Тема 2. Принцип Дирихле Задачи для самопроверки с решениями

Òåìà 2. Ïðèíöèï Äèðèõëå
Çàäà÷è äëÿ ñàìîïðîâåðêè ñ ðåøåíèÿìè
Ôàêóëüòàòèâ. Çàäàíèå îò 21 ìàðòà 2009 ãîäà
Çàäà÷à 1. Äîêàæèòå, ÷òî ñðåäè ëþáûõ øåñòè öåëûõ ÷èñåë íàéäóòñÿ
äâà, ðàçíîñòü êîòîðûõ êðàòíà 5.
Ðåøåíèå. Ïðè äåëåíèè öåëîãî ÷èñëà íà 5 âîçìîæíû ïÿòü ðàçëè÷íûõ
îñòàòêîâ: 0, 1, 2, 3 èëè 4. Íî ó íàñ øåñòü ÷èñåë, çíà÷èò, ñðåäè íèõ îáÿçàòåëüíî íàéäóòñÿ äâà ñ îäèíàêîâûìè îñòàòêàìè. Åñëè ìû ðàññìîòðèì
èõ ðàçíîñòü, òî îíà áóäåò äàâàòü ïðè äåëåíèè íà 5 îñòàòîê 0, ò.å. áóäåò
äåëèòüñÿ íà 5.
Çàäà÷à 2. Ñòî ÷åëîâåê ñèäÿò çà êðóãëûì ñòîëîì, ïðè÷åì áîëåå ïî-
ëîâèíû èç íèõ ìóæ÷èíû. Äîêàæèòå, ÷òî êàêèå-òî äâîå ìóæ÷èí ñèäÿò
äðóã íàïðîòèâ äðóãà.
Ðåøåíèå. Ðàçîáüåì âñåõ íà 50 ïàð ëþäåé, ñèäÿùèõ äðóã íàïðîòèâ
äðóãà. Òîãäà ìû ïîëó÷àåì, ÷òî ó íàñ åñòü 50 ïàð (êëåòêè), â êîòîðûå
íóæíî ðàññàäèòü íå ìåíåå 51 ìóæ÷èíû (êðîëèêè). Èç ïðèíöèïà Äèðèõëå ñëåäóåò, ÷òî â îäíîé èç ýòèõ ïàðêëåòîê îáà ÷åëîâåêà ìóæ÷èíû
êðîëèêè.
Çàäà÷à 3.  êëåòêàõ òàáëèöû
3×3 ðàññòàâëåíû ÷èñëà −1, 0, 1. Äîêà-
æèòå, ÷òî êàêèå-òî äâå èç âîñüìè ñóìì ïî âñåì ñòðîêàì, âñåì ñòîëáöàì
è äâóì ãëàâíûì äèàãîíàëÿì áóäóò ðàâíû.
Ðåøåíèå. Êàæäàÿ èç ýòèõ âîñüìè ñóìì ìîæåò ïðèíèìàòü ëèøü ñåìü
ðàçíûõ çíà÷åíèé: îò
−3 äî 3, çíà÷èò, ïî ïðèíöèïó Äèðèõëå êàêèå-òî äâå
ñóììû ñîâïàäóò.
Çàäà÷à 4. Êàêîå íàèáîëüøåå ÷èñëî ëàäåé ìîæíî ïîñòàâèòü íà øàõ-
ìàòíóþ äîñêó òàê, ÷òîáû íèêàêèå äâå èç íèõ íå áèëè äðóã äðóãà?
Ðåøåíèå. Î÷åâèäíî, ÷òî âîñåìü ëàäåé ïîñòàâèòü ìîæíî: íàïðèìåð,
ïî äèàãîíàëè èç
a1
â
h8.
