Совместный бакалавриат ВШЭ-РЭШ, 2011

ÂØÝ-ÐÝØ, 2011-12, ¾Ëèíåéíàÿ àëãåáðà 1¿
Ñîâìåñòíûé áàêàëàâðèàò ÂØÝ-ÐÝØ, 2011-12 ó÷. ãîä.
Ëèíåéíàÿ àëãåáðà 1
ÄÇ 7: ïðèâåäåíèå êâàäðàòè÷íîé ôîðìû ê ãëàâíûì îñÿì (Deadline 10
èþíÿ 2012)
È. À. Õîâàíñêàÿ, Þ. Ã. Êóäðÿøîâ, À. Ì. Ìàëîêîñòîâ, À. Ï. Ïóøêàðü, È. Â. Ùóðîâ
Çàäà÷à 1. Ðàññìîòðèì áèëèíåéíóþ ôîðìó
B(~x, ~y ) = 11x1 y1 + 5x2 y2 + 2x3 y3 + 8x1 y2 + 8x2 y1 + 2x1 y3 + 2x3 y1 − 10x2 y3 − 10x3 y2 ,
ãäå ~x = (x1, x2, x3) ∈ R3 è ~y = (y1, y2, y3) ∈ R3.
(a) Äîêàæèòå, ÷òî ýòà ôîðìà äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ áèëèíåéíîé.
(b) Äîêàæèòå, ÷òî ýòà ôîðìà ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷íîé, òî åñòü B(~x, ~y) = B(~y, ~x).
(c) Äëÿ âñåõ ïàð áàçèñíûõ âåêòîðîâ ei, ej íàéäèòå çíà÷åíèå ôîðìû B(ei, ej ).
(d) Ñîñòàâüòå ìàòðèöó áèëèíåéíîé ôîðìû B .
(e) Âûïèøèòå êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó, ñîîòâåòñòâóþùóþ áèëèíåéíîé ôîðìå B .
(f) Ïóñòü A îïåðàòîð, çàïèñûâàþùèéñÿ â ñòàíäàðòíîì áàçèñå òîé æå ìàòðèöåé,
÷òî è áèëèíåéíàÿ ôîðìà B . Íàéäèòå âñå ñîáñòâåííûå âåêòîðû è âñå ñîáñòâåííûå
çíà÷åíèÿ îïåðàòîðà A.
(g) Ïðîâåðüòå, ÷òî ñîáñòâåííûå âåêòîðû îïåðàòîðà A âçàèìíî îðòîãîíàëüíû.
(h) Íîðìèðóéòå áàçèñ èç ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ îïåðàòîðà A, òî åñòü çàìåíèòå êàæäûé âåêòîð íà êîëëèíåàðíûé åìó âåêòîð äëèíû 1.
(i) Ñîñòàâüòå ìàòðèöû ïåðåõîäîâ îò ñòàíäàðòíîãî áàçèñà ê áàçèñó, íàéäåííîìó â
ïðåäûäóùåì ïóíêòå, è îáðàòíî.
(j) Çàïèøèòå îïåðàòîð A â áàçèñå, íàéäåííîì â 1h, òî åñòü ïðåäñòàâüòå ìàòðèöó
A â âèäå A = C −1 DC , ãäå C îðòîãîíàëüíàÿ ìàòðèöà. Ïðîâåðüòå ðåçóëüòàò,
ïåðåìíîæèâ ìàòðèöû.
(k) Çàïèøèòå áèëèíåéíóþ ôîðìó â áàçèñå, íàéäåííîì â 1h, òî åñòü ïðåäñòàâüòå
ìàòðèöó A â âèäå A = C T DC , ãäå C îðòîãîíàëüíàÿ ìàòðèöà. Ïðîâåðüòå
ðåçóëüòàò, ïåðåìíîæèâ ìàòðèöû.
Çàäà÷à 2. Ðàññìîòðèì áèëèíåéíóþ ôîðìó1,
B(~x, ~y ) = −7x1 y1 − x2 y2 − x3 y3 + 4x1 y2 + 4x2 y1 + 4x1 y3 + 4x3 y1 + 8x2 y3 + 8x3 y2 ,
ãäå ~x = (x1, x2, x3) ∈ R3 è ~y = (y1, y2, y3) ∈ R3.
(a) Äîêàæèòå, ÷òî ýòà ôîðìà äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ áèëèíåéíîé.
(b) Äîêàæèòå, ÷òî ýòà ôîðìà ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷íîé, òî åñòü B(~x, ~y) = B(~y, ~x).
(c) Äëÿ âñåõ ïàð áàçèñíûõ âåêòîðîâ ei, ej íàéäèòå çíà÷åíèå ôîðìû B(ei, ej ).
(d) Ñîñòàâüòå ìàòðèöó áèëèíåéíîé ôîðìû B .
