- Теоретическая и прикладная математика кафедры

Ñîâðåìåííûé
Ãóìàíèòàðíûé
Óíèâåðñèòåò
Äèñòàíöèîííîå îáðàçîâàíèå
Ðàáî÷èé ó÷åáíèê
Ôàìèëèÿ, èìÿ, îò÷åñòâî ______________________________________________
Ôàêóëüòåò ____________________________________________________________
Íîìåð êîíòðàêòà ______________________________________________________
ÒÅÎÐÈß ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ
È ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ÑÒÀÒÈÑÒÈÊÀ
ÞÍÈÒÀ 3
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß
ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÑÒÀÒÈÑÒÈÊÈ
ÌÎÑÊÂÀ 2001
Ðàçðàáîòàíî È.Á. ×åðíûøåâîé, êàíä. òåõí. íàóê
Ðåêîìåíäîâàíî Ìèíèñòåðñòâîì
îáùåãî è ïðîôåññèîíàëüíîãî
îáðàçîâàíèÿ Ðîññèéñêîé Ôåäåðàöèè
â êà÷åñòâå ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ äëÿ
ñòóäåíòîâ âûñøèõ ó÷åáíûõ çàâåäåíèé
ÊÓÐÑ: ÒÅÎÐÈß ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ
È ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ÑÒÀÒÈÑÒÈÊÀ
Þíèòà 1. Ââåäåíèå â òåîðèþ âåðîÿòíîñòåé.
Þíèòà 2. Ìíîãîìåðíûå ðàñïðåäåëåíèÿ è ïðåäåëüíûå òåîðåìû.
Þíèòà 3. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè.
Þíèòà 4. Ïðèêëàäíàÿ ñòàòèñòèêà.
ÞÍÈÒÀ 3
Ðàññìàòðèâàþòñÿ îñíîâíûå ïîíÿòèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè:
âûáîðî÷íûé ìåòîä, ïîñòðîåíèå òî÷å÷íûõ îöåíîê äëÿ ïàðàìåòðîâ
ðàñïðåäåëåíèÿ, äîâåðèòåëüíûå èíòåðâàëû, ïðîâåðêà ñòàòèñòè÷åñêèõ
ãèïîòåç. Â ïðèëîæåíèè äàí ñïèñîê ôîðìóë ïî òåîðèè âåðîÿòíîñòåé è
ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêå.
Äëÿ ñòóäåíòîâ Ñîâðåìåííîãî Ãóìàíèòàðíîãî Óíèâåðñèòåòà
Þíèòà ñîîòâåòñòâóåò ïðîôåññèîíàëüíîé îáðàçîâàòåëüíîé ïðîãðàììå ¹ 1
______________________________________________________________________________________
(Ñ) ÑÎÂÐÅÌÅÍÍÛÉ ÃÓÌÀÍÈÒÀÐÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ, 2001
ÎÃËÀÂËÅÍÈÅ
ÄÈÄÀÊÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÏËÀÍ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
ËÈÒÅÐÀÒÓÐÀ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
ÏÅÐÅ×ÅÍÜ ÓÌÅÍÈÉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
ÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÎÁÇÎÐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Ââåäåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1. Âûáîðî÷íûé ìåòîä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1. Âûáîðêà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2. Ìåòîäû îòáîðà. Ðåïðåçåíòàòèâíîñòü âûáîðêè.
Âûáîðêà ïîâòîðíàÿ è áåñïîâòîðíàÿ . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3. Âàðèàöèîííûé ðÿä. Ãðóïïèðîâêà. Òàáëè÷íîå ïðåäñòàâëåíèå âûáîðêè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4. Ãðàôè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå âûáîðêè. Ïîëèãîí,
ãèñòîãðàììà, êóìóëÿòà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5. ×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè âûáîðêè . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6. Ñâÿçü ìåæäó ñòàòèñòè÷åñêèì ðàñïðåäåëåíèåì âûáîðêè
è èçó÷àåìûì ðàñïðåäåëåíèåì âåðîÿòíîñòåé . . . . . . . . 28
1.6.1. Ïîëèãîí è ìíîãîóãîëüíèê ðàñïðåäåëåíèÿ . . . . . . 29
1.6.2. Ãèñòîãðàììà è ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè . . . . . . . . . 30
1.6.3. Êóìóëÿòà, ýìïèðè÷åñêàÿ è òåîðåòè÷åñêàÿ ôóíêöèè
ðàñïðåäåëåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2. Ïîñòðîåíèå òî÷å÷íûõ îöåíîê äëÿ ïàðàìåòðîâ
ðàñïðåäåëåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.1. Ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé, çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðà 34
2.2. Ìåòîä ìîìåíòîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3. Âû÷èñëåíèå ýìïèðè÷åñêèõ ìîìåíòîâ . . . . . . . . . . . . . . 41
2.4. Ñâîéñòâà òî÷å÷íûõ îöåíîê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.5. Ïîíÿòèå íàäåæíîñòè îöåíêè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.6. Ðàñïðåäåëåíèå âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî . . . . . . . . . . . . . 44
2.7. Ñâÿçü ìåæäó òî÷íîñòüþ è íàäåæíîñòüþ îöåíêè . . . . . . . 45
3. Èíòåðâàëüíûå îöåíêè äëÿ ïàðàìåòðîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.1. Ïîíÿòèå äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2. Äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ ñðåäíåãî â ñëó÷àå, êîãäà
ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå σ òåîðåòè÷åñêîãî
ðàñïðåäåëåíèÿ èçâåñòíî . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.3. Äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ ñðåäíåãî â ñëó÷àå, êîãäà
ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå σ òåîðåòè÷åñêîãî
ðàñïðåäåëåíèÿ íåèçâåñòíî . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.4. Îöåíêà òðåáóåìîãî îáúåìà âûáîðêè . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.5. Äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ âåðîÿòíîñòè óñïåõà
â ñõåìå Áåðíóëëè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
3
3.6. Îäíîñòîðîííèå äîâåðèòåëüíûå èíòåðâàëû . . . . . . . . . . 57
4. Ïðîâåðêà ñòàòèñòè÷åñêèõ ãèïîòåç . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.1. Ïðîâåðêà ãèïîòåçû î ðàâåíñòâå ñðåäíåãî ÷èñëîâîìó
çíà÷åíèþ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2. Ñðàâíåíèå äâóõ ãåíåðàëüíûõ ñðåäíèõ . . . . . . . . . . . . . . 64
4.3. Îøèáêè ïåðâîãî è âòîðîãî ðîäà. Ìîùíîñòü êðèòåðèÿ . . 70
4.4. Îöåíêà òðåáóåìîãî ÷èñëà èñïûòàíèé ïðè ïðîâåðêå
ãèïîòåçû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5. Ìåòîäû, îñíîâàííûå íà ñâîéñòâàõ ôóíêöèè ïðàâäîïîäîáèÿ 74
5.1. Ôóíêöèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.2. Ìåòîä ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ äëÿ ïîëó÷åíèÿ
îöåíêè íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà Θ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.3. Ôóíêöèè ïðàâäîïîäîáèÿ â çàäà÷àõ ïðîâåðêè ãèïîòåç . . 76
5.4. Ïðîâåðêà ãèïîòåç ìåòîäîì ïîñëåäîâàòåëüíîãî àíàëèçà 78
ÇÀÄÀÍÈß ÄËß ÑÀÌÎÑÒÎßÒÅËÜÍÎÉ ÐÀÁÎÒÛ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
ÒÐÅÍÈÍÃ ÓÌÅÍÈÉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
ÔÀÉË ÌÀÒÅÐÈÀËÎÂ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
ÃËÎÑÑÀÐÈÉ*
__________________________________________________________________________________________________
* Ãëîññàðèé ðàñïîëîæåí â ñåðåäèíå ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ è ïðåäíàçíà÷åí äëÿ
ñàìîñòîÿòåëüíîãî çàó÷èâàíèÿ íîâûõ ïîíÿòèé.
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
4
ÄÈÄÀÊÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÏËÀÍ
Ïðåäìåò ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè. Ìåòîä ñïëîøíûõ íàáëþäåíèé è âûáîðî÷íûé ìåòîä. Ïîíÿòèå âûáîðêè. Òàáëè÷íîå è ãðàôè÷åñêîå
ïðåäñòàâëåíèå âûáîðêè – ïîëèãîí è ãèñòîãðàììà.
Âûáîðî÷íîå ñðåäíåå è åãî çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ, âûáîðî÷íàÿ äèñïåðñèÿ. Òî÷å÷íûå îöåíêè è èõ ñâîéñòâà: ñîñòîÿòåëüíîñòü, íåñìåùåííîñòü. Èäåÿ ìåòîäà ìîìåíòîâ. ×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ñëó÷àéíûõ
âåëè÷èí è èõ âåðîÿòíîñòíûé ñìûñë. Íåêîòîðûå ðàñïðåäåëåíèÿ: áèíîìèàëüíîå, ïóàññîíîâñêîå, ðàâíîìåðíîå, ïîêàçàòåëüíîå, íîðìàëüíîå.
Èíòåðâàëüíîå îöåíèâàíèå. Ðàñïðåäåëåíèå Ñòüþäåíòà. Äîâåðèòåëüíûå èíòåðâàëû äëÿ ãåíåðàëüíîãî ñðåäíåãî íîðìàëüíîé âåëè÷èíû ñ èçâåñòíîé è íåèçâåñòíîé äèñïåðñèåé. Äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ âåðîÿòíîñòè óñïåõà â ñõåìå Áåðíóëëè. Îäíîñòîðîííèå äîâåðèòåëüíûå
èíòåðâàëû.
Ïðîâåðêà ñòàòèñòè÷åñêèõ ãèïîòåç. Óðîâåíü çíà÷èìîñòè, îøèáêè
ïåðâîãî è âòîðîãî ðîäà. Ìåòîäû ïðîâåðêè ñòàòèñòè÷åñêèõ ãèïîòåç:
ñ èñïîëüçîâàíèåì äîâåðèòåëüíûõ èíòåðâàëîâ, ìåòîäîì Íåéìàíà-Ïèðñîíà, ìåòîäîì ïîñëåäîâàòåëüíîãî àíàëèçà.
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
5
ËÈÒÅÐÀÒÓÐÀ
Áàçîâàÿ
1. Ãìóðìàí Â.Å. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà. Ì., 2000.
2. Êðåìåð Í.Ø. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà. Ì., 2000.
Äîïîëíèòåëüíàÿ
3. Êàëèíèíà Â.Í., Ïàíêèí Â.Ô. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà. Ì., 1998.
4. ßíêî ßðîñëàâ. Ìàòåìàòèêî-ñòàòèñòè÷åñêèå òàáëèöû. Ì., 1961.
Çàäà÷íèêè
5. Ãìóðìàí Â.Å., Ðóêîâîäñòâî ê ðåøåíèþ çàäà÷ ïî òåîðèè âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêå. Ì., 1997.
6. Áóëäûê Ã.Ì., Ìàöêåâè÷ È.Ï., Ñâèðèä Ã.Ï. Ñáîðíèê çàäà÷ è óïðàæíåíèé ïî âûñøåé ìàòåìàòèêå (òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà). Ìèíñê, 1996.
__________________________________________________________________________________________________
Ïðèìå÷àíèå. Çíàêîì (*) îòìå÷åíû ðàáîòû, íà îñíîâå êîòîðûõ ñîñòàâëåí òåìàòè÷åñêèé îáçîð.
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
6
ÏÅÐÅ×ÅÍÜ ÓÌÅÍÈÉ
¹
ï/ï
1.
2.
Óìåíèå
Àëãîðèòìû
Ïîñòðîåíèå ïî âûáîðêå òàáëèöû ðàñïðåäåëåíèÿ, ïîëèãîíà è ãèñòîãðàììû
Âû÷èñëåíèå òî÷å÷íûõ îöåíîê ïàðàìåòðîâ
ðàñïðåäåëåíèÿ ïî
âûáîðêå
1. Óïîðÿäî÷èòü çàäàííûå çíà÷åíèÿ ïî âîçðàñòàíèþ,
ñîñ÷èòàòü èõ êîëè÷åñòâî.
2. Åñëè íàäî, ñãðóïïèðîâàòü çíà÷åíèÿ; ñîñ÷èòàòü
÷èñëî çíà÷åíèé, ïîïàâøèõ â èíòåðâàëû ðàçáèåíèÿ;
âû÷èñëèòü ýìïèðè÷åñêèå ÷àñòîòû; ñîñòàâèòü òàáëèöó ýìïèðè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.
3. Ïî òàáëèöå ýìïèðè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ íàðèñîâàòü ãèñòîãðàììó è ïîëèãîí, íàéòè ìåäèàíó.
