Курск ГТУ –2008 Кафедра высшей математики Ряд U1 U 2 U 3 U n называется n 1 функциональным, если члены его являются функциями от х, т.е. U n U n (x) . Совокупность Х значений х, при которых функциональный ряд сходится, называется областью сходимости функционального ряда. Сумма функционального ряда lim S n ( x) S ( x) . n рядом называется функциональный ряд вида 0 a1 ( x a ) a 2 ( x a) 2 , (1) n 0 где постоянные числа, a n (n 0, 1, 2, 3, ) называемые коэффициентами степенного ряда; a фиксированная точка на числовой оси. При a = 0 степенной ряд имеет вид an xn a0 a1x a2 x2 an xn (2) n 1 x R, R ряд (2) сходится, а R, R x R, R расходится, то интервал называется интервалом сходимости степенного ряда (2). Число R называют радиусом сходимости степенного ряда (2). Определение радиуса сходимости степенного ряда через его коэффициенты: Если R lim n an an 1 или R lim n n 1 an РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ Если функция f x является аналитической в окрестности точки x a , то имеет место разложение n f a x a f a x a 2 f a x a n 1! 2! n! функции в ряд Тейлора. Разложение функции в ряд Маклоренa (при a 0 ) n a n ( x a) n a Замечание 3. Для определения области сходимости степенного ряда необходимо исследовать cходимость данного ряда на концах интервала сходимости. Замечание 4. Внутри интервала сходимости степенной ряд можно интегрировать и дифференцировать почленно. f x f a Остаток функционального ряда Rn ( x) S ( x) Sn ( x) . Для сходящегося в области Х ряда lim Rn ( x) 0 при всех x X . Состав.: ст.преп. Лунева Т.Н.. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ 2! x x2 x3 xn e 1 , 1! 2 ! 3 ! n! x x 2 x3 xn ln 1 x x 1n1 , 2 3 n sin x cos x 1 Замечание 1. Возможны случаи, когда R 0 или R. Замечание 2. Интервалом сходимости степенного ряда (1) является интервал a R; a R . x -1;1 xR x -1; 1 xR x2 x4 x6 x 2n 1n , 2n ! 2! 4! 6! xR arcsin x x 1 x 3 1 3 x 5 1 3 5 x 7 , 2 3 24 5 246 7 x3 x5 x 2n1 1n , 3 5 2n 1 x - 1;1 x - 1;1 x3 x5 x7 x 2n 1 sh x x , 2n 1! 3! 5! 7 ! xR x2 x4 x6 x 2n ch x 1 , 2n ! 2! 4! 6! xR 1 1 x x 2 x3 , 1 x a0 a n cos nx bn sin nx , 2 x -1;1 (3) n 1 где коэффициенты Фурье a 0 , a n , bn n 1,2, an x 2n 1 , 2n 1! x x3 x5 1n 1! 3 ! 5 ! arctg x x . 3! f x = a0 определяются по формулам: f 0 f 0 2 f n 0 n f x f 0 x x x 1! 2! n! Основные разложения 1 x m 1 mx m(m 1 ) x 2 mm 1m 2 x3 , РЯДЫ ФУРЬЕ Теорема Дирихле. Функция f(x), удовлетворяющая на интервале (-π;π) условиям Дирихле (т.е. функция ограничена, имеет не более чем конечное число точек разрыва 1 рода и точек строгого экстремума) во всякой точке этого интервала, в которой она непрерывна, разлагается в тригонометрический ряд Фурье 1 f x cos nx dx ; bn 1 1 f x dx ; f x sin nx dx Неполные ряды Фурье Если функция f x - четная, то коэффициенты ряда (3): bn 0 n 1,2, , a n 2 f x cos nx dx (n= 0,1,2,...) 0 Если функция f x - нечетная, то коэффициенты ряда (3): a n 0 n 0,1,2, , bn 2 f x sin nx dx (n= 1,2,..) 0 Ряды Фурье периода 2 Если функция f x , удовлетворяет условиям Дирихле в интервале (-ℓ;ℓ) длины 2ℓ, то в точках непрерывности функции, принадлежащих этому интервалу, справедливо разложение f x = где an 1 1 bn a0 n x n x bn sin a n cos , 2 n 1 f x cos f x sin n x dx (n = 0,1,2,…), n x dx (n = 1,2,…).