(e) Âûïèøèòå êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó, ñîîòâåòñòâóþùóþ áèëèíåéíîé ôîðìå B .
1
 èñõîäíîì óñëîâèè áûëà ôîðìà B(~x, ~y) = 8x1 y1 − 8x2 y2 + 8x3 y3 + 4x1 y2 + 4x2 y1 − x1 y3 − x3 y1 +
, íî ñ íåé çàäà÷à ïîëó÷àëàñü ïîëíîñòüþ àíàëîãè÷íà ïåðâîé
4x2 y3 + 4x3 y2
È. À. Õîâàíñêàÿ, Þ. Ã. Êóäðÿøîâ, À. Ì. Ìàëîêîñòîâ, À. Ï. Ïóøêàðü, È. Â. Ùóðîâ
1
ÂØÝ-ÐÝØ, 2011-12, ¾Ëèíåéíàÿ àëãåáðà 1¿
(f) Ïóñòü A îïåðàòîð, çàïèñûâàþùèéñÿ â ñòàíäàðòíîì áàçèñå òîé æå ìàòðèöåé,
÷òî è áèëèíåéíàÿ ôîðìà B . Íàéäèòå âñå ñîáñòâåííûå âåêòîðû è âñå ñîáñòâåííûå
çíà÷åíèÿ îïåðàòîðà A.
(g) Íàéäèòå áàçèñ, ñîñòîÿùèé èç ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ îïåðàòîðà A. Îäíîçíà÷íî
ëè ðåøàåòñÿ ýòà çàäà÷à? Ïî÷åìó?
(h) Íîðìèðóéòå áàçèñ èç ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ îïåðàòîðà A, òî åñòü çàìåíèòå êàæäûé âåêòîð íà êîëëèíåàðíûé åìó âåêòîð äëèíû 1.
(i) Ñîñòàâüòå ìàòðèöû ïåðåõîäîâ îò ñòàíäàðòíîãî áàçèñà ê ïîñòðîåííîìó â ïðåäûäóùåì ïóíêòå è îáðàòíî.
(j) Ïîëó÷èëñÿ ëè áàçèñ îðòîíîðìèðîâàííûì? Êàê áóäåò ìåíÿòüñÿ ìàòðèöà îïåðàòîðà ïðè ïåðåõîäå ê ýòîìó áàçèñó? À ìàòðèöà áèëèíåéíîé ôîðìû?
(k) Ïðè ïîìîùè ïðîöåññà îðòîãîíàëèçàöèè ïîñòðîéòå èç áàçèñà, íàéäåííîãî â 2h îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ, ñîñòîÿùèé èç ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ ðàññìàòðèâàåìîãî
îïåðàòîðà.
(l) Çàïèøèòå îïåðàòîð A â áàçèñå, ïîñòðîåííîì â ïðåäûäóùåì ïóíêòå, òî åñòü ïðåäñòàâüòå ìàòðèöó A â âèäå A = C −1DC , ãäå C îðòîãîíàëüíàÿ ìàòðèöà. Ïðîâåðüòå ðåçóëüòàò, ïåðåìíîæèâ ìàòðèöû.
(m) Çàïèøèòå áèëèíåéíóþ ôîðìó â áàçèñå, íàéäåííîì â 2k, òî åñòü ïðåäñòàâüòå
ìàòðèöó A â âèäå A = C T DC , ãäå C îðòîãîíàëüíàÿ ìàòðèöà. Ïðîâåðüòå
ðåçóëüòàò, ïåðåìíîæèâ ìàòðèöû.
Çàäà÷à 3. Íàðèñóéòå íà ïëîñêîñòè
ìíîæåñòâî òî÷åê ~x ∈ R2, äëÿ êîòîðûõ f (~x) = 1,
åñëè êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà f : R2 → R çàäà¼òñÿ ôîðìóëîé
(a) f (~x) = x21 + x22;
(b) f (~x) = x21 + 2x22;
(c) f (~x) = x21 − x22.
Çàäà÷à 4.2 Ïðèâåäèòå êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó (a) f (~x) = x21 + 4x1x2; (b) f (~x) = x21 +
4x1 x2 + 6x2 ê ãëàâíûì îñÿì. Íàðèñóéòå íà ïëîñêîñòè (â ñòàðûõ êîîðäèíàòàõ) ìíîæåñòâî òî÷åê ~x ∈ R2, äëÿ êîòîðûõ f (~x) = 1. Íà òîì æå ðèñóíêå èçîáðàçèòå íîâûå
êîîðäèíàòíûå îñè.
È. À. Õîâàíñêàÿ, Þ. Ã. Êóäðÿøîâ, À. Ì. Ìàëîêîñòîâ, À. Ï. Ïóøêàðü, È. Â. Ùóðîâ
2