíî, a c ≡
≡ −b 2 − d2 mod p , ò. å. ÷èñëî a2 c2 – b 2 d2 êðàòíî p.
(Åñëè ðàññóæäåíèÿ ñî ñðàâíåíèÿìè ïî ìîäóëþ p íåïðèâû÷íû è ïîòîìó ïîäîçðèòåëüíû, âû ìîæåòå ïîëó÷èòü òî
2 2
2 2
æå ñàìîå, ðàññìàòðèâàÿ òîæäåñòâî a c – b d
=
e je jb
2
e
2
2
g
j e
2
2
j
2
= a c + d – a + b d .)
Ïîñêîëüêó ÷èñëî p ïðîñòîå, èç äåëèìîñòè ïðîèçâåäåíèÿ
(ac + bd)(ac – bd) íà p ñëåäóåò, ÷òî îäèí èç ìíîæèòåëåé
êðàòåí p. Åñëè ÷èñëî ac + bd êðàòíî p, òî âîñïîëüçóåìñÿ
ôîðìóëîé (1):
b
p2 = ac + bd
b
g
= 4 2 + 72 = (2 + i)(3 – 2i) ⋅ (2 – i)(3 + 2i) =
= (8 – i) ⋅ (8 + i) = 8 + 1 .
2
2
Ïîíèìàåòå? Ïî-ðàçíîìó ãðóïïèðóÿ ìíîæèòåëè, ïîëó÷èëè äâà ðàçíûõ ðàçëîæåíèÿ!
Ñëåäóþùèé ïðèìåð – ÷èñëî 25. Òîò, êòî ðåøèë óïðàæíåíèå 1, çíàåò, ÷òî 25 – íàèìåíüøåå ÷èñëî, äâóìÿ
ñïîñîáàìè ïðåäñòàâèìîå â âèäå ñóììû êâàäðàòîâ äâóõ
öåëûõ ÷èñåë. Îáà ýòè ðàçëîæåíèÿ ëåãêî ïîëó÷èòü, ïîðàçíîìó ãðóïïèðóÿ ìíîæèòåëè:
b g ⋅ b2 − ig = b3 + 4ig ⋅ b3 − 4ig = 3 + 4 =
= b2 + i gb2 − i g ⋅ b2 + i gb2 − i g = 5 ⋅ 5 = 5
25 = 2 + i
2
2
2
2
2
2
+0 .
Ïîñëåäíèé ïðèìåð – ÷èñëî 5746. Êàê ìû õîðîøî çíàåì,
2
âñÿêîìó ïðåäñòàâëåíèþ 5746 = a + b2 ñîîòâåòñòâóåò
ðàçëîæåíèå 5746 = (a + bi)(a – bi) íà ñîïðÿæåííûå
ìíîæèòåëè. Ïîýòîìó ðàçëîæèì ðàññìàòðèâàåìîå ÷èñëî
ñíà÷àëà íà ïðîñòûå íàòóðàëüíûå, à çàòåì è íà ïðîñòûå
ãàóññîâû ìíîæèòåëè:
2
5746 = 2 ⋅ 13 ⋅ 17 =
= 1 + i 1 − i 3 + 2i
b gb gb
g b3 − 2ig b4 + igb4 − ig .
2
2
Òåïåðü ìû äîëæíû èç íåñêîëüêèõ ýòèõ ìíîæèòåëåé
ñîñòàâèòü a + bi, äà òàê, ÷òîáû ïðîèçâåäåíèå îñòàëüíûõ
ìíîæèòåëåé ðàâíÿëîñü a – bi. Ýòî íåòðóäíî ñäåëàòü:
b gb g b4 + ig = −45 + 61i ,
a − bi = b1 − i gb 3 − 2 i g b 4 − i g = −45 − 61i .
a + bi = 1 + i 3 + 2i
2
2
g
b
g
Óïðàæíåíèå 35. Ïðåäñòàâüòå ÷èñëî 1000009 = 2352 + 9722 â
âèäå ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ îòëè÷íûõ îò 1 íàòóðàëüíûõ ÷èñåë.
