Лекция 5. Представления групп.

êàôåäðà Ïðîáëåìû òåîð. ôèçèêè, II êóðñ
Ââåäåíèå â òåîðèþ ãðóïï
Íåêîòîðûå ðåøåíèÿ çàäà÷ èç ëåêöèè 3.
Îïðåäåëåíèå 1.
G}.
Öåíòð ãðóïïû G ýòî ìíîæåñòâî Z(G) = {g ∈ G|gx = xg, ∀x ∈
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî öåíòð ãðóïïû G ÿâëÿåòñÿ ïîäãðóïïîé.
Çàäà÷à 4. à) ×åðåç Dnh îáîçíà÷èì ãðóïïó ñèììåòðèé ïðÿìîóãîëüíîé ïðèçìû ñ
îñíîâàíèåì ïðàâèëüíûé n óãîëüíèê. Íàéäèòå ïîðÿäîê ãðóïïû Dnh.
Äðóãîå îïèñàíèå ãðóïïû Dnh ãðóïïà äâèæåíèé òðåõìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà, ñîõðàíÿþùèõ ïðàâèëüíûé ìíîãîóãîëüíèê ñ n ñòîðîíàìè â ïëîñêîñòè .
á) Èçîìîðôíû ëè ãðóïïû D3h è D6?
Ðåøåíèå à) Äîêàæåì èçîìîðôèçì Dnh ∼
= Dn × C2 . À èìåííî, ïîäãðóïïà Dn ⊂
Dnh ñîñòîèò èç ñèììåòðèé êîòîðûå ñîõðàíÿþò ïðàâèëüíûé n-óãîëüíèê â ïëîñêîñòè
Oxy , à ïîëóïðîñòðàíñòâà íà êîòîðûå îíà ðàçáèâàåò ïðîñòðàíñòâà íå ïåðåñòàâëÿþòñÿ. À ïîäãðóïïà C2 ïîðîæäàåòñÿ ñèììåòðèåé îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòè . Ýòè ïîäãðóïïû íå ïåðåñåêàþòñÿ è êîììóòèðóþò. Êðîìå òîãî ëþáîé ýëåìåíò èç Dnh ïðåäñòàâèì
â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ ýëåìåíòîâ èç ýòè ïîäãðóïï. Çíà÷èò Dnh ∼
= Dn × C2 .
Èç ýòîãî èçîìîðôèçìà ñëåäóåò, ÷òî |Dnh| = 4n.
á) Áóäåì ðåøàòü áîëåå îáùóþ çàäà÷ó ïðî èçîìîðôèçì D2n è Dnh, äëÿ íå÷åòíîãî n. Âíóòðè ãðóïï D2n åñòü ïîäãðóïïà Dn ñèììåòðèè ïðàâèëüíîãî n-óãîëüíèêà
êîòîðûé âëîæåí â ïðàâèëüíûé 2n-óãîëüíèê. È åñòü ïîäãðóïïà C2 ëåæàùàÿ â öåíòðå ãðóïïû åäèíè÷íûé ýëåìåíò è öåíòðàëüíàÿ ñèììåòðèÿ. Ýòè äâå ïîäãðóïïû íå
ïåðåñåêàþòñÿ (òàê êàê n íå÷åòíî), ýòè äâå ïîäãðóïïû êîììóòèðóþò è ïîðîæäàþò
D2n , çíà÷èò ãðóïïà D2n ∼
= Dn × C2 . Çàìå÷àíèå. Ãðóïà Dn íå èçîìîðôíà ïðÿìîìó ïðîèçâåäåíèþ ñâîèõ ïîäãðóïï C2
è Cn, òàê êàê ýòè ïîäãðóïïû íå êîììóòèðóþò â Dn.
Çàäà÷à 6. * Ïóñòü p ïðîñòîå ÷èñëî. Ïóñòü X ìíîæåñòâî ðàñêðàñîê âåðøèí
ïðàâèëüíîãî p-óãîëüíèêà â a öâåòîâ. Ãðóïïà Cp äåéñòâóåò íà X ïîâîðîòàìè. Íàéäèòå âîçìîæíûå äëèíû îðáèò. Íàéäèòå êîëè÷åñòâî îðáèò.
Ïåðåôîðìóëèðîâêà: Êàêèì ÷èñëî ñïîñîáîâ ìîæíî ðàñêðàñèòü â a öâåòîâ êàðóñåëü èç p âàãîí÷èêîâ, ãäå p ïðîñòîå.
