Степенные ряды Опр. 29. Степенным рядом называется функциональный ряд вида a0+a1x + a2 x2 + … + an xn + …= an x n (29) n 1 a0 , a1, a2, … an – постоянные, называются коэффициенты ряда. Теорема 23. (Абеля об области сходимости) 1) 2) x0 ≠ 0, то он абсолютно сходится при всяком x, для которого | x | < | x0 |. Если степенной ряд расходится при некотором значении x'0, то он расходится при всяком x, для которого | x | > | x'0 |. Если степенной ряд сходится при некотором значении Следствие. Областью сходимости степенного ряда является интервал с центром в начале координат Опр. 30. Интервалом сходимости степенного ряда называется интервал (- R,R) такой, что ∀x ∈ (-R,R) ряд сходится и притом абсолютно, а для точек вне этого интервала ряд расходится. Число R называется радиусом сходимости. Свойства степенных рядов 1. Степенной ряд равномерно сходится на любом отрезке [a,b], лежащем внутри его интервала сходимости 2. Сумма степенного ряда является непрерывной функцией в интервале сходимости. Замечание. Сумма остается непрерывной в конце интервала, если он входит в область сходимости. 3. Степенные ряды a ( x x ) и a ( x x ) n n n 0 n 1 один и тот же радиус сходимости. n 0 имеют n 1 Замечание. Ряды имеют один и тот же радиус сходимости, но область сходимости может не совпадать. a ( x x ) ; a ( x x ) ;...; a ( x x ) an ( x x0 ) n и ряды Следствие. Ряд n 1 n n n 1 n (n) n 0 n n 1 0 n n 1 будут иметь один и тот же радиус сходимости 0 4. Степенной ряд можно почленно дифференцировать в интервале сходимости любое число раз. 5. Степенной ряд можно почленно интегрировать по любому промежутку, принадлежащему интервалу сходимости любое число раз. Разложение функции в степенной ряд Опр. 31. Пусть функция f(x) бесконечно дифференцируема в точке x0. Степенной ряд n 0 f ( n ) ( x0 ) f ( x0 ) f ( n ) ( x0 ) n 2 ( x x0 ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) ... ( x x0 ) n ... (30) n! 2! n! называется рядом Тейлора функции или рядом Тейлора функции В частности, если n 0 f(x) по степеням ( x – x0 ) f ( x ) в окрестности точки x0 x0 = 0, то ряд называется рядом Маклорена f ( n ) (0) n f (0) 2 f ( n ) (0) n x f (0) f (0) x x ... x ... n! 2! n! (31) Теорема 24. (необходимый признак сходимости функции к ряду Тейлора) Если функция f(x) в некоторой окрестности точки суммой степенного ряда по степеням ( рядом Тейлора. x = x0 является x – x0 ), то этот ряд является ее Следствие. Не может быть двух различных рядов по степеням ( сходящихся к одной и той же функции f(x). x – x0 ), n-ая частичная сумма ряда Тейлора f ( x0 ) f ( n ) ( x0 ) 2 S n ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) ... ( x x0 ) n 2! n! Опр. 32. Разность Rn(x) = f(x) – Sn(x) называют остаточным членом ряда f ( x )= Sn ( x )+ Rn( x ) Тогда ряд Тейлора: Остаточный член Rn(x) в форме Лагранжа: R ( x) n f (n 1) ( ) ( x x )n 1 0 (n 1)! точка находится между x и x0 Очевидно f (x) = Sn (x), если Rn(x) → 0: Теорема 25 (признак сходимости ряда Тейлора к порождающей его функции. достаточный) f(x) и все ее производные ограничены в совокупности на интервале (x0- h; x0+h), т.е. ∃ М >0, ∀x∈(x0 - h; x0+ h) и всех n = 0,1,… выполняется неравенство | f (n)(x)| ≤ M. Тогда на интервале (x0 - h; x0 + h) функция f (x) раскладывается в ряд Тейлора Пусть функция f ( x) f n0 (n) (x ) 0 ( x x )n 0 (n)! |x - x0| < h Стандартные разложения Маклорена 2 n 1 x3 x5 n 1 x sin x x ... (1) ... 3! 5! (2n 1)! 2n x2 x4 x cos x 1 ... (1) n ... 2! 4! (2n)! n x 2 x3 x ln( 1 x) x ... (1) n1 ... 2 3 n 2 3 n x x x ex 1 x ... ... 2! 3! n! (1 x) m 1 mx m(m 1) 2 m(m 1)( m 2) 3 x x ... 2! 3! x3 x5 sh x x ... 3! 5! x2 x4 ch x 1 ... 2! 4! Область сходимости уметь получать ( -∞, ∞ ) ( -∞, ∞ ) ( -1, 1 ] ( -∞, ∞ ) ( -1, 1 ) ( -∞, ∞ ) ( -∞, ∞ )