Èòàê, ïðîñòîå ÷èñëî íåëüçÿ äâóìÿ ñóùåñòâåííî ðàçíûìè ñïîñîáàìè ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû êâàäðàòîâ äâóõ
íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. ×èñëî, åäèíñòâåííûì îáðàçîì ïðåäñòàâèìîå â âèäå ñóììû êâàäðàòîâ äâóõ íàòóðàëüíûõ
2
2
÷èñåë, íå âñåãäà ÿâëÿåòñÿ ïðîñòûì: 10 = 1 + 3 , 25 =
2
2
= 3 + 4 . Ëåãêî ñôîðìóëèðîâàòü óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ
÷èñëî èìååò åäèíñòâåííîå ïðåäñòàâëåíèå â âèäå ñóììû
äâóõ êâàäðàòîâ. Íî äàâàéòå íå áóäåì òðàòèòü íà ýòî ñâîè
ñèëû, à îòâåòèì íà áîëåå îáùèé âîïðîñ.
Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ÷èñëî ìîæíî ïðåäñòàâèòü
â âèäå ñóììû äâóõ êâàäðàòîâ?
 III âåêå íàøåé ýðû ãðå÷åñêèé ìàòåìàòèê Äèîôàíò íå
òîëüêî çíàë, ÷òî ÷èñëî 65 ïðåäñòàâèìî äâóìÿ ñïîñîáàìè,
íî è îáúÿñíÿë ýòî òåì, ÷òî 65 ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâåäåíèåì
÷èñåë 13 è 5, êàæäîå èç êîòîðûõ – ñóììà äâóõ êâàäðàòîâ.
Êîìïëåêñíûõ ÷èñåë Äèîôàíò íå çíàë, èíà÷å îí íåïðåìåííî âûïèñàë áû ðàçëîæåíèÿ 5 = (2 + i)(2 – i), 13 =
= (3 + 2i)(3 – 2i) è ïðîäîëæèë áû ñâîè îáúÿñíåíèÿ
6 Êâàíò ¹ 3
65 = (2 + i)(3 + 2i) ⋅ (2 – i)(3 – 2i) = (4 + 7i) ⋅ (4 – 7i) =
2
Åñëè ad – bc ≠ 0, òî ïðîòèâîðå÷èå î÷åâèäíî, èáî ïåðâîå
2
ñëàãàåìîå ac + bd êðàòíî p2 è ïîòîìó íå ìåíüøå p2 .
Åñëè æå ad – bc = 0, òî ad = bc. Ïîñêîëüêó êàê ÷èñëà a
è b, òàê è ÷èñëà c è d âçàèìíî ïðîñòû, èìååì a = c è d =
= b.
Ñëó÷àé, êîãäà ac – bd êðàòíî p, ìîæíî ðàññìîòðåòü
2
àíàëîãè÷íî, âîñïîëüçîâàâøèñü ôîðìóëîé p2 = ac − bd +
2
+ ad + bc .
b
21
×ÈÑËÀ
ñëåäóþùèì îáðàçîì:
g + bad − bcg .
2
ÃÀÓÑÑÎÂÛ
2
Ïðè ýòîì, ðàçóìååòñÿ, 452 + 61 = 2025 + 3721 = 5746.
Ëåãêî íàéòè è åùå äâà âàðèàíòà:
b gb gb gb g
a + bi = b1 + igb3 − 2ig b4 + ig = 75 − 11i .
a + bi = 1 + i 3 + 2 i 3 − 2 i 4 + i = 39 + 65i
èëè
2
2
2
Îíè ïðèâîäÿò ê ïðåäñòàâëåíèÿì 39 + 65 = 1521 + 4225 =
= 5746 è 752 + 112 = 5625 + 121 = 5746. Íèêàêèõ äðóãèõ
ïðåäñòàâëåíèé íåò (ïîïûòàéòåñü èõ ïðèäóìàòü – è äîâîëüíî ñêîðî ïîéìåòå ïðè÷èíó ýòîãî).
