Лекция 1. Элементы финансовой математики, часть 1

Âûñøàÿ øêîëà ýêîíîìèêè, 2011-12 ó÷åáíûé ãîä
Ôàêóëüòåò ïðèêëàäíîé ïîëèòîëîãèè
Ìàòåìàòèêà äëÿ ïîëèòîëîãîâ
È.À.Õîâàíñêàÿ, È.Â.Ùóðîâ, Ê.È.Ñîíèí (ÐÝØ), À.Â.Ìèõàéëîâè÷
Ëåêöèÿ 1. Ýëåìåíòû ôèíàíñîâîé ìàòåìàòèêè, ÷àñòü 1
Ïðîöåíòíûå ñîîòíîøåíèÿ
Îïðåäåëåíèå 1 Ïðîöåíòîì îò ÷èñëà íàçûâàåòñÿ åãî ñîòàÿ ÷àñòü.
1% îò ÷èñëà A =
Ïðèìåð 1 Ñòàâêà
A
100
ïîäîõîäíîãî íàëîãà â Ðîññèè ñîñòàâëÿåò 13%. Êàêóþ ñóììó
åæåìåñÿ÷íî îò÷èñëÿåò â ãîñóäàðñòâåííóþ êàçíó ÷åëîâåê ñ äîõîäîì 100 000 ðóáëåé?
100000
Îòâåò:
· 13 = 100000 · 0, 13 = 13000
100
Äëÿ íà÷àëà, ðàññìîòðèì ïðîñòóþ çàäà÷ó.
Çàäà÷à 1 Àðáóç íà 99% ñîñòîèò èç âîäû (ïî âåñó). Ïîñëå òîãî, êàê îí íåìíîãî ïîäñîõ, â
í¸ì ñòàëî 98% âîäû. Êàê èçìåíèëñÿ åãî âåñ?
×èòàÿ óñëîâèå çàäà÷è, ìîæíî ïîäóìàòü, ÷òî âåñ îñòàíåòñÿ ïî÷òè òàêèì æå, ïîñêîëüêó
äîëÿ âîäû èçìåíèòñÿ íå ñëèøêîì ñèëüíî. Îäíàêî, âû÷èñëåíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òî ýòî íå òàê.
Ðåøåíèå. Äîïóñòèì, àðáóç âåñèë 10 êã. (Ìû íå çíàåì, ñêîëüêî îí âåñèë íà ñàìîì äåëå,
íî ÷àñòî ïðè ðåøåíèè ìàòåìàòè÷åñêèõ çàäà÷ áûâàåò ïîëåçíî âçÿòü íåèçâåñòíûå äàííûå
ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì, «ñ ïîòîëêà¿, è èñïîëüçîâàòü èõ ïðè ðåøåíèè. Îäíàêî, âàæíî ïîñëå
ýòîãî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî ïîëó÷åííûé îòâåò äåéñòâèòåëüíî íå çàâèñåë îò âûáîðà ýòèõ
99
ïðîèçâîëüíûõ äàííûõ.) Âîäà ñîñòàâëÿåò 99%, òî åñòü 10 ·
= 9.9 êã. Îñòàâøèéñÿ 1% (òî
100
åñòü 0.1 êã) ñîñòàâëÿåò «ñóõîå âåùåñòâî¿.
Ïîñëå òîãî, êàê àðáóç ñëåãêà ïîäñîõ, êîëè÷åñòâî ñóõîãî âåùåñòâà íå èçìåíèëîñü. Íî
åñëè äîëÿ âîäû â àðáóçå ñòàëà ðàâíîé 98%, òî äîëÿ ñóõîãî âåùåñòâà ñòàëà ðàâíîé 2%.
