1-я версия

Ê âîïðîñó
î
ïî÷òè
îáòåêàåìûõ
è
íåâèäèìûõ ïîâåðõíîñòÿõ
Ðàáîòà
ó÷åíèêà 11 êëàññà ãèìíàçèè 1514
Ïîïåñêó Àíäðåÿ Äîðèíîâè÷à
Íàó÷íûé ðóêîâîäèòåëü:
Ïðîòàñîâ Âëàäèìèð Þðüåâè÷
ä.ô.-ì.í., ïðîôåññîð ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî
ôàêóëüòåòà ÌÃÓ èì.Ëîìîíîñîâà
Ìîñêâà-2012
Ñîäåðæàíèå
1
Ââåäåíèå
1
2
Ïîâåðõíîñòè ñ ïî÷òè íóëåâûì ñîïðîòèâëåíèåì
2
3
Ïîâåðõíîñòü ñ íóëåâûì ñîïðîòèâëåíèåì
2
4
Êîíñòðóêöèÿ êóáà ñ ïî÷òè íóëåâûì ñîïðîòèâëåíèåì
2.1 Êîíñòðóêöèÿ ñ ïî÷òè íóëåâûì ñîïðîòèâëåíèåì . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 3-õ ìåðíàÿ êîíñòðóêöèÿ ïî÷òè íóëåâîãî ñîïðîòèâëåíèÿ . . . . . . . . . .
3.1
3.2
3.3
3.4
Ïëîñêàÿ ôèãóðà ñ íóëåâûì ñîïðîòèâëåíèåì
Ïðîñòðàíñòâåííûé àíàëîã . . . . . . . . . .
Ïðèìå÷àíèå ê êîíñòðóêöèè À.Þ.Ïëàõîâà .
Âû÷èñëåíèå íàèáîëüøåãî ïîëåçíîãî îáú¼ìà
3.4.1 Êîíñòðóêöèÿ èç ïàðàáîë . . . . . . .
3.4.2 Êîíñòðóêöèÿ èç òðåóãîëüíèêîâ . . .
3.5 Êîíñòðóêöèÿ, íåâèäèìàÿ ñ çàäàííîé òî÷êè .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2
2
3
3
4
6
6
7
7
10
1 Ââåäåíèå
Âïåðâûå çàäà÷ó î íàõîæäåíèè ïîâåðõíîñòè íàèìåíüøåãî ñîïðîòèâëåíèÿ ïîñòàâèë Èñààê Íüþòîí â 1687 ãîäó â åãî êíèãå "Principia"[1]. Òî÷íàÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷è òàêîâà:
"Ñðåäè âñåõ ïîâåðõíîñòåé ñ äàííîé âûñîòîé h è îñíîâàíèå ââèäå êðóãà äàííîãî
ðàäèóñà R íàéòè òó, êîòîðàÿ îáëàäàåò ìèíèìàëüíûì ñîïðîòèâëåíèåì ïðè
ïîñòóïàòåëüíîì äâèæåíèè â îäíîðîäíîé ðàçðåæåííîé ñðåäå."
Èñààê Íüþòîí ðåøèë ýòó çàäà÷ó äëÿ ëþáûõ h è R ïðè ñëåäóþùèõ, âïîëíå åñòåñòâåííûõ, ïðåäïîëîæåíèÿõ: ïîâåðõíîñòü âûïóêëà è ÿâëÿåòñÿ ïîâåðõíîñòüþ âðàùåíèÿ.
Îêàçàëîñü, ÷òî îïòèìàëüíàÿ ïîâåðõíîñòü èìååò íåñêîëüêî ïàðàäîêñàëüíóþ ôîðìó:
îíà èìååò "òóïîé êîíåö" , áåç çàîñòðåíèÿ. Íüþòîí ïîëó÷èë ÿâíóþ ôîðìóëó äëÿ ýòîé
ïîâåðõíîñòè. Áîëåå 300 ëåò íèêòî íå ïîäâåðãàë ñîìíåíèþ ðåøåíèå Íüþòîíà. Ëèøü â
íà÷àëå XXI âåêà âûÿñíèëîñü, ÷òî îïòèìàëüíàÿ âûïóêëàÿ ïîâåðõíîñòü âîâñå íå ÿâëÿåòñÿ ïîâåðõíîñòüþ âðàùåíèÿ. Íàïðèìåð, ó, òàê íàçûâàåìîé "îòâåðòêè" , ñîïðîòèâëåíèå
ìåíüøå, ÷åì ó ïîâåðõíîñòè Íüþòîíà. Áîëåå òîãî, êàê ïîêàçàë â 2009 ã. [2] À.Þ.Ïëàõîâ
(óíèâåðñèòåò Àâåéðî, Ïîðòóãàëèÿ), ñðåäè íåâûïóêëûõ ïîâåðõíîñòåé åñòü òàêèå, ó êîòîðûõ ñîïðîòèâëåíèå ñêîëü óãîäíî ìàëî, è äàæå ñóùåñòâóþò ïîâåðõíîñòè ñ íóëåâûì
ñîïðîòèâëåíèåì.  îïòè÷åñêîé èíòåðïðåòàöèè ýòî îçíà÷àåò, ÷òî òàêèå ïîâåðõíîñòè, ñäåëàííûå èç çåðêàëüíîãî ìàòåðèàëà, áóäóò ïðîïóñêàòü, íå îòêëîíÿÿ, ïàðàëëåëüíûé ïó÷îê
ñâåòà, ò.å áóäóò àáñîëþòíî ïðîçðà÷íû.