Àíàëîãè÷íî ìîæíî íàéòè ÷èñëî ïðåäñòàâëåíèé â âèäå
ñóììû äâóõ êâàäðàòîâ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà n =
a
a
= 2 a p1 1 K pr r Q , ãäå p1 ,..., pr – ïîïàðíî ðàçëè÷íûå ïðîñòûå ÷èñëà, êàæäîå èç êîòîðûõ äàåò îñòàòîê 1 ïðè
äåëåíèè íà 4, Q – ÷èñëî, íå èìåþùåå ïðîñòûõ äåëèòåëåé
êðîìå òåõ, êîòîðûå äàþò îñòàòîê 3 ïðè äåëåíèè íà 4. À
èìåííî, åñëè Q íå ÿâëÿåòñÿ òî÷íûì êâàäðàòîì, òî n íå
ïðåäñòàâèìî â âèäå ñóììû äâóõ êâàäðàòîâ; åñëè æå Q –
òî÷íûé êâàäðàò, òî, ïðèìåíèâ íåîáõîäèìîå ÷èñëî ðàç
òåîðåìó 2, ïîëó÷àåì: êîëè÷åñòâî ïðåäñòàâëåíèé ÷èñëà n
â âèäå ñóììû äâóõ êâàäðàòîâ ðàâíî êîëè÷åñòâó ïðåäñòàâëåíèé ÷èñëà m = 2a p1a1 K prar â âèäå ñóììû äâóõ êâàäðàòîâ.
Ôîðìóëó äëÿ ýòîãî êîëè÷åñòâà íàøåë íåìåö Ïåòåð Ãóñòàâ
Ëåæåí Äèðèõëå (1805–1859).
Òåîðåìà 10. Êîëè÷åñòâî ïðåäñòàâëåíèé ÷èñëà m â âèäå
ñóììû êâàäðàòîâ äâóõ öåëûõ ÷èñåë ðàâíî [(( a1 + 1) ⋅ ...
... ⋅ ( ar + 1)+1)/2]. (Åñëè ÷èñëî ñîìíîæèòåëåé ðàâíî 0,
òî ïðîèçâåäåíèå ñ÷èòàåòñÿ ðàâíûì 1. Ïðåäñòàâëåíèÿ,
îòëè÷àþùèåñÿ ïîðÿäêîì ñëàãàåìûõ, íå ðàçëè÷àþòñÿ.)
ÊÂÀÍT 1999/¹3
22
Íàäååìñÿ, äîêàçàòåëüñòâî íå ïðåäñòàâèò íåïðåîäîëèìîé òðóäíîñòè. Åñëè òðóäíîñòè âîçíèêëè – íå îãîð÷àéòåñü, à ïåðå÷èòàéòå ñòàòüþ çàíîâî (è òàê ìíîãî ðàç – äî
òåõ ïîð, ïîêà íå ïîéìåòå, ïî÷åìó ôîðìóëà Äèðèõëå
âåðíà).
Óïðàæíåíèÿ
36. Ïðè êàêîì íàèìåíüøåì ðàäèóñå îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì â
íà÷àëå êîîðäèíàò íà íåé ëåæàò ðîâíî à) 4 öåëî÷èñëåííûå òî÷êè;
á) 8 òî÷åê; â) 12; ã) 16?
37. à) Ñêîëüêî ðåøåíèé â íàòóðàëüíûõ ÷èñëàõ x < y èìååò
2
óðàâíåíèå x2 + y = 5 n , ãäå n – äàííîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî?
á) Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ âñÿêîãî íàòóðàëüíîãî n ñóùåñòâóåò
áåñêîíå÷íî ìíîãî îêðóæíîñòåé ñ öåíòðàìè â íà÷àëå êîîðäèíàò,
íà êàæäîé èç êîòîðûõ ëåæàò ðîâíî 4n òî÷åê ñ öåëûìè êîîðäèíàòàìè.