1. Âûïèñàòü çàäàííûå çíà÷åíèÿ, îáúåì âûáîðêè è
íóæíóþ ôîðìóëó äëÿ ïîëó÷åíèÿ òî÷å÷íîé îöåíêè.
Óêàçàíèå ê øàãó:
Âû÷èñëåíèå òî÷å÷íîé îöåíêè äëÿ ñðåäíåãî ïðîèçn
âîäèòñÿ ïî ôîðìóëå: x = 1 ∑ x i – äëÿ âûáîðêè,
ni1
=
çàäàííîé âàðèàöèîííûì ðÿäîì, è
k
k
mj
1 k
x = ∑ x jm j = ∑ x j
p j – äëÿ âûáîðêè,
= ∑ x j~
n i=1
n
j=1
j=1
çàäàííîé òàáëèöåé.
Âû÷èñëåíèå ñìåùåííîé òî÷å÷íîé îöåíêè äëÿ äèñïåðñèè ïðîèçâîäèòñÿ ïî ôîðìóëå:
( )
n
n
2
S 2 = 1 ∑ (x i − x ) = 1 ∑ x 2i − x 2 – äëÿ âûáîðêè,
n i=1
n i=1
çàäàííîé âàðèàöèîííûì ðÿäîì, è ïî ôîðìóëå:
k
k
mj
mj
1 k
2
2
S2 = ∑ x 2j m j − x 2 = ∑ x 2j
− x = ∑(x j − x)
n
n
n j=1
j=1
j=1
– äëÿ âûáîðêè, çàäàííîé òàáëèöåé.
Âû÷èñëåíèå íåñìåùåííîé òî÷å÷íîé îöåíêè äëÿ
äèñïåðñèè ïðîèçâîäèòñÿ ïî ôîðìóëå:
n 2
s2 =
S
n −1
σ = S – îöåíêà äëÿ ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîãî îòêëîíåíèÿ.
2. Ñîñ÷èòàòü çíà÷åíèå îöåíêè.
2
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
7
¹
ï/ï
3.
Óìåíèå
Àëãîðèòìû
Âû÷èñëåíèå
äîâåðèòåëüíûõ
èíòåðâàëîâ äëÿ
ñðåäíåãî
1. Ñîñ÷èòàòü âûáîðî÷íîå ñðåäíåå, âûáîðî÷íîå ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå (åñëè íå èçâåñòíî èñòèííîå), âûïèñàòü íóæíóþ ôîðìóëó äîâåðèòåëüíîãî
èíòåðâàëà.
Óêàçàíèå ê øàãó (ïîëüçîâàòüñÿ òàáëèöàìè ôàéëà
ìàòåðèàëîâ):
Ôîðìóëà äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ µ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñ
óðîâíåì äîâåðèÿ β äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà èçâåñòíî ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå ðàñïðåäåëåíèÿ σ:
σ
σ ,
x − kβ
< µ < x + kβ
n
n
ãäå kβ íàõîäèòñÿ èç òàáë. 5 íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïî çàäàííîìó óðîâíþ äîâåðèÿ β.
Åñëè ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå íåèçâåñòíî,
âìåñòî σ íàäî èñïîëüçîâàòü åãî ýìïèðè÷åñêóþ îöåíêó S ñ çàìåíîé â ôîðìóëå äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà
n íà n–1 è âìåñòî çíà÷åíèé kβ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ èñïîëüçîâàòü çíà÷åíèÿ t n–1,β ðàñïðåäåëåíèÿ
Ñòüþäåíòà ñ n ñòåïåíÿìè ñâîáîäû, ñîäåðæàùèåñÿ â
Òàáëèöå 6:
S
S ,
x − t n−1,β
< µ < x + t n−1,β
n −1
n −1
ãäå tn–1,β íàõîäèòñÿ ñ ïîìîùüþ òàáë. 6. Òó æå ôîðìóëó ìîæíî âûïèñàòü ÷åðåç íåñìåùåííóþ îöåíêó s
s
s .
x − t n−1,β
< µ < x + t n−1,β
n
n
2. Ïîëüçóÿñü òàáë. 5 èëè 6 âû÷èñëèòü ãðàíèöû òðåáóåìîãî â çàäàíèè èíòåðâàëà, âûïèñàòü ïîëó÷åííûé
äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë.
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
8
¹
ï/ï
4.
5.
Óìåíèå
Àëãîðèòìû
Âû÷èñëåíèå
äîâåðèòåëüíîãî
èíòåðâàëà äëÿ
âåðîÿòíîñòè p
íàñòóïëåíèÿ
ñîáûòèÿ
À ñ ïîìîùüþ
òàáëèö
íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ
m
äëÿ p.
n
2. Íàéòè äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ p.
Óêàçàíèå ê øàãó:
Îñíîâíàÿ ôîðìóëà – ñëåäñòâèå èíòåãðàëüíîé òåîðåìû Ìóàâðà-Ëàïëàñà, èç êîòîðîé âûâîäÿòñÿ ëþáûå
ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ýìïèðè÷åñêîé ÷àñòîòîé, ãåíåðàëüíîé ÷àñòîòîé, n è âåðîÿòíîñòüþ β:
 m − np

P
< k β  = P m − np < k β ⋅ npq =
 npq

Ïðîâåðêà
ñòàòèñòè÷åñêèõ
ãèïîòåç
1. Âû÷èñëèòü îöåíêó p% =
{
}
 m
pq 
p(1 − p) 
 m
= P  − p < kβ
 = P  − p < kβ
≅
n 
n 
 n
 n
≅ Φ (k β ) = β .
Äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ p èùåòñÿ ïî ôîðìóëå:
~
~
p(1 − ~
p)
p(1 − ~
p)
~
p + kβ
p − kβ
≤ p ≤~
– âûáîðêà
n
n
ñ ïîâòîðîì,
~
~
p(1 − ~
p)
m
p(1 − ~
p)
m
~
p − kβ
1−
p + kβ
1−
≤ p≤~
n
N
n
N
– âûáîðêà áåç ïîâòîðà,
ãäå kβ = 1,96 äëÿ óðîâíÿ äîâåðèÿ 95% è
è kβ = 3 äëÿ óðîâíÿ äîâåðèÿ 99,7% (òàáë. 5).
3.  ñëó÷àå, êîãäà òðåáóåòñÿ, ïðîâåðèòü ãèïîòåçó,
ñôîðìóëèðîâàòü âûâîä èç ýêñïåðèìåíòà, ïðîâåñòè
âû÷èñëåíèÿ ñ äîâåðèòåëüíûì èíòåðâàëîì è ò.ä.
1. Âûïèñàòü èç óñëîâèÿ çàäà÷è äàííûå î âûáîðêå.
Ñîñ÷èòàòü îöåíêè äëÿ ñðåäíåãî è äèñïåðñèè.
2. Ñôîðìóëèðîâàòü ïðîâåðÿåìóþ ãèïîòåçó â âåðîÿòíîñòíûõ òåðìèíàõ. Âûïèñàòü ôîðìóëó ñòàòèñòèêè,
âû÷èñëÿåìîé ïî âûáîðêå. Âûïèñàòü ÷èñëî ñòåïåíåé
ñâîáîäû N äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñòàòèñòèêè. Ïîäñòàâèòü â ôîðìóëó ñòàòèñòèêè äàííûå âûáîðêè.
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
9
¹
ï/ï
Óìåíèå
Àëãîðèòìû
Óêàçàíèå ê øàãó:
Ïðîâåðêà ãèïîòåçû ïðîèçâîäèòñÿ íà çàäàííîì óðîâíå
çíà÷èìîñòè α. Èçó÷àþòñÿ äâà âàðèàíòà:
1) Âûáîðêà èç îäíîé ñîâîêóïíîñòè, åå ïàðàìåòð
(ñðåäíåå) ñðàâíèâàåòñÿ ñ èçâåñòíûì çíà÷åíèåì. Òî
åñòü ïðîâåðÿåòñÿ ãèïîòåçà Í0: µ = µ0.
Àëüòåðíàòèâíûìè ãèïîòåçàìè Í1 ìîãóò áûòü:
a) µ ≠ µ0
b) µ > µ0
c) µ < µ0
Ïî âûáîðêå âû÷èñëÿåòñÿ çíà÷åíèå ñòàòèñòèêè
x −µ0
.
T=
s
n
×èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû N = n – 1, ãäå n – îáúåì âûáîðêè.
2) Ñðàâíèâàþòñÿ ïàðàìåòðû äâóõ ãåíåðàëüíûõ ñîâîêóïíîñòåé. Èç îáåèõ äåëàþòñÿ âûáîðêè, ïðîâåðÿåòñÿ
ãèïîòåçà Í0: µx = µy.
Àëüòåðíàòèâíûìè ãèïîòåçàìè Í1 ìîãóò áûòü:
a) µx ≠ µy
b) µx > µy
c) µx < µy
Ïî âûáîðêå âû÷èñëÿåòñÿ çíà÷åíèå ñòàòèñòèêè:
x−y
T=
s
ãäå
s2 =
1 1
+
n m
=
x−y
2
x
nS + mS
2
y
nm( n + m − 2 ) ,
n+ m
m

n
1
2
(
x
x
)
( y i − y )2  =
−
+
i
∑
∑

n + m − 2  i=1
j=1

1
( nS 2x + mS 2y )
n+ m −2
×èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû N = n + m – 2, åñëè n – îáúåì
âûáîðêè èç Õ, à m – îáúåì âûáîðêè èç Y.
=
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
10
¹
ï/ï
Óìåíèå
Àëãîðèòìû
3. Âûïèñàòü êðèòè÷åñêóþ îáëàñòü è ñ ïîìîùüþ òàáëèö
íàéòè ãðàíèöû êðèòè÷åñêîé îáëàñòè äëÿ ñòàòèñòèêè,
ñ ïîìîùüþ êîòîðîé áóäåò ïðîâåðÿòüñÿ ãèïîòåçà.
Óêàçàíèå ê øàãó:
a) Ãèïîòåçà H0: µ1 = µ2, àëüòåðíàòèâíàÿ Í1: µ1 ≠ µ2.
Êðèòè÷åñêàÿ îáëàñòü äëÿ ïðîâåðêè ãèïîòåçû:
|T| > tN;α
(tN;α îòûñêèâàåòñÿ ïî òàáë. 6 êðèòè÷åñêèõ çíà÷åíèé
ðàñïðåäåëåíèÿ Ñòüþäåíòà, α â âåðõíåé ñòðîêå).
Åñëè âû÷èñëåííîå çíà÷åíèå íå ïîïàëî âíóòðü èíòåðâàëà [–tN;α, t N;α], òî ãèïîòåçà Í 0 íå ïðîõîäèò ïðè
óðîâíå çíà÷èìîñòè α.
b) Ãèïîòåçà H0: µ1 = µ2, àëüòåðíàòèâíàÿ Í1:µ1 > µ2.
Êðèòè÷åñêàÿ îáëàñòü äëÿ ïðîâåðêè ãèïîòåçû:
T > tN;α
(tN;α îòûñêèâàåòñÿ ïî òàáë. 6 êðèòè÷åñêèõ çíà÷åíèé
ðàñïðåäåëåíèÿ Ñòüþäåíòà, α â íèæíåé ñòðîêå).
Åñëè âû÷èñëåííîå çíà÷åíèå ïîïàëî âíóòðü èíòåðâàëà [tN;α,∞], òî ãèïîòåçà Í0 íå ïðîõîäèò ïðè óðîâíå çíà÷èìîñòè α.
c) Ãèïîòåçà H0: µ1 = µ2, àëüòåðíàòèâíàÿ Í1:µ1 < µ2.
Êðèòè÷åñêàÿ îáëàñòü äëÿ ïðîâåðêè ãèïîòåçû:
T < –t N,α
(tN,α îòûñêèâàåòñÿ ïî òàáë. 6 êðèòè÷åñêèõ çíà÷åíèé
ðàñïðåäåëåíèÿ Ñòüþäåíòà, α â íèæíåé ñòðîêå)
Åñëè âû÷èñëåííîå çíà÷åíèå ïîïàëî âíóòðü èíòåðâàëà [–∞,–tN,α], òî ãèïîòåçà Í 0 íå ïðîõîäèò ïðè
óðîâíå çíà÷èìîñòè α.
4. Ïðîâåðèòü, ïîïàëî èëè íåò â êðèòè÷åñêóþ îáëàñòü
çíà÷åíèå ñòàòèñòèêè. Ñôîðìóëèðîâàòü âûâîä, òðåáóåìûé â çàäà÷å.
