Наименьшее общее кратное

Ëèñòîê 9
26.10.2009
Íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå
Âñÿêîå öåëîå ÷èñëî, äåëèòåëÿìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ îòëè÷íûå îò íóëÿ öåëûå ÷èñëà a1, a2, . . . , ak , íàçûâàåòñÿ îáùèì êðàòíûì ýòèõ ÷èñåë. Íàèìåíüøåå èç ïîëîæèòåëüíûõ îáùèõ êðàòíûõ íàçûâàåòñÿ íàèìåíüøèì îáùèì êðàòíûì è îáîçíà÷àåòñÿ [a1, a2, . . . , ak ].
Òåîðåìà 9.1. Ëþáîå îáùåå êðàòíîå íåñêîëüêèõ ÷èñåë äåëèòñÿ íà èõ íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü a1 , a2 , . . . , ak , äàííûå íàì ÷èñëà, k êàêîå-ëèáî êðàòíîå ýòèõ
÷èñåë, à m = [a1, a2, . . . , ak ] èõ íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå. Ïîäåëèì k ñ îñòàòêîì íà ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî m, ïîëó÷èì k = mq + r, ãäå 0 6 r < m. Òîãäà, â ñèëó äîêàçàííîé ðàíåå
òåîðåìû, ëþáîé îáùèé äåëèòåëü ÷èñåë m è k ÿâëÿåòñÿ òàêæå äåëèòåëåì ÷èñëà r. Íî òîãäà
r äåëèòñÿ íà a1 , a2 , . . . , ak . Åñëè r > 0, òî r ÿâëÿåòñÿ ïîëîæèòåëüíûì îáùèì êðàòíûì ÷èñåë
a1 , a2 , . . . , ak , ïðèòîì r ìåíüøå m, ÷òî íåâîçìîæíî, ïîñêîëüêó m íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå.
Çíà÷èò îñòàåòñÿ òîëüêî âàðèàíò r = 0, êîòîðûé è îçíà÷àåò, ÷òî k äåëèòñÿ íà m.
Òåîðåìà 9.2. Äëÿ ëþáûõ äâóõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë a è b âåðíî ðàâåíñòâî [a, b] · (a, b) = ab.
Äîêàçàòåëüñòâî. Çàìåòèì, ÷òî ïðîèçâåäåíèå ab åñòü îäíî èç îáùèõ êðàòíûõ ÷èñåë a è
ab
b, ñîãëàñíî ïðåäûäóùåé òåîðåìå îíî äåëèòñÿ íà [a, b], çíà÷èò
åñòü ÷èñëî öåëîå. Òàêæå
[a, b]
Îïðåäåëåíèå 9.1.
ÿâëÿþòñÿ öåëûìè ÷èñëà [a,ab] è [a,b b] . Íî òîãäà èç ðàâåíñòâ [a,abb] · [a,ab] = b, [a,abb] · [a,b b] = a
ïîëó÷àåì, ÷òî [a,abb] åñòü îáùèé äåëèòåëü ÷èñåë a è b. Äîêàæåì òåïåðü, ÷òî ýòî íàèáîëüøèé
îáùèé äåëèòåëü.
Ïóñòü d êàêîé-òî îáùèé ïîëîæèòåëüíûé äåëèòåëü ÷èñåë a è b. Òîãäà ÷èñëà ad è db ÿâëÿþòñÿ íàòóðàëüíûìè è, â ñèëó ðàâåíñòâ abd = a db = b ad , ìîæåì çàêëþ÷èòü, ÷òî ÷èñëî abd íàòóðàëüíîå è äåëèòñÿ íà ÷èñëà a è b. Ñëåäîâàòåëüíî îíî ÿâëÿåòñÿ îáùèì êðàòíûì ÷èñåë a
ab
è b è ïî ïðåäûäóùåé òåîðåìå äîëæíî äåëèòüñÿ íà [a, b]. Íî òîãäà d[a,
íàòóðàëüíîå ÷èñëî
b]
íå ìåíüøåå 1, çíà÷èò [a,abb] > d.
Òåì ñàìûì ìû äîêàçàëè, ÷òî [a,abb] åñòü îáùèé äåëèòåëü ÷èñåë a è b, à ëþáîé äðóãîé
äåëèòåëü d ÷èñåë a è b íå ïðåâîñõîäèò [a,abb] . Ïîëó÷àåì, ÷òî [a,abb] íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü
÷èñåë a è b, ò.å. [a,abb] = (a, b).