38. Ðàññìîòðèì îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò
a
a
ðàäèóñà 2 a p1 1 K p r r , ãäå p1 ,..., p r – ïîïàðíî ðàçëè÷íûå
ïðîñòûå ÷èñëà, êàæäîå èç êîòîðûõ äàåò îñòàòîê 1 ïðè äåëåíèè
íà 4. Ñêîëüêî íà ýòîé îêðóæíîñòè òî÷åê ñ öåëûìè êîîðäèíàòàìè?
39*. Ìîæåò ëè òàê áûòü, ÷òî íàòóðàëüíîå ÷èñëî n íå
ïðåäñòàâèìî â âèäå ñóììû äâóõ êâàäðàòîâ à) öåëûõ; á) íàòó1999
ïðåäñòàâèìî
ðàëüíûõ; â) âçàèìíî ïðîñòûõ ÷èñåë, à ÷èñëî n
â òàêîì âèäå?
40*. Êàêèå ÷èñëà åäèíñòâåííûì ñ òî÷íîñòüþ äî ïåðåñòàíîâêè
ñëàãàåìûõ îáðàçîì ïðåäñòàâèìû â âèäå ñóììû êâàäðàòîâ äâóõ
à) öåëûõ íåîòðèöàòåëüíûõ; á) íàòóðàëüíûõ; â) âçàèìíî ïðîñòûõ ÷èñåë?
41. Åñëè ÷èñëî n > 2 ïðåäñòàâèìî â âèäå ñóììû êâàäðàòîâ
äâóõ âçàèìíî ïðîñòûõ ÷èñåë, òî ÷èñëî òàêèõ ïðåäñòàâëåíèé
s −1
ðàâíî 2 , ãäå s – êîëè÷åñòâî ïðîñòûõ äåëèòåëåé n, èìåþùèõ
âèä 4k + 1. Äîêàæèòå ýòî.
42*. Êîëè÷åñòâî òî÷åê ñ öåëûìè êîîðäèíàòàìè íà îêðóæíîñòè ðàäèóñà n ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò (ò. å. êîëè÷åñòâî
2
ðåøåíèé â öåëûõ ÷èñëàõ óðàâíåíèÿ x 2 + y = n) ðàâíî
ó÷åòâåðåííîé ðàçíîñòè ìåæäó êîëè÷åñòâîì íàòóðàëüíûõ äåëèòåëåé ÷èñëà n, êîòîðûå èìåþò âèä 4k + 1, è êîëè÷åñòâîì
íàòóðàëüíûõ äåëèòåëåé âèäà 4k + 3. Äîêàæèòå ýòî.
Ïðèëîæåíèå
Îñíîâíàÿ òåîðåìà àðèôìåòèêè
Ïðåæäå ÷åì äîêàçûâàòü åäèíñòâåííîñòü ðàçëîæåíèÿ öåëîãî
ãàóññîâà ÷èñëà íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè, íàïîìíèì, ÷òî äëÿ
«îáû÷íûõ» íàòóðàëüíûõ ÷èñåë åäèíñòâåííîñòü ðàçëîæåíèÿ íà
ïðîñòûå íàòóðàëüíûå ìíîæèòåëè âîâñå íå î÷åâèäíà. Íàèáîëåå
èçâåñòíû äâà äîêàçàòåëüñòâà. Îäíî èç íèõ èçëîæåíî â «Íà÷àëàõ» Åâêëèäà (III âåê äî í. ý.), à äðóãîå ïðèäóìàë íåìåö Ýðíñò
Öåðìåëî (1871–1953). Ìû ðàññìîòðèì äîêàçàòåëüñòâî Öåðìåëî
(ñðàçó äëÿ öåëûõ ãàóññîâûõ ÷èñåë).
Òåîðåìà 11. Ðàçëîæåíèå íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè â Z[i]
åäèíñòâåííî (ñ òî÷íîñòüþ äî ïåðåñòàíîâêè ìíîæèòåëåé è
àññîöèèðîâàííîñòè).
