Ê âîïðîñó î ïî÷òè îáòåêàåìûõ è íåâèäèìûõ ïîâåðõíîñòÿõ Ðàáîòà ó÷åíèêà 11 êëàññà ãèìíàçèè 1514 Ïîïåñêó Àíäðåÿ Äîðèíîâè÷à Íàó÷íûé ðóêîâîäèòåëü: Ïðîòàñîâ Âëàäèìèð Þðüåâè÷ ä.ô.-ì.í., ïðîôåññîð ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà ÌÃÓ èì.Ëîìîíîñîâà Ìîñêâà-2012 Ñîäåðæàíèå 1 Ââåäåíèå 1 2 Ïîâåðõíîñòè ñ ïî÷òè íóëåâûì ñîïðîòèâëåíèåì 2 3 Ïîâåðõíîñòü ñ íóëåâûì ñîïðîòèâëåíèåì 2 4 Êîíñòðóêöèÿ êóáà ñ ïî÷òè íóëåâûì ñîïðîòèâëåíèåì 2.1 Êîíñòðóêöèÿ ñ ïî÷òè íóëåâûì ñîïðîòèâëåíèåì . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 3-õ ìåðíàÿ êîíñòðóêöèÿ ïî÷òè íóëåâîãî ñîïðîòèâëåíèÿ . . . . . . . . . . 3.1 3.2 3.3 3.4 Ïëîñêàÿ ôèãóðà ñ íóëåâûì ñîïðîòèâëåíèåì Ïðîñòðàíñòâåííûé àíàëîã . . . . . . . . . . Ïðèìå÷àíèå ê êîíñòðóêöèè À.Þ.Ïëàõîâà . Âû÷èñëåíèå íàèáîëüøåãî ïîëåçíîãî îáú¼ìà 3.4.1 Êîíñòðóêöèÿ èç ïàðàáîë . . . . . . . 3.4.2 Êîíñòðóêöèÿ èç òðåóãîëüíèêîâ . . . 3.5 Êîíñòðóêöèÿ, íåâèäèìàÿ ñ çàäàííîé òî÷êè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 3 3 4 6 6 7 7 10 1 Ââåäåíèå Âïåðâûå çàäà÷ó î íàõîæäåíèè ïîâåðõíîñòè íàèìåíüøåãî ñîïðîòèâëåíèÿ ïîñòàâèë Èñààê Íüþòîí â 1687 ãîäó â åãî êíèãå "Principia"[1]. Òî÷íàÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷è òàêîâà: "Ñðåäè âñåõ ïîâåðõíîñòåé ñ äàííîé âûñîòîé h è îñíîâàíèå ââèäå êðóãà äàííîãî ðàäèóñà R íàéòè òó, êîòîðàÿ îáëàäàåò ìèíèìàëüíûì ñîïðîòèâëåíèåì ïðè ïîñòóïàòåëüíîì äâèæåíèè â îäíîðîäíîé ðàçðåæåííîé ñðåäå." Èñààê Íüþòîí ðåøèë ýòó çàäà÷ó äëÿ ëþáûõ h è R ïðè ñëåäóþùèõ, âïîëíå åñòåñòâåííûõ, ïðåäïîëîæåíèÿõ: ïîâåðõíîñòü âûïóêëà è ÿâëÿåòñÿ ïîâåðõíîñòüþ âðàùåíèÿ. Îêàçàëîñü, ÷òî îïòèìàëüíàÿ ïîâåðõíîñòü èìååò íåñêîëüêî ïàðàäîêñàëüíóþ ôîðìó: îíà èìååò "òóïîé êîíåö" , áåç çàîñòðåíèÿ. Íüþòîí ïîëó÷èë ÿâíóþ ôîðìóëó äëÿ ýòîé ïîâåðõíîñòè. Áîëåå 300 ëåò íèêòî íå ïîäâåðãàë ñîìíåíèþ ðåøåíèå Íüþòîíà. Ëèøü â íà÷àëå XXI âåêà âûÿñíèëîñü, ÷òî îïòèìàëüíàÿ âûïóêëàÿ ïîâåðõíîñòü âîâñå íå ÿâëÿåòñÿ ïîâåðõíîñòüþ âðàùåíèÿ. Íàïðèìåð, ó, òàê íàçûâàåìîé "îòâåðòêè" , ñîïðîòèâëåíèå ìåíüøå, ÷åì ó ïîâåðõíîñòè Íüþòîíà. Áîëåå òîãî, êàê ïîêàçàë â 2009 ã. [2] À.Þ.Ïëàõîâ (óíèâåðñèòåò Àâåéðî, Ïîðòóãàëèÿ), ñðåäè íåâûïóêëûõ ïîâåðõíîñòåé åñòü òàêèå, ó êîòîðûõ ñîïðîòèâëåíèå ñêîëü óãîäíî ìàëî, è äàæå ñóùåñòâóþò ïîâåðõíîñòè ñ íóëåâûì ñîïðîòèâëåíèåì.  îïòè÷åñêîé èíòåðïðåòàöèè ýòî îçíà÷àåò, ÷òî òàêèå ïîâåðõíîñòè, ñäåëàííûå èç çåðêàëüíîãî ìàòåðèàëà, áóäóò ïðîïóñêàòü, íå îòêëîíÿÿ, ïàðàëëåëüíûé ïó÷îê ñâåòà, ò.