Дискретные случайные величины

ÂØÝ, 2011-12, ¾Äèñêðåòíàÿ ìàòåìàòèêà¿
Îòäåëåíèå ëèíãâèñòèêè ôèëîëîãè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà, 2011-12 ó÷. ãîä.
Äèñêðåòíàÿ ìàòåìàòèêà
Çàäà÷è ïî òåîðèè âåðîÿòíîñòåé, ÷àñòü 5 (28 íîÿáðÿ 2011)
Þ. Ã. Êóäðÿøîâ, È. Â. Ùóðîâ, È. À. Õîâàíñêàÿ
Äèñêðåòíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû
Êòî âîçüìåò áèëåòîâ ïà÷êó, òîò
ïîëó÷èò...
Âîäîêà÷êó!..
ê/ô ¾Áðèëëèàíòîâàÿ ðóêà¿
Âåëè÷èíà x, çíà÷åíèå êîòîðîãî çàâèñèò îò ðåçóëüòàòà íåêîòîðîãî ñëó÷àéíîãî èñïûòàíèÿ, íàçûâàåòñÿ
. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, ïðèíèìàþùàÿ
îäíî èç êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà çíà÷åíèé, íàçûâàåòñÿ
. Äèñêðåòíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ïîëíîñòüþ çàäàåòñÿ ñâîèì
, òî åñòü òàáëèöåé, â êîòîðîé óêàçûâàåòñÿ, ñ êàêîé âåðîÿòíîñòüþ ïðèíèìàåòñÿ êàæäîå èç çíà÷åíèé.
Çàäà÷à 1. Ðàññìîòðèì ñëó÷àéíîå èñïûòàíèå: ìîíåòêà ïîäáðàñûâàåòñÿ 4 ðàçà. (Ìû áóäåì
çàïèñûâàòü ýëåìåíòàðíûå èñõîäû êàê ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èç ÷åòûðåõ ñèìâîëî⠾ο èëè
¾Ð¿). Ïóñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà k ýòî êîëè÷åñòâî âûïàâøèõ îðëîâ.
(a) Ïóñòü â èñïûòàíèè ðåàëèçîâàëñÿ èñõîä ¾ÎÎÎο. ×åìó ðàâíî â ýòîì ñëó÷àå k?
(b) À åñëè â èñïûòàíèè ðåàëèçîâàëñÿ èñõîä ¾ÐÐÐп?
(c) Ïðè êàêèõ èñõîäàõ k=0?
(d) Ïðè êàêèõ èñõîäàõ k=1?
(e) Ïåðå÷èñëèòü âñå âîçìîæíûå èñõîäû è ñîîòâåòñòâóþùèå çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû
k.
(f) Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî k=0?
(g) Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî k=1?
(h) Äëÿ âñåõ âîçìîæíûõ çíà÷åíèé k, íàéòè âåðîÿòíîñòü åãî ðåàëèçàöèè. (Òî åñòü çàïèñàòü
ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû k.)
Çàäà÷à 2. Ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ ëîòåðåþ: âåðîÿòíîñòü âûèãðàòü â íåé ðàâíà 1/1000,
ñóììà âûèãðûøà ðàâíà 500 ðóáëåé.  ñëó÷àå ïðîèãðûøà, èãðîê íå ïîëó÷àåò íè÷åãî (âûèãðûø ðàâåí íóëþ). Ïóñòü âûèãðûø ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà x.
(a) Çàïèñàòü ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû x.
(b) Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âû èãðàåòå â ëîòåðåþ 100.000 ðàç. Ñêîëüêî èç íèõ (ïðèìåðíî) âû
âûèãðàåòå?
(c) Ñêîëüêî äåíåã âû âûèãðàåòå çà 100.000 èãð?
(d) Ñêîëüêî äåíåã âû â ñðåäíåì áóäåòå âûèãðûâàòü êàæäóþ èãðó? Èçìåíèòñÿ ëè ýòî ÷èñëî,
åñëè èçìåíèòü ÷èñëî èãð?
Îïðåäåëåíèå 2.
ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû x (îáîçíà÷àåòñÿ Ex
èëè M x) íàçûâàåòñÿ å¼ ¾ñðåäíåå çíà÷åíèå¿ â ðàñ÷åòå íà îäíî èñïûòàíèå. ¾Ñðåäíèé âûèãðûø íà îäíó èãðó¿, íàéäåííûé â ïðåäûäóùåé çàäà÷å, è åñòü ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå.
Îïðåäåëåíèå 1.
ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé
äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé
ðÿäîì ðàñïðåäåëåíèÿ
Ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì
Þ. Ã. Êóäðÿøîâ, È. Â. Ùóðîâ, È. À. Õîâàíñêàÿ
1
ÂØÝ, 2011-12, ¾Äèñêðåòíàÿ ìàòåìàòèêà¿
Åñëè ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ x1, x2, . . . , xk ñ âåðîÿòíîñòÿìè p1, p2, . . . , pk
ñîîòâåòñòâåííî, òî ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå Ex âû÷èñëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
Ex = x1 p1 + x2 p2 + . . . + xk pk
Ðàññìîòðèì ëîòåðåþ èç ïðåäûäóùåé çàäà÷è, íî ó÷òåì òåïåðü, ÷òî ëîòåðåéíûé
áèëåòèê ñòîèò 10 ðóáëåé. Ïóñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà y ýòî ÷èñòûé âûèãðûø (òî åñòü
âûèãðûø ìèíóñ ñòîèìîñòü áèëåòèêà).
(a) Çàïèñàòü ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû y.