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
11
ÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÎÁÇÎÐ*
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
 îñíîâå âñåõ íàó÷íûõ çíàíèé ëåæèò íàáëþäåíèå. Äëÿ îáíàðóæåíèÿ îáùåé çàêîíîìåðíîñòè, êîòîðîé ïîä÷èíÿåòñÿ ÿâëåíèå, íåîáõîäèìî ìíîãîêðàòíî åãî íàáëþäàòü â îäèíàêîâûõ óñëîâèÿõ. Íàïðèìåð, íà÷àëüíèê öåõà èçó÷àåò âîïðîñ î ïðîöåíòå áðàêà äëÿ èçäåëèé, îáðàáîòàííûõ íà íåêîòîðîì ñòàíêå. Îáñëåäóåòñÿ 100, 1000 èçäåëèé. Ñêîëüêî
äîëæíî áûòü ïðîâåäåíî íàáëþäåíèé? Êàê îáðàáîòàòü ðåçóëüòàòû íàáëþäåíèé è ñäåëàòü îáîñíîâàííûå ïðàêòè÷åñêèå âûâîäû? Èëè òàêîé
ïðèìåð. Èññëåäîâàòåëÿ èíòåðåñóåò çàâèñèìîñòü óðîæàéíîñòè îïðåäåëåííîé êóëüòóðû îò êîëè÷åñòâà âíåñåííûõ óäîáðåíèé è êà÷åñòâà îáðàáîòêè ïî÷âû. Äëÿ âûÿñíåíèÿ ýòîé çàâèñèìîñòè ñîáðàíû ñâåäåíèÿ îá
óðîæàéíîñòè, êîëè÷åñòâå âíåñåííûõ óäîáðåíèé è êà÷åñòâó îáðàáîòêè
ïî äîñòàòî÷íî áîëüøîìó ÷èñëó îäèíàêîâûõ ó÷àñòêîâ. Êàê, èñïîëüçóÿ ýòè
ñâåäåíèÿ, îöåíèòü çàâèñèìîñòü óðîæàéíîñòè îò êîëè÷åñòâà óäîáðåíèé
è óñëîâèé îáðàáîòêè ïî÷âû?  îáîèõ ïðèâåäåííûõ ïðèìåðàõ, à òàêæå è
âî ìíîãèõ äðóãèõ ÿâëåíèÿõ, ìîæíî îòìåòèòü, ÷òî, íåñìîòðÿ íà ïîñòîÿíñòâî óñëîâèé èñïûòàíèÿ, ðåçóëüòàò îïûòà íåîäíîçíà÷åí. Äåòàëè îáðàáàòûâàþòñÿ âðîäå áû îäèíàêîâî, îäíàêî îäíè èç íèõ óäîâëåòâîðÿþò
òðåáîâàíèÿì ïðèåìêè, äðóãèå – íåò. Óðîæàé, âûðàùåííûé íà “îäèíàêîâûõ” ó÷àñòêàõ, – ðàçëè÷åí, è òàê äàëåå. Ïðåäâèäåòü ðåçóëüòàò êàæäîãî
êîíêðåòíîãî îïûòà íåëüçÿ. Îäíàêî åñëè ñèñòåìàòèçèðîâàòü ðåçóëüòàòû
èçìåðåíèé, òî ìîæíî óâèäåòü â èõ èçìåíåíèè íåêîòîðóþ çàêîíîìåðíîñòü, êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòüþ. È õîòÿ ïðåäâèäåòü ðåçóëüòàò êàæäîãî êîíêðåòíîãî îïûòà íåëüçÿ, îêàçûâàåòñÿ ìîæíî ïðåäâèäåòü â ñðåäíåì ðåçóëüòàò ñåðèè èçìåðåíèé. Èçó÷åíèåì çàêîíîìåðíîñòåé ñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé, à ìû ïðèâåëè ïðèìåðû èìåííî
ñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé, çàíèìàåòñÿ òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé. Îíà ñòðîèò ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè ñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé, îñíîâûâàÿñü íà ôîðìàëüíî
ëîãè÷åñêèõ ðàññóæäåíèÿõ. Íàïðèìåð, â ðåçóëüòàòå îïûòà ìîæåò ïðîèçîéòè îäíî èç n ñîáûòèé, íè îäíî èç êîòîðûõ íå èìååò ïåðåä äðóãèìè
íèêàêîãî ïðåèìóùåñòâà (áðîñàåòñÿ ìîíåòà èëè èãðàëüíûé êóáèê). Ëîãè÷åñêè ðàññóæäàåì – èõ âåðîÿòíîñòè îäèíàêîâû. Ïîñòðîåííàÿ òåîðåòè÷åñêè ìîäåëü ïîçâîëÿåò âû÷èñëÿòü âåðîÿòíîñòè íàñòóïëåíèÿ ñëîæíûõ
ñëó÷àéíûõ ñîáûòèé, ïðåäñòàâëÿþùèõ èíòåðåñ äëÿ ïðàêòèêè. Íàïðèìåð,
êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî, èãðàÿ â ìîíåòêó, ñäåëàâ 100 ïîïûòîê, ÿ íå ïðî____________________________________________________________________________________________________
* Æèðíûì øðèôòîì âûäåëåíû íîâûå ïîíÿòèÿ, êîòîðûå íåîáõîäèìî óñâîèòü. Çíàíèå
ýòèõ ïîíÿòèé áóäåò ïðîâåðÿòüñÿ ïðè òåñòèðîâàíèè.
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
12
èãðàþ âåñü ñâîé êàïèòàë? Åñëè ãîâîðèòü êîðîòêî, òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé
ïîçâîëÿåò íàõîäèòü âåðîÿòíîñòè “ñëîæíûõ” ñîáûòèé ÷åðåç ïîñòðîåííûå òåîðåòè÷åñêè âåðîÿòíîñòè “ïðîñòûõ” ñîáûòèé. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ æå
ñòàòèñòèêà îïåðèðóåò ðåçóëüòàòàìè íàáëþäåíèé íàä ñëó÷àéíûìè ÿâëåíèÿìè äëÿ òîãî, ÷òîáû îöåíèòü èõ âåðîÿòíîñòè, ëèáî ñ ïîìîùüþ ñåðèè
îïûòîâ îñóùåñòâëÿåò ïðîâåðêó ïðåäïîëîæåíèé îòíîñèòåëüíî ýòèõ âåðîÿòíîñòåé.  ñàìîì îáùåì âèäå òî, ÷åì çàíèìàåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ
ñòàòèñòèêà, ìîæíî îïèñàòü òàê.
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà – ðàçäåë ìàòåìàòèêè, èçó÷àþùèé
ìåòîäû ñáîðà, ñèñòåìàòèçàöèè è îáðàáîòêè íàáëþäåíèé ñ öåëüþ âûÿâëåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêèõ çàêîíîìåðíîñòåé.
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà, îïèðàÿñü íà âåðîÿòíîñòíûå ìîäåëè,
â ñâîþ î÷åðåäü, âëèÿåò íà ðàçâèòèå òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà è òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé – äâå íåðàçðûâíî ñâÿçàííûå
íàóêè.
Ó èñòîêîâ ñòàòèñòè÷åñêîé íàóêè ñòîÿëè äâå øêîëû – íåìåöêàÿ îïèñàòåëüíàÿ è àíãëèéñêàÿ øêîëà ïîëèòè÷åñêèõ àðèôìåòèêîâ. Øêîëà ïîëèòè÷åñêèõ àðèôìåòèêîâ çàðîäèëàñü â XVII âåêå. Èìåííî ïðåäñòàâèòåëÿìè øêîëû ïîëèòè÷åñêèõ àðèôìåòèêîâ áûëà îñîçíàíà íåîáõîäèìîñòü
ó÷åòà â ñòàòèñòè÷åñêèõ èññëåäîâàíèÿõ òðåáîâàíèé çàêîíà áîëüøèõ ÷èñåë, ïîñêîëüêó çàêîíîìåðíîñòü ìîæåò ïðîÿâèòüñÿ ëèøü ïðè äîñòàòî÷íî
áîëüøîì îáúåìå àíàëèçèðóåìîé ñîâîêóïíîñòè. Â XIX âåêå áåëüãèéñêèé
ñòàòèñòèê Êåòëå ïîëîæèë îñíîâàíèå ó÷åíèþ î ñðåäíèõ âåëè÷èíàõ. Ñâîèì äàëüíåéøèì ðàçâèòèåì ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà îáÿçàíà Ï.Ë.×åáûøåâó, À.À.Ìàðêîâó, À.Ì.Ëÿïóíîâó, à òàêæå Ê.Ãàóññó, Ô.Ãàëüòîíó, Ê.Ïèðñîíó è äð. Ñóùåñòâåííûé âêëàä â ìàòåìàòè÷åñêóþ ñòàòèñòèêó áûë ñäåëàí â ÕÕ âåêå ñîâåòñêèìè ìàòåìàòèêàìè (Â.È.Ðîìàíîâñêèé, Å.Å.Ñëóöêèé, À.Í.Êîëìîãîðîâ, Í.Â.Ñìèðíîâ), à òàêæå àíãëèéñêèìè (Ñòüþäåíò,
Ð.Ôèøåð, Ý.Ïèðñîí) è àìåðèêàíñêèìè (Þ.Íåéìàí, À.Âàëüä) ó÷åíûìè.
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
13
1. ÂÛÁÎÐÎ×ÍÛÉ ÌÅÒÎÄ
1.1. Âûáîðêà
Èòàê, ïðîâîäèòñÿ îáñëåäîâàíèå ñîâîêóïíîñòè îáúåêòîâ îòíîñèòåëüíî íåêîòîðîãî êà÷åñòâåííîãî èëè êîëè÷åñòâåííîãî ïðèçíàêà. Íàïðèìåð,
åñëè èìååòñÿ ïàðòèÿ äåòàëåé, òî êà÷åñòâåííûì ïðèçíàêîì ìîæåò ñëóæèòü ñòàíäàðòíîñòü äåòàëè, à êîëè÷åñòâåííûì – ðàçìåð äåòàëè.
Èíîãäà ïðîâîäÿò ñïëîøíîå îáñëåäîâàíèå, òî åñòü îáñëåäóþò êàæäûé îáúåêò ñîâîêóïíîñòè. Ìåòîä ñïëîøíûõ íàáëþäåíèé – ìåòîä
ñòàòèñòè÷åñêîãî îáñëåäîâàíèÿ, ïðè êîòîðîì ïðîèçâîäèòñÿ èçìåðåíèå
âñåõ ýëåìåíòîâ ñîâîêóïíîñòè. Íî åñëè ÷èñëî îáúåêòîâ î÷åíü âåëèêî
èëè åñëè îáñëåäîâàíèå îáúåêòà òðåáóåò áîëüøèõ çàòðàò èëè ïðèâîäèò ê
åãî óíè÷òîæåíèþ, òî ïðîâîäÿò íåñïëîøíîå, âûáîðî÷íîå, îáñëåäîâàíèå. Âûáîðî÷íûé ìåòîä – ìåòîä ñòàòèñòè÷åñêîãî îáñëåäîâàíèÿ, ïðè
êîòîðîì èç ñîâîêóïíîñòè âûáèðàþò îãðàíè÷åííîå ÷èñëî îáúåêòîâ è èõ
ïîäâåðãàþò èçó÷åíèþ. Îí ïðèìåíÿåòñÿ òîãäà, êîãäà êîëè÷åñòâî îáúåêòîâ âåëèêî èëè ñïëîøíîå îáñëåäîâàíèå íåâîçìîæíî â ñèëó òîãî, ÷òî
îáñëåäîâàíèå ìîæåò ïðèâåñòè ê óíè÷òîæåíèþ îáúåêòà (íàïðèìåð, ÷òîáû óçíàòü êà÷åñòâî êîíñåðâîâ, áàíêó íàäî âñêðûòü), ò.å. êîãäà íå õîòÿò
ïðîâîäèòü ïîëíîå îáñëåäîâàíèå îáúåêòà. Ïðèìåðîì ñïëîøíîãî íàáëþäåíèÿ ÿâëÿåòñÿ èçó÷åíèå óñïåâàåìîñòè ñòóäåíòîâ àäìèíèñòðàöèåé âóçà,
ïåðåïèñü íàñåëåíèÿ, îõâàòûâàþùàÿ âñå íàñåëåíèå ñòðàíû. Âûáîðî÷íûìè íàáëþäåíèÿìè ÿâëÿþòñÿ, íàïðèìåð, ñîöèîëîãè÷åñêèå èññëåäîâàíèÿ, îõâàòûâàþùèå ÷àñòü íàñåëåíèÿ.