å áóäóò àáñîëþòíî ïðîçðà÷íû.  äàííîé ðàáîòå ìû èçó÷àåì àáñîëþòíî îáòåêàåìûå (íåâèäèìûå ïîâåðõíîñòè). Âîïåðâûõ, áóäåò ïîñòðîåíà ñåðèÿ íåâèäèìûõ ïîâåðõíîñòåé, êîòîðàÿ ïðèíöèïèàëüíî îòëè÷àåòñÿ îò êîíñòðóêöèè À.Þ.Ïëàõîâà (§3.1) . Áîëåå òîãî, ýòè ïîâåðõíîñòè âìåùàþò áîëüøèé îáúåì (ïðè äàííûõ ðàçìåðàõ). Çàäà÷à îá îïòèìàëüíûõ íåâèäèìûõ ïîâåðõíîñòÿõ, âìåùàþùèõ íàèáîëüøèé îáúåì, ðàññìàòðèâàþòñÿ â §3.5. Íîâàÿ êîíñòðóêöèÿ íåâèäèìûõ ïîâåðõíîñòåé îñíîâûâàåòñÿ íà îïòè÷åñêèõ ñâîéñòâàõ ïàðàáîëû.  §4 áóäåò ïîñòðîåíà ïîâåðõíîñòü "ïî÷òè íåâèäèìàÿ"ñ òðåõ ñòîðîí. 1  ðàáîòå âñå ïîâåðõíîñòè áóäóò èìåòü íåêîòîðîå çåðêàëüíîå ïîêðûòèå, êîòîðîå áóäåò îòðàæàòü âñå ïàäàþùèå íà íåãî ëó÷è. Áóäóò ðàññìîòðåíû ðàçëè÷íûå êîíôèãóðàöèè ïîâåðõíîñòåé, à òàêæå äîêàçàíî óòâåðæäåíèå î òîì, ÷òî ñâîéñòâîì ñîáèðàòü ïàäàþùèé ïàðàëëåëüíûé ïó÷îê â ôîêóñå îáëàäàþò òîëüêî ïàðàáîëîèäû. 2 Ïîâåðõíîñòè ñ ïî÷òè íóëåâûì ñîïðîòèâëåíèåì F F' Ðèñ. 2 Ðèñ. 1 2.1 Êîíñòðóêöèÿ ñ ïî÷òè íóëåâûì ñîïðîòèâëåíèåì Ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ êîíñòðóêöèþ, ñîñòàâëåííóþ èç ïàðàáîë (ðèñ. 1). Õîä ëó÷à îáîçíà÷åí æ¼ëòûì öâåòîì. F è F ′ - ôîêóñû ïàðàáîë. Ñèñòåìà ñîñòàâëåíà èç 2-õ ïðîòèâîíàïðàâëåííûõ îäíîôîêóñíûõ ïàðàáîë (íà ðèñóíêå - ñåðûé è ñèíèé öâåòà), à òàêæå ñèììåòðè÷íîé èì ïàðå òàêèõ æå ïàðàáîë. Ñèììåòðèÿ ñîáëþäàåòñÿ îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé, ïåðïåíäèêóëÿðíîé íà÷àëüíîìó íàïðàâëåíèþ ïó÷êà. Êàê âèäíî èç ðèñóíêà, âûõîäÿ èç êîíñòðóêöèè, ëó÷ íå ìåíÿåò íàïðàâëåíèÿ ñâîåãî äâèæåíèÿ. Èñêëþ÷åíèå ñîñòàâëÿþò ñëó÷è, ïîïàäàþùèå íà âíåøíþþ ïîâåðõíîñòü âñïîìîãàòåëüíîé ïàðàáîëû (îáîçíà÷åíà ñèíèì öâåòîì). Îäíàêî, ïðè íåîãðàíè÷åííîì óìåíüøåíèè å¼ ðàçìåðà, ìîæíî äîáèòüñÿ ìèíèìàëüíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ, ò.ê. åñëè âñïîìîãàòåëüíàÿ ïàðàáîëà ïî ðàçìåðó áóäåò ñòðåìèòüñÿ ê òî÷å÷íîìó îáúåêòó, òî ëèøü îäèí ëó÷ ïîïàäåò íà å¼ ïîâåðõíîñòü. Åñëè óñëîâíî ñ÷èòàòü, ÷òî ëó÷åé áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî, òî îòíîøåíèå Nx → 0, ãäå x - êîëè÷åñòâî ëó÷åé, ïîïàâøèõ íà âíåøíþþ ñòîðîíó âñïîìîãàòåëüíîé ïàðàáîëû, à N - ïîëíîå ÷èñëî ëó÷åé. Ò.å, äëÿ íàáëþäàòåëÿ îíà îêàæåòñÿ ïðàêòè÷åñêè íåâèäèìîé. 