$ Èçáðàííûå çàäà÷è îòáîðà íà Ðîññèéñêóþ îëèìïèàäó

$
ÊÂÀÍT 2000/¹4
b
g
b
g
> N N − 1 8 . Òàê êàê îáùåå ÷èñëî ïàðòèé ðàâíî N N − 1 2 ,
òî äîëÿ ïðàâèëüíûõ ïàðòèé áîëüøå 1/4.
á) Ïóñòü ñíà÷àëà â òóðíèðå ó÷àñòâîâàë 2k + 1 èãðîê, ïðè÷åì
êàæäûé ó÷àñòíèê ñ íîìåðîì i ≤ k ïðîèãðàë ó÷àñòíèêàì ñ íîìåðàìè i + 1, ..., i + k è âûèãðàë ó îñòàëüíûõ, à êàæäûé ó÷àñòíèê ñ íîìåðîì i > k âûèãðàë ó ó÷àñòíèêîâ ñ íîìåðàìè
i – k,..., i – 1 è ïðîèãðàë îñòàëüíûì. Î÷åâèäíî, ÷òî âñå èãðîêè íàáðàëè ïî k î÷êîâ, ïðè÷åì â òàáëèöå òóðíèðà âûøå ãëàâk k +1
êëåòêàõ èç
íîé äèàãîíàëè åäèíèöû ñòîÿò ëèøü â
2
2k 2k + 1
. Òåïåðü «ðàçìíîæèì» êàæäîãî èãðîêà, çàìåíèâ åãî
2
áëîêîì èç k íîâûõ, è ïóñòü èãðîêè èç ðàçíûõ áëîêîâ èãðàþò
äðóã ñ äðóãîì òàê æå, êàê ñîîòâåòñòâóþùèå ïðåæíèå èãðîêè,
à èãðîêè èç îäíîãî áëîêà èãðàþò äðóã ñ äðóãîì âíè÷üþ. Ïîëó÷èì íîâóþ òàáëèöó, â êîòîðîé ïî-ïðåæíåìó ó âñåõ èãðîêîâ
ïîðîâíó î÷êîâ. Èçìåíèì ýòó òàáëèöó òàê, ÷òîáû ñóììû î÷êîâ
èãðîêîâ ïåðåñòàëè áûòü ðàâíûìè. Äëÿ ýòîãî áóäåì ìåíÿòü ðåçóëüòàòû èãðîêîâ èç áëîêà k + 1: â èõ âñòðå÷àõ ñ èãðîêàìè èç
áëîêà k + 1 – i çàìåíèì ik âûèãðûøåé íè÷üèìè òàê, ÷òî ñóììà î÷êîâ êàæäîãî èãðîêà èç áëîêà k + 1 óìåíüøèòñÿ, à êàæi
äîãî èãðîêà èç áëîêà k + 1 – i óâåëè÷èòñÿ íà .
2
(Ýòî ìîæíî ñäåëàòü. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü À è  – k-ýëåìåíòíûå ìíîæåñòâà, i ≤ k . Ëåãêî ïîñòðîèòü i (âçàèìíî îäíîçíà÷íûõ) îòîáðàæåíèé À íà  òàê, ÷òî, êàêîé ýëåìåíò õ ìíîæåñòâà À íè âîçüìè, îáðàçû õ ïðè ëþáûõ äâóõ èç ýòèõ îòîáðàæåíèé ðàçëè÷íû.)
Íàïðîòèâ, â ïàðòèÿõ ñ èãðîêàìè èç áëîêà k + 1 + i çàìåíèì
íè÷üèìè ik ïðîèãðûøåé. ×èñëî s íåïðàâèëüíûõ ïàðòèé ñòàíåò ðàâíî
k k +1
2 2k 2k + 1
2 k k +1
k
−k
− 2k
.
2
2
2
Ïðè ýòîì îáùåå ÷èñëî ïàðòèé S ðàâíî
b
b
g
b
g
b
b
gd b
g
g
b
g
g i.
k 2k + 1 k 2k + 1 − 1
2
235600
Ïðè k = 20 íåïðàâèëüíûå ïàðòèè ñîñòàâëÿþò
> 0,7
335790
îò îáùåãî ÷èñëà ïàðòèé. Çàìåòèì òàêæå, ÷òî
s
3
lim = .
