Отделение лингвистики филологического факультета, 2011

ÂØÝ, 2011-12, ¾Äèñêðåòíàÿ ìàòåìàòèêà¿
Îòäåëåíèå ëèíãâèñòèêè ôèëîëîãè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà, 2011-12 ó÷. ãîä.
Äèñêðåòíàÿ ìàòåìàòèêà
Êîìáèíàòîðèêà (20 ñåíòÿáðÿ 2011)
Þ. Ã. Êóäðÿøîâ, È. Â. Ùóðîâ, È. À. Õîâàíñêàÿ
 àâòîáóñå 20 ñâîáîäíûõ ìåñò. Âîøëè (à) 25; (á) 5 ÷åëîâåê. Ñêîëüêî åñòü âàðèàíòîâ ðàññàäèòü èõ ïî ñâîáîäíûõ ìåñòàì (êàæäûé âîøåäøèé ïàññàæèð äîëæåí ñåñòü íà
ñâî¼ ìåñòî, ñòîÿ÷èõ îñòàòüñÿ íå äîëæíî)?
Ðåøåíèå. (à) Ñâîáîäíûõ ìåñò ìåíüøå, ÷åì âîøåäøèõ ëþäåé, ïîýòîìó ó âîøåäøèõ íå
ïîëó÷èòñÿ ñåñòü íà ñâîáîäíûå ìåñòà â ñîîòâåòñòâèè ñ òðåáîâàíèÿìè çàäà÷è. Îòâåò: 0.
(á) Ïåðâûé ÷åëîâåê ìîæåò ñåñòü íà ëþáîå èç 20 ñâîáîäíûõ ìåñò, âòîðîé íà ëþáîå èç 19
îñòàâøèõñÿ, òðåòèé íà ëþáîå èç 18 îñòàâøèõñÿ, ÷åòâ¼ðòûé íà ëþáîå èç 17 îñòàâøèõñÿ,
ïÿòûé èç 16. Ïîýòîìó îòâåò 20 · 19 · 18 · 17 · 16.
Çàäà÷à 2. Åñòü 10 ÷åëîâåê. Ñêîëüêî åñòü ñïîñîáîâ ñîñòàâèòü èç ÷àñòè èç íèõ êîëîííó
äëèíîé (à) 3; (á) 11 ÷åëîâåê?
Ðåøåíèå. (à) Ïåðâîãî ÷åëîâåêà â êîëîííå ìîæíî âûáðàòü 10 ñïîñîáàìè, âòîðîãî 9,
òðåòüåãî 8. Ñëåäîâàòåëüíî, îòâåò â çàäà÷å 10 · 9 · 8 = 720.
(á) Êîëîííó äëèíîé 11 ÷åëîâåê èç 10 ÷åëîâåê ñîñòàâèòü íåâîçìîæíî, ïîýòîìó îòâåò 0.
Çàäà÷à 3. Ñêîëüêî åñòü ñïîñîáîâ âûáðàòü 3 äåæóðíûõ èç 10 ÷åëîâåê?
Ðåøåíèå. Àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåé çàäà÷å, ÷èñëî ñïîñîáîâ ñîñòàâèòü
èç òð¼õ äåæóðíûõ ðàâíî 10 · 9 · 8 = 720. Íî ðàçíûå ñïèñêè ìîãóò çàäàâàòü îäèí è òîò æå
íàáîð äåæóðíûõ. Ïîñ÷èòàåì, ñêîëüêî ðàçíûõ ñïèñêîâ çàäàþò îäèí è òîò æå íàáîð äåæóðíûõ.  äàííîì ñëó÷àå ìîæíî ïðîñòî ïåðå÷èñëèòü ýòè ñïèñêè: 123, 132, 213, 231, 312, 321 èòîãî 6 ñïèñêîâ. Ñëåäîâàòåëüíî, íàøè 720 ñïèñêîâ ðàñêëàäûâàþòñÿ â ñòîïêè ïî 6 ñïèñêîâ,
è îòâåòîì â çàäà÷å ÿâëÿåòñÿ êîëè÷åñòâî ïîëó÷àþùèõñÿ ñòîïîê, òî åñòü 720 : 6 = 120.
Çàäà÷à 4. Ñêîëüêî åñòü ñïîñîáîâ ðàññàäèòü 5 ÷åëîâåê íà ïÿòèìåñòíîé êàðóñåëè?
Ðåøåíèå. Åñëè êàðóñåëü ¾çàìîðîçèòü¿, òî êîëè÷åñòâî ñïîñîáîâ áóäåò ðàâíî 5! = 1·2·3·4·5 =
120. Íî êàðóñåëü ìîæåò âðàùàòüñÿ, ïîýòîìó ýòè ñïîñîáû îáúåäèíÿþòñÿ â ãðóïïû ïî 5.
Îòâåò: 5!/5 = 4! = 24.
Çàäà÷à 5. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî ðàñêðàñèòü êàðóñåëü ñ (à) ïÿòüþ ñèäåíüÿìè; (á*)
p ñèäåíüÿìè, ãäå p ïðîñòîå ÷èñëî, â a öâåòîâ?