 äàííîé ðàáîòå ìû èçó÷àåì àáñîëþòíî îáòåêàåìûå (íåâèäèìûå ïîâåðõíîñòè). Âîïåðâûõ, áóäåò ïîñòðîåíà ñåðèÿ íåâèäèìûõ ïîâåðõíîñòåé, êîòîðàÿ ïðèíöèïèàëüíî îòëè÷àåòñÿ îò êîíñòðóêöèè À.Þ.Ïëàõîâà (§3.1) . Áîëåå òîãî, ýòè ïîâåðõíîñòè âìåùàþò
áîëüøèé îáúåì (ïðè äàííûõ ðàçìåðàõ). Çàäà÷à îá îïòèìàëüíûõ íåâèäèìûõ ïîâåðõíîñòÿõ, âìåùàþùèõ íàèáîëüøèé îáúåì, ðàññìàòðèâàþòñÿ â §3.5. Íîâàÿ êîíñòðóêöèÿ
íåâèäèìûõ ïîâåðõíîñòåé îñíîâûâàåòñÿ íà îïòè÷åñêèõ ñâîéñòâàõ ïàðàáîëû.  §4 áóäåò
ïîñòðîåíà ïîâåðõíîñòü "ïî÷òè íåâèäèìàÿ"ñ òðåõ ñòîðîí.
1
 ðàáîòå âñå ïîâåðõíîñòè áóäóò èìåòü íåêîòîðîå çåðêàëüíîå ïîêðûòèå, êîòîðîå áóäåò
îòðàæàòü âñå ïàäàþùèå íà íåãî ëó÷è. Áóäóò ðàññìîòðåíû ðàçëè÷íûå êîíôèãóðàöèè
ïîâåðõíîñòåé, à òàêæå äîêàçàíî óòâåðæäåíèå î òîì, ÷òî ñâîéñòâîì ñîáèðàòü ïàäàþùèé
ïàðàëëåëüíûé ïó÷îê â ôîêóñå îáëàäàþò òîëüêî ïàðàáîëîèäû.
2 Ïîâåðõíîñòè ñ ïî÷òè íóëåâûì ñîïðîòèâëåíèåì
F
F'
Ðèñ. 2
Ðèñ. 1
2.1
Êîíñòðóêöèÿ ñ ïî÷òè íóëåâûì ñîïðîòèâëåíèåì
Ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ êîíñòðóêöèþ, ñîñòàâëåííóþ èç ïàðàáîë (ðèñ. 1). Õîä ëó÷à îáîçíà÷åí æ¼ëòûì öâåòîì. F è F ′ - ôîêóñû ïàðàáîë.
Ñèñòåìà ñîñòàâëåíà èç 2-õ ïðîòèâîíàïðàâëåííûõ îäíîôîêóñíûõ ïàðàáîë (íà ðèñóíêå
- ñåðûé è ñèíèé öâåòà), à òàêæå ñèììåòðè÷íîé èì ïàðå òàêèõ æå ïàðàáîë. Ñèììåòðèÿ
ñîáëþäàåòñÿ îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé, ïåðïåíäèêóëÿðíîé íà÷àëüíîìó íàïðàâëåíèþ ïó÷êà.
Êàê âèäíî èç ðèñóíêà, âûõîäÿ èç êîíñòðóêöèè, ëó÷ íå ìåíÿåò íàïðàâëåíèÿ ñâîåãî äâèæåíèÿ. Èñêëþ÷åíèå ñîñòàâëÿþò ñëó÷è, ïîïàäàþùèå íà âíåøíþþ ïîâåðõíîñòü
âñïîìîãàòåëüíîé ïàðàáîëû (îáîçíà÷åíà ñèíèì öâåòîì). Îäíàêî, ïðè íåîãðàíè÷åííîì
óìåíüøåíèè å¼ ðàçìåðà, ìîæíî äîáèòüñÿ ìèíèìàëüíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ, ò.ê. åñëè âñïîìîãàòåëüíàÿ ïàðàáîëà ïî ðàçìåðó áóäåò ñòðåìèòüñÿ ê òî÷å÷íîìó îáúåêòó, òî ëèøü îäèí
ëó÷ ïîïàäåò íà å¼ ïîâåðõíîñòü. Åñëè óñëîâíî ñ÷èòàòü, ÷òî ëó÷åé áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî, òî îòíîøåíèå Nx → 0, ãäå x - êîëè÷åñòâî ëó÷åé, ïîïàâøèõ íà âíåøíþþ ñòîðîíó
âñïîìîãàòåëüíîé ïàðàáîëû, à N - ïîëíîå ÷èñëî ëó÷åé. Ò.å, äëÿ íàáëþäàòåëÿ îíà îêàæåòñÿ ïðàêòè÷åñêè íåâèäèìîé.
2.2
3-õ ìåðíàÿ êîíñòðóêöèÿ ïî÷òè íóëåâîãî ñîïðîòèâëåíèÿ
 §2.1 áûëà ðàçîáðàíà ïëîñêàÿ ïî÷òè íåâèäèìàÿ ôèãóðà. ×òîáû ïîëó÷èòü ïðîñòðàíñòâåííûé àíàëîã, äîñòàòî÷íî "çàêðóòèòü"ýòó ïëîñêóþ ôèãóðó âîêðóã îñè ñèììåòðèè
F F ′ . Òîãäà ìû ïîëó÷èì êîíñòðóêöèþ èç 4-õ ñîîñíûõ ïàðàáàëîèäîâ ñî ñêîëü óãîäíî
ìàëûì ñîïðîòèâëåíèåì (ðèc. 2).