Êàê òàê ïîëó÷àåòñÿ? Òóò íóæíî ïîíèìàòü, ÷òî ïîñëå âûñûõàíèÿ ïðîöåíòû áåðóòñÿ íå îò
«èñõîäíîãî¿ àðáóçà, à îò óæå ïîäñîõøåãî. Åñëè 0.1 êã ñîñòàâëÿåò 2% îò âñåãî àðáóçà, òî 1%
ñîñòàâèò 0.05 êã, à 100% (òî åñòü âåñ ïîäñîõøèé àðáóç) ñîñòàâèò 0.05 × 100 = 5 êã. Ýòî ðîâíî
1
ÂØÝ, 2011-12, «Ìàòåìàòèêà äëÿ ïîëèòîëîãîâ¿, Õîâàíñêàÿ, Ùóðîâ, Ñîíèí, Ìèõàéëîâè÷
ïîëîâèíà îò èñõîäíîãî âåñà àðáóçà. Òàêèì îáðàçîì, ïîñëå óñûõàíèÿ àðáóç ñòàíåò âåñèòü
âäâîå ìåíüøå.
Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî íà ñàìîì äåëå îòâåò íå áóäåò çàâèñåòü îò òîãî, ñêîëüêî âåñèò
àðáóç. (Ïðîâåðüòå âû÷èñëåíèÿ, âçÿâ â êà÷åñòâå âåñà àðáóçà 5 êã èëè 15 êã.) Êðàòêî, åãî
ìîæíî ïîäûòîæèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:
Ïîñêîëüêó äîëÿ ñóõîãî âåùåñòâà â ðåçóëüòàòå óñóøêè óâåëè÷èëàñü â äâà ðàçà, è ïðè ýòîì
êîëè÷åñòâî ýòîãî ñóõîãî âåùåñòâà íå èçìåíèëîñü, çíà÷èò, îáùèé âåñ àðáóçà óìåíüøèëñÿ â
äâà ðàçà. Ýòà çàäà÷à âåñüìà ïîêàçàòåëüñòâà â ñìûñëå öåëåé íàøåãî êóðñà: öèôðû ìîãóò ââîäèòü
â çàáëóæäåíèå, è íàì íóæíî íàó÷èòüñÿ âèäåòü çà öèôðàìè ðåàëüíîñòü. Äëÿ ýòîãî íóæíî
ðàçâèòü íåêîòîðóþ ìàòåìàòè÷åñêóþ èíòóèöèþ. Êðîìå òîãî, ýòà çàäà÷à ïîêàçûâàåò, ÷òî
âàæíî íå òîëüêî, ñêîëüêî ïðîöåíòîâ áåð¸òñÿ, íî è îò êàêîãî ÷èñëà áåðóòñÿ ïðîöåíòû.
Îáû÷íî â çàäà÷å èëè â òåêñòå ñòàòüè ýòî íå óêàçûâàåòñÿ íåïîñðåäñòâåííî, ÷òî âûçûâàåò
ìíîæåñòâî îøèáîê. Åñëè ãîâîðèòñÿ, ÷òî íåêîòîðàÿ âåëè÷èíà èçìåíèëàñü íà êàêîå-òî
êîëè÷åñòâî ïðîöåíòîâ, òî ïðîöåíòû áåðóòñÿ èìåííî îò ýòîé âåëè÷èíû.
Çàäà÷à 2 Öåíà æèâîé âîäû çà ëåòî (ñåçîí àêòèâíîãî âîëøåáñòâà) âûðîñëà íà 20%, à çà
îñåíü (íà÷àëî âîëøåáíîé ñïÿ÷êè) óïàëà íà 20%. Êàê èçìåíèëàñü öåíà æèâîé âîäû çà ëåòî
è îñåíü âìåñòå?
Ðåøåíèå. Ïóñòü ïåðåä ëåòîì öåíà æèâîé âîäû ñîñòàâëÿëà V äåíåã çà ëèòð. Òîãäà
V
· 20% = 0, 2V. Çíà÷èò, ïîñëå ëåòà öåíà æèâîé
100
1, 2V
âîäû ñîñòàâèëà V + 0, 2V = 1, 2V . Ïàäåíèå öåíû çà îñåíü ñîñòàâèëî
· 20% = 0, 24V .