Ðåøåíèå. (à) Âèäèìî, ñàìûé ïðîñòîé ñïîñîá ðåøèòü ýòîò ïóíêò ýòî ïåðå÷èñëèòü âñå
ñïîñîáû ðàñêðàñêè:
• âñå ìåñòà áåëûå;
• îäíî ìåñòî ÷¼ðíîå;
• äâà ÷¼ðíûõ ìåñòà ðÿäîì, îñòàëüíûå áåëûå;
• äâà ÷¼ðíûõ ìåñòà ÷åðåç îäíî, îñòàëüíûå áåëûå;
• äâà áåëûõ ìåñòà ðÿäîì, îñòàëüíûå ÷¼ðíûå;
• äâà áåëûõ ìåñòà ÷åðåç îäíî, îñòàëüíûå ÷¼ðíûå;
• îäíî ìåñòî áåëîå, îñòàëüíûå ÷¼ðíûå;
• âñå ìåñòà ÷¼ðíûå.
Çàäà÷à 1.
óïîðÿäî÷åííûé ñïè-
ñîê
Þ. Ã. Êóäðÿøîâ, È. Â. Ùóðîâ, È. À. Õîâàíñêàÿ
1
ÂØÝ, 2011-12, ¾Äèñêðåòíàÿ ìàòåìàòèêà¿
Èòàê, âñåãî åñòü 8 âàðèàíòîâ ðàñêðàñêè. Çàäà÷à ðåøåíà.
Ïðèâåä¼ì òàêæå íåïðàâèëüíîå ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è è îáúÿñíèì, â ÷¼ì îøèáêà.
Íåïðàâèëüíîå ðåøåíèå. Êàê è â ïðåäûäóùåé çàäà÷å, ñíà÷àëà ¾çàìîðîçèì¿ êàðóñåëü. Òîãäà êàæäîå ñèäåíüå ìîæíî ïîêðàñèòü â îäèí èç äâóõ öâåòîâ, òî åñòü îáùåå êîëè÷åñòâî ðàñêðàñîê ðàâíî
2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 25 = 32. Îñòàëîñü, êàê è â ïðåäûäóùåé çàäà÷å, ïîäåëèòü ïîëó÷åííîå ÷èñëî íà 5 è
ïîëó÷èòü îòâåò 6,4.
Òî, ÷òî ýòî ðåøåíèå ñîäåðæèò îøèáêó, ìîæíî ïîíÿòü ïî îòâåòó: êîëè÷åñòâî ñïîñîáîâ ðàñêðàñêè
îáÿçàíî áûòü öåëûì, à ó íàñ ïîëó÷èëîñü íåöåëîå ÷èñëî. Íî ãäå îøèáêà? ×òîáû ýòî ïîíÿòü, ìîæíî
äëÿ êàæäîãî èç íàøèõ âîñüìè âàðèàíòîâ âûïèñàòü, ñêîëüêè âàðèàíòàì ðàñêðàñêè ¾çàìîðîæåííîé¿
êàðóñåëè îíè ñîîòâåòñòâóþò.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èòñÿ, ÷òî êàæäûé âàðèàíò êðîìå ïåðâîãî è ïñëåäíåãî ñîîòâåòñòâóåò ïÿòè âàðèàíòàì, à ïåðâûé è ïîñëåäíèé îäíîìó. Âñåãî 6·5+1+1 = 32 âàðèàíòà.
Òàêèì îáðàçîì, îøèáêà áûëà â òîì, ÷òî íå êàæäîìó âàðèàíòó ðàñêðàñêè èñïðàâíîé êàðóñåëè ñîîòâåòñòâóåò 5 âàðèàíòîâ ðàñêðàñêè ¾çàìîðîæåííîé¿.
(á*) Çàäà÷à íà ñåìèíàðå íå ðàçáèðàëàñü, òîëüêî ñîîáùàëñÿ îòâåò 2 p−2 + 2.
Çàäà÷à 6. (à) Ñêîëüêî ñóùåñòâóåò äåñÿòèçíà÷íûõ ÷èñåë, â äåñÿòè÷íîé çàïèñè êîòîðûõ
öèôðû ðàñïîëîæåíû ïî óáûâàíèþ?
(á*) Êàêèì ñòàíåò îòâåò, åñëè ñíÿòü îãðàíè÷åíèå íà êîëè÷åñòâî çíàêîâ?
Ðåøåíèå. (à) Òàêîå ÷èñëî òîëüêî îäíî: 9876543210.
(á*)1 Çàìåòèì, ÷òî äëÿ ëþáîãî íàáîðà ðàçëè÷íûõ öèôð ñóùåñòâóåò ðîâíî îäíî ÷èñëî,
ñîñòîÿùåå èç ýòèõ öèôð, òàêîå ÷òî öèôðû â åãî çàïèñè ðàñïîëîæåíû ïî óáûâàíèþ. Äåéñòâèòåëüíî, â ýòîì ÷èñëå ñíà÷àëà èä¼ò ñàìàÿ áîëüøàÿ èç öèôð íàáîðà, ïîòîì ñëåäóþùàÿ
è ò. ä. Íàïðèìåð, äëÿ íàáîðà { 1, 5, 3, 2 } òàêèì ÷èñëîì áóäåò 5321.