3 Ïîâåðõíîñòü ñ íóëåâûì ñîïðîòèâëåíèåì
 ýòîé ãëàâå áóäóò ðàññìîòðåíû êîíñòðóêöèè ñ íóëåâûì ñîïðîòèâëåíèåì. Äëÿ íà÷àëà
èññëåäóåì ïëîñêèå ôèãóðû ñ íóëåâûì ñîïðîòèâëåíèåì, çàòåì ïîñòðîèì èõ ïðîñòðàí-
2
ñòâåííûå àíàëîãè. Îäíîé èç òàêèõ ôèãóð áóäåò êîíñòðóêöèÿ èç òðåóãîëüíèêîâ Ïëàõîâà
(2009). Òàêæå, ìû ïðèâåäåì äðóãóþ êîíñòðóêöèþ, ñîñòàâëåííóþ èç ïàðàáîë.
3.1
Ïëîñêàÿ ôèãóðà ñ íóëåâûì ñîïðîòèâëåíèåì
Âîçüì¼ì 2 îäíîôîêóñíûå ïðîòèâîíàïðàâëåííûå ðàâíûå ïàðàáîëû. Õîä ëó÷à ïîêàçàí
íà ëåâîì ðèñóíêå íèæå:
F
F
F
Ðèñ. 4
Ðèñ. 3
Ëó÷, îòðàæàÿñü îò ïåðâîé ïàðàáîëû, ïîïàäàåò â ôîêóñ, çàòåì, îòðàæàÿñü îò 2-é
ïàðàáîëû, èä¼ò ïàðàëëåëüíî íà÷àëüíîìó íàïðàâëåíèþ äâèæåíèþ.
Íà ðèñóíêå ñïðàâà èçîáðàæåíà êîíñòðóêöèÿ, îáëàäàþùàÿ ñâîéñòâîì íåâèäèìîñòè
(íèêàêèå ëó÷è íå ìåíÿþò ñîâåãî íà÷àëüíîãî íàïðàâëåíèÿ). Ïîëó÷åíà îíà ïóòåì óäâîåíèÿ ôèãóðû íà ðèñóíêå ñëåâà.
Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî â õàðàêòåðèñòèêå ôèãóðû íà ïðàâîì ðèñóíêå hd íå îáÿçàòåëüíî const, ãäå h - âûñîòà êîíñòðóêöèè, d - øèðèíà. Îäíàêî ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ýòîãî
îòíîøåíèÿ èìåþò íèæíþþ ãðàíèöó: äëÿ òîãî, ÷òîáû ëó÷ ïðîõîäèë âíèç ÷åðåç ôîêóñ,
íóæíî, ÷òîáû |f ′(x)| > 1. Ââîäÿ ñèñòåìó êîîðäèíàò, â êîòîðîé îñü Ox ïàðàëëåëüíà d⃗, îñü
1
Oy ïàðàëëåëüíà ⃗h, à F èìååò êîîðäèíàòû (0, 0), èìååì óðàâíåíèå ïàðàáîëû: y = ax2 − 4a
.
1
′
Òîãäà y = 2ax = 1 ⇔ x = 2a ⇒ y = 0. Â ïðåäåëå ∆h → 0 - ðàññòîÿíèå íà îñè Oy, íà
êîòîðîì ïðèñóòñòâóåò ÷àñòü ïàðàáîëû, ïîëó÷àåì hd → 2 = 1. Òàêèì îáðàçîì, hd > 1.
Äëÿ ðèñóíêà ñëåâà (ôèãóðà ñ íóëåâûì ñîïðîòèâëåíèåì) hd > 12 . Âñå îñòàëüíûå çíà÷åíèÿ
1
ax2 − 4a
îòíîøåíèÿ äîñòèãàþòñÿ, ò.ê x→∞
lim
= ∞.
x
1
4a
1
2a
3.2
Ïðîñòðàíñòâåííûé àíàëîã
Çàêðó÷èâàÿ ôèãóðó èç ïðåäûäóùåãî ïóíêòà âîêðóã ñâîåé îñè, àíàëîãè÷íî §3.2, ïîëó÷èì
íåâèäèìóþ ôèãóðó â ïðîñòðàíñòâå.
3
F
F
Ðèñ. 5
3.3
Ïðèìå÷àíèå ê êîíñòðóêöèè À.Þ.Ïëàõîâà
 ñâîåé ðàáîòå À.Þ.Ïëàõîâ ïðèâîäèò ïðèìåð ïîëíîñòüþ íåâèäèìîãî îáúåêòà. Ýòî êîíñòðóêöèÿ èç ðàâíîáåäðåííûõ òðåóãîëüíèêîâ ñ óãëîì 120◦ ïðè âåðøèíå (ðèñóíîê íèæå). Îäíàêî ìîæíî ïðîâîäèòü âàðèàöèè ýòîé êîíñòðóêöèè, èçìåíÿÿ óãîë ïðè âåðøèíå
òðåóãîëüíèêîâ, äëÿ òîãî, ÷òîáû äîáèòüñÿ ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé hl , ãäå h - âûñîòà êîíñòðóêöèè, d - øèðèíà. Äëÿ êîíñòðóêöèè, ñîñòîÿùåé èç òðåóãîëüíèêîâ ñ óãëîì 120◦ ïðè
âåðøèíå ýòî îòíîøåíèå ñîñòàâëÿåò:
4
4 √13
=
√
3
Ïîêàæåì, êàêîé óãîë ñëåäóåò âçÿòü ïðè âåðøèíå, äëÿ òîãî, ÷òîáû äîáèòüñÿ x = hl
ïðè çàäàííîé âåëè÷èíå îñíîâàíèÿ òðåóãîëüíèêîâ.