Äëèíà êàæäîé îðáèòû äåëèò ÷èñëî ýëåìåíòîâ â ãðóïïå, çíà÷èò, òàê
êàê p ïðîñòîå, âñå îðáèòû èìåþò äëèíó 1 èëè p. ×èñëî îðáèò èìåþùèõ äëèíó 1
ðàâíî a, îñòàåòñÿ ap − a ðàñêðàñîê, çíà÷èò îðáèò èç p ýëåìåíòîâ a p−a , à âñåãî îðáèò
a −a
p + a. Òàê êàê ÷èñëî îðáèò âñåãäà öåëîå, òî ìû äîêàçàëè, ÷òî ap − a âñåãäà äåëèòñÿ
íà p, ò.å. äîêàçàëè ìàëóþ òåîðåìó Ôåðìà.
Ðåøåíèå
p
p
Íåêîòîðûå ðåøåíèÿ çàäà÷ èç ëåêöèè 4.
à) Íàéäèòå êëàññû ñîïðÿæåííîñòè â ãðóïïå D5.
á) Íàéäèòå êîììóòàíò ãðóïïû D5.
â) Íàéäèòå âñå ãîìîìîðôèçìû èç D5 â C∗.
Çàäà÷à 2.
á) Ðåøèì ñðàçó áîëåå îáùóþ çàäà÷ó. Íàéäåì êîììóòàíò ãðóïïû Dn.
Ãðóïïà Dn ïîðîæäåíà ýëåìåíòàìè ρ, s ñ ñîîòíîøåíèÿìè ρn = e, s2 = e, sρsρ = e.
Ïîñëåäíåå ñîîòíîøåíèå ìîæíî ïåðåïèñàòü êàê sρs = ρ−1, îòêóäà sρk s = ρ−k .
Íàéäåì âñå âîçìîæíûå êîììóòàòîðû. Îáðàòíûé ýëåìåíò ê ïîâîðîòó ρi ýòî ρ−i,
îáðàòíûé ýëåìåíò ê ñèììåòðèè sρi ýòî îíà ñàìà sρi. Êîììóòàòîð äâóõ ïîâîðîòîâ ðàâåí ïðîñòî åäèíèöå ρiρj ρ−iρ−j = e. Êîììóòàòîð äâóõ ñèììåòðèé ðàâåí sρisρj sρisρi =
ρ−i ρj ρ−i ρj = ρ2(j−i) . Êîììóòàòîð ñèììåòðèè è ïîâîðîòà ðàâåí sρi ρj sρi ρ−j = ρ−i−j ρi−j =
ρ−2j . Òàêèì îáðàçîì êîììóòàíò ñîñòîèò èç ÷åòíûõ ñòåïåíåé ρ.
Åñëè n íå÷åòíîå, òî ÷åòíûå ñòåïåíè ρ ýòî âñå ïîâîðîòû, ò.å. êîììóòàíò ñîâïàäàåò ñ Cn. Åñëè n ÷åòíîå, òî òàê ïîëó÷àåòñÿ ïîëîâèíà âñåõ ïîâîðîòîâ ò.å. ïîäãðóïïà
Cn/2 .
à) Ïîñêîëüêó ïîâîðîòîì ìîæíî ïåðåâåñòè ëþáóþ îñü ñèììåòðèè ïÿòèóãîëüíèêà
â ëþáóþ äðóãóþ, òî âñå ñèììåòðèè ñîïðÿæåíû. Îñòàëèñü ïîâîðîòû e, ρ, ρ2, ρ3, ρ4.
ßñíî, ÷òî e ñîïðÿæåí òîëüêî ñàì ñåáå. Ïîâîðîòû ρ è ρ2 íå ìîãóò áûòü ñîïðÿæåíû òàê îíè ÿâëÿþòñÿ ïîâîðîòàìè íà ðàçíûå óãëû 2π/5 è 4π/5. À âîò ρ è ρ4
ÿâëÿþòñÿ ïîâîðîòàìè íà îäèí óãîë (íî â ðàçíîì íàïðàâëåíèè). È äåéñòâèòåëüíî
sρs = ρ4 . Àíàëîãè÷íî ρ2 è ρ3 ñîïðÿæåíû. Èòîãî ïîëó÷àåì ÷åòûðå êëàññà ñîïðÿæåííîñòè {s, sρ, sρ2, sρ3, sρ4}, {e}, {ρ, ρ4}, {ρ2, ρ3}.
â) Ïðè ëþáîì ãîìîìîðôèçìå â àáåëåâó ãðóïïó êîììóòàíò D5 äîëæåí ïåðåõîäèòü
â 1. Ò.å. âñå ïîâîðîòû ïåðåéäóò â 1. Âñå ñèììåòðèè ïåðåéäóò òîæå â îäèí ýëåìåíò è
ýòî ±1. Çíà÷èò, âñåãî äâà ãîìîìîðôèçìà. Çàìå÷àíèå. Åùå îäíèì ïðèìåðîì ãðóïïû ó êîòîðîé ìîæíî íàéòè êîììóòàíò è