2.2 3-õ ìåðíàÿ êîíñòðóêöèÿ ïî÷òè íóëåâîãî ñîïðîòèâëåíèÿ  §2.1 áûëà ðàçîáðàíà ïëîñêàÿ ïî÷òè íåâèäèìàÿ ôèãóðà. ×òîáû ïîëó÷èòü ïðîñòðàíñòâåííûé àíàëîã, äîñòàòî÷íî "çàêðóòèòü"ýòó ïëîñêóþ ôèãóðó âîêðóã îñè ñèììåòðèè F F ′ . Òîãäà ìû ïîëó÷èì êîíñòðóêöèþ èç 4-õ ñîîñíûõ ïàðàáàëîèäîâ ñî ñêîëü óãîäíî ìàëûì ñîïðîòèâëåíèåì (ðèc. 2). 3 Ïîâåðõíîñòü ñ íóëåâûì ñîïðîòèâëåíèåì  ýòîé ãëàâå áóäóò ðàññìîòðåíû êîíñòðóêöèè ñ íóëåâûì ñîïðîòèâëåíèåì. Äëÿ íà÷àëà èññëåäóåì ïëîñêèå ôèãóðû ñ íóëåâûì ñîïðîòèâëåíèåì, çàòåì ïîñòðîèì èõ ïðîñòðàí- 2 ñòâåííûå àíàëîãè. Îäíîé èç òàêèõ ôèãóð áóäåò êîíñòðóêöèÿ èç òðåóãîëüíèêîâ Ïëàõîâà (2009). Òàêæå, ìû ïðèâåäåì äðóãóþ êîíñòðóêöèþ, ñîñòàâëåííóþ èç ïàðàáîë. 3.1 Ïëîñêàÿ ôèãóðà ñ íóëåâûì ñîïðîòèâëåíèåì Âîçüì¼ì 2 îäíîôîêóñíûå ïðîòèâîíàïðàâëåííûå ðàâíûå ïàðàáîëû. Õîä ëó÷à ïîêàçàí íà ëåâîì ðèñóíêå íèæå: F F F Ðèñ. 4 Ðèñ. 3 Ëó÷, îòðàæàÿñü îò ïåðâîé ïàðàáîëû, ïîïàäàåò â ôîêóñ, çàòåì, îòðàæàÿñü îò 2-é ïàðàáîëû, èä¼ò ïàðàëëåëüíî íà÷àëüíîìó íàïðàâëåíèþ äâèæåíèþ. Íà ðèñóíêå ñïðàâà èçîáðàæåíà êîíñòðóêöèÿ, îáëàäàþùàÿ ñâîéñòâîì íåâèäèìîñòè (íèêàêèå ëó÷è íå ìåíÿþò ñîâåãî íà÷àëüíîãî íàïðàâëåíèÿ). Ïîëó÷åíà îíà ïóòåì óäâîåíèÿ ôèãóðû íà ðèñóíêå ñëåâà. Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî â õàðàêòåðèñòèêå ôèãóðû íà ïðàâîì ðèñóíêå hd íå îáÿçàòåëüíî const, ãäå h - âûñîòà êîíñòðóêöèè, d - øèðèíà. Îäíàêî ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ýòîãî îòíîøåíèÿ èìåþò íèæíþþ ãðàíèöó: äëÿ òîãî, ÷òîáû ëó÷ ïðîõîäèë âíèç ÷åðåç ôîêóñ, íóæíî, ÷òîáû |f ′(x)| > 1. Ââîäÿ ñèñòåìó êîîðäèíàò, â êîòîðîé îñü Ox ïàðàëëåëüíà d⃗, îñü 1 Oy ïàðàëëåëüíà ⃗h, à F èìååò êîîðäèíàòû (0, 0), èìååì óðàâíåíèå ïàðàáîëû: y = ax2 − 4a . 1 ′ Òîãäà y = 2ax = 1 ⇔ x = 2a ⇒ y = 0.  ïðåäåëå ∆h → 0 - ðàññòîÿíèå íà îñè Oy, íà êîòîðîì ïðèñóòñòâóåò ÷àñòü ïàðàáîëû, ïîëó÷àåì hd → 2 = 1. Òàêèì îáðàçîì, hd > 1. Äëÿ ðèñóíêà ñëåâà (ôèãóðà ñ íóëåâûì ñîïðîòèâëåíèåì) hd > 12 . Âñå îñòàëüíûå çíà÷åíèÿ 1 ax2 − 4a îòíîøåíèÿ äîñòèãàþòñÿ, ò.ê x→∞ lim = ∞. x 1 4a 1 2a 3.2 Ïðîñòðàíñòâåííûé àíàëîã Çàêðó÷èâàÿ ôèãóðó èç ïðåäûäóùåãî ïóíêòà âîêðóã ñâîåé îñè, àíàëîãè÷íî §3.2, ïîëó÷èì íåâèäèìóþ ôèãóðó â ïðîñòðàíñòâå. 3 F F Ðèñ. 5 3.3 Ïðèìå÷àíèå ê êîíñòðóêöèè À.Þ.Ïëàõîâà  ñâîåé ðàáîòå À.Þ.