( )n a ( )n a

ÀÁÅËÜ
È
ÅÃÎ
ÂÅËÈÊÀß
Òåîðåìà Àáåëÿ
Òåîðåìà Àáåëÿ. Íè äëÿ êàêîãî íàòóðàëüíîãî n,
áîëüøåãî ÷åòûðåõ, íåëüçÿ óêàçàòü ôîðìóëó, êîòîðàÿ
âûðàæàëà áû êîðíè ëþáîãî óðàâíåíèÿ ÷åðåç åãî êîýôôèöèåíòû ïðè ïîìîùè ðàäèêàëîâ.
Ìû äîêàæåì çäåñü íåñêîëüêî áîëüøå, à èìåííî,
÷òî ñóùåñòâóåò (êîíêðåòíîå) óðàâíåíèå ïÿòîé ñòåïåíè ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè, íå ðàçðåøèìîå â
ðàäèêàëàõ.
Ïðèìåðîì ñëóæèò óðàâíåíèå
p ( x ) = x5 − 4 x − 2 = 0 .
Ìîæíî äîêàçàòü (ïîïðîáóéòå ñäåëàòü ýòî ñàìîñòîÿòåëüíî), ÷òî ìíîãî÷ëåí p ( x ) íåëüçÿ ðàçëîæèòü íà
ìíîæèòåëè ìåíüøåé ñòåïåíè ñ ðàöèîíàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè (òàêèå ìíîãî÷ëåíû íàçûâàþòñÿ íåïðèâîäèìûìè – îá èõ ñâîéñòâàõ ñì. Ïðèëîæåíèå). Íåðàçðåøèìîñòü â ðàäèêàëàõ óðàâíåíèÿ p ( x ) = 0 ñëåäóåò èç
òàêîãî ôóíäàìåíòàëüíîãî óòâåðæäåíèÿ, äîêàçûâàåìîãî íàìè íèæå: åñëè íåïðèâîäèìîå óðàâíåíèå ïÿòîé
ñòåïåíè ðàçðåøèìî â ðàäèêàëàõ, òî îíî èìååò ëèáî
ïÿòü, ëèáî ëèøü îäèí äåéñòâèòåëüíûé êîðåíü. Äîêàæåì, ÷òî íàøå óðàâíåíèå èìååò òðè äåéñòâèòåëüíûõ
5
êîðíÿ. Îáîçíà÷èì êîðíè ýòîãî óðàâíåíèÿ {xk }k=1 . Ïî
òåîðåìå Âèåòà (ñì. Ïðèëîæåíèå), σ1 =
5
∑ xk = 0
k =1
4
(èáî
ñóììà êîðíåé ðàâíà êîýôôèöèåíòó ïðè x , à îí ðàâåí
íóëþ). Äàëåå, σ2 =
5
∑
1≤ k, l ≤ 5
xk xl = 0 (èáî ñóììà ïîïàð-
íûõ ïðîèçâåäåíèé êîðíåé ðàâíà êîýôôèöèåíòó ïðè
3
x , à îí òîæå ðàâåí íóëþ). Íî òîãäà s2 =
2
5
∑
k =1
xk2
=
= σ 1 − 2σ2 = 0, îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî âñå ïÿòü êîðíåé
âåùåñòâåííûìè áûòü íå ìîãóò. Çíà÷èò, èìååòñÿ êîìïëåêñíûé êîðåíü a + bi. Íî òîãäà ÷èñëî a – bi òîæå áóäåò
êîðíåì. À ñ äðóãîé ñòîðîíû, íàøå óðàâíåíèå èìååò íå
ìåíüøå òðåõ âåùåñòâåííûõ êîðíåé, èáî p ( −2 ) = −26 ,
p ( −1) = 1 , p (1) = −5 , p (2 ) = 22 , è ñóùåñòâîâàíèå òðåõ
êîðíåé ñëåäóåò èç òåîðåìû î ïðîìåæóòî÷íûõ çíà÷åíèÿõ, ïðèíèìàåìûõ íåïðåðûâíîé ôóíêöèåé.  èòîãå ìû
äîêàçàëè, ÷òî ìíîãî÷ëåí p ( x ) èìååò ðîâíî òðè âåùåñòâåííûõ êîðíÿ.
(Ïðèâåäåííîå äîêàçàòåëüñòâî – àëãåáðàè÷åñêîå, è
òåîðåìà Âèåòà íàì ïîíàäîáèòñÿ â äàëüíåéøåì, íî
óòâåðæäåíèå î òîì, ÷òî ïðèâåäåííîå óðàâíåíèå íå
èìååò ïÿòè âåùåñòâåííûõ êîðíåé, ñîâñåì ïðîñòî äîêàçàòü àíàëèòè÷åñêè: åñëè áû îíî èìåëî ïÿòü âåùåñòâåííûõ êîðíåé, òî ïî òåîðåìå Ðîëëÿ ïðîèçâîäíàÿ
p′ ( x ) = 5x 4 − 4 èìåëà áû ÷åòûðå âåùåñòâåííûõ êîðíÿ, à îíà èìååò òîëüêî äâà.)
Äîêàçàòåëüñòâî îñíîâíîãî óòâåðæäåíèÿ
Ïóñòü p ( x ) = x +
5
4
∑ ak x
k=0
k
(ãäå ak – ðàöèîíàëüíûå
÷èñëà) – íåïðèâîäèìûé ìíîãî÷ëåí (ò.å. ìíîãî÷ëåí, íå
13
ÒÅÎÐÅÌÀ
ðàçëàãàþùèéñÿ â ïðîèçâåäåíèå äâóõ ìíîãî÷ëåíîâ
ìåíüøåé ñòåïåíè), ðàçðåøèìûé â ðàäèêàëàõ. Ýòî
çíà÷èò, ÷òî åãî êîðíè ïîëó÷àþòñÿ èç ñîâîêóïíîñòè
âñåõ äðîáåé ïðèñîåäèíåíèåì íåêîòîðûõ ðàäèêàëîâ.
