Функциональные ряды.

Функциональные
ряды.
Опр-е:
Выражение
f1(x)+f2(x)+…+fn(x)+…
(1)
называется рядом относительно переменной x.
Придавая переменой x некоторое значение x0,x1 и
т.д., мы будем получать те или иные числовые
ряды.
В зависимости от значения, принимающего
переменной x, численный ряд может оказаться
сходящимся или расходящимся.
Опр-е: Совокупность всех значений переменной x,
для которых ряд (1) сходится, называется областью
сходимости функционального ряда.
Опр-е:
Функциональный
ряд
вида
a0+a1x+a2x2+…+anxn+… (2), где а0, а1, а2… не зависят от
переменой x, называется степенным рядом
относительно переменных x.
Области сходимости степенных рядов устроены
довольно просто. Они описываются следующей
теоремой.
Теорема Абеля: если степенной ряд (2) сходится при
некотором x=x0,то он сходится абсолютно при всех
значениях x, для которых x  x0 . Наоборот, если ряд (2)
расходится при x=x0, он расходится при всех значениях x,
для которых x  x0
Для
каждого
степенного
ряда
существует
такое
вещественное неотрицательное число R, что при |x|<R ряд
(2) сходится, а при |x|>R расходится. R-радиус
сходимости.
Опр-е: Область значений переменной x, удовлетворяющих
соотношению –R< x <R называется в случае вещественного
ряда его интервалом сходимости.
1) Степенные ряды вида (2), которые сходятся лишь в точке
х=0 относятся к рядам первого класса.
# 1+x+1!x2+…+n!xn+…
2) Степенные ряды вида (2), которые сходятся на всем
множестве действительных чисел, относятся к рядам
второго класса.
x x2
xn
1    ... 
#
1! 2!
n!
3) Ряды вида 2 не принадлежащие к I и II классам
относятся к рядам III классам.
Теорема: Пусть для ряда (2) существует и отличен от нуля
предел: R  0, R  
an 1
lim
L
n  a
n
1
Тогда R=
L
an
R  lim
L
n  a
n 1

1 x n
#  ( )
n 1 n 3
(n  1)  3n1
3n  3
Составим предел отношения R  lim
 lim
3
n
n
n 
n3
n
Интервал сходимости: -3<x<3.
Ряды по степеням разности х-а
a0  a1 ( x  a)  a2 ( x  a) 2  ...an ( x  a) n  ...
Интервалом сходимости степенного ряда (3) является
интервал длинной 2R с центром в точке x=a.
Разложение функций в степенные ряды
Ряд Тэйлора
Если функция F(x) является суммой ряда (3), то в этом
случае говорят, что F(x) разлагается в ряд по степеням
(x-a)
Мы имеем возможность приближенно заменить функцию
суммой нескольких первых членов степенного ряда
(т.е. многочленов).
I.
Если функция F(x) на интервале (х0-R; х0+R)
располагается в степенной ряд
2
n
a

a
(
x

x
)

a
(
x

x
)

...
a
(
x

x
)
 ... (4)
F(х)= 0 1
0
2
0
n
0
то это разложение единственно.
Коэффициент (4) определяется единственным образом
функциями:
(5)
n
f (x 0 )
f (x 0 )
f (x 0 )
a 0  f(x 0 ), a1 
,a2 
,an 
1!
2!
n!
Подставляя выражения (5) в равенство (4) получаем ряд
Тейлора – разложением функции F(х) по степеням разности
n
(х-а).
f (a)
f (a)
f
(a)
2
n
f ( x)  f ( a ) 
1!
( x  a) 
2!
( x  a)  ... 
n!
( x  a)
Пример: Найти коэффициент а4 в разложении функции
f(x)=x3-1 по степеням разности (x-1).
f IV (1)
a4 
4!
f’(x)=3x2
f’’(x)=6x
f’’’(x)=6
fIV(x)=0
a4=0
Пример: f(x) = 4x5-10x3+3 разложить по степеням (x-1) чему
равен коэффициент при (x-1)2.
Порядок 5, значит слагаемых будет 6.
f '' (1) 20
a2 

 10
2!
2!
F’(x)=20х4-30х2
F’’(x)=80х3-60х
F’’(1)=80-30=20
Ряды Фурье
Опр-е: Тригонометрический ряд вида:
a0 
  (an cos( nx)  bn sin( nx))
2 n 1
(8)
где а0,аn,bn (n=1,2 и т.д.) – постоянные числа, называемые
коэффициентами тригонометрического ряда, называется
рядом Фурье ф-ции f(x).
f(x) – периодическая с периодом T  2
Коэффициенты ряда (8) определяются по формулам:
a0 
bn 
1