Ïëàõîâ ïðèâîäèò ïðèìåð ïîëíîñòüþ íåâèäèìîãî îáúåêòà. Ýòî êîíñòðóêöèÿ èç ðàâíîáåäðåííûõ òðåóãîëüíèêîâ ñ óãëîì 120◦ ïðè âåðøèíå (ðèñóíîê íèæå). Îäíàêî ìîæíî ïðîâîäèòü âàðèàöèè ýòîé êîíñòðóêöèè, èçìåíÿÿ óãîë ïðè âåðøèíå òðåóãîëüíèêîâ, äëÿ òîãî, ÷òîáû äîáèòüñÿ ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé hl , ãäå h - âûñîòà êîíñòðóêöèè, d - øèðèíà. Äëÿ êîíñòðóêöèè, ñîñòîÿùåé èç òðåóãîëüíèêîâ ñ óãëîì 120◦ ïðè âåðøèíå ýòî îòíîøåíèå ñîñòàâëÿåò: 4 4 √13 = √ 3 Ïîêàæåì, êàêîé óãîë ñëåäóåò âçÿòü ïðè âåðøèíå, äëÿ òîãî, ÷òîáû äîáèòüñÿ x = hl ïðè çàäàííîé âåëè÷èíå îñíîâàíèÿ òðåóãîëüíèêîâ. Ïóñòü îñíîâàíèå òðåóãîëüíèêîâ AB = a, âûñîòà êîíñòðóêöèè h, óãîë ïðè îñíîâàíèè òðåóãîëüíèêîâ α = ∠BAC , øèðèíà l. Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî h ìîæåò áûòü îòëè÷íî îò 2a, ò.ê ìîæíî ñîñòàâëÿòü òðåóãîëüíèêè, íå êàñàþùèåñÿ äðóã äðóãà. Ïðè ïåðâîãî îòðàæåíèÿ îò êîíñòðóêöèè, ëó÷ èäåò ïîä óãëîì 2α îò íàïðàâëåíèÿ íà÷àëüíîãî äâèæåíèÿ. Òîãäà tg 2α = Sx Sy (1) Ò.ê òðåóãîëüíèêè ðàñïîëîæåíû ñèììåòðè÷íî, òî èõ ïàðíûå ñòîðîíû ïàðàëëåëüíû. Ò.å, EG = const. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ îïðåäåëåíèÿ Sx è Sy óäîáíî ðàññìîòðåòü êðàéíèé ëó÷ (îáîçíà÷åí ñèíèì ïóíêòèðîì). Òîãäà: Sx = l − 4 a tg α 2 A D E C G B K Ðèñ. 6 Ðèñ. 7 Sy = Ïîäñòàâëÿÿ â (1), èìååì: tg 2α = tg 2α = h a − 2 2 l− a tg α 2 h a − 2 2 2x − ha · tg α 1 − ha (2) Ýòî íåÿâíîå âûðàæåíèå çàâèñèìîñòè äëÿ α îò x è ha . Åñëè ñ÷èòàòü, ÷òî âåðõíèé è íèæíèé òðåóãîëüíèêè êàñàþòñÿ, òî ha = 21 , à çíà÷èò: tg 2α = 4x − tg α 2 tg α Ïðåîáðàçóåì ýòî âûðàæåíèå, ó÷èòûâàÿ, ÷òî tg 2α = 1−tg : α 2 2 tg α = 4x − tg α 1 − tg2 α Âûðàçèì x ÷åðåç tg α: 2 tg α = 4x − tg α + tg3 α − 4x tg2 α x= tg3 α − 3 tg α 4 tg2 α − 4 Èññëåäóåì ýòî âûðàæåíèå. 0 < tg α < 1 èç ðàññóæäåíèé î õîäå ëó÷à ïðè îòðàæåíèè îò òðåóãîëüíèêîâ. Îäíàêî, tglim = −∞, à lim = ∞. Òàê êàê ôóíêöèÿ f (tg α) íåïðåðûâíà α→0 tg α→1 íà (0; 1), òî äîñòèãàþòñÿ âñå çíà÷åíèÿ x ïðè èçìåíåíèè α. Ýòî, â ñâîþ î÷åðåäü, ãîâîðèò î òîì, ÷òî äëÿ ëþáîãî x íàéäåòñÿ α ∈ (0; π2 ). Ò.å, ëþáûå îòíîøåíèÿ hl äîñòèãàþòñÿ. 5 3.4 Âû÷èñëåíèå íàèáîëüøåãî ïîëåçíîãî îáú¼ìà Èññëåäóåì ñëåäóþùóþ çàäà÷ó: ïóñòü èìåþòñÿ ôèãóðû, èìåþùèå íóëåâîå ñîïðîòèâëåíèå. Ïîëåçíûì îáú¼ìîì íàçîâåì îáëàñòü, êóäà ëó÷è íå ïðîõîäÿò, è ãäå ìîæíî áåç èçìåíåíèÿ ñâîéñòâ êîíñòðóêöèè çàïîëíèòü ëþáûì ìàòåðèàëîì. Íóæíî íàéòè ìàêñèìàëüíîå îòíîøåíèå ïîëåçíîãî îáú¼ìà ê ïîëíîìó îáú¼ìó ôèãóðû, à òàêæå óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ ýòîò ìàêñèìóì äîñòèãàåòñÿ. 