ïîëüçóÿñü ýòèì îïèñàòü âñå ãîìîðôèçìû â C∗ ÿâëÿåòñÿ Sn. ßñíî ÷òî âñå ýëåìåíòû
âèäà xyx−1y−1 ÿâëÿþòñÿ ÷åòíûìè ïåðåñòàíîâêàìè. Òàêæå ëåãêî ïîëó÷èòü âñå òðîéíûå öèêëû êàê êîììóòàòîð ïåðåñåêàþùèõñÿ òðàíñïîçèöèé (i, j) è (j, k). Òðîéíûå
öèêëû ïîðîæäàþò âñþ ãðóïïó ÷åòíûõ ïåðåñòàíîâîê An, ñì çàäà÷ó íèæå. Çíà÷èò
êîììóòàíò [Sn, Sn] = An.
Êàêèå ìîãóò áûòü ãîìîìîðôèçìû èç Sn â C∗? Ïðè ëþáîì òàêîì ãîìîìîðôèçìå
âñå ÷åòíûå ïåðåñòàíîâêè äîëæíû ïåðåéòè â 1, òàê êàê ýòî êîììóòàíò. Òðàíñïîçèöèÿ
(1, 2) ïåðåõîäèò â ±1, è âñå íå÷åòíûå ïåðåñòàíîâêè òóäà-æå òàê êàê îòëè÷àþòñÿ íà
óìíîæåíèå íà ÷åòíóþ. Çíà÷èò åñòü òîëüêî äâà ãîìîìîðôèçìà èç Sn â C∗ òðèâèàëüíûé è çíàêîâûé.
Ðåøåíèå
Ëåêöèÿ 5. Ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïï.
Ïóñòü G êîíå÷íàÿ ãðóïïà, V êîíå÷íîìåðíîå êîìïëåêñíîå
âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî. Ãîìîìîðôèçì ãðóïï ρ : G → Gl(V ) íàçûâàåòñÿ (êîíå÷íîìåðíûì, êîìïëåêñíûì)
G. Ïðîñòðàíñòâî V íàçûâàåòñÿ
. Ðàçìåðíîñòü dim V íàçûâàåòñÿ
.
Åñëè â ïðîñòðàíñòâå V âûáðàí áàçèñ e1, e2, . . . , en, òî ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ïðåäñòàâëåíèå çàäàåò ãîìîìîðôèçì ρ : G → GL(n, C).
 ÷àñòíîñòè îäíîìåðíûå ïðåäñòàâëåíèÿ ýòî òîæå ñàìîå, ÷òî è ãîìîìîðôèçìû èç
G â C∗ .
Îïðåäåëåíèå 2.
ïðåäñòàâëåíèåì ãðóïïû
ïðîñòðàíñòâîì ïðåäñòàâëåíèÿ
ïðåäñòàâëåíèÿ
ðàçìåðíîñòüþ
Ïóñòü äàíà ãðóïïà G è äâà åå âåêòîðíûõ ïðåäñòàâëåíèÿ ρ1 : G →
GL(V1 ) è ρ2 : G → Gl(V2 ). Èçîìîðôèçìîì ïðåäñòàâëåíèé íàçûâàåòñÿ èçîìîðôçèì
âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ ϕ : V1 → V2 êîììóòèðóþùèé ñ äåéñòâèåì ãðóïïû:
Îïðåäåëåíèå 3.
V1
ϕ(ρ1 (g)v) = ρ2 (g)ϕ(v)
ϕ
V2
ρ1 (g)
V1
ρ2 (g)
V2
ϕ
 òåðìèíàõ ìàòðèö ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî g ìàòðèöû ρ1(g) è ρ2(g) ñîïðÿæåíû: ρ1(g) = φρ2(g)φ−1.
Ïðèìåðû
1 [Òðèâèàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå]
Îäíîìåðíîå ïðåäñòàâëåíèå ïðè êîòîðîì äëÿ
ëþáîãî g ∈ G, ρ(g) = 1.
2 Ãðóïïà Sn , ïðîñòðàíñòâî Cn . Ãðóïïà äåéñòâóåò ïåðåñòàíîâêîé áàçèñíûõ âåêòîðîâ.
Ïóñòü n = 3. Òîãäà ýòî ïåðåñòàíîâî÷íîå ïðåäñòàâëåíèå S3 çàäàåòñÿ ìàòðèöàìè:


