1 Преобразование графиков функций

ÂØÝ, 2011-12, ¾Äîïîëíèòåëüíûå ãëàâû àëãåáðû è àíàëèçà¿
Ôàêóëüòåò ïðèêëàäíîé ïîëèòîëîãèè, 2011-12 ó÷. ãîä.
Äîïîëíèòåëüíûå ãëàâû àëãåáðû è àíàëèçà
Çàäà÷è äëÿ òðåíèðîâêè 1 (22 ñåíòÿáðÿ 2013 ã.)
È. À. Õîâàíñêàÿ, È. Â. Ùóðîâ, Þ. Ã. Êóäðÿøîâ, Ï. Ô. Ñîëîìàòèí, Ê. È. Ñîíèí (ÐÝØ)
1
Ïðåîáðàçîâàíèå ãðàôèêîâ ôóíêöèé
y
1
0
x
1
Ðèñ. 1: Ðèñóíîê ê çàäà÷å 1
Çàäà÷à 1. Íà ðèñóíêå 1 èçîáðàæåí ãðàôèê ôóíêöèè y = f (x). Ïóñòü g(x) = f (3x). ×òîáû
ïîñòðîèòü ãðàôèê ôóíêöèè
y = g(x),
ñäåëàéòå ñëåäóþùåå:
(a) Ïî ãðàôèêó, íàéäèòå (ïðèìåðíî) çíà÷åíèå ôóíêöèè
3.
Ñîñòàâüòå òàáëèöó çíà÷åíèé
f
f
â òî÷êàõ
−3, −2, −1, 0, 1, 2,
â ýòèõ òî÷êàõ. Îòìåòüòå ñîîòâåòñòâóþùèå òî÷êè íà
ãðàôèêå.
(b) Çàìåòèì, ÷òî
g(1) = f (3·1) = f (3). Íàéäèòå çíà÷åíèå g(1). Îòìåòüòå ñîîòâåòñòâóþùóþ
y = g(x).
Íàïîìèíàíèå. Òî÷êà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ çíà÷åíèþ g(1) áóäåò èìåòü êîîðäèíàòó x, ðàâíóþ 1 (àðãóìåíòó ôóíêöèè) è êîîðäèíàòó y , ðàâíóþ g(1) (çíà÷åíèþ ôóíêöèè).
Íàéäèòå çíà÷åíèå g(−1). Îòìåòüòå ñîîòâåòñòâóþùóþ òî÷êó íà ãðàôèêå ôóíêöèè y =
g(x).
Çàìå÷àíèå. Ìû ìîãëè áû ïîñòðîèòü òî÷êó, ñîîòâåòñòâóþùóþ g(1), íå íàõîäÿ ÷èñëåííîãî çíà÷åíèÿ f (3). Äåéñòâèòåëüíî, ïîñìîòðèì íà òî÷êó, ñîîòâåòñòâóþùóþ f (3) íà
ãðàôèêå y = f (x) (ïóñòü ýòî òî÷êà A). Òî÷êà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ g(1) (ïóñòü ýòî òî÷êà B ), äîëæíà èìåòü òàêóþ æå y -êîîðäèíàòó, òî åñòü ëåæàòü íà òîé æå ãîðèçîíòàëüíîé
ïðÿìîé, îäíàêî å¼ x-êîîðäèíàòà äîëæíà áûòü ðàâíà 1, à íå 3. Òî åñòü ÷òîáû ïîëó÷èòü
òî÷êó B íà ãðàôèêå y = g(x), íóæíî ñîîòâåòñòâóþùóþ òî÷êó A íà ãðàôèêå y = f (x)
ñäâèíóòü ê îñè Oy , óìåíüøèâ å¼ y -êîîðäèíàòó âòðîå.
òî÷êó, ëåæàùóþ íà (åùå íå ïîñòðîåííîì) ãðàôèêå ôóíêöèè
(c)
È. À. Õîâàíñêàÿ, È. Â. Ùóðîâ, Þ. Ã. Êóäðÿøîâ, Ï. Ô. Ñîëîìàòèí, Ê. È. Ñîíèí (ÐÝØ)
1
ÂØÝ, 2011-12, ¾Äîïîëíèòåëüíûå ãëàâû àëãåáðû è àíàëèçà¿
(d) Äëÿ êàêèõ çíà÷åíèé
x ìû ìîæåì íàéòè çíà÷åíèå g(x) ïî òàáëèöå, ïîñòðîåííîé â ïóíêg(x) â ýòèõ òî÷êàõ. Ïîñòðîéòå ñîîòâåòñòâóþùèå òî÷êè íà
y = g(x). Êàêèå òî÷êè ñ ãðàôèêà f (x) ïåðåõîäÿò â ïîñòðîåííûå òî÷êè? Êàê
òå 1a? Íàéäèòå çíà÷åíèÿ
ãðàôèêå
ìåíÿþòñÿ èõ êîîðäèíàòû? Êàê ìåíÿåòñÿ âåñü ãðàôèê ôóíêöèè?
(e) Ïîñòðîéòå ãðàôèê ôóíêöèè
y = g(x).