100
Çíà÷èò, öåíà æèâîé âîäû ïîñëå îñåíè ñîñòàâëÿåò 1, 2V − 0, 24V = 0, 96V , à íå V , êàê ìîæíî
ïðèáàâëåíèå â öåíå çà ëåòî ñîñòàâèëî
áûëî áû îæèäàòü! Äåëî çäåñü â òîì, ÷òî 20% áåðóòñÿ îò ðàçíûõ ÷èñåë: â ïåðâîì ñëó÷àå îò âåñåííåé öåíû,
à âî âòîðîì îò ëåòíåé.
Ýòî î÷åíü âàæíûé ïðèìåð. Ðàçáåð¸ìñÿ â ïðîèñõîäÿùåì ïîäðîáíåå.
×òî çíà÷èò óâåëè÷åíèå ÷èñëà A íà b ïðîöåíòîâ?
A
1% ÷èñëà A =
100
A
Ab
b
Çíà÷èò, b% ÷èñëà A =
·b=
=A·
100
100
100
Òàêèì îáðàçîì, ïðè óâåëè÷åíèè ÷èñëà A íà b ïðîöåíòîâ ìû ïîëó÷àåì
b
b
A+A·
=A 1+
.
100
100
2
ÂØÝ, 2011-12, «Ìàòåìàòèêà äëÿ ïîëèòîëîãîâ¿, Õîâàíñêàÿ, Ùóðîâ, Ñîíèí, Ìèõàéëîâè÷
Çàìåòèì, ÷òî õîòü è ãîâîðèòñÿ óâåëè÷åíèå
íà, íî èìååòñÿ â âèäó èìåííî óìíîæåíèå íà
b
b
÷èñëî 1 + 100 , ò.å. óâåëè÷åíèå â 1 +
ðàç.
100
Ïðèìåð: ÷òî-òî áûëî 70, çà ãîä óâåëè÷èëîñü íà 10%. Ñêîëüêî òåïåðü?
10
G = 70 · 1 +
= 70 · 1, 1 = 77.
100
×òî çíà÷èò óìåíüøåíèå ÷èñëà A íà b ïðîöåíòîâ?
b
b% ÷èñëà A = A ·
100
Òàêèì îáðàçîì, ïðè óìåíüøåíèè ÷èñëà A íà b ïðîöåíòîâ ìû ïîëó÷àåì
b
b
=A 1−
.
A−A·
100
100
Ïðèìåð: ÷òî-òî áûëî 120, çà ìåñÿö óìåíüøèëîñü íà 20%. Ñêîëüêî òåïåðü?
20
G = 120 · 1 −
100
= 120 · 0, 8 = 96
Âåðíeìñÿ ê çàäà÷å ïðî æèâóþ âîäó
Ïåðâîå èçìåíåíèå öåíû óìíîæåíèå íà 1, 2, âòîðîå óìíîæåíèå íà 0, 8. Íîâàÿ öåíà
A · 1, 2 · 0, 8 = 0, 96 · A
Êîíòðîëüíûé âîïðîñ. Êàêîé áóäåò îòâåò â çàäà÷å ïðî æèâóþ âîäó, åñëè èçìåíèòü
ïîðÿäîê îïåðàöèé: ñíà÷àëà öåíó óìåíüøèòü íà 20%, à ïîòîì óâåëè÷èòü íà òå æå 20%?
¾Ñëîæíûå¿ è ¾ïðîñòûå¿ ïðîöåíòû.
Çàäà÷à 3 Íåêòî ïîëîæèë â áàíê 10000 ð ïîä 10% ãîäîâûõ. ×åðåç 50 ëåò Íåêòî ðåøèë
çàáðàòü ñâîé âêëàä. Ñêîëüêî îí ïîëó÷èò â ñëó÷àå:
à) Åñëè ïðîöåíòû íà÷èñëÿþòñÿ òîëüêî íà ñàìó ñóììó âêëàäà? (ýòî íàçûâàåòñÿ
ïðîñòûå ïðîöåíòû)
á) Åñëè ïðîöåíòû íà÷èñëÿþòñÿ íà âñþ èìåþùóþñÿ ñóììó, ñ ó÷eòîì íàáåæàâøèõ
ïðîöåíòîâ? (ýòî íàçûâàåòñÿ ñëîæíûå ïðîöåíòû)
Ðåøåíèå.
