Ответ: 0487

§6 РЯДЫ
Для работы над учебным материалом рекомендуется ответить
письменно на теоретические вопросы и внимательно ознакомиться с
предложенными
образцами
решений
типовых
задач.
Соответствие
теоретических вопросов и задач контрольной работы № 6 представлено в
таблице 1.
ПЕРЕЧЕНЬ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ВОПРОСОВ ДЛЯ
КОНСПЕКТИРОВАНИЯ
1. Числовые ряды
1. Числовые ряды. Основные понятия: частная сумма ряда, сумма ряда,
сходящийся и расходящийся ряд. Привести примеры.
2. Остаток
ряда.
расходимость рядов
Сходимость

 (un  vn ) и
n 1
ряда
и
остатка.
Сходимость
и

 Cun .
n 1
3. Необходимый признак сходимости рядов. Достаточное условие
расходимости ряда.
4. Гармонический ряд, обобщенный гармонический ряд, геометрическая
прогрессия. Их сходимость или расходимость.
5. Знакоположительные
(знакопостоянные)
ряды.
Достаточные
признаки сходимости знакоположительных рядов: признаки сравнения в
непредельной и предельной формах, признак Д’Аламбера, радикальный
признак Коши, интегральный признак Коши.
6. Знакочередующиеся
знакочередующихся
рядов
ряды.
Достаточный
(признак
признак
Лейбница).
сходимости
Оценка
ошибки,
допускаемой при замене суммы знакочередующегося ряда суммой его
первых n членов.
7. Знакопроизвольные (знакопеременные) ряды. Достаточный признак
сходимости знакопеременных рядов (признак абсолютной сходимости).
8. Условная и абсолютная сходимость числовых рядов. Свойства
абсолютно сходящихся рядов.
2. Функциональные ряды. Степенные ряды
9. Понятие
функционального
ряда.
Точка
сходимости,
область
сходимости функционального ряда.
10.Понятие степенного ряда. Сходимость степенных рядов. Теорема
Абеля. Радиус сходимости степенного ряда, интервал сходимости, область
сходимости.
11.Свойства степенных рядов. Почленное дифференцирование и
интегрирование степенных рядов.
12.Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора. Ряд Маклорена.
Разложение в ряд Маклорена некоторых элементарных функций: e x , sin x,
cosx, ln(1  x), (1  x ) ,
1
.
1 x
3. Некоторые приложения степенных рядов
13. Некоторые приложения степенных рядов: приближенное вычисление
с значений функции, приближенное вычисление определенного интеграла,
приближенное решение дифференциальных уравнений.
4. Ряды Фурье. Интеграл Фурье
14.Периодические
функции,
периодические
процессы,
понятие
тригонометрического ряда Фурье.
15.Теорема Дирихле. Ряд Фурье для функции с периодом 2 и 2l.
16.Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций.
17.Комплексная форма ряда Фурье.
18.Интеграл Фурье в действительной и комплексной формах. Его
сходимость.
Таблица 1
Соответствие теоретических вопросов и задач контрольной работы
Задачи
контрольной
работы
Теоретические
Образец
вопросы
решения задач
Тема
Числовые ряды.
Достаточные признаки
сходимости
знакоположительных рядов
Понятие степенного ряда.
Сходимость степенных
рядов.
№№ 1– 5
№№ 1– 5
№№ 421–430
№№ 6 – 10
№№ 6 – 7
№№ 431– 440
Приложения степенных
рядов
№№ 11 – 13
№№ 8 – 10
№№ 441– 460
Ряд Фурье для функции с
периодом 2 и 2l.
Разложение в ряд Фурье
четных и нечетных функций
№№ 14 – 18
№№ 11 – 12
№№ 461– 470
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Пример 1. Исследовать сходимость числового ряда

1
.
3
n 1 n n  n

 Дан знакоположительный ряд. Общий член ряда представляет собой
степенную функцию, поэтому здесь можно применить признак сравнения в
непредельной форме. Сравним в непредельной форме данный ряд с рядом


n 1 n

1
4/3
1
при p  1
p
n
n 1
. Этот ряд называется обобщенным гармоническим ( 
расходится, при p  1 сходится), он сходится, так как p 
Заметим, что n3 n  n  n3 n 
4
 1.
3
1
1
1


. Но, так как ряд
n3 n  n n3 n n 4 / 3
с большими членами сходится, то сходится и ряд с меньшими членами,
следовательно, данный ряд сходится.
#
Пример 2. Исследовать сходимость числового ряда

