1. Теоретический вопрос – 1 балл. (список вопросов прилагается). 2. Задание по теме «Степенные ряды» – 2 балла. ∞ 𝑛 𝑛 (найти область сходимости степенного ряда ∑∞ 𝑛=0 𝑎𝑛 𝑥 или ∑𝑛=0 𝑎𝑛 (𝑥 − 𝑎) ). 3. Задание по теме «Ряды Фурье» – 2 балла. (Разложить в ряд Фурье данную функцию c периодом 𝑇 = 2𝑙 (𝑇 = 2𝜋); разложить в ряд Фурье по синусам (косинусам) функцию, заданную на полупериоде, доопределив ее нечетным (четным) образом). 4. Задание по теме «Численные методы» – 2 балла. (Численные методы решения алгебраических уравнений: количество корней, отделение корней, графический способ решения уравнений, метод половинного деления, метод итераций. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Линейная аппроксимация. Численное дифференцирование). 5. Задание по теме «Операционное исчисление» – 3 балла (Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям). Итого за экзамен: max 10 баллов 6 – 7.5 баллов: оценка 3 Пример экзаменационного билета. 1. Свойства четных функций (с доказательством). 2. Найти область сходимости степенного ряда: ∞ 𝑥𝑛 𝑛 ∑(−1) (𝑛 + 1)3𝑛 𝑛=1 3. 𝑓(𝑥) = |5𝑥|, 𝑥 ∈ [−𝜋, 𝜋), 𝑇 = 2𝜋. Разложить в ряд Фурье. 4. 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 7𝑥 − 1 = 0. Определить количество корней, отделить их, найти методом итераций с точностью до 0.01. 5. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям (операционным методом): x''- 3x' + 2x=et, x(0)=0, x'(0)=0. Степенные ряды. 1. Функциональные ряды. Основные понятия. 2. Степенные ряды. Теорема Абеля. Теорема о строении области сходимости степенного ряда, радиус и интервал сходимости степенного ряда. 3. Свойства степенных рядов. 4. Ряды по степеням (x-a). 5. Ряды Тейлора и Маклорена. 6. Разложение некоторых функций в ряды Тейлора и Маклорена. 7. Понятие равномерной сходимости. Ряды Фурье. 8. Периодические процессы и периодические функции, их свойства. 9. Тригонометрический ряд. Определение коэффициентов тригонометрического ряда по формулам Фурье. 10. Сходимость ряда Фурье (теорема Дирихле). 11.Свойства четных и нечетных функций (с доказательством). 12. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных 2𝜋 периодических функций (с выводом). 13. Разложение в ряд Фурье функций с периодом 2𝑙. Ряды Фурье для четных и нечетных 2𝑙 периодических функций. 14. Сдвиг основного интервала. 15. Разложение непериодических функций в ряд Фурье. Разложение в ряд Фурье функций, заданных на полупериоде (т.е. на[0, 𝑙]). Численные методы. 16. Норма вектора. Норма матрицы. 17. Приближенные числа, абсолютные и относительные погрешности. Правила записи приближенных чисел. Погрешности при выполнении основных арифметических действий. 18.Численные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений. Отделение (локализация) корней. 19.Графическое решение уравнений (графический способ отделения корней). 20. Метод половинного деления. 21. Метод касательных (метод Ньютона). 22.Метод итераций. 23. Интерполирование (интерполяция). Основные понятия. Интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона. 24. Аппроксимация. Определение параметров аппроксимирующей функции методом наименьших квадратов. Линейная и квадратическая аппроксимация. 25. Численное дифференцирование. 26.Численное интегрирование. 27.Численные методы решения дифференциальных уравнений: метод Эйлера. Операционное исчисление. 28. Оригинал и изображение. Преобразование Лапласа. Свойства преобразования Лапласа 29. Нахождение оригинала для рационального изображения. 30. Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами операционным методом. 31. Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами операционным методом.