(b) Ñêîëüêî äåíåã â ñðåäíåì âû âûèãðàåòå (ñ ó÷åòîì ñòîèìîñòè áèëåòîâ) çà 100.000 èãð?
(c) Ñêîëüêî äåíåã â ñðåäíåì âû áóäåòå âûèãðûâàòü â ðàñ÷åòå íà êàæäóþ èãðó? (Èíûìè
ñëîâàìè, ÷åìó ðàâíî ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå Ey?)
(d) Áóäåòå ëè âû èãðàòü â òàêóþ ëîòåðåþ?
Çàäà÷à 4. Ðàññìîòðèì òàêóþ ëîòåðåþ: â íåé âåðîÿòíîñòü âûèãðàòü îáû÷íûé ïðèç (500
ðóáëåé) ðàâíà êàê è ïðåæäå 1/1000, à âåðîÿòíîñòü âûèãðàòü ñóïðïðèç (500.000 ðóá.) ðàâíà 1/1000.000. Âûèãðàòü è òî, è äðóãîå íåâîçìîæíî. Åñëè âû íè÷åãî íå âûèãðûâàåòå, òî
ïîëó÷àåòå óòåøèòåëüíûé ïðèç â 10 ðóáëåé. Ïóñòü z âûèãðûø â ýòîé ëîòåðåå (áåç ó÷åòà
ñòîèìîñòè ëîòåðåéíîãî áèëåòà).
(a) Çàïèñàòü ðÿä ðàñïðåäåëåíèÿ z.
(b) Íàéòè ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå Ez? (Èíûìè ñëîâàìè, ñðåäíèé âûèãðûø â ðàñ÷åòå
íà îäíó èãðó.)
(c) Êàêóþ ìàêñèìàëüíóþ öåíó âû ãîòîâû çàïëàòèòü çà ëîòåðåéíûé áèëåòèê îò òàêîé ëîòåðåè?
Çàäà÷à 5. Ðàññìîòðèì ïàðó ëîòåðåé.  ïåðâîé ñòîèìîñòü áèëåòèêà ñîñòàâëÿåò 1 ðóáëü,
âåðîÿòíîñòü âûèãðàòü ðàâíà 1/1000, âûèãðûø ðàâåí 999 ðóáëåé. Âî âòîðîé ñòîèìîñòü áèëåòèêà ñîñòàâëÿåò 100 ðóáëåé, âåðîÿòíîñòü âûèãðàòü ðàâíà 1/1000, âûèãðûø ðàâåí 99.900
ðóá. Ïóñòü ñëóàéíàÿ âåëè÷èíà x ÷èñòûé âûèãðûø â ïåðâóþ ëîòåðåþ, ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà
y ÷èñòûé âûèãðûø âî âòîðóþ ëîòåðåþ.
(a) Íàéòè Ex è Ey.
(b) ×åì îòëè÷àþòñÿ ýòè ëîòåðåè?  êàêóþ áû èç íèõ âû ñêîðåå ñûãðàëè?
Îïðåäåëåíèå 3. Çà÷àñòóþ íàñ èíòåðåñóåò íå òîëüêî ñðåäíåå çíà÷åíèå âåëè÷èíû, íî è òî,
íàñêîëüêî ñèëüíî îíà ìîæåò îòêëîíÿòüñÿ îò ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ, òî åñòü
ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Âû÷èñëÿåòñÿ îíà òàê. Ïóñòü x ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, Ex å¼ ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå. Òîãäà ìîæíî îïðåäåëèòü íîâóþ ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó: x̃ = x − Ex. (Èíûìè
ñëîâàìè, åñëè x ïðèíèìàåò çíà÷åíèå x1, òî x̃ â ýòîì æå ñëó÷àå ïðèíèìàåò çíà÷åíèå x1 − Ex
è ò.ä.) Âåëè÷èíà x̃ ïîêàçûâàåò, íàñêîëüêî ñèëüíî îòêëîíÿåòñÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà x îò
ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ, íî ïðè ýòîì x̃ ñàìà ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé. Ìû áû õîòåëè ïîëó÷èòü ÷èñëî. Åñòåñòâåííàÿ èäåÿ ðàññìîòðåòü ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå x̃. Íà ïðàêòèêå,
îäíàêî, âû÷èñëÿþò ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå êâàäðàòà x̃, òî åñòü E x̃2 = E((X − EX)2).
Ïî÷åìó íå ïðîñòî E x̃, áóäåò ÿñíî èç ñëåäóþùåé çàäà÷è.
Çàäà÷à 6. Ðàññìîòðèì ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû x è y èç çàäà÷è 5.
(a) Çàïèñàòü ðÿäû ðàñïðåäåëåíèÿ x è y.
(b) Çàïèñàòü ðÿäû ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí x̃ = x − Ex è ỹ = y − Ey.
(c) Âû÷èñëèòü ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ E x̃ è E ỹ.
Çàäà÷à 3.
äèñïåðñèÿ
Þ. Ã. Êóäðÿøîâ, È. Â. Ùóðîâ, È. À. Õîâàíñêàÿ
2
ÂØÝ, 2011-12, ¾Äèñêðåòíàÿ ìàòåìàòèêà¿
(d) Âû÷èñëèòü äèñïåðñèè x è y, òî åñòü ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ E x̃2 = E(X − EX)2 è
E ỹ 2 = E(Y − EY )2 . Ó êàêîé èç âåëè÷èí äèñïåðñèÿ áîëüøå?
Çàäà÷à 7. Âû÷èñëèòü äèñïåðñèè âñåõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, îáñóæäàâøèõñÿ âûøå.
Þ. Ã. Êóäðÿøîâ, È. Â. Ùóðîâ, È. À. Õîâàíñêàÿ
3