3.4.1 Êîíñòðóêöèÿ èç ïàðàáîë Ñíà÷àëà ðàññìîòðèì ôèãóðó èç §3.2. Ïîëåçíûì îáú¼ìîì â ýòîé êîíñòðóêöèè ÿâëÿåòñÿ îáëàñòü ìåæäó áîêîâîé ïîâåðõíîñòüþ öèëèíäðà è ïàðàáîëîèäàìè. Âû÷èñëèì ìàêñèìàëüíî âîçìîæíîå îòíîøåíèå ïîëåçíîãî îáú¼ìà ê ïîëíîìó îáúåìó ôèãóðû. Ââåä¼ì îáîçíà÷åíèÿ: l - øèðèíà êîñòðóêöèè (â íàøåì ñëó÷àå - äèàìåòð), h - âûñîòà. Ðàññìîòðèì ïàðàáîëîèäû. Äëÿ ðàññ÷¼òîâ ââåäåì ñèñòåìó êîîðäèíàò. Ïóñòü îñü ñèììåòðèè ïàðàáîëîèäà ñîâïàäàåò ñ îñüþ OX , ïëîñêîñòü Y OZ êàñàåòñÿ ïàðàáîëîèäà â íèæíåé òî÷êå. Òîãäà äëÿ ëþáîãî ñå÷åíèÿ, ñîäåðæàùåãî OZ , y = ax2, ãäå a > 0. dV = πx2 dy = πx2 · 2ax = 2πx3 a ∫ ∫ x0 x0 dV = 0 πx2 · 2ax = 2πx3 a 0 2πy 2 3a (3) ×òîáû âû÷èñëèòü îáú¼ì óñå÷åííîãî ïàðàáîëîèäà, ïðèìåíèì ôîðìóëó äëÿ îáúåìà ïàðàáîëîèäà. Ïîëó÷èì: V = 1 2 ) 2π( h2 + 4a 2πy 2 2π π h2 h 15 V = − 3 = = ( + − ) 3a 3a 3a 6a 4 4a 16a2 1 = ax2 − 4a Çíàÿ V - îáú¼ì óñå÷åííîãî ïàðàáîëîèäà, ëåãêî Ïðèìåíèì h2 "áåñïîëåçíûé"îáú¼ì: Vuseless = 2V = ìîæíî íàéòè π h2 h 15 ( + − ) 3a 4 4a 16a2 Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ïîëíûé îáú¼ì V0 = πh( 2l )2, íàéäåì ìèíèìóì îòíîøåíèÿ V V : useless 0 α= 2 h2 + ha 2 h + a1 2 ha + 1 = min = 1 = 2h 1 3 2( a + a2 ) 3 2h + a 3 2ha + 1 2 (2ah + 1) − 2(ah + 1) 2 −ha = =0 2 3 (2ah + 1) 3 (2ha + 1)2 äîñòèãàåòñÿ â ïðåäåëå ha → ∞.  ýòîì ïðåäåëå: ′ αha = Ò.ê ha > 0, òî ìèíèìóì Vuseless 1 = V0 3 2 Vuse = ≈ 0, 66 V0 3 6 3.4.2 Êîíñòðóêöèÿ èç òðåóãîëüíèêîâ Ðàññìîòðèì òåïåðü ïðîñòðàíñòâåííûé àíàëîã êîíñòðóêöèè Ïëàõîâà (§3.3). Îí áóäåò ñîñòîÿòü èç 4-õ óñå÷åííûõ êîíóñîâ (áåñïîëåçíûé îáú¼ì), êîòîðûå âïèñàíû â öèëèíäð. Íàéäåì ìàêñèìàëüíîå îòíîøåíèå ïîëåçíîãî îáú¼ìà ê ïîëíîìó. Ïîëíûé îáú¼ì: V0 = πl2 h 4 Îáú¼ì óñå÷åííîãî êîíóñà - ðàçíîñòü îú¼ìîâ ñîîòâåòñòâóþùèõ êîíóñîâ: 1 πl2 H l h Vx = ( − πH ′ ( − ( tg α))2 ) 3 4 2 4 Ó÷èòûâàÿ, ÷òî H = 2l ctg α, à H ′ = ctg α( 2l − h4 ), ïîëó÷èì: Vx = π ctg α l3 l h ( − ( − tg α)3 ) 3 8 2 4 Vuseless = 4Vx 3 3 ctg α( l8 − ( 2l − h4 tg α)3 ) ctg α( x8 − ( x2 − Vuseless γ(α) = = 16 = 16 V0 3l2 h 3x2 tg α 3 )) 4 ; tg α . ãäå x = tg4(tgα−3α−1) Ãðàôèê ôóíêöèè γ(tg α) ïðåäñòàâëåí íà ðèñóíêå íèæå: Ïîñ÷èòàåì ïðåäåë Vuseless = 4Vx ïðè α → 0: 3 2 x≈ lim γ(α) = α→0 3α − α3 3α ≈ 4(1 − α2 ) 4 27 16 · ( 512 − 1 512 3·9 16 = 1 26 13 · = ≈ 0, 48 2 27 27 Òàêèì îáðàçîì, îòíîøåíèå ìàêñèìàëüíîãî ïîëåçíûé îáú¼ìà ê ïîëíîìó îáú¼ìó èìååò çíà÷åíèå: Vuse 15 = ≈ 0, 52 V 27 Èòàê, ìû ðàññìîòðåëè 2 ñåìåéñòâà êîíñòðóêöèé íóëåâîãî ñîïðîòèâëåíèÿ. Èç ðàññ÷åòîâ ìû ïîëó÷èëè, ÷òî èñïîëüçóÿ êîíñòðóêöèþ èç ïàðàáîëîèäîâ ìîæíî óâåëè÷èòü îòíîøåíèå ïîëåçíîãî îáúåìà ê ïîëíîìó íà 20%. Ýòè ðåçóëüòàòû ìîãóò ïîíàäîáèòüñÿ íàïðèìåð, ïðè ïîñòðîåíèè íåêîòîðîãî êîñìè÷åñêîãî îáúåêòà, êîòîðûé áóäåò èìåòü ãðóç íà áîðòó. 