17. Разложение функций в ряд Тейлора. Если в точке а функция f(z) аналитична, то в некотором круге с центром в этой точке она разлагается в ряд Тейлора: f(z) = c0 +c1 (z-a) + c2 (z-a)2 + cn (z-a)n +…. , где cn = f n a (n = 0, 1, 2, …) n! В к а ж д о й и з з а д а ч 17.1 – 17.10 требуется разложить указанную функцию в ряд Тейлора по степеням z-a, где а – заданное число. Определить круг сходимости каждого из рядов. 17.1. 1 , a=i. z 1 17.2. 17.3. 1 , a=0. z 4 17.4. 2 z , a=1. z2 17.6. sin z cos z, a = 0 17.7. ez, a =- 1 17.5. cos (3z-i), a=0. 17.8. cos2 z, a=0 2 , a=i. z 1 17.9. cos z, a = 4 17.10. ez+3, a =- 1 В задачах 17.11 – 17.17 разложить указанные функции в ряд Тейлора по степеням z, используя а) готовые известные разложения; z z2 zn + + …+ + ··, | z | < ∞ 1! 2! n! z z z3 z5 z 2 n 1 sin z = + - ·· + (-1)n-1 + ···, | z | < ∞ 1! 1 3! 5! 2n 1! ez = 1 + cos z = 1 - z4 z2 z 2n + - (-1)n + ···, | z | < ∞ 2! 4! 2n ! 1 = 1 + z + z2 + ·· zn + ·· , | z | < 1 1 z z z2 zn ln(1-z) = - - ·· - ·· , | z | < 1 1 2 n б) почленное дифференцирование и интегрирование рядов; в) метод неопределенных коэффициентов. 17.11.ln (1+z) 17.12. 2 (1 z ) 2 17.15.(z+1)ln(z+1) –z 17.16. 17.13. ln 1 z z z2 1 z 3 2 17.14. 17.17. 1 1 z 2 2 sin z z В з а д а ч а х 17.18 –17.17.20 методом неопределенных коэффициентов требуется найти три первых отличных от нуля членов разложения указанных функций в ряд Тейлора по степеням z , а также круг сходимости каждого ряда. 17.18. z cos z 17.19. z ln 1 z 18. Ряд Лорана. Функциональный ряд вида 17.20. z ln 1 z с0 + cn c2 с 1 + + ··+ + ·· 2 za z a z a n называется рядом Лорана. Областью сходимости такого ряда является внешность круга с центром в точке а и радиусом R, где R находится по формулам R = lim сn1 cn или R = lim n cn Суммой данного ряда является функция, аналитическая в области ее сходимости Обобщение степенного ряда является ряд вида: n c z a n n n , (*) который понимается как сумма двух рядов c z a n 0 n n c z a и n n n 1 Первый из этих рядов называют п р а в и л ь н о й ч а с т ь ю р я д а , второй – г л а в н о й ч а с т ь ю. Ряд (*) считается сходящимся тогда и только тогда, когда сходятся оба эти ряда. Областью сходимости правильной части ряда (*) является некоторый круг | z - a | < R, а главной части – внешность некоторого круга | z - a| > r. Будем предполагать, что r < R. В таком случае область сходимости ряда(*) представляет собой кольцо r < | z - a | < R. Сумма ряда является аналитической в кольце сходимости, причем граничные окружности кольца проходят через особые точки функции. В з а д а ч а х 18.1 – 18.5 и 18.11-18.15 требуется найти области сходимости следующих рядов 18.1. 2 n zn 18.2. ( z i) n 2 18.3. 2 18.4. n z n 18.5. ( z 1) n n 1 n2 z n n ( n! z 2 n ) В з а д а ч а х 18.6 – 18.10 и требуется найти области сходимости следующих рядов и если возможно определить их суммы: zn + n 1 n 0 2 2n n n 0 z 18.7. 18.6. 18.9. 18.11. 