Ïóñòü îñíîâàíèå òðåóãîëüíèêîâ AB = a, âûñîòà êîíñòðóêöèè h, óãîë ïðè îñíîâàíèè
òðåóãîëüíèêîâ α = ∠BAC , øèðèíà l. Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî h ìîæåò áûòü îòëè÷íî îò
2a, ò.ê ìîæíî ñîñòàâëÿòü òðåóãîëüíèêè, íå êàñàþùèåñÿ äðóã äðóãà. Ïðè ïåðâîãî îòðàæåíèÿ îò êîíñòðóêöèè, ëó÷ èäåò ïîä óãëîì 2α îò íàïðàâëåíèÿ íà÷àëüíîãî äâèæåíèÿ.
Òîãäà
tg 2α =
Sx
Sy
(1)
Ò.ê òðåóãîëüíèêè ðàñïîëîæåíû ñèììåòðè÷íî, òî èõ ïàðíûå ñòîðîíû ïàðàëëåëüíû. Ò.å,
EG = const. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ îïðåäåëåíèÿ Sx è Sy óäîáíî ðàññìîòðåòü êðàéíèé
ëó÷ (îáîçíà÷åí ñèíèì ïóíêòèðîì). Òîãäà:
Sx = l −
4
a tg α
2
A
D
E
C
G
B
K
Ðèñ. 6
Ðèñ. 7
Sy =
Ïîäñòàâëÿÿ â (1), èìååì:
tg 2α =
tg 2α =
h a
−
2 2
l−
a tg α
2
h
a
−
2
2
2x − ha · tg α
1 − ha
(2)
Ýòî íåÿâíîå âûðàæåíèå çàâèñèìîñòè äëÿ α îò x è ha . Åñëè ñ÷èòàòü, ÷òî âåðõíèé è
íèæíèé òðåóãîëüíèêè êàñàþòñÿ, òî ha = 21 , à çíà÷èò:
tg 2α = 4x − tg α
2 tg α
Ïðåîáðàçóåì ýòî âûðàæåíèå, ó÷èòûâàÿ, ÷òî tg 2α = 1−tg
:
α
2
2 tg α
= 4x − tg α
1 − tg2 α
Âûðàçèì x ÷åðåç tg α:
2 tg α = 4x − tg α + tg3 α − 4x tg2 α
x=
tg3 α − 3 tg α
4 tg2 α − 4
Èññëåäóåì ýòî âûðàæåíèå. 0 < tg α < 1 èç ðàññóæäåíèé î õîäå ëó÷à ïðè îòðàæåíèè îò
òðåóãîëüíèêîâ. Îäíàêî, tglim
= −∞, à lim = ∞. Òàê êàê ôóíêöèÿ f (tg α) íåïðåðûâíà
α→0
tg α→1
íà (0; 1), òî äîñòèãàþòñÿ âñå çíà÷åíèÿ x ïðè èçìåíåíèè α. Ýòî, â ñâîþ î÷åðåäü, ãîâîðèò
î òîì, ÷òî äëÿ ëþáîãî x íàéäåòñÿ α ∈ (0; π2 ). Ò.å, ëþáûå îòíîøåíèÿ hl äîñòèãàþòñÿ.
5
3.4
Âû÷èñëåíèå íàèáîëüøåãî ïîëåçíîãî îáú¼ìà
Èññëåäóåì ñëåäóþùóþ çàäà÷ó: ïóñòü èìåþòñÿ ôèãóðû, èìåþùèå íóëåâîå ñîïðîòèâëåíèå. Ïîëåçíûì îáú¼ìîì íàçîâåì îáëàñòü, êóäà ëó÷è íå ïðîõîäÿò, è ãäå ìîæíî áåç èçìåíåíèÿ ñâîéñòâ êîíñòðóêöèè çàïîëíèòü ëþáûì ìàòåðèàëîì. Íóæíî íàéòè ìàêñèìàëüíîå
îòíîøåíèå ïîëåçíîãî îáú¼ìà ê ïîëíîìó îáú¼ìó ôèãóðû, à òàêæå óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ
ýòîò ìàêñèìóì äîñòèãàåòñÿ.