k →∞ S
4
15. Áóäåì ïîìåùàòü ìåæäó ïëîñêîñòÿìè ïðàâèëüíûå òåòðàýäðû, ðàññòîÿíèå ìåæäó ïðîòèâîïîëîæíûìè ðåáðàìè êîòîðûõ
ðàâíî ðàññòîÿíèþ ìåæäó ïëîñêîñòÿìè. Ïóñòü îäíî èç ðåáåð
êàæäîãî òåòðàýäðà ëåæèò â îäíîé èç ãðàíè÷íûõ ïëîñêîñòåé, à
ïðîòèâîïîëîæíîå åìó – â äðóãîé. Äâà òåòðàýäðà ìîæíî ðàñïîëîæèòü òàê, ÷òîáû êîíåö «âåðõíåãî» ðåáðà ïåðâîãî ñîâïàäàë ñ ñåðåäèíîé «âåðõíåãî» ðåáðà âòîðîãî, à ñåðåäèíà «íèæíåãî» ðåáðà ïåðâîãî – ñ êîíöîì
«íèæíåãî» ðåáðà
âòîðîãî, è ïðè ýòîì
êàê «âåðõíèå», òàê
è «íèæíèå» ðåáðà
îáîèõ òåòðàýäðîâ
áûëè ïåðïåíäèêóëÿðíû. Ðàñïðîñòðàíèâ ýòîò ïðîöåññ íà
âåñü ñëîé, ïîëó÷èì,
÷òî êàæäûé òåòðàýäð îêðóæåí ÷åòûðüìÿ äðóãèìè
(ðèñ.11). Ýòè «ñîÐèñ. 11
ñåäè» íå ïîçâîëÿþò
ñäâèíóòü òåòðàýäð âî âíåøíþþ (ïî îòíîøåíèþ ê íåìó) ñòîðîíó îò ëþáîé åãî ãðàíè.
Èçáðàííûå çàäà÷è îòáîðà íà Ðîññèéñêóþ îëèìïèàäó
1. Íåò. Åñëè òðè òàêèå õîðäû íàøëèñü, òî îíè äåëÿò ïëîùàäü êðóãà â îäèíàêîâîì îòíîøåíèè 3:4 è ïîòîìó ðàâíû.
Ñåêòîðû ìåæäó èõ êîíöàìè ðàâíîâåëèêè, ïîýòîìó ìåæäó
õîðäàìè îäèíàêîâûå óãëû ïî 60°. Íî òîãäà ìîæíî ïîêàçàòü,
÷òî ýòè ñåêòîðû ìåíüøå ïî ïëîùàäè, ÷åì ñîñåäíèå óñå÷åííûå
ñåêòîðû.
2. Ñðåäè öèôð ÷èñëà n íå áîëåå äâóõ åäèíèö, à îñòàëüíûå –
íóëè. Âñåãäà S ab ≤ S a S b , ïðè÷åì ðàâåíñòâî îçíà÷àåò, ÷òî
ïðè óìíîæåíèè «â ñòîëáèê» íåò ïåðåíîñîâ èç îäíîãî ðàçðÿäà
â äðóãîé. Åñëè ïðè âîçâåäåíèè n â ÷åòâåðòóþ ñòåïåíü íåò ïåðåíîñîâ, òî ÷åòâåðòàÿ ñòåïåíü êàæäîé öèôðû – îäíîçíà÷íîå
÷èñëî. Åñëè â çàïèñè n õîòÿ áû òðè åäèíèöû, òî ïðè âîçâåäå2
íèè n â êâàäðàò ïîÿâëÿåòñÿ ïåðåíîñ. Åñëè åäèíèö íå áîëåå
äâóõ, òî ïåðåíîñà íå âîçíèêàåò.
3. Òàê êàê âïèñàííûå óãëû KBD è KCA ðàâíû, òî òî÷êè X,
Y, B, C ëåæàò íà îäíîé îêðóæíîñòè. Òîãäà óãëû CBY è CXY
ðàâíû êàê âïèñàííûå. Äàëåå èñïîëüçóåì ðàâåíñòâî âïèñàííûõ óãëîâ CBD è CAD.
4. (Ðåøåíèå îñíîâàíî íà ðàáîòå ó÷åíèöû 10 êëàññà ëèöåÿ
«Âòîðàÿ øêîëà» Å.Ìóðàâüåâîé.) Òðåóãîëüíèêè, â êîòîðûå
âïèñàíû ðàâíûå îêðóæíîñòè, áóäåì íàçûâàòü îòìå÷åííûìè.
Åñëè îòìå÷åíû êàêèå-ëèáî äâà òðåóãîëüíèêà, «ñèììåòðè÷íûõ
îòíîñèòåëüíî áèññåêòðèñû AD», òî ÀÂ = ÀÑ.
Äåéñòâèòåëüíî, åñëè îòìå÷åíû ÀÎÅ è ÀÎF, òî ∠ ÀÅ =
= ∠ AFC, îòêóäà ∠ ÀÂÅ = ∠ ÀÑF. Ïóñòü îòìå÷åíû ÎÂF è
ÎÑÅ. Òîãäà â ýòèõ òðåóãîëüíèêàõ ðàâíû óãëû ïðè âåðøèíå
Î, îïóùåííûå èç Î íà BF è CE âûñîòû è ðàäèóñû âïèñàííûõ îêðóæíîñòåé. Îòñþäà ëåãêî âûâåñòè, ÷òî ðàâíû è ñàìè
òðåóãîëüíèêè. Òàê êàê ∠ OBF ≠ ∠ OEC, òî ∠ OBF =
= ∠ OCÅ.
