коллта~1

ВОПРОСЫ К I КОЛЛОКВИУМУ ПО ТАФ
для студентов III к м/ф (осенний семестр 2003/04уч.г)
ТЕМА: "Комплексные числа. Последовательности и ряды комплексных чисел"
1.Поле С комплексных чисел(к.ч.). Геометрическое изображение к.ч. Модуль и аргумент к.ч.,
главное значение аргумента. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы к.ч.
2.Действия с к.ч. в алгебраической форме (    ,(z)n ,
n
z ,n N). Геометрическое изображение
n
всех значений z .
3.Линии и области на комплексной плоскости. Построение линий по уравнениям и областей по
неравенствам.
4.Метрика в С. Полнота С. Окрестности точек в С . Внутренние, граничные, прикосновения,
предельные и изолированные точки множества. Множества: открытые, замкнутые, связные,
компакты, ограниченные и неограниченные.
5.Последовательности к.ч. Определение, примеры. Предел последовательности. Геометрическая интерпретация определения предела последовательности. Связь с ограниченностью последовательности.
lim xn  x0
 n 
6.Доказать: если zn= x+iyn , z0= x+iy0 ,то lim z n  z 0  
. Свойства пределов.
y

y
n 
lim
n
0

 n 
7.Доказать: а) lim z n  x0  lim z n  x0 . Обратное неверно.
n 
б)
zn
lim
n 
n 
 0  lim z n  0
n 
8.Операции с несобственным элементом.
9.Ряд. Общий член ряда. Частичная сумма и сумма ряда. Сходящиеся и расходящиеся ряды.
Примеры.

xn  сх(абс)


n 1
10.Доказать:  z n -сх(абс).  

n 1
 y n  сх(абс)
 n1
11.Критерий сходимости ряда. Необходимое условие сходимости ряда. Примеры.
12.Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Определение, примеры, связь со сходимостью рядов
из действительных и мнимых частей данного ряда.
13.Признаки Коши и Даламбера абсолютной сходимости (с доказательством).
14.Действия с рядами. Общий член произведения двух рядов.
15.Геометрический и гармонический ряды. Общий вид, поведение, сумма.
ЛИТЕРАТУРА
1) Маркушевич А.И. Краткий курс ТАФ, гл.I,пп1-5, гл.IV,п1.
2) Маркушевич А.И., Маркушевич Л.А. Введение в ТАФ, гл.I,§1-5.
3) Привалов И.И. Введение в ТФКП, гл. I, §1-5.
ВОПРОСЫ К II КОЛЛОКВИУМУ ПО ТАФ
для студентов III к м/ф (осенний семестр 2003/04уч.г.)
ТЕМА: "Функции комплексного переменного. Дифференцируемость и аналитичность.
Степенные ряды. Основные элементарные функции"
1.Производная ф.к.п. Определение, примеры, свойства. Производная к.ф. от вещественного аргумента. Дифференцируемость ф.к.п. в точке. Связь с непрерывностью и с сущуствованием
производной функции в этой точке.
2.Критерий дифференцируемости ф.к.п. Условия Коши-Римана. Определение аналитической в
точке (в области) функции. Примеры.
3.Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Понятие конформного отображения. Примеры.
4.Степенные ряды. Понятие. Область сходимости. Теорема Коши-Адамара (фрагменты доказательства), теорема Абеля. Равномерная сходимость степенного ряда. Свойства суммы степенного ряда (непрерывность, аналитичность, бесконечная дифференцируемость). Примеры
5.Дробно-линейная функция. Ее основные свойства (в том числе групповое и круговое). Примеры.
6.Степенная функция с натуральным показателем. Примеры.
7.Показательная функция (w=exp z ). Ее основные свойства (в том числе периодичность и теорема сложения). Примеры.
8.Тригонометрические функции (sin z, cos z). Их основные свойства (в том числе формула Эйлера, нули, периодичность, теорема сложения, неограниченность). Показательная форма к.ч.
Примеры.
9.Логарифмическая функция как обратная к функции w=exp z.. Ее основные свойства ( в том
числе выделение однозначных ветвей, выражение обратных тригонометрических и обратных
гиперболических функций через логарифмическую функцию). Примеры.
10.Степень комплексного числа с комплексным показателем. Общая степенная и общая показательная функции. Примеры.
11.w= n z .Определение, основные свойства. Однозначные ветви.
В допуске: основные определения и формулировки, вычисление значений функции.