Çàäà÷à 2. Äëÿ òîé æå ôóíêöèè f (x), ïîñòðîèòü ãðàôèêè ñëåäóþùèõ ôóíêöèé (ïðè íåîáõî-
äèìîñòè, ïðîâåäèòå òàêîé æå àíàëèç, êàê è â ïðåäûäóùåé çàäà÷å: íàéäèòå çíà÷åíèå ôóíêöèè
f (x)
â íåñêîëüêèõ òî÷êàõ, ïðîàíàëèçèðóéòå, çíà÷åíèå ôóíêöèè
g(x)
â êàêèõ òî÷êàõ
ìîæíî íàéòè, èñïîëüçóÿ âû÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ; íàéäèòå èõ, ïîñòðîéòå ñîîòâåòñòâóþùèå
òî÷êè íà ãðàôèêàõ
y = f (x)
è
y = g(x),
óñòàíîâèòå, êàê ñâÿçàíû êîîðäèíàòû ýòèõ òî÷åê, è
÷òî ïðîèñõîäèò ñ ãðàôèêîì).
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
2
y
y
y
y
y
y
y
y
y
= f (3x);
= 3f (x);
= f (x)/3;
= f (3x) + 2;
= f (3x + 2);
= f (x/3 − 3);
= 3f (x) + 1;
= 3f (x + 1);
= 3f (x/2 − 1).
Ïðåäåëû è íåïðåðûâíîñòü
Çàäà÷à 3. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ
(
2x + 1, x < 0
f (x) =
−x2 + 1, x ≥ 0
(a) Íàéòè çíà÷åíèå ôóíêöèè
f (x)
â òî÷êàõ
x = −2, −1, 0, 1, 2.
(b) Ïîñòðîéòå ãðàôèê ýòîé ôóíêöèè.
(c) Íàéäèòå ïðåäåëû, åñëè îíè ñóùåñòâóþò: limx→1+ f (x), limx→1− f (x) , limx→1 f (x), limx→0+
limx→0− f (x), limx→0 f (x).
f (x)
(d) ßâëÿåòñÿ ëè ôóíêöèÿ
íåïðåðûâíîé â òî÷êå
f (x),
0?
Çàäà÷à 4. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ
(
x3 , x < 0
f (x) =
x2 − 1, x ≥ 0
(a) Íàéòè çíà÷åíèå ôóíêöèè
f (x)
â òî÷êàõ
x = −2, −1, 0, 1, 2.
(b) Ïîñòðîéòå ãðàôèê ýòîé ôóíêöèè.
(c) Íàéäèòå ïðåäåëû, åñëè îíè ñóùåñòâóþò: limx→1+ f (x), limx→1− f (x) , limx→1 f (x), limx→0+
limx→0− f (x), limx→0 f (x).
f (x)
(d) ßâëÿåòñÿ ëè ôóíêöèÿ
íåïðåðûâíîé â òî÷êå
0?
È. À. Õîâàíñêàÿ, È. Â. Ùóðîâ, Þ. Ã. Êóäðÿøîâ, Ï. Ô. Ñîëîìàòèí, Ê. È. Ñîíèí (ÐÝØ)
2
f (x),
ÂØÝ, 2011-12, ¾Äîïîëíèòåëüíûå ãëàâû àëãåáðû è àíàëèçà¿
3
Ýêñïîíåíòà è ëîãàðèôì
Çàäà÷à 5.  ïðîöåññå ðàäèîàêòèâíîãî ðàñïàäà êîëè÷åñòâî íåêîòîðîãî ðàäèîàêòèâíîãî âåùåñòâà óìåíüøàåòñÿ âäâîå êàæäûå 10 ëåò (ýòî òàê íàçûâàåìûé ¾ïåðèîä ïîëóðàñïàäà¿).
Èçâåñòíî, ÷òî 1 ÿíâàðÿ 2010 ãîäà ýòîãî âåùåñòâà â íåêîòîðîì êîíòåéíåðå ñîñòàâëÿëî 400 ã.
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ýòî âåùåñòâî áûëî ïîìåùåíî â êîíòåéíåð êîãäà-òî î÷åíü äàâíî, è ñ
ýòîãî ìîìåíòà êîíòåéíåð íèêòî íå îòêðûâàë, è íèêîãäà íå áóäåò îòêðûâàòü.
(a) Ñêîëüêî âåùåñòâà áûëî â êîíòåéíåðå â 2000 ãîäó (íà íà÷àëî ãîäà)?  1990 ãîäó?
(b) Ñêîëüêî âåùåñòâà áóäåò â êîíòåéíåðå â 2020 ãîäó? Â 2030 ãîäó?
(c) Ïóñòü â íà÷àëå ãîäà
(d)
t â êîíòåéíåðå áûëî f (t) ãðàìì âåùåñòâà. Èç óñëîâèÿ ñëåäóåò, ÷òî
f (2010) = 400. Âûïèñàòü ôîðìóëó äëÿ f (t) äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ãîäà t.
Âûïèñàòü ôîðìóëó äëÿ ôóíêöèè f −1 (x), îáðàòíîé ê ôóíêöèè f (t).
(e) Â êàêîé ìîìåíò âðåìåíè (ïðèìåðíî) â êîíòåéíåðå áóäåò 1600 ã âåùåñòâà? 2 êã âåùåñòâà?
È. À. Õîâàíñêàÿ, È. Â. Ùóðîâ, Þ. Ã. Êóäðÿøîâ, Ï. Ô. Ñîëîìàòèí, Ê. È. Ñîíèí (ÐÝØ)
3