3.4.1
Êîíñòðóêöèÿ èç ïàðàáîë
Ñíà÷àëà ðàññìîòðèì ôèãóðó èç §3.2. Ïîëåçíûì îáú¼ìîì â ýòîé êîíñòðóêöèè ÿâëÿåòñÿ îáëàñòü ìåæäó áîêîâîé ïîâåðõíîñòüþ öèëèíäðà è ïàðàáîëîèäàìè. Âû÷èñëèì ìàêñèìàëüíî âîçìîæíîå îòíîøåíèå ïîëåçíîãî îáú¼ìà ê ïîëíîìó îáúåìó ôèãóðû. Ââåä¼ì
îáîçíà÷åíèÿ: l - øèðèíà êîñòðóêöèè (â íàøåì ñëó÷àå - äèàìåòð), h - âûñîòà. Ðàññìîòðèì
ïàðàáîëîèäû. Äëÿ ðàññ÷¼òîâ ââåäåì ñèñòåìó êîîðäèíàò. Ïóñòü îñü ñèììåòðèè ïàðàáîëîèäà ñîâïàäàåò ñ îñüþ OX , ïëîñêîñòü Y OZ êàñàåòñÿ ïàðàáîëîèäà â íèæíåé òî÷êå.
Òîãäà äëÿ ëþáîãî ñå÷åíèÿ, ñîäåðæàùåãî OZ , y = ax2, ãäå a > 0.
dV = πx2 dy = πx2 · 2ax = 2πx3 a
∫
∫
x0
x0
dV =
0
πx2 · 2ax = 2πx3 a
0
2πy 2
3a
(3)
×òîáû âû÷èñëèòü îáú¼ì óñå÷åííîãî ïàðàáîëîèäà, ïðèìåíèì ôîðìóëó äëÿ îáúåìà
ïàðàáîëîèäà. Ïîëó÷èì:
V =
1 2
)
2π( h2 + 4a
2πy 2
2π
π h2
h
15
V =
− 3 =
= ( +
−
)
3a
3a
3a
6a 4
4a 16a2
1
= ax2 − 4a
Çíàÿ V - îáú¼ì óñå÷åííîãî ïàðàáîëîèäà, ëåãêî
Ïðèìåíèì h2
"áåñïîëåçíûé"îáú¼ì:
Vuseless = 2V =
ìîæíî íàéòè
π h2
h
15
( +
−
)
3a 4
4a 16a2
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ïîëíûé îáú¼ì V0 = πh( 2l )2, íàéäåì ìèíèìóì îòíîøåíèÿ V V :
useless
0
α=
2 h2 + ha
2 h + a1
2 ha + 1
= min
=
1 =
2h
1
3 2( a + a2 )
3 2h + a
3 2ha + 1
2 (2ah + 1) − 2(ah + 1)
2 −ha
=
=0
2
3
(2ah + 1)
3 (2ha + 1)2
äîñòèãàåòñÿ â ïðåäåëå ha → ∞. Â ýòîì ïðåäåëå:
′
αha
=
Ò.ê ha > 0, òî ìèíèìóì
Vuseless
1
=
V0
3
2
Vuse
= ≈ 0, 66
V0
3
6
3.4.2
Êîíñòðóêöèÿ èç òðåóãîëüíèêîâ
Ðàññìîòðèì òåïåðü ïðîñòðàíñòâåííûé àíàëîã êîíñòðóêöèè Ïëàõîâà (§3.3). Îí áóäåò
ñîñòîÿòü èç 4-õ óñå÷åííûõ êîíóñîâ (áåñïîëåçíûé îáú¼ì), êîòîðûå âïèñàíû â öèëèíäð.
Íàéäåì ìàêñèìàëüíîå îòíîøåíèå ïîëåçíîãî îáú¼ìà ê ïîëíîìó. Ïîëíûé îáú¼ì:
V0 =
πl2 h
4
Îáú¼ì óñå÷åííîãî êîíóñà - ðàçíîñòü îú¼ìîâ ñîîòâåòñòâóþùèõ êîíóñîâ:
1 πl2 H
l
h
Vx = (
− πH ′ ( − ( tg α))2 )
3 4
2
4
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî H = 2l ctg α, à H ′ = ctg α( 2l − h4 ), ïîëó÷èì:
Vx =
π ctg α l3
l
h
( − ( − tg α)3 )
3
8
2 4
Vuseless = 4Vx
3
3
ctg α( l8 − ( 2l − h4 tg α)3 )
ctg α( x8 − ( x2 −
Vuseless
γ(α) =
= 16
=
16
V0
3l2 h
3x2
tg α 3
))
4
;
tg α
.
ãäå x = tg4(tgα−3α−1)
Ãðàôèê ôóíêöèè γ(tg α) ïðåäñòàâëåí íà ðèñóíêå íèæå:
Ïîñ÷èòàåì ïðåäåë Vuseless = 4Vx ïðè α → 0:
3
2
x≈
lim γ(α) =
α→0
3α − α3
3α
≈
4(1 − α2 )
4
27
16 · ( 512
−
1
512
3·9
16
=
1 26
13
·
=
≈ 0, 48
2 27
27
Òàêèì îáðàçîì, îòíîøåíèå ìàêñèìàëüíîãî ïîëåçíûé îáú¼ìà ê ïîëíîìó îáú¼ìó èìååò
çíà÷åíèå:
Vuse
15
=
≈ 0, 52
V
27
Èòàê, ìû ðàññìîòðåëè 2 ñåìåéñòâà êîíñòðóêöèé íóëåâîãî ñîïðîòèâëåíèÿ. Èç ðàññ÷åòîâ ìû ïîëó÷èëè, ÷òî èñïîëüçóÿ êîíñòðóêöèþ èç ïàðàáîëîèäîâ ìîæíî óâåëè÷èòü
îòíîøåíèå ïîëåçíîãî îáúåìà ê ïîëíîìó íà 20%. Ýòè ðåçóëüòàòû ìîãóò ïîíàäîáèòüñÿ
íàïðèìåð, ïðè ïîñòðîåíèè íåêîòîðîãî êîñìè÷åñêîãî îáúåêòà, êîòîðûé áóäåò èìåòü ãðóç
íà áîðòó.