Âñÿ ïîäëåæàùàÿ èçó÷åíèþ ñîâîêóïíîñòü îáúåêòîâ (íàáëþäåíèé)
íàçûâàåòñÿ ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòüþ. Òà ÷àñòü îáúåêòîâ, êîòîðàÿ
îòîáðàíà äëÿ íåïîñðåäñòâåííîãî èçó÷åíèÿ èç ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè, íàçûâàåòñÿ âûáîðî÷íîé ñîâîêóïíîñòüþ èëè âûáîðêîé.
×èñëî îáúåêòîâ N ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè è ÷èñëî îáúåêòîâ n
âûáîðî÷íîé ñîâîêóïíîñòè íàçûâàþò îáúåìîì ñîîòâåòñòâåííî ãåíåðàëüíîé è âûáîðî÷íîé ñîâîêóïíîñòè.
Ïðèìåð 1.1. Èç ïàðòèè òîâàðà, ñîäåðæàùåé 10000 äåòàëåé, îòîáðàíî äëÿ îáñëåäîâàíèÿ 100 äåòàëåé. Îáúåì ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè N = 10000, à îáúåì âûáîðêè n = 100.
Åñòåñòâåííî ïðåäïîëàãàòü, ÷òî îáúåì ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè
ãîðàçäî áîëüøå, ÷åì îáúåì âûáîðêè (N>>n).
Åñëè îáúåì ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè äîñòàòî÷íî âåëèê, òî èíîãäà â öåëÿõ óïðîùåíèÿ âû÷èñëåíèé èëè äëÿ îáëåã÷åíèÿ òåîðåòè÷åñêèõ
âûâîäîâ äîïóñêàþò, ÷òî ãåíåðàëüíàÿ ñîâîêóïíîñòü ñîñòîèò èç áåñ÷èñëåííîãî ìíîæåñòâà îáúåêòîâ. Òàêîå äîïóùåíèå îïðàâäûâàåòñÿ òåì, ÷òî
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
14
óâåëè÷åíèå ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè, åñëè åå îáúåì äîñòàòî÷íî âåëèê, ïðàêòè÷åñêè íå ñêàçûâàåòñÿ íà ðåçóëüòàòàõ îáðàáîòêè äàííûõ âûáîðêè. Òàêèì îáðàçîì, ãåíåðàëüíàÿ ñîâîêóïíîñòü ìîæåò èìåòü êàê êîíå÷íûé, òàê è áåñêîíå÷íûé îáúåì. Ïðèìåðîì áåñêîíå÷íîé ñîâîêóïíîñòè ìîæåò ñëóæèòü ãèïîòåòè÷åñêàÿ ñîâîêóïíîñòü âñåõ äåòàëåé, ïðîèçâîäèìûõ çàâîäîì.  ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêå ïîíÿòèå ãåíåðàëüíîé
ñîâîêóïíîñòè òðàêòóåòñÿ, âîîáùå ãîâîðÿ, êàê ñîâîêóïíîñòü âñåõ ìûñëèìûõ íàáëþäåíèé, êîòîðûå ìîãëè áû áûòü ïðîèçâåäåíû ïðè äàííîì
ðåàëüíîì êîìïëåêñå óñëîâèé.  ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè, ñ êîòîðîé îïåðèðóåò ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà, ïîíÿòèå ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè â
îïðåäåëåííîì ñìûñëå àíàëîãè÷íî ïîíÿòèþ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (âåðîÿòíîñòíîìó ïðîñòðàíñòâó, çàêîíó ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé). Ýòî íå
òîëüêî èìåþùèåñÿ â íàëè÷íîñòè îáúåêòû, íî è âñå ãèïîòåòè÷åñêè âîçìîæíûå îáúåêòû, êîòîðûå ìîãëè áû ôóíêöèîíèðîâàòü â òîì æå êîìïëåêñå óñëîâèé. È âûáîðêà ïðîèçâîäèòñÿ èç “ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé”.
1.2. Ìåòîäû îòáîðà. Ðåïðåçåíòàòèâíîñòü âûáîðêè.
Âûáîðêà ïîâòîðíàÿ è áåñïîâòîðíàÿ
Âûáîðî÷íûé ìåòîä èññëåäîâàíèÿ ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííî âîçìîæíûì â ñëó÷àå áåñêîíå÷íîé ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè èëè â ñëó÷àå, êîãäà èññëåäîâàíèå ñâÿçàíî ñ óíè÷òîæåíèåì íàáëþäàåìûõ îáúåêòîâ. Êðîìå òîãî, îí ïîçâîëÿåò ñóùåñòâåííî ýêîíîìèòü çàòðàòû ðåñóðñîâ. Íåäîñòàòêîì åãî ÿâëÿåòñÿ ïîÿâëåíèå îøèáîê èññëåäîâàíèÿ, (èõ íàçûâàþò
îøèáêàìè ðåïðåçåíòàòèâíîñòè), êîòîðûå ñâÿçàíû ñ òåì, ÷òî èçó÷àåòñÿ òîëüêî ÷àñòü îáúåêòà. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà äàåò ðåêîìåíäàöèè, êàê îðãàíèçîâàòü èññëåäîâàíèå, ÷òîáû ñâåñòè ýòè îøèáêè ê ìèíèìóìó, è äàåò ìåòîäèêó îöåíêè ýòèõ îøèáîê.
×òîáû ïî äàííûì âûáîðêè èìåòü âîçìîæíîñòü ñóäèòü î ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè, âûáîðêà äîëæíà áûòü îòîáðàíà òàê, ÷òîáû îíà äàâàëà ïðàâèëüíîå ïðåäñòàâëåíèå î ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè.
Ïðèìåð 1.2. Äëÿ ïðîâåðêè êà÷åñòâà ïðîäóêöèè îòîáðàíà ïàðòèÿ
âòóëîê, èçãîòîâëåííàÿ ñëó÷àéíî âûáðàííûì ðàáî÷èì. Íî â öåõå ïî ïðîèçâîäñòâó âòóëîê ðàáîòàþò êâàëèôèöèðîâàííûå òîêàðè è íà÷èíàþùèå.
ßñíî, ÷òî åñëè ýòè âòóëêè èçãîòîâëåíû êâàëèôèöèðîâàííûì òîêàðåì,
òî ïðåäñòàâëåíèå î êà÷åñòâå ïðîäóêöèè, âûïóñêàåìîé âñåì öåõîì, áóäåò “çàâûøåííûì”, à åñëè èçó÷àòü âòóëêè, èçãîòîâëåííûå íà÷èíàþùèì
òîêàðåì, òî “çàíèæåííûì”.
Äëÿ òîãî, ÷òîáû âûáîðêà äàâàëà ïðåäñòàâëåíèå î ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè, íåîáõîäèìî, ÷òîáû ñîáëþäàëñÿ ïðèíöèï ðàâíîé âîçìîæíîñòè âñåì ýëåìåíòàì ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè áûòü îòîáðàííûìè â
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
15
âûáîðêó.  ïðèâåäåííîì ïðèìåðå â âûáîðêó ïîïàëè âòóëêè, èçãîòîâëåííûå òîëüêî îäíèì ðàáî÷èì, ò.å. ýòè âòóëêè ïðè îòáîðå èìåëè ïðåèìóùåñòâî è óêàçàííûé ïðèíöèï ñîáëþäåí íå áûë.
Âûáîðêà íàçûâàåòñÿ ðåïðåçåíòàòèâíîé (ïðåäñòàâèòåëüíîé –
îò àíãë. representative), åñëè îíà äîñòàòî÷íî õîðîøî âîñïðîèçâîäèò ãåíåðàëüíóþ ñîâîêóïíîñòü, ò.å. ýòî âûáîðêà, êîòîðàÿ ïðîèçâîäèòñÿ òàê,
÷òî âñå îáúåêòû ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè èìåþò îäèíàêîâóþ âåðîÿòíîñòü ïîïàñòü â âûáîðêó.
Îáåñïå÷èòü ýòî óñëîâèå ìîæíî ðàçëè÷íûìè ñðåäñòâàìè. Íàïðèìåð, îòáîð ìîæíî ïðîèçâîäèòü ïðîñòî íà îñíîâå òàáëèö ñëó÷àéíûõ ÷èñåë. Òàêèõ òàáëèö ñåé÷àñ èçäàíî ìíîãî; ðàçðàáîòàíû ïðîãðàììû äëÿ
ÝÂÌ – ãåíåðàòîðû ñëó÷àéíûõ ÷èñåë. Åñëè èçó÷àåòñÿ îáúåêò, ñîñòîÿùèé
èç ìíîãèõ ðàçíîðîäíûõ ÷àñòåé, íàïðèìåð, ìíåíèå èçáèðàòåëåé, íàäî
ïîçàáîòèòüñÿ î òîì, ÷òîáû â âûáîðêå â ñîîòâåòñòâóþùåé ïðîïîðöèè
áûëè ïðåäñòàâëåíû âñå ÷àñòè ñèñòåìû.  íåé äîëæíû áûòü ïðåäñòàâëåíû ãîðîæàíå è ñåëüñêèå æèòåëè, ìîëîäåæü è ïåíñèîíåðû, âîåííûå,
ðàáî÷èå, èíòåëëèãåíöèÿ è ò. ä. èç âñåõ ÷àñòåé ñòðàíû è â òîé æå ïðîïîðöèè, ÷òî è âî âñåé ñòðàíå.
Ê ÷åìó ìîæåò ïðèâåñòè íåñîáëþäåíèå ýòîãî ïðàâèëà ïîêàçûâàþò
ìíîãî÷èñëåííûå ñëó÷àè íåñáûâøèõñÿ ïðåäâûáîðíûõ ïðîãíîçîâ. Íàïðèìåð, â 1936 ãîäó ïåðåä ïðåçèäåíòñêèìè âûáîðàìè â ÑØÀ æóðíàë “Literary
Digest” ïðîâåë îïðîñ 10 ìèëëèîíîâ èçáèðàòåëåé è ïðåäñêàçàë, ÷òî
Ôðàíêëèí Ðóçâåëüò ïðîèãðàåò âûáîðû. Ôàìèëèè èçáèðàòåëåé áûëè âçÿòû
èç òåëåôîííûõ êíèã. Íî â 30-å ãîäû âî âðåìÿ äåïðåññèè ëþäè, èìåâøèå òåëåôîí, íå ïðåäñòàâëÿëè âñåõ èçáèðàòåëåé ÑØÀ, âûáîðêà îêàçàëàñü íå ðåïðåçåíòàòèâíîé è ïðîãíîç íå îïðàâäàëñÿ. Íà òåëåâèäåíèè
âîøëî â ìîäó ïðîâîäèòü ýêñïðåññ-îïðîñû âî âðåìÿ ïåðåäà÷è – æåëàþùèå ñîîáùèòü ñâîå ìíåíèå ìîãóò ïîçâîíèòü â ñòóäèþ è îòâåòèòü íà
âîïðîñ “äà”, “íåò” èëè “íå çíàþ”. Òàêàÿ ôîðìà îïðîñà íå äàåò ðåïðåçåíòàòèâíîé âûáîðêè. Ïðèìåðîì îðãàíèçàöèè ðåïðåçåíòàòèâíîãî îïðîñà ìîæåò ñëóæèòü, â ÷àñòíîñòè, ìåòîä îòáîðà, êîòîðûé áûë ïðèìåíåí
â Àíãëèè ïðè ïðîâåäåíèè îáñëåäîâàíèÿ ðàöèîíà ïèòàíèÿ ñðåäíåãî àíãëè÷àíèíà. Âûáîðêà èçâëåêàëàñü ìåòîäîì òðåõñòóïåí÷àòîãî îòáîðà. Íà
ïåðâîì ýòàïå áûëî îòîáðàíî 50 èçáèðàòåëüíûõ îêðóãîâ. Çàòåì èç íèõ
áûëî îòîáðàíî íåêîòîðîå êîëè÷åñòâî èçáèðàòåëüíûõ ó÷àñòêîâ. Íà òðåòüåì – íåêîòîðîå êîëè÷åñòâî ñåìåé âíóòðè ýòèõ ó÷àñòêîâ. Íà êàæäîì
ýòàïå îòáîð áûë ñòðîãî ñëó÷àéíûì.
Ñóùåñòâóþò ñïåöèàëüíûå ïðè¸ìû îòáîðà, îáåñïå÷èâàþùèå ðåïðåçåíòàòèâíîñòü âûáîðêè.
Îïèøåì ïðîñòåéøóþ ñõåìó ïîëó÷åíèÿ ðåïðåçåíòàòèâíîé âûáîðêè
èç êîíå÷íîé, íå î÷åíü áîëüøîé ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè.
