Вопросы для экзамена по математическому анализу

Экзаменационная программа по математическому анализу
для студентов II курса 4 группы
Факультет физики и информационных технологий
(II семестр 2008-2009 гг)
Лектор – доцент С.В. Умнова.
1. Понятие
числового
ряда.
Частичные
суммы
ряда.
Сходимость
ряда.
Примеры
(Геометрическая прогрессия, гармонический ряд, ряд Дирихле).
2. Простейшие свойства рядов. Необходимый принцип сходимости. Примеры.
3. Признаки сходимости рядов с положительными членами (Первый и второй признаки
сравнения, признак Даламбера, признак Коши, интегральный признак сходимости).
Примеры.
4. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды. Признак Лейбница. Примеры.
5. Абсолютная и условная сходимость. Примеры.
6. Остаток ряда. Оценка погрешности приближенного вычисления суммы сходящегося ряда.
7. Сходимость рядов с комплексными членами. Пример.
8. Функциональные ряды. Радиус и область сходимости степенного ряда. Теорема Абеля.
9. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов. Примеры разложения функций в
ряды ( у 
1
; у  ln( 1  x) ; у  arctgx ).
1 х
10. Разложение функций в ряд Маклорена.
11. Разложение в ряд Маклорена функции y  e x .
12. Разложение в ряд Маклорена функции y  sin x .
13. Разложение в ряд Маклорена функции y  cos x .
14. Разложение в ряд Маклорена функции y  (1  x) m .
15. Вычисление интегралов с помощью рядов.
16. Решение дифференциальных уравнений с помощью рядов.
17. Разложение функций в ряд Тейлора по степеням ( x  x0 ) .
18. Периодические функции. Ортогональные функции. Тригонометрический ряд Фурье.
19. Разложение в ряд Фурье 2 - периодической функции. Теорема Дирихле.
20. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций на промежутке   ;   с периодом
Т  2 . Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода Т  2l .
21. Комплексная форма ряда Фурье.
22. Интеграл Фурье. Свойства интеграла Фурье.
23. Элементы комбинаторики. Правило умножения, сложения, размещения, перестановки,
сочетания (с повторениями и без повторений).
24. Пространство элементарных событий. Действия над событиями. Полная группа событий.
25. Вероятность события. Классическое, статистическое и геометрическое определения
вероятности. Примеры.
26. Вероятность суммы двух несовместных событий. Вероятность противоположного события.
27. Вероятность произведения двух зависимых событий. Условная вероятность. Формула полной
вероятности.
28. Вероятность гипотез. Формула Байеса.
29. Схема испытаний Бернулли. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число наступления
события.
30. Приближенные формулы в схеме Бернулли. Формула Пуассона. Локальная и интегральная
формулы Муавра-Лапласа.
31. Случайные величины. Функция распределения случайной величины. Пример.
32. Дискретная случайная величина. Операции над дискретными случайными величинами.
33. Математическое
ожидание,
дисперсия,
среднеквадратичное
отклонение
дискретной
случайной величины. Их свойства.
34. Непрерывная случайная величина. Плотность распределения. Свойства.
35. Основные типы распределений (равномерное, нормальное, показательное).
36. Вероятность попадания значений случайной величины, подчиненной нормальному закону в
заданный интервал. Функция Лапласа.
37. Правило трех сигм.
38. Закон больших чисел. Центральная предельная теорема.
39. Математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение непрерывной
случайной величины.