Äîêàçàòåëüñòâî. Òîò ôàêò, ÷òî ëþáîå íåíóëåâîå öåëîå ãàóññîâî ÷èñëî ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ ïðîñòûõ
ãàóññîâûõ ÷èñåë, î÷åâèäåí: ðàçëàãàåì, ïîêà ìîæíî, à êîãäà
ïåðåñòàíåò ðàçëàãàòüñÿ, òî âñå óæå ðàçëîæèëîñü! (Ëþáèòåëü
àáñîëþòíîé ñòðîãîñòè òî æå ñàìîå îôîðìèò ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íå âñå öåëûå ãàóññîâû ÷èñëà èìåþò
ðàçëîæåíèÿ íà ïðîñòûå ãàóññîâû ìíîæèòåëè. Ðàññìîòðèì òàêîå
÷èñëî z ñ íàèìåíüøèì ìîäóëåì. Åñëè z – äåëèòåëü åäèíèöû èëè
ïðîñòîå ÷èñëî, òî îíî â ðàçëîæåíèè íå íóæäàëîñü. À åñëè z
ïðåäñòàâèìî â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ z = uv öåëûõ ãàóññîâûõ ÷èñåë,
ãäå |u| < |z| è |v| < |z|, òî ÷èñëà u è v èìåþò ðàçëîæåíèÿ íà ïðîñòûå
ìíîæèòåëè. Îáúåäèíèâ èõ, ìû êàê ðàç ïîëó÷àåì ðàçëîæåíèå
÷èñëà z.)
Íàìíîãî òðóäíåå è èíòåðåñíåå äîêàçàòåëüñòâî åäèíñòâåííîñòè ðàçëîæåíèÿ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íåêîòîðîå öåëîå ãàóññîâî
÷èñëî z äâóìÿ ñóùåñòâåííî ðàçíûìè ñïîñîáàìè ïðåäñòàâëåíî â
âèäå ïðîèçâåäåíèÿ ïðîñòûõ ãàóññîâûõ ÷èñåë:
z = p1 p2 K p r = q1q2 K q s .
(2)
Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî z – íàèìåíüøåå ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå èç
÷èñåë, îáëàäàþùèõ ðàçíûìè ðàçëîæåíèÿìè íà ïðîñòûå ãàóññîâû ìíîæèòåëè. Òîãäà íè îäíî èç ÷èñåë p1 ,..., p r íå àññîöèèðîâàíî íè ñ îäíèì èç ÷èñåë q1 , q2 ,..., q s (â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ìû
ñîêðàòèëè áû îáå ÷àñòè ðàâåíñòâà (2) íà îáùèé ìíîæèòåëü,
ïîëó÷èâ ìåíüøåå ïî ìîäóëþ
y
÷èñëî).
Îáîçíà÷èì P = p2 ... p r è
iz
z
Q = q 2 ... q s . Òîãäà z = p1 P =
= q1 Q. Íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî
pQ
O
| p1 | ≤ | q1 |. Ïðè ýòîì |P| ≥ |Q| è,
x
p
çíà÷èò, | 1 Q| ≤ |z|. Ðàññìîòðèì
εz
ε
p
Q
– 1 , ãäå
–
÷èñëî w =
òàêîé äåëèòåëü åäèíèöû, ÷òî
–z
–iz
|w| < |z|. (Ïî÷åìó òàêîé äåëèòåëü åäèíèöû ε ìîæíî âûáðàòü, ÿñíî èç ðèñóíêà 6. Â
Ðèñ. 6
ñàìîì äåëå, ÷èñëà z, iz, –z è
–iz — âåðøèíû êâàäðàòà. Òî÷êà p1Q ðàñïîëîæåíà âíóòðè îïèñàííîãî êðóãà ýòîãî êâàäðàòà.
Âåñü îïèñàííûé êðóã ìîæíî ïîêðûòü ÷åòûðüìÿ êðóãàìè ñ
öåíòðàìè â âåðøèíàõ êâàäðàòà, ðàäèóñû êîòîðûõ ðàâíû ïîëîâèíå äèàãîíàëè êâàäðàòà. Çíà÷èò, õîòÿ áû îäíà èç âåðøèí
êâàäðàòà ðàñïîëîæåíà ê òî÷êå p1Q áëèæå, ÷åì íà ðàññòîÿíèå
|z|.) ×èñëî w ìîæåò áûòü ðàçëîæåíî íà ìíîæèòåëè äâóìÿ
ñïîñîáàìè:
b
g d
i
w = εz − p1Q = p1 εP − Q = εq1 − p1 q2 K q s .