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
16
Âñå îáúåêòû ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè íóìåðóþò, íîìåðà çàïèñûâàþò íà îòäåëüíûå êàðòî÷êè, êàðòî÷êè ïåðåìåøèâàþò è âûáèðàþò îäíó
íàóäà÷ó. Îáúåêò, íîìåð êîòîðîãî ñîâïàë ñ íîìåðîì íà êàðòî÷êå, ñ÷èòàåòñÿ ïîïàâøèì â âûáîðêó. Îïåðàöèþ ïîâòîðÿþò äî òåõ ïîð, ïîêà íå
íàáåðåòñÿ íóæíûé îáúåì âûáîðêè. Ïðè ýòîì, åñëè ñëó÷àéíî îòîáðàííàÿ êàðòî÷êà âîçâðàùàåòñÿ îáðàòíî â îáùóþ ñîâîêóïíîñòü è, ñëåäîâàòåëüíî, ðàç îòîáðàííûé â âûáîðêó îáúåêò ìîæåò áûòü îòîáðàí ïîâòîðíî, òî èìååò ìåñòî âûáîðêà ïîâòîðíàÿ, èëè âûáîðêà ñ âîçâðàòîì, à åñëè îòîáðàííàÿ êàðòî÷êà è, ñëåäîâàòåëüíî, îòîáðàííûé â âûáîðêó îáúåêò íàçàä íå âîçâðàùàåòñÿ, òî îñóùåñòâëÿåòñÿ âûáîðêà áåñïîâòîðíàÿ èëè âûáîðêà áåç âîçâðàòà. Âìåñòî ïåðåìåøèâàíèÿ êàðòî÷åê, ìîæíî èñïîëüçîâàòü òàáëèöû ñëó÷àéíûõ ÷èñåë. Èõ ìîæíî íàéòè â
áîëüøèíñòâå êíèã ïî ñòàòèñòèêå. Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî åñëè â âûáîðêå
ñ âîçâðàòîì èñïûòàíèÿ íåçàâèñèìû, òî â âûáîðêå áåç âîçâðàòà èñïûòàíèÿ óæå çàâèñèìû. Äëÿ äåìîíñòðàöèè ðàçíèöû ìåæäó ýòèìè ñõåìàìè ðàññìîòðèì ïðîñòåéøèé ïðèìåð.
Ïðèìåð 1.3.  óðíå n áåëûõ è m ÷åðíûõ øàðîâ. Íàóãàä âûíèìàåì
äâà øàðà. À1 – ñîáûòèå, ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî ïåðâûé øàð áåëûé, À2 –
âòîðîé øàð òîæå áåëûé.
Âûáîðêà ñ âîçâðàòîì:
Ð(À 1) = Ð(À 2) = n/(n+m), Ð(À2/À 1) = Ð(À 2) = n/(n+m).
Âûáîðêà áåç âîçâðàòà:
Ð(À 1) = n/(n+m).
Äëÿ òîãî, ÷òîáû íàéòè âåðîÿòíîñòü Ð(À2), îïðåäåëèì ñîáûòèå Â1 –
ïåðâûé âûíóòûé øàð – ÷åðíûé è âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé ïîëíîé âåðîÿòíîñòè:
P ( A2 ) = P ( A1 )P( A 2 / A1 ) + P ( B1 )P ( A 2 / B1 ) =
=
n
n −1
m
n
n
⋅
+
⋅
=
= P( A1 ) .
n + m n + m −1 n + m n + m −1 n + m
Çàìåòèì, ÷òî
P ( A 2 / A1 ) =
n −1
≠ P( A 2 ) .
n + m −1
Òàêèì îáðàçîì, äëÿ âûáîðêè ñ âîçâðàòîì âåðîÿòíîñòü âî âòîðîì
èñïûòàíèè âûòàùèòü áåëûé øàð òàêàÿ æå, êàê è â ïåðâîì èñïûòàíèè:
óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü ñîâïàäàåò ñ áåçóñëîâíîé, ñëåäîâàòåëüíî, èñïûòàíèÿ íåçàâèñèìû. Äëÿ âûáîðêè áåç âîçâðàòà âåðîÿòíîñòü âî âòîðîì
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
17
èñïûòàíèè âûòàùèòü áåëûé øàð òàêàÿ æå, êàê è â ïåðâîì èñïûòàíèè, íî
íåçàâèñèìîñòè èñïûòàíèé óæå íåò. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî åñëè n è m âåëèêè, òî çàâèñèìîñòü èñïûòàíèé ÿâëÿåòñÿ ñëàáîé. Åñëè îáúåì ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè äîñòàòî÷íî âåëèê, à âûáîðêà ñîñòàâëÿåò ëèøü íåçíà÷èòåëüíóþ ÷àñòü ýòîé ñîâîêóïíîñòè, òî ðàçëè÷èå ìåæäó ïîâòîðíîé è
áåñïîâòîðíîé âûáîðêàìè ñòèðàåòñÿ.
 äàëüíåéøåì áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî òðåáîâàíèå ðåïðåçåíòàòèâíîñòè âûáîðêè âûïîëíåíî, èñïûòàíèÿ íåçàâèñèìû è áóäåì îáñóæäàòü òîëüêî âîïðîñû îáðàáîòêè âûáîðî÷íûõ äàííûõ.
1.3. Âàðèàöèîííûé ðÿä. Ãðóïïèðîâêà.
Òàáëè÷íîå ïðåäñòàâëåíèå âûáîðêè
Ïóñòü èç ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè èçâëå÷åíà âûáîðêà îáú¸ìîì
n. Ñëó÷àéíûé âûáîð ýëåìåíòà ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê íåçàâèñèìîå íàáëþäåíèå íàä âåëè÷èíîé ξ, èìåþùåé íåêîòîðîå ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé. Åñëè òå çíà÷åíèÿ y1, y2…yn, êîòîðûå ïðèíÿëà ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ â n íàáëþäåíèÿõ, çàïèñàòü íå â ïîðÿäêå ïîëó÷åíèÿ, à â ïîðÿäêå
âîçðàñòàíèÿ, òî ïîëó÷èì óïîðÿäî÷åííóþ âûáîðêó x1,x2,…xn, íàçûâàåìóþ
âàðèàöèîííûì ðÿäîì. Íàáëþäàåìûå çíà÷åíèÿ x i íàçûâàþòñÿ âàðèàíòàìè.
Âûáîðêà è âàðèàöèîííûé ðÿä íåñóò îäíó è òó æå èíôîðìàöèþ, íî
ñ âàðèàöèîííûì ðÿäîì ëåã÷å ðàáîòàòü â ñèëó åãî óïîðÿäî÷åííîñòè.
Ðàññòîÿíèå xmax – xmin ìåæäó êðàéíèìè ÷ëåíàìè âàðèàöèîííîãî ðÿäà
íàçûâàåòñÿ ðàçìàõîì âàðèàöèîííîãî ðÿäà.
Åñëè èçó÷àåòñÿ äèñêðåòíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, òî ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøîì îáúåìå âûáîðêè â âûáîðêå áóäóò ïîâòîðÿþùèåñÿ çíà÷åíèÿ.
Äëÿ êàæäîãî ïîëó÷åííîãî çíà÷åíèÿ ìîæíî ïîäñ÷èòàòü, ñêîëüêî ðàç
îíî âñòðåòèëîñü â ðÿäå íàáëþäåíèé. Ýòè ÷èñëà íàçûâàþòñÿ ÷àñòîòîé
âàðèàíòà, èëè åãî âåñîì.  äàëüíåéøåì ÷àñòîòó âàðèàíòà xi ìû áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç mi, ãäå i – èíäåêñ âàðèàíòà.
Äàííûå íàáëþäåíèé, ñðåäè êîòîðûõ ìíîãî ïîâòîðÿþùèõñÿ. óäîáíî èçîáðàçèòü íå â âèäå ðÿäà, à â âèäå òàáëèöû (òàáë. 1.1).
Òàáëèöà 1.1
Çíà÷åíèÿ xi
x1
x2
…
õk
×àñòîòû mi
m1
m2
…
mk
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
18
Ïðèìåð 1.4. Íà òåëåôîííîé ñòàíöèè ïðîâîäèëèñü íàáëþäåíèÿ
íàä ÷èñëîì Õ íåïðàâèëüíûõ ñîåäèíåíèé â ìèíóòó. Íàáëþäåíèÿ â òå÷åíèå ÷àñà äàëè ñëåäóþùèå ðåçóëüòàòû: 3; 1; 3; 1; 4; 2; 2; 4; 0; 3; 0; 2; 2; 0;
2; 1; … 1; 1; 5. Ðàñïîëîæèâ ýòè ÷èñëà â ïîðÿäêå íåóáûâàíèÿ, ïîëó÷èì
ñëåäóþùèé ðÿä: 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 1; 1; 1; … 5; 5; 7. Çíà÷åíèÿ 0; 1; 2; …,
7, ïðèíÿòûå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé â ïðîöåññå íàáëþäåíèé, ÿâëÿþòñÿ
âàðèàíòàìè.
×èñëî â ìèí xi
0
1
2
3
4
5
7
×àñòîòû mi
8
17
16
10
6
2
1
Ó = 60
Íàçîâåì îòíîñèòåëüíîé (ýìïèðè÷åñêîé) ÷àñòîòîé çíà÷åíèÿ xi
îòíîøåíèå mi/n, ãäå mi – ÷èñëî ïîâòîðåíèÿ çíà÷åíèÿ xi (åãî ÷àñòîòà) â
âûáîðêå îáúåìà n. Îòíîñèòåëüíûå ÷àñòîòû – õàðàêòåðèñòèêà áîëåå óíèâåðñàëüíàÿ, ÷åì ïðîñòî ÷àñòîòû, òàê êàê ïîçâîëÿåò ñðàâíèâàòü âûáîðêè
ðàçíîãî îáúåìà.
Ïîñòðîèì ïî âûáîðêå òàáëèöó èç äâóõ ñòðîê, â âåðõíåé ñòðîêå êîòîðîé óêàçàíû â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ íàáëþäàåìûå çíà÷åíèÿ xi, à â
íèæíåé – ñîîòâåòñòâóþùèå èì îòíîñèòåëüíûå ÷àñòîòû.
Ýòà òàáëèöà íàçûâàåòñÿ òàáëèöåé ñòàòèñòè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ âûáîðêè (òàáë. 1.2).
Òàáëèöà 1.2
Çíà÷åíèÿ xi
x1
x2
…
õk
Îòíîñèòåëüíûå
÷àñòîòû mi/n
m1/n
m2/n
…
mk/n
Äëÿ ïðèìåðà 1.4 òàáëèöà ñòàòèñòè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ âûáîðêè
èìååò âèä:
×èñëî íåïðàâèëüíûõ
ñîåäèíåíèé â ìèí, xi
Îòíîñèòåëüíûå
÷àñòîòû, mi/n
0
1
2
3
4
5
7
8/60 17/60 16/60 10/60 6/60 2/60 1/60 Ó = 60
Åñëè èçó÷àåòñÿ âåëè÷èíà, èìåþùàÿ íåïðåðûâíîå ðàñïðåäåëåíèå
âåðîÿòíîñòåé, òî âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ çàïîëíÿþò öåëûé èíòåðâàë èëè
âñþ ÷èñëîâóþ îñü.  ýòîì ñëó÷àå, ñêîðåå âñåãî, âàðèàöèîííûé ðÿä íå
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
19
áóäåò ñîäåðæàòü ïîâòîðÿþùèõñÿ çíà÷åíèé. Òî æå ñàìîå ìîæåò èìåòü
ìåñòî, åñëè íàáëþäåíèå ïðîèçâîäèòñÿ íàä äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé, ÷èñëî âîçìîæíûõ çíà÷åíèé êîòîðîé î÷åíü âåëèêî.
Äëÿ âûáîðêè, â êîòîðîé íåò ïîâòîðÿþùèõñÿ çíà÷åíèé, òàáëèöà ñòàòèñòè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ âûáîðêè áóäåò èìåòü âèä (òàáë. 1.3).
Òàáëèöà 1.3
Çíà÷åíèÿ xi
x1
x2
…
xn
×àñòîòû mi/n
1/n
1/n
…
1/n
Òàêàÿ òàáëèöà ïðè áîëüøîì ÷èñëå íàáëþäåíèé íå ñîäåðæèò ïîëåçíîé èíôîðìàöèè.  ñëó÷àå, êîãäà âàðèàöèîííûé ðÿä ñîäåðæèò î÷åíü
ìíîãî ðàçíûõ çíà÷åíèé, ïðèáåãàþò ê ãðóïïèðîâêå äàííûõ. Îáû÷íî
ãðóïïèðîâêó ñòàðàþòñÿ ïðîâåñòè òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû çíà÷åíèÿ, ðàçëè÷èå êîòîðûõ äëÿ ïðàêòèêè íåçíà÷èìî, ïîïàëè â îäèí è òîò æå èíòåðâàë, à òå, ðàçëè÷èÿ êîòîðûõ óæå çíà÷èìû, ïîïàëè â ðàçíûå èíòåðâàëû.