Ðàâåíñòâî ∠ OBD = ∠ OCD ñëåäóåò è èç îòìå÷åííîñòè òðåóãîëüíèêîâ OBD è OCD; äîêàçàâ ýòî, ìû çàâåðøèëè áû ðåøåíèå çàäà÷è. ( ñàìîì äåëå, êàêóþ áèññåêòðèñó l íè âîçüìè,
íàéäåòñÿ õîòÿ áû îäíà ïàðà «ñèììåòðè÷íûõ îòíîñèòåëüíî l»
îòìå÷åííûõ òðåóãîëüíèêîâ.) Îäíàêî ìû íå óìååì äîêàçûâàòü
ýòî ðàâåíñòâî áåç âû÷èñëåíèé; íå ïðèáåãàÿ ê íèì, ìû îêîí÷èì ðåøåíèå íåñêîëüêî ïî-äðóãîìó.
Î÷åâèäíî, ó òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ åñòü âåðøèíà, ê êîòîðîé ïðèìûêàþò îòìå÷åííûå òðåóãîëüíèêè, – íàïðèìåð, À. Çíà÷èò,
À = ÀÑ. Îïèðàÿñü íà ýòî, äîêàæåì, ÷òî èç îòìå÷åííîñòè
OFB è OFA ñëåäóåò ÀÑ = ÂÑ.
Îáîçíà÷èì ÷åðåç O1 , O2 , O3 öåíòðû îêðóæíîñòåé, âïèñàííûõ
â òðåóãîëüíèêè ÀÎÅ, ÀÎF, BOF ñîîòâåòñòâåííî. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî O1O2 | | BC , O2 O3 | | AB , O3 O1 | | BE , îòêóäà O2 O3 =
= O1O2 . Çíà÷èò, îêðóæíîñòè ñ öåíòðàìè O2 è O3 èìåþò îáùóþ òî÷êó êàñàíèÿ ñ CF, CF ⊥ O2 O3 , îòêóäà ÀÑ = ÂÑ.
5. Çàôèêñèðîâàâ k, ïðîâåäåì èíäóêöèþ ïî ÷èñëó ðåáåð n.
Íà÷àëî î÷åâèäíî. Äëÿ èíäóêòèâíîãî ïåðåõîäà îò n – 1 ê n
ñîòðåì ðåáðî, ñîåäèíÿþùåå êàêèå-òî âåðøèíû À è Â. Òåïåðü
êîëè÷åñòâî ïðàâèëüíûõ ðàñêðàñîê åñòü ìíîãî÷ëåí P k . Èç
íåãî íóæíî âû÷åñòü êîëè÷åñòâî ïðàâèëüíûõ ðàñêðàñîê ãðàôà,
ïîëó÷àåìîãî ïðè îòîæäåñòâëåíèè À è Â. Íî ïî èíäóêòèâíîìó
ïðåäïîëîæåíèþ ýòî òàêæå íåêîòîðûé ìíîãî÷ëåí Q k .
6. Åñëè x ≤ 0 , òî x = − y 2 äëÿ íåêîòîðîãî ó, è f x =
b g bgbg
bg
e d b g ij
d b gi
bg
bg
2
bg
=f f f y
= − f y ≤ 0 . Â îáëàñòè x > 0 ôóíêöèÿ f x
âçàèìíî îäíîçíà÷íà, è èç íåïðåðûâíîñòè ñëåäóåò åå ñòðîãàÿ
ìîíîòîííîñòü. Åñëè f a > 0 äëÿ íåêîòîðîãî à > 0, òî
2
f f x âîçðàñòàåò ïðè õ = à, òîãäà êàê −x óáûâàåò.
7. n + 1. Äëÿ n = 0 è n = 1 ðåçóëüòàò î÷åâèäåí. Ïóñòü îí âåðåí äëÿ êàêîãî-òî n > 1.  êóáå ñ ðåáðîì 2 è ïëîòíîé ðàññòàn
íîâêîé ëàäåé «ðàçäóåì» åäèíè÷íûå êóáèêè â 2 ðàç. Íà ìåñòî ëàäåé ïîñòàâèì êóáû ñ ïëîòíîé ðàññòàíîâêîé è n + 1 «óãëîâèêîì». Ïîëó÷èì êóá ñ ðåáðîì 2 n +1 è íå ìåíåå ÷åì n + 2
«óãëîâèêàìè». Áîëüøå èõ áûòü è íå ìîæåò: åñëè «óãëîâèê» ñ
ðåáðîì l ñîäåðæèòñÿ â «óãëîâèêå» ñ ðåáðîì m, òî m ≥ 2l .
Ïîñëåäíåå ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî â èõ «ðàçíîñòè» ìîæíî ðàñ2
ñòàâèòü íå áîëåå 3 m − l ëàäåé òàê, ÷òîáû îíè íå áèëè äðóã
d b gi
b
bg
g