Ñëåäîâàòåëüíî, êîëè÷åñòâî ÷èñåë, öèôðû êîòîðûõ ðàñïîëîæåíû ïî óáûâàíèþ, ðàâíî
êîëè÷åñòâó
ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà { 0, 1, 2, . . . , 9 }. Â ïóíêòå (á) ñëåäóþùåé
çàäà÷è ìû óâèäèì, ÷òî êîëè÷åñòâî
ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà èç n ýëåìåíòîâ ðàâíî 2n,
ïîýòîìó êîëè÷åñòâî
ïîäìíîæåñòâ ðàâíî 2n − 1.
Çàäà÷à 7.  êîìíàòå ñèäÿò 30 ÷åëîâåê è ðåøàþò, êîìó èäòè â ìàãàçèí. Ñêîëüêî ðàçëè÷íûõ
ðåøåíèé îíè ìîãóò ïðèíÿòü, åñëè (à) äîëæíî ïîéòè ðîâíî 10 ÷åëîâåê? (á) ìîæåò ïîéòè
ëþáîå êîëè÷åñòâî ÷åëîâåê îò 0 äî 30?
Ðåøåíèå. (à) Àíàëîãè÷íî çàäà÷å î âûáîðå òð¼õ äåæóðíûõ, ñíà÷àëà íàõîäèì êîëè÷åñòâî
ñïîñîáîâ ñîñòàâèòü ñïèñîê èç 10 ÷åëîâåê: 30 · 29 · · · · · 21. Òåïåðü íàéä¼ì êîëè÷åñòâî ñïèñêîâ,
ñîîòâåòñòâóþùèõ îäíîìó è òîìó æå íàáîðó ëþäåé. Åñëè ìû óæå ðåøèëè, êàêèå 10 ÷åëîâåê
äîëæíû âîéòè â ñïèñîê, íà ïåðâîå ìåñòî ìîæíî ïîñòàâèòü ëþáîãî îäíîãî èç 10 âûáðàííûõ ëþäåé, íà âòîðîå ëþáîãî èç 9 îñòàâøèõñÿ, è ò. ä., íà ïîñëåäíåå åäèíñòâåííîãî
îñòàâøåãîñÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, òàêèõ ñïèñêîâ 10 · 9 · · · · · 1 = 10!.
Èòàê, 30 · 29 · · · · · 21 ñïèñêîâ ðàñêëàäûâàþòñÿ â ñòîïêè ïî 10! ñïèñêîâ â êàæäîé. Êàæäàÿ
òàêàÿ ñòîïêà ñîîòâåòñòâóåò îäíîìó ñïîñîáó âûáðàòü 10 ÷åëîâåê èç 30. Îòâåò: 30·29·····21
=
10!
30!
20!10! .
(á) Ïîñêîëüêó êàæäûé ÷åëîâåê âûáèðàåò, èäòè åìó èëè íåò, îáùåå êîëè÷åñòâî âàðèàíòîâ
ðàâíî 230.
p
âñåõ íåïóñòûõ
âñåõ
íåïóñòûõ
Õîòÿ ðåøåíèå î÷åíü êîðîòêîå, äîãàäàòüñÿ äî íåãî ñëîæíî. Îáúÿñíèì, êàê ìîæíî áûëî äîãàäàòüñÿ äî îòâåòà. Ñíà÷àëà ðàññìîòðèì ñëó÷àé êîìïàíèè èç îäíîãî ÷åëîâåêà.  ýòîì ñëó÷àå âàðèàíòîâ
âñåãî äâà: îí èëè èä¼ò â ìàãàçèí, èëè íå èä¼ò.
1
Çàäà÷à íà ñåìèíàðå íå ðàçáèðàëàñü.
Þ. Ã. Êóäðÿøîâ, È. Â. Ùóðîâ, È. À. Õîâàíñêàÿ
2
ÂØÝ, 2011-12, ¾Äèñêðåòíàÿ ìàòåìàòèêà¿
Åñëè â êîìïàíèè äâà ÷åëîâåêà, åñòü ÷åòûðå ñëó÷àÿ: íå èä¼ò íèêòî; èä¼ò òîëüêî ïåðâûé; èä¼ò
òîëüêî âòîðîé; èäóò îáà.
Ìîæíî âûïèñàòü âñå âàðèàíòû è äëÿ êîìïàíèè èç òð¼õ ÷åëîâåê: íå èä¼ò íèêòî (1 âàðèàíò), èä¼ò
îäèí ÷åëîâåê (3 âàðèàíòà), èäóò äâîå (3 âàðèàíòà), èäóò âñå òðîå (1 âàðèàíò). Èòîãî 1 + 3 + 3 + 1 = 8
âàðèàíòîâ.
Ïîñìîòðåâ íà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü 2, 4, 8, ìîæíî äîãàäàòüñÿ, ÷òî ïåðåä íàìè ñòåïåíè äâîéêè.
Þ. Ã. Êóäðÿøîâ, È. Â. Ùóðîâ, È. À. Õîâàíñêàÿ
3