Ãðóïïèðîâêà ñîñòîèò â òîì, ÷òî îáëàñòü íà îñè x, êóäà ïîïàëè
çíà÷åíèÿ x1,...,xn, ðàçáèâàþò íà èíòåðâàëû I1,...,Ik è ïîäñ÷èòûâàþò ÷àñòîòó ïîïàäàíèÿ çíà÷åíèé âåëè÷èíû â êàæäûé èíòåðâàë. Ñàìûé ïðîñòîé
ñïîñîá ãðóïïèðîâêè – îêðóãëåíèå äàííûõ: ñîõðàíèòü îäèí çíàê ïîñëå
çàïÿòîé, îêðóãëèòü äî áëèæàéøåãî öåëîãî, äî áëèæàéøåãî, êðàòíîãî
äåñÿòè è ò.ä. Êîãäà ýòà ìåòîäèêà íå ïîäõîäèò, ïðèáåãàþò ê äðóãèì ñïîñîáàì. Ïðîùå âñåãî âçÿòü èíòåðâàëû îäèíàêîâîé äëèíû. ×èñëî èíòåðâàëîâ k ñëåäóåò áðàòü íå î÷åíü áîëüøèì, ÷òîáû ïîñëå ãðóïïèðîâêè ðÿä
íå áûë ãðîìîçäêèì, è íå î÷åíü ìàëûì, ÷òîáû íå ïîòåðÿòü îñîáåííîñòè
ðàñïðåäåëåíèÿ ïðèçíàêà. Îáû÷íî áåðóò îò 6 äî 11 èíòåðâàëîâ. Ñîãëàñíî ôîðìóëå Ñåðäæåñà ðåêîìåíäóåìîå ÷èñëî èíòåðâàëîâ:
k = 1 + 3,322 lg n,
Íàïðèìåð, òàê êàê lg100 = 2, äëÿ âûáîðêè îáúåìà 100 ðåêîìåíäóåìîå ÷èñëî èíòåðâàëîâ 8. Äëÿ âûáîðêè îáúåìà 50 – 5-6 èíòåðâàëîâ.
Âåëè÷èíó èíòåðâàëà h ìîæíî âû÷èñëèòü ïî ôîðìóëå:
h=
x max − x min
,
1 + 3,322 lg n
ãäå xmax – x min ðàçíîñòü ìåæäó íàèáîëüøèì è íàèìåíüøèì çíà÷åíèåì â
âûáîðêå (åå ðàçìàõ).
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
20
Çà íà÷àëî ïåðâîãî èíòåðâàëà ðåêîìåíäóåòñÿ áðàòü âåëè÷èíó:
õíà÷ = xmin – 0,5h.
Êðîìå òîãî, íåîáõîäèìî ñëåäèòü, ÷òîáû íå áûëî èíòåðâàëîâ, â êîòîðûå ïîïàëî ìåíüøå 5 çíà÷åíèé.
Òåïåðü, ïðîñìàòðèâàÿ ðåçóëüòàòû íàáëþäåíèé, íàäî îïðåäåëèòü,
ñêîëüêî çíà÷åíèé ïðèçíàêà ïîïàëî â êàæäûé êîíêðåòíûé èíòåðâàë. Ïðè
ýòîì â èíòåðâàë âêëþ÷àþò çíà÷åíèÿ, áîëüøèå (èëè ðàâíûå) íèæíåé ãðàíèöû èíòåðâàëà è ìåíüøèå âåðõíåé ãðàíèöû. ×àñòîòû ïîïàäàíèÿ â èíòåðâàëû ìîæíî ïîäñ÷èòàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ãðàíèöû èíòåðâàëîâ
âûïèñûâàþò â ñòîëáåö. Çàòåì ïðîñìàòðèâàþò äàííûå, çàïèñàííûå â
òîì ïîðÿäêå, â êîòîðîì îíè áûëè ïîëó÷åíû. Ïðàâåå èíòåðâàëà, â êîòîðûé ïîïàëî äàííîå, ñòàâÿò òî÷êó èëè ÷åðòî÷êó. Òî÷êè è ÷åðòî÷êè óäîáíî
ñòàâèòü òàê, ÷òîáû 10 ïîïàäàíèé îáðàçîâûâàëè “êîíâåðò”, äëÿ êàæäîãî
èíòåðâàëà ïîäñ÷èòûâàåòñÿ ÷èñëî ïîëíûõ “êîíâåðòî┠è ÷èñëî òî÷åê-÷åðòî÷åê â íåïîëíîì:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Ïðèìåð 1.5. ×èñëî çíà÷åíèé, ïîïàâøèõ â i-ûé èíòåðâàë, – ÷àñòîòû mi, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ èíòåðâàëüíûìè ÷àñòîòàìè, à îòíîøåíèÿ
mi/n – èíòåðâàëüíûìè èëè îòíîñèòåëüíûìè (ýìïèðè÷åñêèìè) èíòåðâàëüíûìè ÷àñòîòàìè.
Ðåçóëüòàòû òàêîé îáðàáîòêè ðÿäà íàáëþäåíèé ìîæíî ïðåäñòàâèòü
â âèäå òàáëèöû.
×àñòîòà mi
Îòíîñèòåëüíàÿ
÷àñòîòà mi/n
6,67-6,69
2
0,010
6,69-6,71
15
0,075
…
…
200
1
Äèàìåòð …
…
…
Âñåãî
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
21
Ïðèìåð 1.6. Ïîëó÷åíû ñëåäóþùèå äàííûå î ðàñïðåäåëåíèè 100
ðàáî÷èõ öåõà ïî âûðàáîòêå â ïðîöåíòàõ ê ïðåäûäóùåìó ãîäó:
97,8; 97,0; 101,7; 132,5; …; 112,3; 104,2; 141,0; 122,1 (100 çíà÷åíèé).
xmin = 97; xmax = 141.
Ïî ôîðìóëå Ñåðäæåñà ÷èñëî èíòåðâàëîâ k = 1 + 3,322⋅2 = 8,
Äëèíà èíòåðâàëà h = (141 – 97)/8 = 6,
õíà÷ = xmin – 0,5h = 97 – 3 = 94.
Òàáëèöà âûðàáîòêè ðàáî÷èõ â ïðîöåíòàõ ê ïðåäûäóùåìó ãîäó
i – íîìåð Âûðàáîòêà
èíòåðâàëà â ïðîöåíòàõ
Êîëè÷åñòâî
ðàáî÷èõ
(÷àñòîòà)
Äîëÿ ðàáî÷èõ
Íàêîïëåííàÿ
Íàêîïëåííàÿ
(îòíîñèòåëüîòíîñèòåëüíàÿ
÷àñòîòà
íàÿ ÷àñòîòà)
÷àñòîòà
1
94-100
3
0,03
3
0,03
2
100-106
7
0,07
3+7=10
0,10
3
106-112
11
0,11
10+11=21
0,21
4
112-118
20
0,20
21+20=41
0,41
5
118-124
28
0,28
41+28=69
0,69
6
124-130
19
0,19
69+19=88
0,88
7
130-136
10
0,10
88+10=98
0,98
8
136-142
2
0,02
98+2=100
1,00
Ïðåäñòàâëåííàÿ â òàáëèöå íàêîïëåííàÿ ÷àñòîòà ïîêàçûâàåò,
ñêîëüêî íàáëþäàëîñü âàðèàíòîâ ñî çíà÷åíèåì ïðèçíàêà, ìåíüøèì õ.
Îòíîøåíèå íàêîïëåííîé ÷àñòîòû ê îáùåìó ÷èñëó íàáëþäåíèé íàçûâàåòñÿ íàêîïëåííîé îòíîñèòåëüíîé (ýìïèðè÷åñêîé) ÷àñòîòîé.
Íàêîïëåííûå ÷àñòîòû ïîçâîëÿþò ñ ïîìîùüþ òàáëèöû îòâåòèòü íà
âîïðîñû òèïà: “êàêîâà äîëÿ ðàáî÷èõ, âûðàáîòêà êîòîðûõ ïî îòíîøåíèþ
ê ïðîøëîãîäíåé ìåíüøå 100%?” (îòâåò: 0,03); èëè “êàêîâà äîëÿ òåõ, ó
êîãî âûðàáîòêà óâåëè÷èëàñü â 1,3 ðàçà (áîëüøå 130%)?” (îòâåò: 1 – 0,88
= 0,12); “÷åìó ðàâíà òàêàÿ âûðàáîòêà, ïðè êîòîðîé ó ïîëîâèíû ðàáî÷èõ
âûðàáîòêà ìåíüøå, à ó ïîëîâèíû ðàáî÷èõ áîëüøå ýòîãî çíà÷åíèÿ?” (îòâåò: ïðèìåðíî 120%).
Âàðèàöèîííûé ðÿä, ïðåäñòàâëåííûé òàáëèöåé, ïîñòðîåííîé
ñ ïîìîùüþ ïðîöåäóðû ãðóïïèðîâêè, áóäåì íàçûâàòü èíòåðâàëüíûì
(â îòëè÷èå îò äèñêðåòíîãî ðÿäà, ïîëó÷åííîãî ïî âûáîðêå èç äèñêðåòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé).
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
22
1.4. Ãðàôè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå âûáîðêè.
Ïîëèãîí, ãèñòîãðàììà, êóìóëÿòà
Äëÿ íàãëÿäíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ
ïîëüçóþòñÿ ãðàôè÷åñêèì èçîáðàæåíèåì âàðèàöèîííûõ ðÿäîâ (ïîëèãîíîì, ãèñòîãðàììîé è êóìóëÿòîé).
 ñëó÷àå äèñêðåòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ íà îñè àáñöèññ îòêëàäûâàþò îòäåëüíûå çíà÷åíèÿ ïðèçíàêà. Èç “ïðèíèìàåìûõ” çíà÷åíèé xi ïðîâîäÿò ïåðïåíäèêóëÿðû, äëèíû êîòîðûõ ïðîïîðöèîíàëüíû ÷àñòîòàì mi,
çàòåì êîíöû ñîñåäíèõ ïåðïåíäèêóëÿðîâ ñîåäèíÿþò îòðåçêàìè ïðÿìûõ.
Ýòî ïîëèãîí äëÿ äèñêðåòíûõ âàðèàöèîííûõ ðÿäîâ. Ëó÷øå â êà÷åñòâå äëèí ïåðïåíäèêóëÿðîâ áðàòü îòíîñèòåëüíûå ÷àñòîòû mi/n. Ôîðìà
ãðàôèêà ñîõðàíèòñÿ, íî ìû ïîëó÷àåì âîçìîæíîñòü ñðàâíèâàòü äâå âûáîðêè ðàçíîãî îáúåìà.
Ïðèìåð 1.7. Ïîëèãîíû ÷èñëà íåïðàâèëüíûõ ñîåäèíåíèé â ìèíóòó, ïîñòðîåííûå ïî òàáëèöàì ê ïðèìåðó 1.4.
20
20/60
15
15/60
10
10/60
5
5/60
0
1
2
3
4
5
6
7
0
1
2
3
4
5
6
7
Ãèñòîãðàììà ñòðîèòñÿ òîëüêî äëÿ èíòåðâàëüíîãî âàðèàöèîííîãî
ðÿäà (ãðóïïèðîâàííîé âûáîðêè). Íà êàæäîì èç èíòåðâàëîâ çíà÷åíèé
êàê íà îñíîâàíèè, ñòðîÿò ïðÿìîóãîëüíèê ñ âûñîòîé, ïðîïîðöèîíàëüíîé
mi. Åñëè ñåðåäèíû âåðõíèõ ñòîðîí ïðÿìîóãîëüíèêîâ ñîåäèíèòü îòðåçêàìè ïðÿìûõ, à êîíöû ýòîé ëîìàíîé åùå ñîåäèíèòü ñ ñåðåäèíàìè ñîñåäíèõ èíòåðâàëîâ, ÷àñòîòû êîòîðûõ ðàâíû 0, à äëèíà ðàâíà äëèíå ñîñåäíåãî èíòåðâàëà, òî ïîëó÷èì ïîëèãîí èíòåðâàëüíîãî ðÿäà.
Êóìóëÿòà – ãðàôèê íàêîïëåííûõ ÷àñòîò, ñãëàæåííîå ãðàôè÷åñêîå
èçîáðàæåíèå ýìïèðè÷åñêîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ.