Òàê íàïðèìåð, êîðíè ìíîãî÷ëåíà âòîðîé ñòåïåíè
ïîëó÷àþòñÿ ïðèñîåäèíåíèåì ê äðîáÿì ÷èñåë âèäà
p1 + p2 a , ãäå a – ýòî äðîáü, íå ÿâëÿþùàÿñÿ êâàäðà-
òîì, à êîðíè óðàâíåíèÿ x 3 + px + q = 0 ïîëó÷àþòñÿ
ïðèñîåäèíåíèåì ê äðîáÿì ñíà÷àëà ðàäèêàëîâ a , à
çàòåì
÷èñåë
âèäà
q1 + q2 3 c +
3
+ q3 c2 , ãäå c = p1 + p2 a . ×èñëà b + a ìîæíî ñêëàäûâàòü, âû÷èòàòü, óìíîæàòü è äåëèòü (êðîìå, ðàçóìååòñÿ, äåëåíèÿ íà íîëü). Òàêèå ÷èñëîâûå îáðàçîâàíèÿ
3
íàçûâàþòñÿ ïîëÿìè. ×èñëà âèäà q1 + q2 3 c + q3 c2 , ãäå
c = p1 + p2 a , à qi è p j – äðîáè, òàêæå îáðàçóþò ïîëå.
Åñëè p ( x ) ðàçðåøèì â ðàäèêàëàõ, ýòî çíà÷èò, ÷òî ê
äðîáÿì ïîñëåäîâàòåëüíî ïðèñîåäèíÿþòñÿ ðàäèêàëû
âèäà n1 a1 è îáðàçóþò ïîëå ïåðâîãî ðàíãà R1 , çàòåì
ïðèñîåäèíÿåòñÿ êîðåíü n2 a2 , ãäå a2 ïðèíàäëåæèò R2 ,
è ò. ä.
Ïóñòü R – ÷èñëîâîå ïîëå, ïîëó÷àåìîå èç ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë ïðèñîåäèíåíèåì ê íèì âñåõ ðàäèêàëîâ,
êðîìå ïîñëåäíåãî r = n a , ãäå a ïðèíàäëåæèò R è
a ≠ α n íè äëÿ êîãî α èç R . Íå îãðàíè÷èâ ñåáÿ â
îáùíîñòè, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî n – ïðîñòîå ÷èñëî (èáî
åñëè n – íå ïðîñòîå ÷èñëî, òî åãî ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
n = n1 p , ãäå p – ïðîñòîå, ïîñëå ÷åãî ïðèñîåäèn
íèòü 1 a = a1 , à çàòåì è p a1 ).
Ïî îïðåäåëåíèþ, p ( x ) èìååò êîðåíü â R n a (òàê
îáîçíà÷àåòñÿ ïîëå, ïîëó÷åííîå ïðèñîåäèíåíèåì ê ïîëþ
R ðàäèêàëà n a ). Ëþáîå ÷èñëî â R n a ïðåäñòàâèìî
êàê ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè n – 1 îò r ñ êîýôôèöèåíòàìè èç
R (ñì. Ïðèëîæåíèå). Ìû ïîëüçóåìñÿ çäåñü òåì, ÷òî
åñëè R – ÷èñëîâîå ïîëå è r = n a , ãäå n – ïðîñòîå
÷èñëî, a ≠ α n äëÿ α èç R , òî ëþáîé ýëåìåíò x èç
R n a åäèíñòâåííûì îáðàçîì ïðåäñòàâèì â âèäå
( )
( )
( )
x=
n −1
∑ αkr k .
Ýòîò ôàêò íåòðóäíî äîêàçàòü íåïîñðåä-
k=0
ñòâåííî.
Èòàê, ïóñòü x1 – âåùåñòâåííûé êîðåíü ïîëèíîìà
p ( x ) (à ó ïîëèíîìà ïÿòîé ñòåïåíè îäèí âåùåñòâåííûé
êîðåíü îáÿçàòåëüíî ñóùåñòâóåò – ýòî ñëåäóåò èç óæå
óïîìèíàâøåãîñÿ ñâîéñòâà íåïðåðûâíîé ôóíêöèè ïðèíèìàòü âñå ïðîìåæóòî÷íûå çíà÷åíèÿ; ïîëèíîì ïÿòîé
ñòåïåíè ñ ïîëîæèòåëüíûì ñòàðøèì êîýôôèöèåíòîì
ïðè ñòðåìëåíèè x ê ïëþñ áåñêîíå÷íîñòè ñòðåìèòñÿ ê
ïëþñ áåñêîíå÷íîñòè, ò.å. ñòàíîâèòñÿ ïîëîæèòåëüíûì,
àíàëîãè÷íî, ïðè îòðèöàòåëüíûõ x îí ñòàíîâèòñÿ îòðèöàòåëüíûì, çíà÷èò, îí èìååò íîëü). Ïðåäñòàâèì x1 â
âèäå x1 =
n −1
∑ αk r k
ñ êîýôôèöèåíòàìè èç R . Ïóñòü
k =0
ε = e2 πi / n – ïåðâîîáðàçíûé êîðåíü èç åäèíèöû è
xk =
n −1
∑ α j ε(k–1) j r j ,
j =0
1 ≤ k ≤ n . Ïîëó÷èëè n ÷èñåë èç