1


 f ( x)dx; a

n

1


 f ( x) cos(nx)dx


 f ( x) sin( nx)dx(9)

Достаточные условия представимости
функции ряда Фурье.
Пусть функция f(x) на отрезке [-  ;  ] удовлетворяет
условиям Дирихле:
1. Это значит, что функция на этом отрезке непрерывна или
кусочно – непрерывна (т.е. имеет конечное число точек
разрыва первого рода)
2. Монотонна или кусочно-монотонна.
т. Дирихле: Если функция f(x) удовлетворяет условиям
Дирихле на отрезке [-π; π], то ряд Фурье этой функции
сходится на всем отрезке и сумма этого ряда равна:
1. значению функции f(x) в точках непрерывности функции,
из интервала (-π; π)
2.(f(x0-0)+f(x0+0))/2 во всех точках разрыва х0.
3.(f(π-0)+f(-π+0))/2– на концах отрезка [-π; π].
Если f(x) - четная функция на отрезке [-π; π], т.е. f(-x)=f(x);
xє [-π; π], то ее коэффициенты Фурье bn =0
коэффициент an – можно вычислить по формулам (9).
Если f(x) нечетная функция то коэффициент an =0.
Таким образом, если функция четная, то ее ряд Фурье
содержит только cos(nx) (неполный ряд по cos(nx)), а
если не четная, то содержится только sin(nx) (неполный
по sin(nx)).
Разложение функции в
неполный ряд Фурье.
• Разложения будет неполным (говорят о
неполном ряде Фурье), если исходящая
функция является :
• а) четной –разложение по косинусам:
ak 
1


 f ( x) cos kxdx
• Тогда функция будет представима в
виде ряда

a0 
f ( x)    ak cos kx
2 n 1
• б) нечетная – разложение по синусам:
bk 
1


 f ( x) sin kxdx

• Тогда функция будет представима в
виде ряда

f ( x)   bk sin kx
k 1
в) определенная на полуинтервале т.е. на [  ;0] или [0;  ]
В этом случае функция продолжается на другой
полуинтервал
и просчитываются соответствующие
коэффициенты (ak или bk).
Пример: Разложить функцию f(x)=x на [0;] в ряд Фурье по
синусам(как нечетную)
Зададим продолжение функции на интервале [0;] как
нечетную функцию.
2



2
2
bk   x sin kxdx   x cos kx   cos kxdx
 0
k
k 0
0



2
2
1
  ( x cos kx /   cos kxdx)   ( cos k  0  sin kx / ) 
0
0
k
k
k
0
k 1
2
1
1
2
2
(

1
)
  ( (1) k   0   0)     (1) k 
k
k
k
k
k
2(1)
x
k
k 1

k 1
sin kx на (0;  )
Упр: та же функция, продолжение - четное.
Нахождение суммы числового ряда с помощью
разложения в ряд Фурье.
С помощью имеющегося разложения в ряд Фурье можно
вычислять
значения
сумм
числовых
рядов,
соответствующих данному ряду.
Пример: Дана функция
 x ,
f ( x)  
0,
  x  0
0 x 
Вычислив коэффициенты ряда Фурье, имеем:

cos( 2k  1) x 
k sin kх
f ( x)   
  (1)
2
4  k 1 (2k  1)
k
k 1
2

Найти сумму числового ряда, используя это разложение:

1 1
1
1
1  2  2  ..... 
 ...  
2
2
3 5
(2k  1)
(
2
k

1
)
k 1
Второе слагаемое ряда Фурье содержит нужную нам сумму,
но с множителем cos(2k-1)x, который является мнимым.
Пусть cos(2k-1)x=1, тогда: cos(2k-1)x=1
(2k-1)x=0
x=0  (  ;  ) в этой точке
функция f(x) определена и значит по теореме Дирихле
сумма ряда равна значению функции в этой точке: S=f(x),
f(0)=-x|0=-0=0
Рассчитаем третье слагаемое:


sin
kx
k
k sin 0
(1)
 (1)
0

k
k
k 1
k 1
Подставим все найденные значения в разложение:

2

2

1
0  
 0;
2
4  k 1 (2k  1)
 2 2
1 1
2
0   Sr  Sr  : 
, т.е.1  2  2  ... 
4 
4 
8
3 5
8
Упр: с помощью разложения функции f(x)=x2
2

 [ ;  ]
cos kx
найти сумму числового ряда
f ( x) 
 4 (1)
2
3
k
k 1

1 1
(1) k
(1) k
1  2  2  ...  2   2
2 3
k
k 1 k
k