Ïðè ïîñòðîåíèè êóìóëÿòû â òî÷êå, ñîîòâåòñòâóþùåé ïðèíèìàåìîìó çíà÷åíèþ, äëÿ äèñêðåòíîãî ðÿäà è â ïðàâîì êîíöå èíòåðâàëà äëÿ
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
23
èíòåðâàëüíîãî ðÿäà ñòðîèòñÿ ïåðïåíäèêóëÿð, âûñîòà êîòîðîãî ïðîïîðöèîíàëüíà íàêîïëåííîé ÷àñòîòå, çàòåì âåðõíèå êîíöû ïåðïåíäèêóëÿðîâ ñîåäèíÿþòñÿ ìåæäó ñîáîé ñ ïîìîùüþ ïðÿìîëèíåéíûõ îòðåçêîâ.
Ïðîùå âñåãî ïîêàçàòü íà êîíêðåòíîì ïðèìåðå, êàê ñòðîÿòñÿ ýòè
ãðàôèêè.
Ïðèìåð 1.8.
Òàáëèöà ðàñïðåäåëåíèÿ ïðîäàâöîâ ïî âûðàáîòêå
Âûðàáîòêà
ïðîäàâöîâ
Êóìóëÿòèâíàÿ Íàêîïëåííàÿ
×èñëî ïðî-  ïðîöåíòàõ
(íàêîïëåííàÿ) îòíîñèòåëüíàÿ
äàâöîâ
ê èòîãó
÷èñëåííîñòü
÷àñòîòà
80-100
100-120
120-140
140-160
160-180
Èòîãî
5
10
20
10
5
50
10
20
40
20
10
100
×èñëî ïðîäàâöîâ
×èñëî ïðîäàâöîâ
20
15
5
15(5+10)
35(15+20)
45(35+10)
50(45+5)
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
ãèñòîãðàììà
ïîëèãîí
10
5
80
100
120
140
ìîäà
16 0
18 0
Âûðàáîòêà
80
100
0,1
0,3
0,7
0,9
1
êóìóëÿòà
120 140
ìåäèàíà
160 180
Âûðàáîòêà
Íà îñè Y ìîãóò îòêëàäûâàòüñÿ íå êîëè÷åñòâà, à ïðîöåíòû, èëè ïðîöåíòû, äåëåííûå íà êîíñòàíòó, íàïðèìåð, îòíîñèòåëüíûå ÷àñòîòû. Âèä
ãðàôèêà îò ýòîãî íå èçìåíèòñÿ.
Òàê, ïîñòðîåííàÿ ãèñòîãðàììà ïîçâîëÿåò ñðàâíèâàòü äâà ðàñïðåäåëåíèÿ, èìåþùèå ðàçíûé îáúåì.
 íàøåì ïðèìåðå äëèíû èíòåðâàëîâ îäèíàêîâûå.  äàííîì ñëó÷àå ïðè ïîñòðîåíèè ãèñòîãðàììû ìîæíî èçîáðàæàòü ïðÿìîóãîëüíèêè ñ
âûñîòîé mi. Åñëè äëèíû èíòåðâàëîâ ðàçíûå, òî ïðè ïîñòðîåíèè ãèñòîãÑîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
24
Çíà÷åíèÿ ïëîòíîñòè
Íàêîïëåííûå ÷àñòîòû
êóìóëÿòà
1
0,02
0,01
ãèñòîãðàììà
ïîëèãîí
0,8
0,6
0,5
0,4
0,005
0,2
80
100
120
14 0
16 0
18 0
ìîäà
80
100 120 14 0 16 0 18 0
ìåäèàíà
ðàììû ýòî íàäî ó÷èòûâàòü. Íàïðèìåð, âñå èíòåðâàëû èìåþò äëèíó 10,
êðîìå êðàéíåãî, êîòîðûé èìååò äëèíó 50 (âåñü õâîñò îáúåäèíåí â îäèí
èíòåðâàë). Âñå ïîïàâøèå â íåãî äàííûå ìîæíî ìûñëåííî ðàçáèòü íà 5
îäèíàêîâûõ ÷àñòåé, êàæäàÿ èç êîòîðûõ ïîïàëà áû â ñâîé èíòåðâàë äëèíû 10. Ñëåäîâàòåëüíî, âûñîòà ïðÿìîóãîëüíèêà íàä ýòèì èíòåðâàëîì
äëèíû 50 äîëæíà áðàòüñÿ â 5 ðàç ìåíüøå, ÷åì åãî ÷àñòîòà m, èëè îòíîñèòåëüíàÿ ÷àñòîòà m/n. Ëó÷øå âñåãî â êà÷åñòâå âûñîòû ïðÿìîóãîëüíèêà
mi
áðàòü âåëè÷èíó
– äëèíà èíòåðâàëà. ×àñòî â òàáëèöàõ êðàéíèå
di n , ãäå di
èíòåðâàëû óêàçûâàþòñÿ â ôîðìå: “ìåíåå õ1” èëè “ñâûøå xn”.  ýòîì ñëó÷àå èõ óñëîâíî çàìåíÿþò íà èíòåðâàëû òîé æå øèðèíû, ÷òî è ñîñåäíèå.
1.5. ×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè âûáîðêè
Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè âûáîðêè.
Ìîäà. Äëÿ äèñêðåòíîãî âàðèàöèîííîãî ðÿäà ëåãêî íàõîäèòñÿ xm, â
êîòîðîì m èìååò íàèáîëüøåå çíà÷åíèå, – ýòî çíà÷åíèå, ýìïèðè÷åñêàÿ âåðîÿòíîñòü êîòîðîãî ìàêñèìàëüíà, íàçûâàåòñÿ ìîäîé. Äëÿ èíòåðâàëüíîãî ðÿäà ëåãêî íàõîäèòñÿ èíòåðâàë, ó êîòîðîãî ÷àñòîòà ìàêñèìàëüíà. Ìîäà íàõîäèòñÿ âíóòðè íåãî. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ åå çíà÷åíèÿ ïîëüçóþòñÿ ôîðìóëîé ëèíåéíîé èíòåðïîëÿöèè. Íà íàøèõ ãèñòîãðàììàõ ïîêàçàíî, êàê îíà èùåòñÿ ãðàôè÷åñêè. Íà ãèñòîãðàììå èç ïðèìåðà 1.8 âûðàáîòêè ïðîäàâöîâ ìîäà ðàâíà 130.
Ìåäèàíà. Íà ãðàôèêå êóìóëÿòû, èëè ñãëàæåííîé ýìïèðè÷åñêîé
ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ, ïîêàçàíà ýìïèðè÷åñêàÿ ìåäèàíà. Ìåäèàíà
– âàæíàÿ õàðàêòåðèñòèêà ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé – ýòî ñåðåäèíà
ðàñïðåäåëåíèÿ, ò.å. òàêàÿ òî÷êà, ÷òî ïîëîâèíà ïðèíèìàåìûõ çíà÷åíèé
ëåæèò ñëåâà îò íåå, à ïîëîâèíà ñïðàâà. Äëÿ äèñêðåòíîãî âàðèàöèîííîãî ðÿäà ìåäèàíà d èùåòñÿ ïî ôîðìóëå:
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
25
xn + xn 1
+
2
 2
, åñëè n ÷åòíî

d=
2
 x n+1 , åñëè n íå÷åòíî
 2
Äëÿ ãðóïïèðîâàííîé âûáîðêè ìåäèàíà – ýòî òî÷êà, â êîòîðîé
ïëîùàäü ãèñòîãðàììû äåëèòñÿ ïîïîëàì (â ïðèìåðå 1.7 – ýòî òàêàÿ âûðàáîòêà, êîãäà ó 25 ïðîäàâöîâ âûðàáîòêà ìåíüøå ýòîãî ÷èñëà, à ó 25 –
áîëüøå. Èç ñîîáðàæåíèé ñèììåòðèè âèäíî, ÷òî òàêèì çíà÷åíèåì ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî 130). Åñëè ìåäèàíà ëåæèò ïðàêòè÷åñêè â öåíòðå îáëàñòè
ïðèíèìàåìûõ çíà÷åíèé, òî ýòî óêàçûâàåò íà òî, ÷òî ó âûáîðêè íåò ñèëüíîãî ïåðåêîñà âïðàâî èëè âëåâî, îíà ïðèìåðíî ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî ìåäèàíû. Ñäâèã ìåäèàíû âëåâî (âïðàâî) îò öåíòðà îáëàñòè ïðèíèìàåìûõ çíà÷åíèé îçíà÷àåò áîëüøèé “âåðîÿòíîñòíûé” óäåëüíûé âåñ
ëåâîé èëè, ñîîòâåòñòâåííî, ïðàâîé ïîëîâèíû ïðèíèìàåìûõ çíà÷åíèé
(ðèñ. 1.1).
Ìåäèàíà
Öåíòð îáë. Ìåäèàíà
Öåíòð îáë.
Öåíòð îáë.
Ìåäèàíà
Ðèñ. 1.1
Ñóùåñòâóþò è äðóãèå ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè âûáîðêè. Äëÿ èõ
âû÷èñëåíèÿ èíòåðâàëüíóþ òàáëèöó âûáîðêè çàìåíÿþò íà äèñêðåòíóþ
(òàáë. 1.4).  êà÷åñòâå ïðèíèìàåìûõ çíà÷åíèé óêàçûâàþò ñåðåäèíû èíòåðâàëîâ ãðóïïèðîâêè.
 äàëüíåéøåì áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî è ïî äèñêðåòíîé è ïî èíòåðâàëüíîé âûáîðêå çàäàíà òàáëèöà ÷àñòîò (òàáë. 1.1) èëè òàáëèöà îòíîñèòåëüíûõ ÷àñòîò – ò.å. òàáëèöà ýìïèðè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ âûáîðêè (òàáë.
1.2).
 òàáëèöå 1.5 ïðèâåäåíû ôîðìóëû, ïî êîòîðûì â çàâèñèìîñòè îò
îïèñàíèÿ äàííûõ âûáîðêè âû÷èñëÿþòñÿ ñðåäíåå çíà÷åíèå è ðàçáðîñ
âûáîðêè.
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
26
Òàáëèöà 1.4
Òàáëèöà ðàñïðåäåëåíèÿ ïðîäàâöîâ ïî âûðàáîòêå
(äèñêðåòíûé âàðèàíò)
Ïëîòíîñòü
Íàêîïëåííàÿ ÷àñòîòà
âåðîÿòíîñòè (ýìïèðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ)
0,005
0,1
0,01
0,3 = (0,1 + 0,2)
xi
mi
mi / n
90
5
0,1
110
10
0,2
130
20
0,4
0,02
0,7 = (0,3 + 0,4)
150
10
0,2
0,01
0,9 = (0,7 + 0,2)
170
5
0,1
0,005
1 = (0,9 + 0,1)
n
50
Òàáëèöà 1.5
Ñðåäíåå çíà÷åíèå
âûáîðêè x
Âàðèàöèîííûé
ðÿä çàäàí ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ
Çàäàíà òàáëèöà ÷àñòîò âàðèàöèîííîãî
ðÿäà
1 n
∑ xi
n i=1
1 k
∑ x jm j
n i=1
Äèñïåðñèÿ (ðàçáðîñ)
âûáîðêè S2
1 n
∑ (x i − x ) =
n i=1
1 n 2
2
= ∑ xi − x
n i=1
k
∑x
j =1
k
2
1
2
2
∑xj mj − x =
n j=1
=
Çàäàíà òàáëèöà
îòíîñèòåëüíûõ
÷àñòîò âàðèàöèîííîãî ðÿäà
1 k
2
∑ (x j − x ) m i
n j=1
k
∑x
j=1
2
j
j
mj
n
mj
n
2
−x =
k
= ∑(x j − x)
j=1
2
mj
n
Ïðèìåð 1.9. Ïî âûáîðêå 4, 6, 7, 7, 10, 15, 18 (n = 7) íàéòè x è S2.
x = (4 + 6 + 7 + 7 + 10 + 15 + 18)/7 = 9,57.