1
 ln(1  n ) .
n 1
 Дан знакоположительный ряд. Исследуем сходимость этого ряда с
помощью признака сравнения в предельной форме. Сравним данный ряд с
гармоническим рядом

1
 n , который расходится. Найдем предел отношения
n 1
общих членов этих рядов при n   .
 1
ln 1  
1/ n
n
lim 
 lim
1
n 
n 1 / n
1
n
При нахождении предела воспользовались тем, что ln(1  x) x при x  0 , а
так как
1
1 1
 0 при n   , то ln(1  )  . Так как предел получился
n n
n
конечный, не равный нулю, то ряды ведут себя одинаково, следовательно,
данный ряд тоже расходится.
#
Пример 3. Исследовать сходимость числового ряда
2 n  n!
 n .
n 1 n

 Дан знакоположительный ряд, общий член которого содержит
факториал и показательную функцию. Все это указывает на то, что
исследовать этот ряд на сходимость нужно с помощью признака Д’Аламбера.
Найдем предел отношения (n+1)-ого члена ряда к n-ому.
2 n1  (n  1)!
u n1 
(n  1) n1
2 n  n!
un  n ,
n
2 n1  (n  1)! 2 n  n!
2 n1  (n  1)!n n
2(n  1)  n n
lim(
: n )  lim
 lim

n1
n (n  1) n1 2 n  n!
n (n  1)( n  1) n
n
n (n  1)
 lim
n
2
 n  1


 n 
n
 lim
n
2
 1
1  
 n
n

2
 1.
e
Так как предел меньше единицы, то ряд сходится.
#
Замечание: n! 1  2  3  ...  n; (n  1)! 1  2  3  ...  n(n  1)
Пример 4. Исследовать сходимость числового ряда

1
 n ln n .
n 2
 Дан знакоположительный ряд, применим к нему интегральный
признак. Рассмотрим функцию f ( x) 
1) f (x) при x = n равна u n 
1
, x [2,) .
x ln x
1
;
n ln n
2) f (x) непрерывна при x [2,) : f (x) имеет две точки разрыва x = 0 и
x = 1, но они не принадлежат промежутку [2,) ;
3) f (x)  0 при x [2,) , т. к. x  0 и ln x  0 на этом промежутке;
4) f (x) убывает при x [2,) , т. к. xlnx – функция возрастающая на
этом промежутке.
Рассмотрим несобственный интеграл

a
a
1
dx
dx

lim

lim
ln
ln
x
 lim (ln ln a  ln ln 2)   .
 x ln x

a x ln x
a
a
2
2
2
Интеграл расходится, значит и данный ряд расходится.

n
#
n
n 
Пример 5. Исследовать сходимость ряда  (1) 
 . Установить
2
n

1


n 1
вид сходимости.
 Дан знакочередующийся ряд. Применим к нему признак абсолютной
сходимости, для чего составим ряд из абсолютных членов данного ряда:

 n 
  2n  1 

n 1 
n
(1)
К полученному знакоположительному ряду применим признак Коши.
Найдем lim n u n .
n 
n
n
n
n
1
1
 n 
lim n 
 lim
 lim
 1
  lim
n  2n  1 
n 2n  1
n 2n
1 n
1 2

2
n n
n
Так как предел меньше единицы, то ряд (1) сходится, следовательно,
данный ряд сходится абсолютно.
#
Пример 6. Исследовать сходимость ряда 1 
1 1
1
  ...  (1) n1  ....
2 3
n
1
 Дан знакочередующийся ряд с общим членом (1) n1 . Применим к
n
нему признак Лейбница. Для этого необходимо проверить выполнение двух
условий:
а) u n1  u n
б) lim u n  0 .
n 
Для данного ряда, общий член которого имеет вид (1) n1 u n , u n 
u n1 
1
,
n
1
.
n 1
а) u n1 
1
1
  un ,
n 1 n
1
 0.
n n
б) lim
Оба условия признака Лейбница выполнены, значит данный ряд
сходится. Дополнительно исследуем, как он сходится – условно или
абсолютно. Для этого необходимо составить ряд из абсолютных величин
членов данного ряда:
1
1 1
1
  ...   ...
2 3
n
Это так называемый гармонический ряд, который расходится,
следовательно, исходный ряд сходится условно.
#
Пример 7. Найти интервал сходимости степенного ряда

 an x n ,
n 0
an  n 2 sin

2n
.
где
 Интервал сходимости степенного ряда

 an x n
будет симметричным
n 0
относительно x = 0, т. е. (– R; R), где R – радиус сходимости степенного ряда,
который находится по формуле:
an
n  a
n 1
R  lim