3 n z 2n 5 n2 n 1 zn 18.12. ( z 2i) n 1 2 n 1 zn 18.10. n1 + n z 3 3 n 0 n 18.13. n 1 18.16. 3 z i n 0 n 18.17. n z n 1 n 0 2 n 0 2 n 2 ( z 1) n 18.14. 5 n z n n 2 n1 i n1 zn n 0 18.8. i n1 n n 1 z i n1 n n 1 z z n n2 n) z n! n 1 2 i n1 18.18. zn n 0 18.15. ( 18.19. z 2n n 1 1n 2 n - 1 z n z n1 3 3n 18.20. 3n2 n 0 n 0 19. Разложение функций в ряд Лорана. В з а д а ч а х 19.1 – 19.4 требуется разложить данные функции в ряд Лорана в указанных кольцах. 19.1. z ,1< z <3 ( z i )( z 3) 1 19.2. 19.3. z 3 e z , 0 < z < ∞ 19.4. 19.5. 1 ,0< z <1 z (1 z ) 3 ,1< z <2 z z2 2 1 , -1 < z < 0 z (1 z ) В з а д а ч а х 19.6 – 19.11 и 19.17 – 19.20 требуется найти все возможные разложения в ряд Лорана по степеням z-a следующих функций. 1 1 1 ,а = 1. 19.7. 2 . а = 0 19.8. 2 ,а=0 z z z 4z 3 z 4z 3 1 1 z3 19.9. 2 , а = 0 19.10. , а = -1 19.11. ,а= 2 z i z 2z 3 z 1 z 4 z 1z 2 19.6. 2 0 z 1 19.12. ,1 < z < 3 19.13. ,0 < z < 2 ( z i )( z 3) z (2 z ) 1 3 ,1 < z < 2 z z2 1 1 1 19.16. , 0 < z < 1 19.17. 2 .а = 0 19.18. 2 .а = 0 z 4z 3 z 1 z (1 z ) 19.14. z 2 e z , 0 < z < ∞ 19.19. 1 ,а=0 2 z 1 z2 2 19.15. 2 19.20. z2 , а = - 1. z 1z 2 20. Требуется вычислить вычеты указанных функций относительно каждой из них особых точек. Пусть а – изолированная особая точка однозначной аналитической функции f(z) и С – окружность |z-a|=r такая, что в замкнутом круге | z – a | ≤r нет других особых точек функции f(z), кроме а. Интеграл от функции f(z) по такой окружности С, деленной на 2πi называется в ы ч е т о м ф у н к ц и и в точке а и обозначается Re sf z . z a Таким образом, по определению Re sf z = z a 1 f z dz 2i C Вычислять вычеты, исходя из определения, довольно трудно. Практически вычисление основывается на том факте, что вычет функции f(z) в изолированной особой точке а равен коэффициенту при (z-a)-1 в лорановском разложении функции в окрестности точки а: Re sf z = с-1 z a Если точка а – полюс, то для определения вычета иногда можно и не находить разложения в ряд Лорана. Если а является для f(z) простым полюсом, то можно пользоваться формулой Re sf z = lim (z-a)f(z) z a z a Вычисление вычета в простом полюсе еще более упрощается, если f(z) имеет вид: f(z) = z , где φ(a) ≠ 0, ψ(a) = 0 ψ'(a) ≠ 0. Тогда z а Re sf z = / а z a В случае когда а – полюс кратности k, d k 1 f z z a 1 lim Re sf z = k 1! z a dz k 1 z a sin Z 1 Z 2 Z 1 20.1. f(Z) = 20.2. f(Z) = 20.3. f(Z) = Z 2 cos 2 3 Z 2 ( Z 1) Z Z cos Z sin Z 20.4. f(Z) = tg Z 20.5 f(Z) = 20.6 f(Z) = 2 ( Z 1) (x )2 Z cos Z sin Z 20.7 f(Z) = 20.8. f(Z) = z 20.9. f(Z) = 1 1 e 1 (Z ) 2 (Z ) 2 2 2 Z2 Z 2 20.10 f(Z) = z 20.11 f(Z) = Z ( Z 1)( Z 2) e 1 20.12. f(Z) = Z 2 1 ( Z 2)( Z 2 4) 20.13. f(Z) = k sin 2 Z ( Z 1) 2 20.14. f(Z)= Z2 ( Z 1) 2 1 3 20.15. f(Z) = cos Z 1 2 20.16. f(Z) = sin Z 1 20.18. f(Z) = Ze Z 20.17. f(Z) = 1 Z Z e 1 Z Вычислить вычеты относительно бесконечно удаленных точек. 20.19. f(Z) = 3Z 6 5 Z 7 1 20.20. f(Z) = ZcosZ 20.21. f(Z) = 20.22. f(Z) = sin 1 Z sin Z Z