Ïîñêîëüêó |w| < |z|, äëÿ ÷èñëà w äîëæíà èìåòü ìåñòî åäèíñòâåííîñòü ðàçëîæåíèÿ íà ïðîñòûå ãàóññîâû ìíîæèòåëè. Çíà÷èò,
õîòÿ áû îäèí èç ìíîæèòåëåé εq1 – p1 , q2 ,..., q s äîëæåí áûòü
êðàòåí ïðîñòîìó ÷èñëó p1 . Åñëè ÷èñëî εq1 – p1 êðàòíî p1 , òî q1
êðàòíî p1 , îòêóäà ñëåäóåò, ïîñêîëüêó q1 – ïðîñòîå ãàóññîâî
÷èñëî, ÷òî ÷èñëà p1 è q1 àññîöèèðîâàíû, ÷òî íåâîçìîæíî. Åùå
î÷åâèäíåå ïðîòèâîðå÷èå â ñëó÷àå, êîãäà êðàòåí ÷èñëó p1 îäèí èç
ìíîæèòåëåé q 2 ,..., q s .
Äîêàçàòåëüñòâî Ëàãðàíæà ëåììû 2
Ìîãëî ñëîæèòüñÿ âïå÷àòëåíèå, ÷òî îáîéòèñü â äîêàçàòåëüñòâå
ëåììû 2 áåç êîìïëåêñíûõ ÷èñåë íåâîçìîæíî. Òåì íå ìåíåå,
Ëàãðàíæ ïðèäóìàë ñëåäóþùåå óäèâèòåëüíî êîðîòêîå ðàññóæäåíèå.
Ðàññìîòðèì âñå òàêèå ïàðû (r; s) öåëûõ ÷èñåë, ÷òî 0 ≤ r,s <
< p , è äëÿ êàæäîé ïàðû ðàññìîòðèì îñòàòîê îò äåëåíèÿ ÷èñëà
FH
IK
2
p +1 >
r + ms íà p. Ïîñêîëüêó êîëè÷åñòâî òàêèõ ïàð ðàâíî
r
> p, ñðåäè íèõ îáÿçàíû íàéòèñü òàêèå äâå ïàðû ( 1 ; s1 ) è
( r2 ; s 2 ), ÷òî îñòàòêè îò äåëåíèÿ íà p ÷èñåë r1 + ms1 è r2 + ms2
ðàâíû. Ïðè ýòîì ÷èñëî r + ms, ãäå r = r1 – r2 è s = s1 – s 2 , êðàòíî
p. Ïîýòîìó ÷èñëî
2
2
2
2 2
e
2
j
2
b
gb
g e
2
j
r + s = r − m s + m + 1 s = r + ms r − ms + m + 1 s
2
2
2
òîæå êðàòíî p. Çàìåòèì, ÷òî 0 < r + s < p + p = 2p.
Åäèíñòâåííûì êðàòíûì p ÷èñëîì, êîòîðîå áîëüøå 0, íî ìåíüøå
2
2p, ÿâëÿåòñÿ ñàìî ÷èñëî p. Çíà÷èò, r + s 2 = p, ÷òî è
òðåáîâàëîñü.
Çàìå÷àíèå.  ñòàòüå Â.Òèõîìèðîâà «Òåîðåìà Ôåðìà—Ýéëåðà î äâóõ êâàäðàòàõ» («Êâàíò» ¹10 çà 1991 ãîä), ïîìèìî
äîêàçàòåëüñòâà Ëàãðàíæà, ïðèâåäåíû åùå äâà äîêàçàòåëüñòâà
òåîðåìû Ôåðìà—Ýéëåðà.