3.5
Êîíñòðóêöèÿ, íåâèäèìàÿ ñ çàäàííîé òî÷êè
Îòíîñèòåëüíî íåäàâíî áûë ïîñòðîåíà ðåàëüíàÿ ìîäåëü îáúåìíîé êîíñòðóêöèè Ïëàõîâà.
Îäíàêî, ïðè åå ðàññìîòðåíèè, âûÿñíèëîñü, ÷òî ýôôåêò íåâèäèìîñòè íå ïîëíûé. Äðóãèìè ñëîâàìè, ïîâåðõíîñòü âñå ðàâíî èñêàæàåò êàðòèíó. Òîãäà Ñ.Ï.Òàðàñîâ óêàçàë íà
7
Ðèñ.8
âîçìîæíóþ ïðè÷èíó: "íåâèäèìûå"ïîâåðõíîñòè, ðàññìîòðåííûå ðàíåå, áûëè íåâèäèìûìè òîëüêî äëÿ áåñêîíå÷íî óäàëåííîãî íàáëþäàòåëÿ. ×åëîâåê, íàõîäÿùèéñÿ íà ðàññòîÿíèè íåñêîëüêèõ ìåòðîâ, ýôôåêòà íàáëþäàòü íå áóäåò.  ýòîé ãëàâå áóäåò ðàññìîòðåíà
ïîâåðõíîñòü, êîòîðàÿ áóäåò íåâèäèìàÿ äëÿ íàáëþäàòåëÿ ñ çàäàííîãî ðàññòîÿíèÿ.
Èçìåíèì íåñêîëüêî ïîâåðõíîñòü (§4.2) òàê, ÷òîáû îíà óäîâëåòâîðÿëà óñëîâèþ: âñå
ëó÷è, ïóòü êîòîðûõ äî îòðàæåíèÿ ëåæàë ÷åðåç íåêîòîðóþ òî÷êó, ïðåòåðïåâ íåêîòîðûå
îòðàæåíèÿ îò çåðêàëüíîé ïîâåðõíîñòè, íå èçìåíÿò ñâîåãî íà÷àëüíîãî ïóòè. Òîãäà äëÿ
ýòîé òî÷êè (íàçîâåì ò.O) ïîâåðõíîñòü áóäåò íåâèäèìîé.
Íà ðèñóíêå îáîçíà÷åíû 4 ÷àñòè ôèãóðû:
1) ýëëèïñîèä, îäíèì èç ôîêóñîâ êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ òî÷êà O;
2) ïàðàáîëîèä, ôîêóñ êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ âòîðûì ôîêóñîì ýëëèñîèäà (1);
3) ïàðàáîëîèä, ñîôîêóñíûé ñ ïàðàáîëîèäîì (2);
4) ãèïåðáîëîèä, îäèí èç ôîêóñîâ êîòîðîãî ñîâïàäàåò ñ ôîêóñîì ïàðàáîëîèäà (3), äðóãîé
- òî÷êà O.
Ëó÷ ñâåòà OA, âûõîäÿùèé èç òî÷êè O, îòðàçèâøèñü îò ïîâåðõíîñòè ýëëèïñîèäà (1),
ïîïàäàåò âî âòîðîé ôîêóñ ýëëèïñîèäà - òî÷êó F . Äàëåå ëó÷ (ó÷àñòîê A1A2) èäåò äî
ïåðåñå÷åíèÿ ñ ïîâåðõíîñòüþ ïàðàáîëëîèäà (2). Òàê êàê ïàðàáîëëîèä (2) èìååò ôîêóñ
â òî÷êå F , òî ëó÷, îòðàçèâøèñü îò ïîâåðõíîñòè ïàðàáîëëîèäà (ó÷àñòîê A1A2), ïîéäåò
ïàðàëëåëüíî âåðòèêàëüíîé îñè.
8
1
F
2
3
F
4
Ðèñ. 9
Íåîáõîäèìî ïîäîáðàòü ïàðàìåòðû ýëëèïñîèäà (1) è ãèïåðáîëëîèäà (4) òàê, ÷òîáû
ëó÷ A4A5 áûë ïðîäîëæåíèåì ëó÷à OA1. Ïðè÷åì ýòî ñâîéñòâî äîëæíî âûïîëíÿòñÿ äëÿ
ëþáîãî ëó÷à OA1. Âîîáùå ãîâîðÿ, íå î÷åíâèäíî, ÷òî òàêèå ýëëèïñîèä è ãèïåðáîëëîèä
ñóùåñòâóþò. Ñôîðìóëèðóåì òðåáóåìîå ñâîéñòâî ñëåäóþùèì îáðàçîì:
Äëÿ ëþáîãî ëó÷à
OA1 ,
òî÷êà
A4
ëåæèò íà ïðÿìîé
OA1 .