Äîêàæåì, ÷òî áîëåå âîñüìè ëàäåé, íå áüþùèõ
äðóã äðóãà, ïîñòàâèòü íåëüçÿ. Íà îäíîé ãîðèçîíòàëè íå ìîæåò ñòîÿòü
áîëüøå îäíîé ëàäüè èíà÷å îíè áóäóò áèòü äðóã äðóãà. Çíà÷èò, ëàäåé
ìîæíî ïîñòàâèòü íå áîëüøå, ÷åì ãîðèçîíòàëåé ó äîñêè, à èõ âîñåìü. Ñëåäîâàòåëüíî, áîëüøå âîñüìè ëàäåé ïîñòàâèòü íà äîñêó íåëüçÿ.
1
Çàäà÷à 5. Êàêîå íàèáîëüøåå ÷èñëî êîðîëåé ìîæíî ïîñòàâèòü íà øàõ-
ìàòíóþ äîñêó òàê, ÷òîáû íèêàêèå äâà èç íèõ íå áèëè äðóã äðóãà?
Ðåøåíèå. Ðàçîáüåì äîñêó íà 16 êâàäðàòèêîâ, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóí-
êå 1. Î÷åâèäíî, ÷òî â êàæäîì êâàäðàòèêå ìîæåò ñòîÿòü íå áîëåå îäíîãî
Ðèñ. 1: Ê ðåøåíèþ çàäà÷è 5
êîðîëÿ. Çíà÷èò, áîëüøå 16 êîðîëåé ðàññòàâèòü íå óäàñòñÿ. Îäíà èç ðàññòàíîâîê 16 êîðîëåé ïðèâåäåíà íà ðèñóíêå 2.
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
Ðèñ. 2: Ê ðåøåíèþ çàäà÷è 5
Çàäà÷à 6. Äîêàæèòå, ÷òî ñðåäè ñòåïåíåé äâîéêè åñòü äâå, ðàçíîñòü
êîòîðûõ äåëèòñÿ íà 2009.
2
Ðåøåíèå. Ðàññìîòðèòå ïåðâûå 2010 ñòåïåíåé äâîéêè 2, 4, 8, 16,
...,
22010 . Èõ îñòàòêè ïðè äåëåíèè íà 2006 ìîãóò ïðèíèìàòü îäíî èç 2009
çíà÷åíèé 0, 1, 2, . . . 2008. Èç ïðèíöèïà Äèðèõëå ñëåäóåò, ÷òî êàêèåòî äâå ñòåïåíè èìåþò îäèíàêîâûå îñòàòêè. Çíà÷èò ðàçíîñòü ýòèõ ÷èñåë
èìååò îñòàòîê íóëü è, ñëåäîâàòåëüíî, äåëèòñÿ íà 2009.
Çàäà÷à 7. Ñóùåñòâóåò ëè íàòóðàëüíîå ÷èñëî, ñîñòîÿùèå ëèøü èç
íóëåé è åäèíèö, äåëÿùååñÿ íà 2009.
Ðåøåíèå. Ðàññìîòðèì ÷èñëà 1, 11, 111, 1111, . . . ,
111
. . . 11}.
| {z
2010 åäèíèö
Òàê êàê ÷èñåë 2010, òî êàêèå-òî äâà èç íèõ áóäóò èìåòü îäèíàêîâûå
îñòàòêè ïðè äåëåíèè íà 2009 è, ñëåäîâàòåëüíî, ðàçíîñòü ýòèõ ÷èñåë áóäåò
äåëèòüñÿ íà 2009. Íî èõ ðàçíîñòü èìååò âèä
111 . . . 11000 . . . 00,
òî åñòü ñîñòîèò òîëüêî èç íóëåé è åäèíèö.
Çàäà÷à 8. Äîêàæèòå, ÷òî â ëþáîé êîìïàíèè åñòü äâîå, èìåþùèå
îäèíàêîâîå ÷èñëî çíàêîìûõ â ýòîé êîìïàíèè.