3.5 Êîíñòðóêöèÿ, íåâèäèìàÿ ñ çàäàííîé òî÷êè Îòíîñèòåëüíî íåäàâíî áûë ïîñòðîåíà ðåàëüíàÿ ìîäåëü îáúåìíîé êîíñòðóêöèè Ïëàõîâà. Îäíàêî, ïðè åå ðàññìîòðåíèè, âûÿñíèëîñü, ÷òî ýôôåêò íåâèäèìîñòè íå ïîëíûé. Äðóãèìè ñëîâàìè, ïîâåðõíîñòü âñå ðàâíî èñêàæàåò êàðòèíó. Òîãäà Ñ.Ï.Òàðàñîâ óêàçàë íà 7 Ðèñ.8 âîçìîæíóþ ïðè÷èíó: "íåâèäèìûå"ïîâåðõíîñòè, ðàññìîòðåííûå ðàíåå, áûëè íåâèäèìûìè òîëüêî äëÿ áåñêîíå÷íî óäàëåííîãî íàáëþäàòåëÿ. ×åëîâåê, íàõîäÿùèéñÿ íà ðàññòîÿíèè íåñêîëüêèõ ìåòðîâ, ýôôåêòà íàáëþäàòü íå áóäåò.  ýòîé ãëàâå áóäåò ðàññìîòðåíà ïîâåðõíîñòü, êîòîðàÿ áóäåò íåâèäèìàÿ äëÿ íàáëþäàòåëÿ ñ çàäàííîãî ðàññòîÿíèÿ. Èçìåíèì íåñêîëüêî ïîâåðõíîñòü (§4.2) òàê, ÷òîáû îíà óäîâëåòâîðÿëà óñëîâèþ: âñå ëó÷è, ïóòü êîòîðûõ äî îòðàæåíèÿ ëåæàë ÷åðåç íåêîòîðóþ òî÷êó, ïðåòåðïåâ íåêîòîðûå îòðàæåíèÿ îò çåðêàëüíîé ïîâåðõíîñòè, íå èçìåíÿò ñâîåãî íà÷àëüíîãî ïóòè. Òîãäà äëÿ ýòîé òî÷êè (íàçîâåì ò.O) ïîâåðõíîñòü áóäåò íåâèäèìîé. Íà ðèñóíêå îáîçíà÷åíû 4 ÷àñòè ôèãóðû: 1) ýëëèïñîèä, îäíèì èç ôîêóñîâ êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ òî÷êà O; 2) ïàðàáîëîèä, ôîêóñ êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ âòîðûì ôîêóñîì ýëëèñîèäà (1); 3) ïàðàáîëîèä, ñîôîêóñíûé ñ ïàðàáîëîèäîì (2); 4) ãèïåðáîëîèä, îäèí èç ôîêóñîâ êîòîðîãî ñîâïàäàåò ñ ôîêóñîì ïàðàáîëîèäà (3), äðóãîé - òî÷êà O. Ëó÷ ñâåòà OA, âûõîäÿùèé èç òî÷êè O, îòðàçèâøèñü îò ïîâåðõíîñòè ýëëèïñîèäà (1), ïîïàäàåò âî âòîðîé ôîêóñ ýëëèïñîèäà - òî÷êó F . Äàëåå ëó÷ (ó÷àñòîê A1A2) èäåò äî ïåðåñå÷åíèÿ ñ ïîâåðõíîñòüþ ïàðàáîëëîèäà (2). Òàê êàê ïàðàáîëëîèä (2) èìååò ôîêóñ â òî÷êå F , òî ëó÷, îòðàçèâøèñü îò ïîâåðõíîñòè ïàðàáîëëîèäà (ó÷àñòîê A1A2), ïîéäåò ïàðàëëåëüíî âåðòèêàëüíîé îñè. 8 1 F 2 3 F 4 Ðèñ. 9 Íåîáõîäèìî ïîäîáðàòü ïàðàìåòðû ýëëèïñîèäà (1) è ãèïåðáîëëîèäà (4) òàê, ÷òîáû ëó÷ A4A5 áûë ïðîäîëæåíèåì ëó÷à OA1. Ïðè÷åì ýòî ñâîéñòâî äîëæíî âûïîëíÿòñÿ äëÿ ëþáîãî ëó÷à OA1. Âîîáùå ãîâîðÿ, íå î÷åíâèäíî, ÷òî òàêèå ýëëèïñîèä è ãèïåðáîëëîèä ñóùåñòâóþò. Ñôîðìóëèðóåì òðåáóåìîå ñâîéñòâî ñëåäóþùèì îáðàçîì: Äëÿ ëþáîãî ëó÷à OA1 , òî÷êà A4 ëåæèò íà ïðÿìîé OA1 . M 1 C' F 2 3 F' F F 4 C Ðèñ. 10 Ðèñ. 11 Äîêàæåì, ÷òî ÃÌÒ(M ) - ãèïåðáîëà ñ ôîêóñàìè F è F ′. Äëÿ ýòîãî íóæíî ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîé òî÷êè C íà ýëëèïñå, F M − F ′M = const. Ðàññìîòðèì △F CM .  