M
1
C'
F
2
3
F'
F
F
4
C
Ðèñ. 10
Ðèñ. 11
Äîêàæåì, ÷òî ÃÌÒ(M ) - ãèïåðáîëà ñ ôîêóñàìè F è F ′. Äëÿ ýòîãî íóæíî ïîêàçàòü,
÷òî äëÿ ëþáîé òî÷êè C íà ýëëèïñå, F M − F ′M = const.
Ðàññìîòðèì △F CM . Â íåì F F ′ - áèñåêòðèññà. Ïî ñâîéñòâó áèñåêòðèññû:
F ′C
FC
= ′
(4)
FM
FM
òàêæå, ïî ôîðìóëå áèñåêòðèññû:
9
(F F ′ )2 = F C · F M − F ′ C · F ′ M
ïî ñâîéñòâó ýëëèïñà, F C + F ′C = 2a = const(F F ′ = const). Èç (5) èìååì:
FC =
2a
2a · F M
= ′
F ′M
F M + FM
1 + FM
F ′C =
Ïîäñòàâèì â (6):
FF
′2
(5)
2a · F ′ M
F ′M + F M
2a · F M
2a · F ′ M
= ′
FM − ′
F ′ M = 2a(F M − F ′ M )
F M + FM
F M + FM
F M − F ′M =
F F ′2
= const
2a
4 Êîíñòðóêöèÿ êóáà ñ ïî÷òè íóëåâûì ñîïðîòèâëåíèåì
Äî ýòîé ãëàâû ìû çàíèìàëèñü ïîñòðîåíèåì ïîâåðõíîñòåé, íåâèäèìûõ èëè ïî÷òè íåâèäèìûõ ñ îäíîé ñòîðîíû. Ðàññìîòðèì òåïåðü êîíñòðóêöèþ â ôîðìå êóáà, ïî÷òè íåâèäèìóþ
ñ 3-õ ñòîðîí.
Êóá ñîñòîèò èç 6 îäèíàêîâûõ êîíñòðóêöèé, âïèñàííûõ â ïðàâèëüíûå ïèðàìèäû ñ
îñíîâàíèåì â âèäå êâàäðàòà (ãðàíü êóáà). Äâóõãðàííûé óãîë ïðè îñíîâàíèè ïèðàìèäû
ðàâåí 45◦. Êîíñòðóêöèè â ñâîþ î÷åðåäü ñîñòîÿò èç 8-õ ïîâåðõíîñòåé (4 øèðîêèå(òèï 1) è
4 óçêèå(òèï 2)), ñå÷åíèÿ êîòîðûõ ïëîñêîñòüþ XY è îäíîé èç âåðòèêàëüíûõ ïëîñêîñòåé
Y Z èëè XZ èìåþò âèä ïðÿìûõ, à ñå÷åíèå äðóãîé ïëîñêîñòüþ, èìåþò âèä âåòâè ïàðàáîëû (îäíà èç òàêèõ øèðîêèõ ïîâåðõíîñòåé óêàçàíà íà ðèñóíêå 14 (óçêàÿ - ñïðàâà),
à òàêæå íà ðèñóíêå 15 ãîëóáûì öâåòîì (óçêàÿ óêàçàíà çåë¼íûì ïóíêòèðîì)). Òàêæå
êîíñòðóêöèÿ ñîñòîèò èç 4 óçêèõ ïîëîñîê (òèï 3), êàæäîå ñå÷åíèå êîòîðûõ â îäíîé èç
ïëîñêîñòåé XZ èëè Y Z ÿâëÿåòñÿ ïàðàáîëà. Â èõ ñåðåäèíå ïðèñóòñòâóåò äûðêà (ìàëîãî
ðàçìåðà). Òàêæå ïðèñóòñòâóþò ìàëûå óçêèå ïîëîñêè (òèï 4).
Ðèñ. 13
Ðèñ. 12
Äëÿ óäîáñòâà ââåäåì ñèñòåìó êîîðäèíàò XY Z . Ïóñòü ëó÷ èäåò ïàðàëëåëüíî îñè Z .
Íà ðèñóíêàõ íèæå ïîêàçàíî ïðîñòðàíñòâåííîå èçîáðàæåíèå îòðàæåíèÿ îò [1] è [2] (ðèñ.
12), à òàêæå ïðîåêöèÿ åãî äâèæåíèÿ íà âåðòèêàëüíóþ ïëîñêîñòü (ðèñ. 13).
10
Ëó÷, ïîïàâøèé íà ïîâåðõíîñòü [1] íàïðàâëÿåòñÿ â ôîêóñ, êîòîðûé íàõîäèòñÿ â îäíîé èç òî÷åê íà ïðÿìîé (îáîçíà÷åíà æèðíûì ÷¼ðíûì öâåòîì). Ò.ê [1] èìååò ïðÿìóþ â
ñå÷åíèè ïëîñêîñòüþ XY , òî òðàåêòîðèÿ ëó÷à ëåæèò â âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè. Ïîñëå
îòðàæåíèÿ îò [2] ëó÷ èäåò ïàðàëëåëüíî íà÷àëüíîìó äâèæåíèþ (ñì. §3.1). Òåïåðü åãî
ïðîåêöèÿ íà ïëîñêîñòü XY (âèä ñâåðõó) ÿâëÿåòñÿ íåêîòîðîé òî÷êîé íà ïðÿìîé (ïóíêòèð íà ðèñ. 14).