1 0 0
e 7→ 0 1 0
0 0 1

0 1
(1, 2) 7→ 1 0
0 0

0 0
(1, 2, 3) 7→ 1 0
0 1


0
0
0 (1, 3) 7→ 0
1
1


1
0
0
0
(1, 3, 2) 7→ 0
1


1
0 1
1 0 (2, 3) 7→ 0
0
0 0

1 0
0 1
0 0

0 0
0 1
1 0
Ïóñòü ãðóïïà G äåéñòâóåò íà ìíîæåñòâå
M . Òîãäà àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó ïðèìåðó åñòü ïðåäñòàâëåíèå ãðóïïû G â âåêòîðíîì ïðîñòðàíñòâå ñ áàçèñîì em, ãäå m ∈ M .
4 (Ðåãóëÿðíîå ïðåäñòàâëåíèå) Ïóñòü G ñîñòîèò èç n ýëåìåíòîâ. Ïðîñòðàíñòâî
V = Cn ñ áàçèñîì eg çàíóìåðîâàííûì ýëåìåíòàìè ãðóïïû G. Ãðóïïà äåéñòâóåò íà
V ïî ôîðìóëå g1 eg = eg g .
Íàïðèìåð ðåãóëÿðíîå ïðåäñòàâëåíèå C3 çàäàåòñÿ ìàòðèöàìè:
3 (Ïåðåñòàíîâî÷íîå ïðåäñòàâëåíèå)
2
1 2