íåì F F ′ - áèñåêòðèññà. Ïî ñâîéñòâó áèñåêòðèññû: F ′C FC = ′ (4) FM FM òàêæå, ïî ôîðìóëå áèñåêòðèññû: 9 (F F ′ )2 = F C · F M − F ′ C · F ′ M ïî ñâîéñòâó ýëëèïñà, F C + F ′C = 2a = const(F F ′ = const). Èç (5) èìååì: FC = 2a 2a · F M = ′ F ′M F M + FM 1 + FM F ′C = Ïîäñòàâèì â (6): FF ′2 (5) 2a · F ′ M F ′M + F M 2a · F M 2a · F ′ M = ′ FM − ′ F ′ M = 2a(F M − F ′ M ) F M + FM F M + FM F M − F ′M = F F ′2 = const 2a 4 Êîíñòðóêöèÿ êóáà ñ ïî÷òè íóëåâûì ñîïðîòèâëåíèåì Äî ýòîé ãëàâû ìû çàíèìàëèñü ïîñòðîåíèåì ïîâåðõíîñòåé, íåâèäèìûõ èëè ïî÷òè íåâèäèìûõ ñ îäíîé ñòîðîíû. Ðàññìîòðèì òåïåðü êîíñòðóêöèþ â ôîðìå êóáà, ïî÷òè íåâèäèìóþ ñ 3-õ ñòîðîí. Êóá ñîñòîèò èç 6 îäèíàêîâûõ êîíñòðóêöèé, âïèñàííûõ â ïðàâèëüíûå ïèðàìèäû ñ îñíîâàíèåì â âèäå êâàäðàòà (ãðàíü êóáà). Äâóõãðàííûé óãîë ïðè îñíîâàíèè ïèðàìèäû ðàâåí 45◦. Êîíñòðóêöèè â ñâîþ î÷åðåäü ñîñòîÿò èç 8-õ ïîâåðõíîñòåé (4 øèðîêèå(òèï 1) è 4 óçêèå(òèï 2)), ñå÷åíèÿ êîòîðûõ ïëîñêîñòüþ XY è îäíîé èç âåðòèêàëüíûõ ïëîñêîñòåé Y Z èëè XZ èìåþò âèä ïðÿìûõ, à ñå÷åíèå äðóãîé ïëîñêîñòüþ, èìåþò âèä âåòâè ïàðàáîëû (îäíà èç òàêèõ øèðîêèõ ïîâåðõíîñòåé óêàçàíà íà ðèñóíêå 14 (óçêàÿ - ñïðàâà), à òàêæå íà ðèñóíêå 15 ãîëóáûì öâåòîì (óçêàÿ óêàçàíà çåë¼íûì ïóíêòèðîì)). Òàêæå êîíñòðóêöèÿ ñîñòîèò èç 4 óçêèõ ïîëîñîê (òèï 3), êàæäîå ñå÷åíèå êîòîðûõ â îäíîé èç ïëîñêîñòåé XZ èëè Y Z ÿâëÿåòñÿ ïàðàáîëà.  èõ ñåðåäèíå ïðèñóòñòâóåò äûðêà (ìàëîãî ðàçìåðà). Òàêæå ïðèñóòñòâóþò ìàëûå óçêèå ïîëîñêè (òèï 4). Ðèñ. 13 Ðèñ. 12 Äëÿ óäîáñòâà ââåäåì ñèñòåìó êîîðäèíàò XY Z . Ïóñòü ëó÷ èäåò ïàðàëëåëüíî îñè Z . Íà ðèñóíêàõ íèæå ïîêàçàíî ïðîñòðàíñòâåííîå èçîáðàæåíèå îòðàæåíèÿ îò [1] è [2] (ðèñ. 12), à òàêæå ïðîåêöèÿ åãî äâèæåíèÿ íà âåðòèêàëüíóþ ïëîñêîñòü (ðèñ. 13). 10 Ëó÷, ïîïàâøèé íà ïîâåðõíîñòü [1] íàïðàâëÿåòñÿ â ôîêóñ, êîòîðûé íàõîäèòñÿ â îäíîé èç òî÷åê íà ïðÿìîé (îáîçíà÷åíà æèðíûì ÷¼ðíûì öâåòîì). Ò.ê [1] èìååò ïðÿìóþ â ñå÷åíèè ïëîñêîñòüþ XY , òî òðàåêòîðèÿ ëó÷à ëåæèò â âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè. Ïîñëå îòðàæåíèÿ îò [2] ëó÷ èäåò ïàðàëëåëüíî íà÷àëüíîìó äâèæåíèþ (ñì. §3.1). Òåïåðü åãî ïðîåêöèÿ íà ïëîñêîñòü XY (âèä ñâåðõó) ÿâëÿåòñÿ íåêîòîðîé òî÷êîé íà ïðÿìîé (ïóíêòèð íà ðèñ. 14). Ðèñ. 15 Ðèñ. 14 Ïîñëå îòðàæåíèÿ îò (2) ëó÷ èäåò ïàðàëëåëüíî îñè ñèììåòðèè (3) (ðèñ. 