Ðèñ. 15
Ðèñ. 14
Ïîñëå îòðàæåíèÿ îò (2) ëó÷ èäåò ïàðàëëåëüíî îñè ñèììåòðèè (3) (ðèñ. 15), ïîýòîìó
àíàëîãè÷íî ñèñòåìå â §3.1, ëó÷ âûõîäèò ÷åðåç ìàëóþ äûðêó â ñåðåäèíå (3). Òàêèì îáðàçîì, âåñü ïó÷îê ëó÷åé, ïîïàâøèé íà ïîâåðõíîñòü (1) ïðåîáðàçîâàëñÿ â íåîãðàíè÷åííî
óçêèé ïó÷îê, èäóùèé ïàðàëëåëüíî íà÷àëüíîìó íàïðàâëåíèþ. Ïðîåêöèÿ íîâîãî âåêòîðà
äâèæåíèÿ íà îñü XY ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé òî÷êó â ñåðåäèíå ïóíêòèðà íà ðèñóíêå 15.
Íà ïðîòèâîïîëîæíîé ãðàíè êóáà ïóñòü èìååòñÿ òàêàÿ æå êîíñòðóêöèÿ. Òîãäà âñëåäñòâèå îáðàòèìîñòè äâèæåíèÿ ëó÷åé, ïðåòåðïåâ âñå îòðàæåíèÿ, ïó÷îê, âûõîäÿ èç êîíñòðóêöèè, íå ïîìåíÿåò ñâîþ êîíôèãóðàöèþ.
Èñêëþ÷åíèå ñîñòàâëÿþò ëó÷è, îòðàçèâøèåñÿ îò (2), íå ïîïàäàÿ íà (1) (, à òàêæå
ëó÷è, ïîïàâøèå ñíà÷àëà íà (4) ïîñëå îòðàæåíèÿ îò (2) (ìåñòî íà "äûðêîé"â (3)).
Òàê êàê ìîæíî íåîãðàíè÷åííî óìåíüøàòü (2), (3) ïî îäíîé èç êîîðäèíàò, à òàêæå (4)
ïî âñåì êîîðäèíàòàì (ïîâåðõíîñòü (4) ñòðåìèòñÿ ê òî÷êå â ïðîñòðàíñòâå, (2) - ê îòðåçêó, à (4) - ê êîíòóðó ïàðàáîëû), òî òàêóþ êîíñòðóêöèþ ìîæíî ñ÷èòàòü ïî÷òè íåâèäèìîé.
Äîïîëíèíèòåëüíûå ïîÿñíåíèÿ ê ðàçëè÷íûì òèïàì:
Òèï (2) ÿâëÿåòñÿ óçêîé êîïèåé òèïà (1) (íåîãðàíè÷åííî áîëåå óçêîé).  ëþáîì ñå÷åíèè, â êîòîðûõ ýòè îáúåêòû ïåðåñåêàþò ïëîñêîñòü ïî ëèíèè âåòâè ïàðàáîëû, ýòè
ïàðàáîëû îäíîôîêóñíû è ñîîñíû, à òàêæå ïðîòèâîíàïðàâëåíû. Èõ êîíñòðóêöèÿ èìååò
òàêîé æå âèä, êàê è â §3.1, çà èñêëþ÷åíèåì òîãî, ÷òî çäåñü ýòî íå ïîëíûå ïàðàáîëû, à
êóñêè âåòâåé.
Òèï (4) ÿâëÿåòñÿ óêîðî÷åííîé êîïèåé òèïà (3) (íåîãðàíè÷åííî áîëåå êîðîòêîé). Â
ëþáîì ñå÷åíèè, â êîòîðûõ ýòè îáúåêòû ïåðåñåêàþò ïëîñêîñòü ïî ëèíèè âåòâè ïàðàáîëû,
ýòè ïàðàáîëû îäíîôîêóñíû è ñîîñíû, à òàêæå ïðîòèâîíàïðàâëåíû (òàêæå, êàê è ïàðà
òèï (1) - òèï (2)). Â (3) âíèçó èìååòñÿ äûðêà. (3) è (4) îáðàçóþò êîíñòðóêöèþ, ïîëíîñòüþ
àíàëîãè÷íóþ òîé, ÷òî ðàçáèðàëàñü â §3.1.
Ïðè âèäå ñâåðõó òèï (2) è (3) îáîçíà÷åíû ïóíêòèðîì (ïðÿìàÿ â ïðîåêöèè - âèçóàëüíîå èçîáðàæåíèå èõ íåîãðàíè÷åííî ìàëûõ ðàçìåðîâ ïî îäíîé èç îñåé).
Âñÿ ñèñòåìà îñåñèììåòðè÷íà.
11
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû
[1] È. Íüþòîí. Ìàòåìàòè÷åñêèå íà÷àëà íàòóðàëüíîé ôèëîñîôèè. Îòäåë VII: Î äâèæåíèè æèäêîñòåé è ñîïðîòèâëåíèè áðîøåííûõ òåë / Ñîáðàíèå òðóäîâ àêàäåìèêà À. Í.
Êðûëîâà. Ò. VII. Ì.Ë.: Èçä-âî ÀÍ ÑÑÑÐ, 1936. Ñ. 422433.
[2] À. Þ. Ïëàõîâ. Ðàññåÿíèå â áèëëèàðäàõ è çàäà÷è íüþòîíîâñêîé àýðîäèíàìèêè //
Óñïåõè ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê. 2009. Ò. 64. Âûï. 5 (389). Ñ. 97166.
12