Для данного ряда an  n 2 sin
n 2 sin
R  lim
n
2
n

2
(n  1) 2 sin

, an1  (n  1) 2 sin
2 n1
.

n

2 n1
 lim
n
n n 2
2
n
lim 2  1  2  2 .
 1 n 
2 n1
При нахождении предела воспользовались тем, что sin

2n


при
2n
n   . Таким образом, интервал сходимости данного степенного ряда будет
следующим: (–2; 2).
#
Пример 8. Разложить следующие функции в ряд Маклорена, используя
стандартные разложения соответствующих функций в ряд Маклорена,
указать область сходимости:
а) cos 2 x ;
б) ln( 5  x) ;
в)
3
8 x.
 а) Для того, чтобы разложить cos 2 x в ряд Маклорена, т. е. по
степеням x, используем стандартное разложение в ряд Маклорена функции
y  cos x :
2n
x2 x4
n x
cos x  1 

 ...  (1)
 ..., x  (; ) .
2! 4!
(2n)!
В этом равенстве x заменим на 2x, получим:
2n
(2 x) 2 (2 x) 4
n (2 x)
cos 2 x  1 

 ...  (1)
 ..., 2 x  (; )
2!
4!
(2n)!
или
2n
22 2 24 4
n 2
cos 2 x  1 
x 
x  ...  (1)
x 2 n  ..., x  (; ) .
2!
4!
(2n)!
#
 б) Чтобы получить разложение ln( 5  x) в ряд Маклорена,
преобразуем эту функцию следующим образом:
x
x
ln( 5  x)  ln( 5(1  ))  ln 5  ln(1  )
5
5
Воспользуемся разложением в ряд Маклорена функции:
n
x 2 x3
n 1 x
ln(1  x)  x 

 ...  (1)
 ...,1  x  1
2
3
n
В этом равенстве заменим x на
x
, получим:
5
x
ln( 5  x)  ln 5  ln(1  ) 
5
n
x
x2
x3
n1 x
 ln 5  

 ...  (1)
 ...,5  x  5 . #
5 2  5 2 3  53
n  5n
 в) Чтобы разложить функцию
3
8  x в ряд Маклорена, преобразуем
ее следующим образом:
1/3
3
x
x

8  x  2  3 1   21   .
8
 8
Используем разложение (1  x) в ряд Маклорена:
(1  x)  1  x 
 (  1)
2!
x 2  ... 
 (  1)...(  n  1)
n!
x n  ...,1  x  1
1
x
В этом равенстве положим   , вместо x подставим :
3
8
1/3
x

21  
 8
1 2
1  2  5 
 
    
2
3
1 x 3 3   x 
3  3  3   x 
 2(1   
  
   ...
3 8
2!  8 
3!
8
1 2 1

  ...  n  1
n
x
3 3   3
 x


   ...,1   1
n!
8
8
или
1/3
x

21  
 8
 2(1 
x
1 2 2 1 2  5 3
1  2  ...(3n  4) n

x 
x  ...  (1) n1
x  ...) ,
2
3
24 2!24
3!24
n!24 n
8 x 8. #
1/ 2
Пример
9.
Вычислить
определенный
интеграл

0
arctgx
dx
x
с
точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд и
затем проинтегрировать его почленно.
 Запишем разложение функции y  arctgx в ряд Маклорена:
arctgx  x 
x3 x5 x7 x9
x 2n1



 ...  (1) n
 ..., x  (1,1)
3
5
7
9
2n  1
2n
arctgx
x 2 x 4 x 6 x8
n x
1



 ...  (1)
 ..., x  (1,0)  (0,1)
x
3
5
7
9
2n  1
Проинтегрируем почленно получившийся ряд от x = 0 до x = 1/2:
1/ 2

0
2n
1/ 2
1/ 2 2
1/ 2 4
1/ 2 6
1/ 2
arctgx
x
x
x
n x
dx   dx  
dx  
dx  
dx  ...   (1)
dx  ... 
x
2n  1
0
0 3
0 5
0 7
0
x
1/ 2
0


x3
32
1/ 2
0

x5
52
1/ 2

0
x7
72
1/ 2
0
 ...  (1) n
x 2 n1
(2n  1) 2
1/ 2
 ... 
0
1
1
1
1
1
 3 2  5 2  7 2  ...  (1) n 2 n1
 ...
2 2 3
2 5
2 7
2
 (2n  1) 2
Получили знакочередующийся ряд. При замене суммы этого ряда
суммой конечного числа его первых членов абсолютная величина ошибки не
будет превосходить модуля первого из отброшенных членов ряда. Так как
точность задана (0,001), то отыщем первый из членов ряда, абсолютная
величина которого меньше 0,001.
1
1

