Степенные ряды Функциональные ряды Ряд, членами которого являются функции от x называется функциональным u x u x u x ... u x ... n 1 n 1 2 n x n 1 cos n 2 x 2 n n 1 n Пример Найти область сходимости рядов n x n 1 sin n 2 x 2 n n 1 Степенные ряды a x x n n 1 n 0 ao a1 x x0 ... an x x0 ... n степенной ряд по степеням x x0 . Действительные или комплексные числа a0 , a1 , a2 ,..., an ,... называются коэффициентами ряда. Теорема Абеля n a x сходится при x x0 0 , Если ряд n n 1 то он абсолютно сходится при всех значениях x , удовлетворяющих неравенству x x0 . x0 x x0 точки сходимости Теорема Абеля Следствие n a x расходится при x x1 , Если ряд n n 1 то он расходится и при всех x , удовлетворяющих неравенству x x1 . x1 точки расходимости x x1 Радиус сходимости степенного ряда x0 интервал сходимости x x0 x 0 ; x0 R; R радиус сходимости R x0 an R lim n a n 1 1 R lim n n an Радиус сходимости степенного ряда an 1 lim 0 n a n R Вся числовая ось a x x n 1 n n 0 x0 R; x0 R Пример Найти область сходимости рядов xn n 0 n! n 0 x 2 n x2 n 1 Свойства степенных рядов n a x n Сумма S x степенного ряда n 1 является непрерывной функцией в интервале сходимости R; R . n a x Степенные ряды n и n 1 n b x n n 1 имеющие радиусы сходимости R1 , R2 можно почленно складывать, вычитать, умножать. Итоговый радиус не меньше R1 или R2 Свойства степенных рядов Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать. S x a0 a1 x a2 x ... an x ... 2 n R x R 2 n1 S x a1 2a2 x 3a3 x ... n x ... Свойства степенных рядов Степенной ряд можно почленно интегрировать на каждом отрезке, расположенном внутри интервала сходимости. S x a0 a1 x a2 x 2 ... an x n ... R a x R x x x x x S t dt a dt a tdt a t dt ... a t dt ... 2 0 a a 1 a n 2 a n a Продифференцированные и проинтегрированные ряды имеют тот же радиус сходимости, что и исходный ряд.