10
× 10000 ð = 1000 ð.
100
Çíà÷èò, çà 50 ïðîøåäøèõ ëåò íàáåæàëî 1000 ð × 50 = 50000 ð. Äîáàâëÿåì èñõîäíûå 10000 ð,
à) Åæåãîäíî íà÷èñëÿåìàÿ ñóììà ñîñòàâëÿåò 10% îò 10000 ð, ò.å.
îáùàÿ ñóììà ñîñòàâèò 60000 ð
á) Ïðåæäå ÷åì âû÷èñëèòü îòâåò â ýòîé çàäà÷å, ïîñìîòðèì, êàêîâà áóäåò ðàçíèöà â ñóììå
âêëàäîâ çà ïåðâûå ãîäû. Ïðè ïåðâîì íà÷èñëåíèè ïðîöåíòîâ íèêàêîé ðàçíèöû íåò, ïðè îáåèõ
3
ÂØÝ, 2011-12, «Ìàòåìàòèêà äëÿ ïîëèòîëîãîâ¿, Õîâàíñêàÿ, Ùóðîâ, Ñîíèí, Ìèõàéëîâè÷
ñõåìàõ íà÷èñëèòñÿ 1000 ð. Ïðè ïîâòîðíîì íà÷èñëåíèè â ñëó÷àå á) äîáàâèòñÿ 10% îò 1000 ð,
10
ò.å.
× 1000 ð = 100 ð î÷åíü ìàëî, äàæå åñëè ñäåëàòü ýòó äîáàâêó 50 ðàç.
100
Òàê ñêîëüêî æå äåíåã áóäåò íà ñ÷åòó ÷åðåç 50 ëåò ïðè ýòîé ñõåìå íà÷èñëåíèÿ ïðîöåíòîâ?
Î÷åâèäíî, ÷òî áîëüøå 60000 ð, íî, êàê êàæåòñÿ íà ïåðâûé âçãëÿä, íå íàìíîãî. Ñêîëüêî æå?
70000 ð? Èëè, ìîæåò áûòü, 100000 ð? Èëè äàæå 300000 ð?
×òîáû âû÷èñëèòü îòâåò, äàâàéòå ïîñìîòðèì íà ýòó çàäà÷ó
ñòîðîíû. Åæåãîäíî
ñ äðóãîé
10
= 1.1. Ïðîøëî 50 ëåò,
ðàçìåð âêëàäà óâåëè÷èâàåòñÿ íà 10%, ò.å. óìíîæàåòñÿ íà 1 +
100
çíà÷èò, óâåëè÷åíèå ïðîèñõîäèëî 50 ðàç, è ÷åðåç 50 ëåò âêëàä ñîñòàâèò: 10000 ð × 1.150 ≈
1173908.53. Áîëüøå, ÷åì ìèëëèîí ðóáëåé! Èíòóèöèÿ íàñ îïÿòü îáìàíóëà — ðåçóëüòàò
ïðåâçîøåë äàæå ñàìûå ñìåëûå îæèäàíèÿ. Ìíîãèå ïðîáëåìû, ñâÿçàííûå ñ ïðîöåíòàìè, íîñÿò íå ñòîëüêî ìàòåìàòè÷åñêèé, ñêîëüêî
¾ëèíãâèñòè÷åñêèé¿ õàðàêòåð. Òàê, ìû óæå îáñóæäàëè âûøå, ÷òî óâåëè÷åíèå èëè
óìåíüøåíèå ¾íà¿ ñêîëüêî-òî ïðîöåíòîâ íà ñàìîì äåëå îçíà÷àåò óìíîæåíèå íà íåêîòîðîå
÷èñëî, òî åñòü óâåëè÷åíèå èëè óìåíüøåíèå ¾âî¿ ñêîëüêî-òî ðàç.
4