15), ïîýòîìó àíàëîãè÷íî ñèñòåìå â §3.1, ëó÷ âûõîäèò ÷åðåç ìàëóþ äûðêó â ñåðåäèíå (3). Òàêèì îáðàçîì, âåñü ïó÷îê ëó÷åé, ïîïàâøèé íà ïîâåðõíîñòü (1) ïðåîáðàçîâàëñÿ â íåîãðàíè÷åííî óçêèé ïó÷îê, èäóùèé ïàðàëëåëüíî íà÷àëüíîìó íàïðàâëåíèþ. Ïðîåêöèÿ íîâîãî âåêòîðà äâèæåíèÿ íà îñü XY ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé òî÷êó â ñåðåäèíå ïóíêòèðà íà ðèñóíêå 15. Íà ïðîòèâîïîëîæíîé ãðàíè êóáà ïóñòü èìååòñÿ òàêàÿ æå êîíñòðóêöèÿ. Òîãäà âñëåäñòâèå îáðàòèìîñòè äâèæåíèÿ ëó÷åé, ïðåòåðïåâ âñå îòðàæåíèÿ, ïó÷îê, âûõîäÿ èç êîíñòðóêöèè, íå ïîìåíÿåò ñâîþ êîíôèãóðàöèþ. Èñêëþ÷åíèå ñîñòàâëÿþò ëó÷è, îòðàçèâøèåñÿ îò (2), íå ïîïàäàÿ íà (1) (, à òàêæå ëó÷è, ïîïàâøèå ñíà÷àëà íà (4) ïîñëå îòðàæåíèÿ îò (2) (ìåñòî íà "äûðêîé"â (3)). Òàê êàê ìîæíî íåîãðàíè÷åííî óìåíüøàòü (2), (3) ïî îäíîé èç êîîðäèíàò, à òàêæå (4) ïî âñåì êîîðäèíàòàì (ïîâåðõíîñòü (4) ñòðåìèòñÿ ê òî÷êå â ïðîñòðàíñòâå, (2) - ê îòðåçêó, à (4) - ê êîíòóðó ïàðàáîëû), òî òàêóþ êîíñòðóêöèþ ìîæíî ñ÷èòàòü ïî÷òè íåâèäèìîé. Äîïîëíèíèòåëüíûå ïîÿñíåíèÿ ê ðàçëè÷íûì òèïàì: Òèï (2) ÿâëÿåòñÿ óçêîé êîïèåé òèïà (1) (íåîãðàíè÷åííî áîëåå óçêîé).  ëþáîì ñå÷åíèè, â êîòîðûõ ýòè îáúåêòû ïåðåñåêàþò ïëîñêîñòü ïî ëèíèè âåòâè ïàðàáîëû, ýòè ïàðàáîëû îäíîôîêóñíû è ñîîñíû, à òàêæå ïðîòèâîíàïðàâëåíû. Èõ êîíñòðóêöèÿ èìååò òàêîé æå âèä, êàê è â §3.1, çà èñêëþ÷åíèåì òîãî, ÷òî çäåñü ýòî íå ïîëíûå ïàðàáîëû, à êóñêè âåòâåé. Òèï (4) ÿâëÿåòñÿ óêîðî÷åííîé êîïèåé òèïà (3) (íåîãðàíè÷åííî áîëåå êîðîòêîé).  ëþáîì ñå÷åíèè, â êîòîðûõ ýòè îáúåêòû ïåðåñåêàþò ïëîñêîñòü ïî ëèíèè âåòâè ïàðàáîëû, ýòè ïàðàáîëû îäíîôîêóñíû è ñîîñíû, à òàêæå ïðîòèâîíàïðàâëåíû (òàêæå, êàê è ïàðà òèï (1) - òèï (2)).  (3) âíèçó èìååòñÿ äûðêà. (3) è (4) îáðàçóþò êîíñòðóêöèþ, ïîëíîñòüþ àíàëîãè÷íóþ òîé, ÷òî ðàçáèðàëàñü â §3.1. Ïðè âèäå ñâåðõó òèï (2) è (3) îáîçíà÷åíû ïóíêòèðîì (ïðÿìàÿ â ïðîåêöèè - âèçóàëüíîå èçîáðàæåíèå èõ íåîãðàíè÷åííî ìàëûõ ðàçìåðîâ ïî îäíîé èç îñåé). Âñÿ ñèñòåìà îñåñèììåòðè÷íà. 11 Ñïèñîê ëèòåðàòóðû [1] È. Íüþòîí. Ìàòåìàòè÷åñêèå íà÷àëà íàòóðàëüíîé ôèëîñîôèè. Îòäåë VII: Î äâèæåíèè æèäêîñòåé è ñîïðîòèâëåíèè áðîøåííûõ òåë / Ñîáðàíèå òðóäîâ àêàäåìèêà À. Í. Êðûëîâà. Ò. VII. Ì.Ë.: Èçä-âî ÀÍ ÑÑÑÐ, 1936. Ñ. 422433. [2] À. Þ. Ïëàõîâ. Ðàññåÿíèå â áèëëèàðäàõ è çàäà÷è íüþòîíîâñêîé àýðîäèíàìèêè // Óñïåõè ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê. 2009. Ò. 64. Âûï. 5 (389). Ñ. 97166. 12