Ñëåäñòâèå 9.1. Äëÿ íàõîæäåíèÿ íàèìåíüøåãî îáùåãî êðàòíîãî äâóõ ÷èñåë äîñòàòî÷íî íàéòè
èõ íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü, ïîñëå ÷åãî âîñïîëüçîâàòüñÿ ðàâåíñòâîì [a, b] = (a,ab) · b.
Ñòîèò îòìåòèòü, ÷òî â ðàâåíñòâå [a, b] = (a,ab) · b äðîáü (a,ab) ÿâëÿåòñÿ öåëûì ÷èñëîì,
ïîýòîìó â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ áûñòðåå îêàçûâàåòñÿ ñíà÷àëà íàéòè åå çíà÷åíèå, ïîñëå ÷åãî
óìíîæàòü åãî íà b, ÷åì âû÷èñëÿòü ñíà÷àëà ïðîèçâåäåíèå ab, à ïîòîì óæå äåëèòü åãî íà (a, b).
Ñëåäñòâèå 9.2.  ñëó÷àå îòëè÷íûõ îò íóëÿ öåëûõ ÷èñåë a è b âåðíî ðàâåíñòâî [a, b](a, b) = |ab|.
Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî, âåðíû ðàâåíñòâà [a, b] = [|a|, |b|], (a, b) = (|a|, |b|), ïîýòîìó [a, b](a, b) = [|a|, |b|](|a|, |b|) = |a| · |b| = |ab|
Òåîðåìà 9.3. Íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü ÷èñåë äåëèòñÿ íà ëþáîé èõ îáùèé äåëèòåëü.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü a1 , a2 , . . . , an íàáîð öåëûõ ÷èñåë, d1 , d2 , . . . , dk âñå èõ îáùèå
äåëèòåëè. Îáîçíà÷èì d = [d1, d2, . . . , dk ]. Äîêàæåì, ÷òî êàæäîå èç ÷èñåë a1, a2, . . . , an äåëèòñÿ
íà d. Ïîñêîëüêó ÷èñëà d1, d2, . . . , dk ÿâëÿþòñÿ äåëèòåëÿìè ÷èñëà a1, òî a1 îáùåå êðàòíîå
Ëèñòîê 9
26.10.2009
÷èñåë d1, d2, . . . , dk . Íî ñîãëàñíî òåîðåìå 1 ëþáîå îáùåå êðàòíîå íåñêîëüêèõ ÷èñåë äåëèòñÿ íà
èõ íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå, ïîýòîìó d|a1. Àíàëîãè÷íî ïîëó÷àåì, ÷òî d|a2, . . . , d|an. Çíà÷èò d
åñòü îäèí èç îáùèõ äåëèòåëåé ÷èñåë a1, a2, . . . , an. Òàêæå ðàâåíñòâî d = [d1, d2, . . . , dk ] îçíà÷àåò,
÷òî d1|d, d2|d, . . . dk |d è çíà÷èò d1 6 d, d2 6 d, . . . , dk 6 d. Òåì ñàìûì ìû äîêàçàëè, ÷òî d
ÿâëÿåòñÿ íàèáîëüøèì èç îáùèõ äåëèòåëåé ÷èñåë a1, a2, . . . , an è äåëèòñÿ íà ëþáîé èç íèõ.
Ëèñòîê 9
26.10.2009
Çàäà÷è
 çàäà÷õ
1−8
Çàäà÷à 9.1(ó).
îáùåå êðàòíîå.
ïîëüçîâàòüñÿ ðàâåíñòâîì
[a, b] · (a, b) = ab
íåëüçÿ.
Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáîãî íàáîðà öåëûõ ÷èñåë ñóùåñòâóåò èõ íàèìåíüøåå
Äîêàæèòå, ÷òî íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå íåñêîëüêèõ ÷èñåë äåëèòñÿ íà èõ
íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü.
Çàäà÷à 9.3(ó). Âåðíî ëè äëÿ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë a, b, c ðàâåíñòâî [a, b, c](a, b, c) = abc?
Çàäà÷à 9.4(ó). Äîêàæèòå ðàâåíñòâà: à) [a, b, c] = [a, [b, c]]; á) [a1 , a2 , . . . , ak ] = [a1 , [a2 , . . . , ak ]].
â) Äîêàæèòå, ÷òî íàõîæäåíèå íàèìåíüøåãî îáùåãî êðàòíîãî íåñêîëüêèõ ÷èñåë ìîæåò áûòü
ñâåäåíî ê ïîñëåäîâàòåëüíîìó íàõîæäåíèþ íàèìåíüøèõ îáùèõ êðàòíûõ íåñêîëüêèõ ïàð ÷èñåë.