n ÷åëîâåê. Òîãäà ó êàæäîãî ÷åëîâåêà
n − 1 çíàêîìûõ. Òàêèì îáðàçîì, êîëè÷åñòâî çíàêîìûõ ìîæåò ïðèíèìàòü n ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé: 0, 1, 2, . . . , n − 1. Ïîýòîìó
åñëè áû âñå n ÷åëîâåê èìåëè ðàçëè÷íîå ÷èñëî çíàêîìûõ, òî â êîìïàíèè
ïðèñóòñòâîâàëî áû ïî îäíîìó ÷åëîâåê, èìåþùåìó 0, 1, 2, . . . , n−1 çíàêîìûõ. Îäíàêî, åñëè â êîìïàíèè åñòü ÷åëîâåê, èìåþùèé n − 1 çíàêîìîãî,
Ðåøåíèå. Ïóñòü â êîìïàíèè
ìîæåò áûòü îò 0 äî
òî îí çíàêîì ñî âñåìè, è ñëåäîâàòåëüíî, â êîìïàíèè íå ìîæåò áûòü ÷åëîâåêà, êîòîðûé ñîâñåì íå èìååò çíàêîìûõ. Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå
ïîêàçûâàåò, ÷òî â ëþáîé êîìïàíèè íàéäóòñÿ äâà ÷åëîâåêà ñ îäèíàêîâûì
÷èñëîì çíàêîìûõ.
Çàäà÷à 9. Íà ñêëàäå èìååòñÿ ïî 200 ñàïîã 41, 42 è 43 ðàçìåðîâ,
ïðè÷åì ñðåäè ýòèõ 600 ñàïîã 300 ëåâûõ è 300 ïðàâûõ. Äîêàæèòå, ÷òî èç
íèõ ìîæíî ñîñòàâèòü íå ìåíåå 100 ãîäíûõ ïàð îáóâè.
Ðåøåíèå. Â êàæäîì ðàçìåðå êàêèõ-òî ñàïîã ìåíüøå ëèáî ïðà-
âûõ ëèáî ëåâûõ (èíà÷å, åñëè â êàêîì-òî èç ðàçìåðîâ ëåâûõ è ïðàâûõ
ñàïîã ïîðîâíó ïî 100 øòóê, òî ìû óæå ñìîãëè íàéòè 100 ãîäíûõ ïàð).
Âûïèøåì ýòè òèïû ñàïîã ïî ðàçìåðàì. Êàêîé-òî òèï, íàïðèìåð, ëåâûé,
ïîâòîðèòñÿ ïî êðàéíåé ìåðå äâàæäû, íàïðèìåð, â 41 è 42 ðàçìåðàõ. Íî
3
òàê êàê êîëè÷åñòâî ëåâûõ ñàïîã ýòèõ ðàçìåðîâ ñóììàðíî íå ìåíüøå 100
(èíà÷å ïîëó÷èòñÿ, ÷òî ëåâûõ ñàïîã 43 ðàçìåðà áîëåå 200, ÷òî íåâîçìîæíî), òî ìû èìååì íå ìåíåå 100 ãîäíûõ ïàð îáóâè ýòèõ ðàçìåðîâ.
Çàäà÷à 10. Èìååòñÿ 101 ïóãîâèöà îäíîãî èç 11 öâåòîâ. Äîêàæèòå,
÷òî ëèáî ñðåäè ýòèõ ïóãîâèö íàéäóòñÿ 11 ïóãîâèö îäíîãî öâåòà, ëèáî 11
ïóãîâèö ðàçíûõ öâåòîâ.
Ðåøåíèå. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñðåäè äàííûõ ïóãîâèö íåò 11 ïóãîâèö
ðàçíûõ öâåòîâ. Òîãäà êàæäàÿ ïóãîâèöà îêðàøåíà â îäèí èç 10 öâåòîâ.
Åñëè ïóãîâèö êàæäîãî öâåòà íå áîëåå äåñÿòè, òî âñåãî ïóãîâèö íå áîëåå
100, è ýòî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ. Òàêèì îáðàçîì, ïóãîâèö êàêîãî-òî îäíîãî öâåòà íå ìåíåå 11, ÷òî è íóæíî áûëî äîêàçàòü.
Çàäà÷à 11. Äîêàæèòå, ÷òî èç ëþáûõ ñåìè íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ìîæíî
âûáðàòü òðè ÷èñëà, ñóììà êîòîðûõ äåëèòñÿ íà òðè.
