План лекции 6 Частотные методы исследования ЛПП

План лекции 6


лекция 6
Частотные методы исследования ЛПП-систем
Ряд Фурье
Линейность и инвариантность во времени
Эффективность методов исследования в частотной
области связана с концепцией линейности и
инвариантности во времени
Любое входное воздействие, которое можно представить в виде
взвешенной суммы вида:
xt    xi  i t 
i
будет вызывать
реакцию
лекция 6
 
yt   F xt    xi  t 
i
i
Собственные функции и собственные значения
Свойство: для каждой линейной системы (инвариантной
во времени или нет) существует специальное множество
функций, называемых собственными или
характеристическими функциями, которые
удовлетворяют следующему свойству


  t   F  i t      t 
i
i i
i t 
лекция 6
ЛС:
F
i t 
Собственные функции ЛПП-систем


Если линейная система инвариантна во времени (т.е.
относится к классу ЛПП-систем ), то ее собственные
функции почти не зависят от специфических особенностей
конкретной системы.
Собственными функциями любой ЛПП-системы являются
комплексные экспоненциальные функции
 
exp st ,t 
exp st 
H  s
лекция 6
ЛПП:
H  s
   
y (t )  H si exp si t
- передаточная функция ЛПП-системы
Произвольное воздействие на входе

реакция
на
любое
представимо в виде
входное
воздействие,
 
xt    x(si ) exp sit , t 
i
запишется
   
yt    x(si )H si exp sit ,  t 
i
лекция 6
которое
Область сходимости
Известны частные случаи:


 Если h(t) соответствует физически реализуемой ЛППсистеме, то область сходимости H(s) будет всегда
находиться в правой полуплоскости.
 Если h(t) соответствует устойчивой ЛПП-системе, то
область сходимости H(s) всегда включает j-ось.
j
1
лекция 6
2

Интеграл Фурье
Только для значений si , лежащих в области
сходимости H(s), exp(si t) является собственной
функцией ЛПП-системы
Если ограничиться рассмотрением только устойчивых систем,
для которых ось j находится внутри полосы сходимости, и
принять 0=0, т.е. s=j, тогда можно использовать
определенный класс сигналов, которые допускают
представление в виде интеграла Фурье:
1
x(t ) 
2
лекция 6

 X ( ) exp( j t )d

Частотная характеристика
Тогда передаточную функцию устойчивой ЛПП-системы
можно
представить в виде:

H     h t  exp j t dt

X(w)
H(w)
 
Y(w)
Функцию H  будем в дальнейшем называть
частотной характеристикой системы
лекция 6
Ряд Фурье
Определение: если для колебания установлено
представление в виде
конечной взвешенной суммы связанных между собой
синусоид:
N
N
2 nt
2 nt
x t   a   an cos
  bn sin
0
T
T
n 1
n 1
то значения коэффициентов an и bn можно найти по формулам
2 
2nt
b   xt  sin
dt
n  0
T
1 
a 0   xt dt
 0
2 
2nt
a   xt  cos
dt , n  0
0
n 
T
лекция 6
Ортогональность тригонометрических функций
Синусоиды, чьи частоты выражаются целыми числами,
кратными
некоторой основной частоте , образуют множество
ортогональных
функций
2 
2nt
2mt
T

0
sin
T
cos
T
dt  0
, при всех n и m
0, n  m;
2  2 nt
2 mt
2 
2 nt
2 mt
sin
sin
dt   cos
cos
dt  

0
0
T
T
T
T
T
T
1, n  m 0

лекция 6
Теорема Фурье
Ж. Фурье (1807 г.): бесконечный ряд в форме

2 nt 
2 nt


x t  a   an cos
  bn sin
0
T
T
n 1
n 1
может представить любую произвольную периодическую
функцию,
причем даже содержащую разрывы.
Фурье доказал, что коэффициенты разложения такой
произвольной
функции могут быть найдены по тем же формулам, которые
используются при представлении функций конечным рядом
лекция 6
Амплитудно-фазовая форма ряда Фурье
Основана на соотношении:
asin(x)+bcos(x)=ccos(x-), где c=a2+b2 , =arctg(b/a),
Тогда ряд Фурье примет вид:

 2nt

xt   a 0   cn cos
n 
 T

n 1
Где:
c  an2  bn2
n
лекция 6
 bn 
  arctg 
n
 an 
Экспоненциальная комплексная форма
Наиболее распространенная форма ряда Фурье:

 j 2nt 
xt    X n exp

 T 
n  
1 2
 j2nt 
X n    xt  exp 
dt


T 
  2
лекция 6
Связь между коэффициентами Фурье
Путем сравнения легко установить соответствия:
a0  X  0

   arg X n
n

a  2 Re X n ,n  0
n


b  2 Im X n
n
лекция 6
c  2 X n
n
1
X n  c exp j n 
2 n
Спектральный анализ
Множество коэффициентов ряда Фурье в совокупности
образуют
спектр сигнала , а процесс их определения называется
спектральным анализом
Re[X(n)]
|X(n)|
fn
fn
1/T
Im[X(n)
]

Arg[X(n
)]
fn
лекция 6
fn
-