Çàäà÷à 9.5(ó). Äîêàæèòå, ÷òî [1, 2, . . . , 2n] = [n + 1, n + 2, . . . , 2n].
Çàäà÷à 9.6(ó). Âåðíî ëè, ÷òî [a, b] = (a, b) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà a = b?  êàêîì ñëó÷àå
âîçìîæíî ðàâåíñòâî (a1, a2, . . . , an) = [a1, a2, . . . , an]?
Çàäà÷à 9.7(ó). Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ íàòóðàëüíîãî ÷èñëà c âåðíî ðàâåíñòâî [ac, bc] = c[a, b].
[a, b] [a, b]
Çàäà÷à 9.8. Óïðîñòèòå âûðàæåíèå
,
.
a
b
Çàäà÷à 9.9. Âû÷èñëèòå íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå ñëåäóþùèõ ÷èñåë:
Çàäà÷à 9.2(ó).
à) [1591, 851];
Çàäà÷à 9.10.
á) [2184, 1638, 585];
â) [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7].
à)
Íàéäèòå íàèìåíüøåå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, êîòîðîå äàåò îñòàòîê 1 ïðè äåëåíèè
íà ëþáîå ÷èñëî îò 2 äî 15; á) îñòàòîê 1 ïðè äåëåíèè íà 2, îñòàòîê 2 ïðè äåëåíèè íà 3, îñòàòîê
3 ïðè äåëåíèè íà 4, . . . , îñòàòîê 14 ïðè äåëåíèè íà 15.
Çàäà÷à 9.11. Íàéäèòå íàèìåíüøåå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, äåëÿùååñÿ íà 7 è äàþùåå îñòàòîê 1
ïðè äåëåíèè íà êàæäîå èç ÷èñåë 2, 3, 4, 5, 6.
Çàäà÷à 9.12. Íàéäèòå [9n + 4, 7n + 3].
Çàäà÷à 9.13. Íàéäèòå à) [2a, 2b]; á) [21a + 54b, 6a + 15b], åñëè (a, b) = 2.
[a, a + b]
a+b
Çàäà÷à 9.14. Äîêàæèòå, ÷òî
=
äëÿ ëþáûõ íàòóðàëüíûõ a è b.
[a, b]
b
Çàäà÷à 9.15(ó). Äîêàæèòå, ÷òî ïðè íàòóðàëüíûõ a, b, c âåðíû ðàâåíñòâà:
à) [a, (a, b)] = a;
á) (a, [a, b]) = a;
Çàäà÷à 9.16.
â) abc = [a, b, c](ab, ac, bc);
ã) abc = (a, b, c)[ab, bc, ac].
Íàòóðàëüíûå ÷èñëà m è n òàêîâû, ÷òî [m, n] + (m, n) = m + n. Äîêàæèòå, ÷òî
îäíî èç ÷èñåë m èëè n äåëèòñÿ íà äðóãîå.
Çàäà÷à 9.17. Ñóùåñòâóþò ëè 6 ïîñëåäîâàòåëüíûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë òàêèõ, ÷òî íàèìåíüøåå
îáùåå êðàòíîå ïåðâûõ òðåõ èç íèõ áîëüøå, ÷åì íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå òðåõ ñëåäóþùèõ?
Çàäà÷à 9.18. Äàíî 10 íàòóðàëüíûõ ÷èñåë: a1 < a2 < a3 < ... < a10 . à) Äîêàæèòå, ÷òî
èõ íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå íå ìåíüøå 10a1. á) Ïðèâåäèòå ïðèìåð, â êîòîðîì íàèìåíüøåå
îáùåå êðàòíîå ðàâíî 10a1.
Çàäà÷à 9.19. Íàéäèòå ÷åòûðå ðàçëè÷íûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñëà, ïðîèçâåäåíèå ëþáûõ äâóõ èç
êîòîðûõ äåëèòñÿ íà ñóììó ýòèõ äâóõ ÷èñåë.
Çàäà÷à 9.20. à) Ñóùåñòâóåò ëè 100 íàòóðàëüíûõ ÷èñåë òàêèõ, ÷òî èõ ñóììà ðàâíà èõ íàèìåíüøåìó îáùåìó êðàòíîìó? á)* À 100 ðàçëè÷íûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë?
Êðèòåðèè îöåíîê
¾5¿
¾4¿
¾3¿
¾2¿
16 çàäà÷ 13 çàäà÷ 10 çàäà÷ 7 çàäà÷