Ðåøåíèå. Ïî ïðèíöèïó Äèðèõëå èç ñåìè ÷èñåë ìîæíî âûáðàòü òðè,
äàþùèå îäèíàêîâûå îñòàòêè ïðè äåëåíèè íà 3 (òàê êàê èìååòñÿ ëèøü
òðè ðàçëè÷íûõ îñòàòêà 0, 1 è 2). Èõ ñóììà, î÷åâèäíî, äåëèòñÿ íà 3.
Çàäà÷à 12. Êàêîå íàèáîëüøåå ÷èñëî êîíåé ìîæíî ïîñòàâèòü íà øàõ-
ìàòíóþ äîñêó òàê, ÷òîáû íèêàêèå äâà èç íèõ íå áèëè äðóã äðóãà?
Ðåøåíèå. Ðàçîáüåì äîñêó íà 8 ïðÿìîóãîëüíèêîâ
íà ðèñóíêå 3. Â êàæäîì ïðÿìîóãîëüíèêå
2×4
2 × 4,
êàê ïîêàçàíî
ìîæåò ñòîÿòü íå áîëåå
Ðèñ. 3: Ê ðåøåíèþ çàäà÷è 12
÷åòûðåõ êîíåé. Äåéñòâèòåëüíî, ðàçîáüåì êëåòêè ïðÿìîóãîëüíèêà
4
2×4
íà ïàðû, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 4, òîãäà íà êëåòêàõ ñ îäèíàêîâûìè
1
2
3
4
2
1
4
3
Ðèñ. 4: Ê ðåøåíèþ çàäà÷è 12
íîìåðàìè íå ìîãóò îäíîâðåìåííî ñòîÿòü êîíè. Çíà÷èò, áîëåå
8 · 4 = 32
êîíÿ ðàññòàâèòü íå óäàñòñÿ. Íà ðèñóíêå 5 ïðèâåäåí ïðèìåð, êàê ìîæíî
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
Ðèñ. 5: Ê ðåøåíèþ çàäà÷è 12
ðàññòàâèòü 32 êîíÿ.
Çàäà÷à 13. Äàíî âîñåìü ðàçëè÷íûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, íå ïðåâîñõî-
äÿùèõ 15. Äîêàæèòå, ÷òî ñðåäè èõ ïîëîæèòåëüíûõ ïîïàðíûõ ðàçíîñòåé
åñòü òðè îäèíàêîâûõ.
5
Ðåøåíèå. Âñåãî ðàçëè÷íûõ ðàçíîñòåé ìîæåò áûòü 14 îò 1 äî 14 ýòî 14 êëåòîê, â êîòîðûå ìû áóäåì ñàæàòü êðîëèêîâ ðàçíîñòè ìåæäó ïàðàìè äàííûõ íàì íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Ìû èìååì 28 ïàð (êàæäîå
÷èñëî ó÷àñòâóåò â ñåìè ïàðàõ, è â êàæäîé ïàðå ó÷àñòâóåò äâà ÷èñëà, ñëåäîâàòåëüíî âñåãî
8·7
= 28 ïàð), íî èõ ìîæíî ðàññàäèòü ïî 14 êëåòêàì
2
òàê, ÷òî â êàæäîé êëåòêå áóäåò ñèäåòü ðîâíî äâà êðîëèêà. Îäíàêî,
çàìåòèì, ÷òî â êëåòêå ñ íîìåðîì 14 ìîæåò ñèäåòü íå áîëåå îäíîãî êðîëèêà, âåäü ÷èñëî 14 ìîæíî çàïèñàòü êàê ðàçíîñòü äâóõ íàòóðàëüíûõ
÷èñåë, íå ïðåâîñõîäÿùèõ 15, ëèøü îäíèì ñïîñîáîì:
14 = 15 − 1.
Çíà÷èò,
â îñòàâøèõñÿ 13 êëåòêàõ ñèäÿò íå ìåíåå 27 êðîëèêîâ, è ïðèìåíåíèå
îáîáùåííîãî ïðèíöèïà Äèðèõëå äàåò íàì æåëàåìûé ðåçóëüòàò.
6