1 0 0
e 7→ 0 1 0
0 0 1


0 0 1
ρ 7→ 1 0 0
0 1 0


0 1 0
ρ2 7→ 0 0 1
1 0 0
Ïîäïðîñòðàíñòâî U ⊂ V íàçûâàåòñÿ ïîäïðåäñòàâëåíèåì, åñëè
îíî ÿâëÿåòñÿ G èíâàðèàíòíûì, ò.å. äëÿ åñëè ëþáûõ g ∈ G, u ∈ U âûïîëíÿåòñÿ
ρ(g)u ∈ U .
Ïðèìåð. Íàéäåì èíâàðèàíòíûå ïîäïðîñòðàíñòâà ðåãóëÿðíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ
C3 . Ýòè ïîäïðîñòðàíñòâà äîëæíû áûòü èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî äåéñòâèÿ îïåðàòîðà ρ êîòîðûé çàäàí ìàòðèöåé âûøå. ßñíî, ÷òî ýòîãî óñëîâèÿ äîñòàòî÷íî òàê
êàê ïîäïðîñòðàíñòâà èíâàðèàíòíûå îòíîñèòåëüíî äåéñòâèÿ ρ áóäóò òàêæå èíâàðèàíòíûìè îòíîñèòåëüíî e è ρ2. Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îïåðàòîðà ρ ðàâíû 1, ε, ε2, ãäå
ε = e . Ñîîòâåòñòâóþùèå ñîáñòâåííûå âåêòîðà ðàâíû (1, 1, 1); (1, ε2 , ε); (1, ε, ε2 ) è
Îïðåäåëåíèå 4.
2πi
3
ïîðîæäàþò îäíîìåðíûå èíâàðèàíòíûå ïîäïðîñòðàíñòâà. Äâóìåðíûå èíâàðèàíòíûå
îòíîñèòåëüíî ρ ïîäïðîñòðàíñòâà äîëæíû áûòü íàòÿíóòû íà ñîáñòâåííûå âåêòîðà ρ.
Îïðåäåëåíèå 5 (Ïðÿìàÿ ñóììà ïðåäñòàâëåíèé). Ïóñòü äàíà ãðóïïà G è
äâà åå âåêòîðíûõ ïðåäñòàâëåíèÿ V1, ρ1 è V1, ρ1. Òîãäà ïðîñòðàíñòâî V = V1 ⊕ V2
òàêæå èìååò ñòðóêòóðó ïðåäñòàâëåíèÿ
â êîòîðîì g ïåðåõîäèò â îïåðàòîð
ãðóïïû G çàäàííûé áëî÷íîé ìàòðèöåé ρ(g) = ρ10(g) ρ20(g) .
Ïðèìåðû
Ðàññóæäåíèÿ âûøå ïîêàçûâàþò, ÷òî ðåãóëÿðíîå ïðåäñòàâëåíèå ãðóïïû C3 èçîìîðôíî ïðÿìîé ñóììå îäíîìåðíûõ ïðåäñòàâëåíèé ïðè êîòîðûõ ρ ïåðåõîäèò â 1, ε, ε2.
Íà ìàòðè÷íîì ÿçûêå ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðåäñòàâëåíèÿ çàäàííûå ìàòðèöàìè a) è
b) íèæå èçîìîðôíû