 0,001 ;
25  52 32  25
1
1

 0,001.
2
128  49
2 7
7
Следовательно, при вычислении интеграла с точностью до 0,001 берем
три первых члена, а остальные, начиная с
1/ 2

0
1
, отбрасываем. Итак,
27  7 2
arctgx
1
1
1
1 1
1
dx   3 2  5 2  


x
2 2 3
2 72 800
2 5
 0,5  0,0139  0,0012  0,4873 .
Вычисления вели с одной запасной цифрой, а ответ даем с тремя
знаками после запятой, округляя 0,4873 до 0,487 (см. точность).
Ответ: 0,487
#
Пример 10. Найти три первых, отличных от нуля члена разложения в
степенной ряд решения y = y (x) дифференциального уравнения y   e y  xy ,
удовлетворяющего начальному условию y (0) = 0.
 Будем искать частное решение уравнения в виде ряда:
y(0)
y(0) 2
y ( n) (0) n
y( x)  y(0) 
x
x  ... 
x  ...
1!
2!
n!
(2)
Непосредственно из уравнения найдем:
y(0)  (e y  xy )
x 0
 1.
Дифференцируя последовательно обе части уравнения и полагая x = 0 в
полученных равенствах, будем иметь:
y (0)  (e y y   y  xy ) x0  1 ,
y (0)  (e y ( y ) 2  e y y   2 y   xy ) x0  1  1  2  4 .
Подставляя в ряд (2) найденные значения y (0), y (0), y (0), y (0) ,
получим:
1
1
4
1
2
y ( x)  0  x  x 2  x 3  ...  x  x 2  x 3  ... . #
1!
2!
3!
2
3
Пример 11. Записать вид ряда Фурье, формулы для вычисления
коэффициентов Фурье и сумму соответствующего ряда Фурье для функции
f ( x)  x  2 в интервале (–3; 3).
 Построим заданную функцию на интервале (–3; 3) и продолжим её
периодическим образом с периодом T = 2l = 6. Заметим, что
2  x, если  3  x  2
f ( x)  
 x  2, если 2  x  3
y
5
1
-9
-4
-3
2
3
8
9
x
Рис. 1
f (x) не является ни четной, ни нечетной, поэтому ряд Фурье для нее
выглядит так:
f (x) 
где
a0 
1l
 f ( x)dx ;
l l
a0 
nx
nx
  (an cos
 bn sin
),
2 n1
l
l
an 
bn 
1l
nx
f ( x) cos
dx ;

l l
l
1l
nx
f ( x) sin
dx .

l l
l
Так как в нашей задаче (–l, l) = (–3, 3), то ряд Фурье имеет вид:
a0 
nx
nx
 bn sin
)
f (x)    (an cos
2 n1
3
3
Формулы для вычисления коэффициентов Фурье:
3
13
1 2
 1  (2  x) 2
a0   f ( x)dx    (2  x)dx   ( x  2)dx    
3 3
3  3
2
2
 3
an 
( x  2) 2

2
3
2
3
13
nx
1 2
nx
nx 
f
(
x
)
cos
dx

(
2

x
)
cos
dx

( x  2) cos
dx  ;




3 3
3
3  3
3
3
2


 ;
2
3
3
13
nx
1 2
nx
nx 
bn   f ( x) sin
dx    (2  x) sin
dx   ( x  2) sin
dx  .
3 3
l
3  3
3
3
2

.
Полученный ряд Фурье будет сходится в точках непрерывности f (x) к
самой функции, а в точках разрыва f (x) – к среднему арифметическому
односторонних пределов f (x) в этой точке. Таким образом, сумма ряда
Фурье равна 2 – x, если x  (3,2) , x – 2, если x  (2,3) и
5 1
 3 , если x = 2. #
2
Замечание: При вычислении коэффициентов Фурье учитывается, что
sin n  0, cos n  (1) n .
Пример 12.
Разложить функцию f ( x)  2  x 2 в ряд Фурье в
интервале (–π; π).
 Ряд Фурье для функции, заданной в интервале (–π; π), совпадает с
рядом Фурье для периодической функции с периодом T = 2π, которая в
интервале (–π; π) совпадает с заданной функцией. Сделаем чертеж этой
периодической функции (рис.2).
y
2
-3 π
-2 π
-π
π
2π
3π
x
2- π2
Рис. 2
По чертежу видно, что функция, которую мы собираемся разлагать в
ряд Фурье, четная, следовательно, ряд Фурье имеет вид:
f (x) 
a0 
  an cos nx , где
2 n1
a0 
a0 
an 
2

 f ( x)dx ;
an 
0
2

2
 (2  x )dx 
0
2

2
 (2  x ) cosnxdx 
0
2

 f ( x) cosnxdx .
0
2
x3   
2 
 2 x   2 2 
;