1
1

a) e 7→ 0
0

1 0

b) e 7→ 0 1
0 0
0 0
0


1 0
ρ 7→ 1
0 1
0


1 0
0


0
ρ 7→ 0 ε
0 0
1
0 1
0 1 0
2


0 0
ρ 7→ 0 0 1
1 0
1 0 0



1 0 0
0
0  ρ2 7→ 0 ε2 0 .
0 0 ε
ε2
Ïåðåñòàíîâî÷íîå ïðåäñòàâëåíèå Sn ðàçëàãàåòñÿ â ïðÿìóþ ñóììó Cn = V1 ⊕ V2,
ãäå V1 îäíîìåðíîå
P i P iïðîñòðàíñòâî ïîðîæäåííîå âåêòîðîì v = e1 + e2 + · · · + en ,
V2 = {v = x ei | x = 0}.
Îïðåäåëåíèå 6. Ïðåäñòàâëåíèå V íàçûâàåòñÿ
, åñëè ó íåãî íåò
ïîäïðåäñòàâëåíèé îòëè÷íûõ îò 0 è V .
ßñíî, ÷òî ëþáîå îäíîìåðíîå ïðåäñòàâëåíèå íåïðèâîäèìî.
P i P i
Ïðåäëîæåíèå 1. Ïðåäñòàâëåíèå ãðóïïû Sn â ïðîñòðàíñòâå V2 = {v =
x ei | x =
0} ÿâëÿåòñÿ íåïðèâîäèìûìè.
Äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî ïðåäëîæåíèÿ áóäåò íà ñëåäóþùåé ëåêöèè.
Òåîðåìà 2 (Ìàøêå). Ëþáîå êîíå÷íîìåðíîå êîìïëåêñíîå ïðåäñòàâëåíèå V
êîíå÷íîé ãðóïïû G ðàçëàãàåòñÿ â ïðÿìóþ ñóììó íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé V =
V1 ⊕ V2 ⊕ · · · ⊕ Vk .
Ýòó òåîðåìó ìû äîêàçûâàòü íå áóäåì, ìîæíî ïîñìîòðåòü äîêàçàòåëüñòâî â ó÷åáíèêàõ Âèíáåðãà èëè Ñåððà.
Îïðåäåëåíèå 7. Ïóñòü äàíî ïðåäñòàâëåíèå ρ : G → GL(V ). Õàðàêòåðîì ïðåäñòàâëåíèÿ íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ χ(g) = Tr(ρ(g)), ãäå Tr ýòî ñëåä ìàòðèöû.
Ìû áóäåì èíîãäà îáîçíà÷àòü õàðàêòåð ïðåäñòàâëåíèÿ V ÷åðåç χV .
Ïðåäëîæåíèå 3 (Ïðîñòåéøèå ñâîéñòâà). à) Õàðàêòåðû èçîìîðôíûõ ïðåäñòàâëåíèé ñîâïàäàþò.
á) Õàðàêòåð ïðÿìîé ñóììû ïðåäñòàâëåíèé ðàâåí ñóììå õàðàêòåðîâ
2
íåïðèâîäèìûì
χV1 ⊕V2 (g) = χV1 (g) + χV2 (g).
à) Êàê óæå îòìå÷àëîñü âûøå â òåðìèíàõ ìàòðèö ρ1(g) = φρ2(g)φ−1.
Íàì íàäî äîêàçàòü, ÷òî Tr(ρ1(g)) = Tr(ρ2(g)). Äîêàæåì, ÷òî ó ìàòðèö ρ1(g) è ρ2(g)
Äîêàçàòåëüñòâî
ñîâïàäàþò õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ìíîãî÷ëåíû, òîãäà, ó íèõ ñîâïàäóò è ñëåäû, òàê êàê
ñëåä ýòî êîýôôèöèåíò õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ìíîãî÷ëåíà. Èìååì:
det(ρ1 (g) − λE) = det(φρ2 (g)φ−1 − λE) = det(φ(ρ2 (g) − λE)φ−1 ) = det(ρ2 (g) − λE).
á) Î÷åâèäíî.
Äîìàøíåå çàäàíèå
Ðåøåíèÿ íàäî ïðèñëàòü èëè ïðèíåñòè äî íà÷àëà ëåêöèè 30 ìàðòà. Ïîìèìî
ïèñüìåííîé ñäà÷è íàäî áûòü ãîòîâûì îòâåòèòü íà âîïðîñû ïî ðåøåíèÿì.
Óïðàæíåíèå 1.
à) Äîêàæèòå, ÷òî õàðàêòåðû ñîïðÿæåííûõ ýëåìåíòîâ ðàâíû:
χV (x) = χV (gxg ).
á) Äîêàæèòå, ÷òî χV (e) = dim(V ).
−1
Äîêàæèòå, ÷òî ó ãðóïïû Dn ïðè ÷åòíîì n ñóùåñòâóåò ðîâíî 4 îäíîìåðíûõ ïðåäñòàâëåíèÿ. Íàïèøèòå ýòè ïðåäñòàâëåíèÿ ÿâíî.
Çàäà÷à 3. Ïóñòü g ∈ G èìååò ïîðÿäîê n, ρ : G → GL(V ) êîíå÷íîìåðíîå ïðåäñòàâëåíèå ãðóïïû G. Êàêèìè ìîãóò áûòü ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ρ(g)?
Çàäà÷à 4. à) Ïóñòü G ãðóïïà âñåõ äâèæåíèé ñîõðàíÿþùèõ êóá. Äîêàæèòå,
÷òî G ∼
= S4 × C2 . á) Íàéäèòå êîììóòàíò G.
Çàäà÷à 5. Çàäàéòå ðåãóëÿðíîå ïðåäñòàâëåíèå C2 × C2 ìàòðèöàìè. Íàéäèòå õàðàêòåð ïðåäñòàâëåíèÿ. Íàéäèòå âñå îäíîìåðíûå èíâàðèàíòíûå ïîäïðîñòðàíñòâà.
Çàäà÷à 6. * Äîêàæèòå, ÷òî ãðóïïà An ïîðîæäàåòñÿ òðîéíûìè öèêëàìè.
Çàäà÷à 2.
Ìàòåðèàëû, à òàêæå ïîëåçíàÿ èíôîðìàöèÿ åñòü íà ñàéòå:
[qft.itp.ac.ru/mbersht/Group.html]