3 0 
3 
2 2
2
 cosnxdx 

x

0
2
cosnxdx 
0


4
2  2x
x2
2


sin nx   2 cos nx  sin nx  3 sin nx  
n
 n
n
n
0
0

4
4
2 2
4
(sin n  sin 0)  2 cosn 
sin n  3 sin n 
n
n
n
n

4
4
n
(

1
)

(1) n1 .
2
2
n
n
Ряд Фурье выглядит так:
(1) n1
 4
cos nx .
f (x)  2 
3
n2
n 1
2
Так как

– функция непрерывная (см. рис.2), то сумма
f (x)
полученного ряда при x  ( , ) равна 2 – x2. #
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
В задачах № 1-9 определить вид ряда, выбрать признак для
исследования на сходимость и указать результат проведенного исследования.

1.
1
 2n  1
n 1

1
6.  1  
n
n 1 


sin 2 n n
; 2.  2 ; 3. 
; 4.
n
n
n

1
n 1
n1
n2
1
4
; 7.
n
n

n
  1
n1
1
n 1
2

; 8.
 12

n  1  ; 5.

n
e
 

n 1 


n
  1
n1
n
n 1
2
; 9.

4n
 n! ;
n 1

sin n
n 1
n2

.
10. Найти область сходимости функционального ряда


 x  1n .
n3n
n 1
11. Определить радиус сходимости степенного ряда


 x  5 n .
n1
12. Известно, что степенной ряд

 cn xn сходится в точке
3n
x  5 . Что
n 1
можно сказать о сходимости ряда в точке x1  3 ?
13. Известно, что степенной ряд

 cn xn расходится в точке
x  3 . Что
n 1
можно сказать о сходимости ряда в точке x1  6 ?
14. Для функции f  x   2 x3  1 найдите значение коэффициента a4
разложения в ряд Тейлора по степеням  x  1 .
15. Функция задана своим рядом Тейлора f  x 


 x  1n . Укажите
n 0
n3n
значение f 5 1 .
16. Найдите значение коэффициента при x 5 в разложении функции
2
y  e x в ряд Маклорена.
17. Найти четыре первых ненулевых члена разложения в ряд
Маклорена решения дифференциального уравнения y  yy  x2 при заданных
начальных условиях y  0  1 , y  0  1 .
18. Дана функция f  x   2x, x    ;  . Вычислить коэффициент a3
разложения функции в ряд Фурье.
19. Дана функция f  x   x 2  2, x    ;   . Вычислить коэффициент b4
разложения функции в ряд Фурье.
ОТВЕТЫ
1-3. Знакоположительный. Признак сравнения. Сходится.
4. Знакоположительный. Признак сравнения. Расходится.
5. Знакоположительный. Признак Даламбера. Сходится.
6. Знакоположительный. Радикальный признак Коши. Сходится.
7. Знакочередующийся. Абсолютно сходится. 8. Знакочередующийся.
Признак Лейбница. Сходится. 9. Знакопеременный. Абсолютно сходится. 10.
 2; 4 11. 3 12. ряд сходится (теорема Абеля) 13. ряд расходится (теорема
Абеля) 14. 0 15.
4!
36
16. 0 17. y  1  x 
x 2 x3
  ... 18. 0 19. 0.
2
3
ПРИМЕРНЫЙ ВАРИАНТ ЭКЗАМЕНАЦИОННОГО БИЛЕТА
(III семестр)
1. Из следующих уравнений выбрать однородное и решить его:
а) xy   y  y 2 x 2 ln x ;
в) xy  y  xe

y
x
;


б) x 2  3 dy  xydx ;
y ex
г) y    .
x x
2. Решить уравнение: y   5 y   6 y   x  3 .
n
 1
3. Исследовать сходимость числового ряда:  (1) 
 .
 3n  1 
n  2n
4. Найти область сходимости степенного ряда:
( x  1) n
.

n
n

2
n 1

5. Разложить в ряд Маклорена функцию y  xe 2 x .
6. Разложить в ряд Фурье функцию y  5 x в промежутке (–1; 1).