S2 = 1/7(16 + 36 + 49 + 49 + 100 + 225 + 324) – (9,57)2 = 114,14 –
– 91,58 = 22,56
Ïðèìåð 1.10. Íàéòè x è S2 ïî òàáëèöå âûáîðêè:
Âàðèàíòû xi
2
6
12
×àñòîòû mi
3
10
7
n = 20
x = (2⋅3 + 6⋅10 + 12⋅7)/20 = 7,5
S2 = 1/20(4⋅3 + 36⋅10 + 144⋅7) – (7,5)2 = (1/20) ⋅1380 – 56,25 =
= 69 – 56,25 = 12,75
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
27
Ïðèìåð 1.11. Íàéòè x è S 2 ïî òàáëèöå âûáîðêè:
Âàðèàíòû xi
2
6
12
×àñòîòû mi/n
0,15
0,5
0,35
1
x = 2⋅0,15 + 6⋅0,5 + 12⋅0,35 = 7,5
S2 = (4⋅0,15 + 36⋅0,5 + 144⋅0,35) – (7,5)2 = 69 – 56,25 = 12,75
(ëåãêî âèäåòü, ÷òî ïðèìåðû 1.2 è 1.3 çàäàþò îäíó è òó æå âûáîðêó, íî â
ïðèìåðå 1.2 îíà çàäàíà òàáëèöåé ÷àñòîò, à â ïðèìåðå 1.3 – òàáëèöåé
îòíîñèòåëüíûõ ÷àñòîò:
0,15 = 3/20; 0,5 = 10/20; 0,35 = 7/20)
1.6. Ñâÿçü ìåæäó ñòàòèñòè÷åñêèì ðàñïðåäåëåíèåì âûáîðêè
è èçó÷àåìûì ðàñïðåäåëåíèåì âåðîÿòíîñòåé
Ïîëó÷èâ âûáîðêó è îïèñàâ åå, ìû õîòèì ýòî îïèñàíèå ðàñïðîñòðàíèòü íà âñþ ãåíåðàëüíóþ ñîâîêóïíîñòü. À ãåíåðàëüíàÿ ñîâîêóïíîñòü –
ýòî íåêîòîðîå ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé. È íàøà çàäà÷à çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òîáû ïî ïîëó÷åííîìó ýêñïåðèìåíòàëüíîìó ìàòåðèàëó ñäåëàòü âûâîäû î âèäå ðàñïðåäåëåíèÿ èëè, åñëè åñòü êàêèå-òî òåîðåòè÷åñêèå ïðåäïîñûëêè î âèäå ðàñïðåäåëåíèÿ, ïîëó÷èòü îöåíêè çíà÷åíèé
åãî ÷èñëîâûõ ïàðàìåòðî⠖ íàïðèìåð, åñëè âûáîðêà ñäåëàíà èç íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, îöåíèòü ñ ïîìîùüþ âûáîðêè åãî ïàðàìåòðû,
èëè îöåíèòü ñ ïîìîùüþ âûáîðêè ïàðàìåòð ïóàññîíîâñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîíÿòü, ÷òî íàì äàåò âûáîðêà äëÿ ðåøåíèÿ ýòîé
çàäà÷è, ïðåäñòàâèì ñåáå óðíó, â êîòîðîé ëåæàò n øàðîâ. Íà m1 èç íèõ
íàïèñàíî ÷èñëî õ 1, íà m2 øàðàõ íàïèñàíî ÷èñëî õ2 è ò.ä., íà mk øàðàõ –
÷èñëî õk. Ýòà óðíà è åñòü íàøà âûáîðêà. Ñîãëàñíî êëàññè÷åñêîìó îïðåäåëåíèþ âåðîÿòíîñòåé ìîæíî ãîâîðèòü î ðàñïðåäåëåíèè âåðîÿòíîñòåé ýòîé óðíû – âåðîÿòíîñòü äîñòàòü èç íåå ÷èñëî xi ðàâíà mi/n. Çàìåòèì, ÷òî òàáëèöà ñòàòèñòè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ âûáîðêè îïèñûâàåò
çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, äëÿ êîòîðîãî
âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû – âàðèàíòû âûáîðêè xi, à ñîîòâåòñòâóþùèå èì âåðîÿòíîñòè – èõ îòíîñèòåëüíûå ÷àñòîòû mi/n.
Ñëåäîâàòåëüíî, òàáëèöà ñòàòèñòè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ âûáîðêè
– ýòî òàáëèöà ðàñïðåäåëåíèÿ âûáîðêè, ïîñòðîåííîãî ïî êëàññè÷åñêîé
ñõåìå. Ýòè ñîîáðàæåíèÿ è ïîñëóæèëè îñíîâàíèåì äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîñòðîåííóþ ïî âûáîðêå òàáëèöó çíà÷åíèé è èõ îòíîñèòåëüíûõ ÷àñòîò íàçâàòü òàáëèöåé ñòàòèñòè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ âûáîðêè.
Îáîçíà÷èì:
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
28
m
~
pi = i
n
k
 ñèëó òîãî, ÷òî
∑m
i=1
= n , âûïîëíÿåòñÿ è:
i
k
∑ ~p
i=1
i
=1
(ïðè îêðóãëåíèè ýòèõ çíà÷åíèé, íåèçáåæíîì ïðè ïåðåâîäå èõ â äåñÿòè÷íóþ äðîáü, ñëåäóåò ïîáåñïîêîèòüñÿ, ÷òîáû ýòî ïðàâèëî âûïîëíÿëîñü è ïîñëå îêðóãëåíèÿ).  ýòèõ îáîçíà÷åíèÿõ òàáëèöà ñòàòèñòè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ âûáîðêè èìååò âèä (òàáë. 1.6):
Òàáëèöà 1.6
Ýìïèðè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå (ðàñïðåäåëåíèå âûáîðêè)
Çíà÷åíèÿ xi
x1
x2
…
xk
×àñòîòû ~
pi
~
p1
~
p2
…
~
pk
1.6.1. Ïîëèãîí è ìíîãîóãîëüíèê ðàñïðåäåëåíèÿ
Åñëè íàáëþäåíèÿ ïðîèçâîäÿòñÿ íàä äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé, òî ó êàæäîãî çíà÷åíèÿ xi åñòü òåîðåòè÷åñêàÿ âåðîÿòíîñòü åãî
ïîÿâëåíèÿ â ïðîöåññå íàáëþäåíèÿ. Îáîçíà÷èì åå ÷åðåç pi. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â íàøåì ýêñïåðèìåíòå èññëåäóåòñÿ äèñêðåòíîå ðàñïðåäåëåíèå, òàáëèöà ðàñïðåäåëåíèÿ êîòîðîãî èìååò âèä (òàáë. 1.7):
Òàáëèöà 1.7
Ãåíåðàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå
Çíà÷åíèÿ x i
x1
x2
…
xk
×àñòîòû pi
ð1
ð2
…
ðk
Òàêèì îáðàçîì, ìû õîòèì âìåñòî ðàñïðåäåëåíèÿ, çàäàâàåìîãî
òàáë. 1.7, íà ïðàêòèêå ïîëüçîâàòüñÿ ðàñïðåäåëåíèåì, çàäàâàåìûì òàáë.
1.6. Òàê ÷òî âñòàåò âîïðîñ îá îöåíêå áëèçîñòè ýòèõ ðàñïðåäåëåíèé.
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
29
Çíà÷åíèå ~
p i ÿâëÿåòñÿ âûáîðî÷íûì àíàëîãîì (îí âû÷èñëÿåòñÿ ïî
âûáîðêå) âåðîÿòíîñòè pi ïîÿâëåíèÿ çíà÷åíèÿ xi.  ñèëó òåîðåìû Áåðíóëëè, âû÷èñëÿåìàÿ ïî âûáîðêå îòíîñèòåëüíàÿ ÷àñòîòà ~
p i îáëàäàåò ñâîéñòâîì ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè è ñòðåìèòñÿ ïî âåðîÿòíîñòè ê âåðîÿòíîñòè pi. Ïîÿñíèì êîðîòêî, ÷òî îçíà÷àåò òåðìèí “ñõîäèòñÿ ïî âåðîÿòíîñòè”.  êóðñå àíàëèçà èçó÷àåòñÿ ïîíÿòèå ñõîäèìîñòè. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {a n} íàçûâàåòñÿ ñõîäÿùåéñÿ ê a ïðè n, ñòðåìÿùåìñÿ ê
áåñêîíå÷íîñòè, åñëè çà ñ÷åò ðîñòà n ìîæíî äîáèòüñÿ, ÷òîáû ðàçíîñòü
|an – a| ñòàëà êàê óãîäíî ìàëà. Ñõîäèìîñòü ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ïî
âåðîÿòíîñòè ê íåêîòîðîìó çíà÷åíèþ îçíà÷àåò, ÷òî, íåñìîòðÿ íà
óâåëè÷åíèå ÷èñëà èñïûòàíèé n, ìîãóò âñòðåòèòüñÿ çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé
âåëè÷èíû, äîâîëüíî ñèëüíî îòëè÷àþùèåñÿ îò ïðåäåëüíîãî çíà÷åíèÿ,
íî ïðîöåíò òàêèõ èñïûòàíèé áóäåò ñ ðîñòîì n óìåíüøàòüñÿ (âåðîÿòíîñòü îòêëîíåíèÿ îò ïðåäåëà ñòðåìèòñÿ ê 0). Ñõîäèìîñòü ~
p i ïî âåðîÿòíîñòè ê pi îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî ε > 0, íåñìîòðÿ íà ðîñò n, áóäóò âñòðå÷àòüñÿ âûáîðêè, äëÿ êîòîðûõ íàðóøàåòñÿ ñîîòíîøåíèå | ~
pi − p i |< ε , íî ñ
ðîñòîì ÷èñëà èñïûòàíèé n âåðîÿòíîñòü (äîëÿ èëè ïðîöåíò òàêèõ âûáîðîê ñðåäè ìíîæåñòâà âñåõ âîçìîæíûõ âûáîðîê) ñòðåìèòñÿ ê íóëþ.
Ïîëèãîí, ïîñòðîåííûé ïî îòíîñèòåëüíûì ÷àñòîòàì, – ýòî ïðîñòî
ñòàòèñòè÷åñêèé (ýìïèðè÷åñêèé) ìíîãîóãîëüíèê ãåíåðàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.  ñèëó òåîðåìû Áåðíóëëè ïðè n, ñòðåìÿùåìñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè, îí ñõîäèòñÿ ïî âåðîÿòíîñòè ê ìíîãîóãîëüíèêó ãåíåðàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.
1.6.2. Ãèñòîãðàììà è ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè
 ñëó÷àå ãðóïïèðîâêè äàííûõ, åñëè n óâåëè÷èâàòü è äëèíû èíòåðâàëîâ ãðóïïèðîâêè óìåíüøàòü, òî ãèñòîãðàììà è ïîëèãîí íåîãðàíè÷åííî ïðèáëèæàþòñÿ (â êàæäîé òî÷êå ñõîäÿòñÿ ïî âåðîÿòíîñòè) ê êðèâîé ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.
Äåéñòâèòåëüíî, ïðè ïîñòðîåíèè ãèñòîãðàììû áóäåì ñòðîèòü ïðÿìîóãîëüíèêè ñ âûñîòîé m i/d in, ãäå di – äëèíà èíòåðâàëà Ii. Âñïîìíèì,
÷òî äëÿ íåïðåðûâíî ðàñïðåäåëåííîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ âåðîÿòíîñòü ïîïàñòü â èíòåðâàë (à,b) âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå:
b
P {a < ξ < b} = ∫ f (x)dx,
a
ãäå f(x) – ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé âåëè÷èíû ξ. Ñëåäîâàòåëüíî, âåðîÿòíîñòü ïîïàñòü â èíòåðâàë [x,x+∆x) âûðàæàåòñÿ ÷åðåç ïëîòíîñòü f(x), åñëè äëèíà èíòåðâàëà ∆x ìàëà, ñëåäóþùèì îáðàçîì:
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
30
P {x ≤ ξ < x + ∆ x} ≈ f (x) ∆ x.
Èç ýòîé ôîðìóëû âèäíî, ÷òî ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè – ýòî âåðîÿòíîñòü, “ïðèõîäÿùàÿñÿ â äàííîé òî÷êå íà åäèíèöó èçìåðåíèÿ”. Åñëè ýìïèðè÷åñêàÿ âåðîÿòíîñòü ïîïàñòü â i-ûé èíòåðâàë ðàâíà mi/n, à di – ýòî
äëèíà i-îãî èíòåðâàëà, òî ýìïèðè÷åñêàÿ âåðîÿòíîñòü, ïðèõîäÿùàÿñÿ íà
åäèíèöó èçìåðåíèÿ, ðàâíà mi/din. Åñëè ñòðîèòü ïðÿìîóãîëüíèêè ñ òàêèìè âûñîòàìè, òî ñóììàðíàÿ ïëîùàäü âñåõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ ðàâíà 1.
Òàê, ïîñòðîåííàÿ ãèñòîãðàììà èçîáðàæàåò ýìïèðè÷åñêóþ ïëîòíîñòü. Ïðè
n, ñòðåìÿùåìñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè, îíà â êàæäîé òî÷êå ñõîäèòñÿ ïî âåðîÿòíîñòè ê òåîðåòè÷åñêîé ïëîòíîñòè.
m3
n∆x
Ãèñòîãðàììà
m
n∆x
Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ
Ïîëèãîí
m2
n∆x
m1
n∆x
X1
X2
Ìîäà
Xn
Ðèñ. 1.2
Ïî âèäó ïîñòðîåííîé íàìè ãèñòîãðàììû (ðèñ. 1.2) ìîæíî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî îíà ïîñòðîåíà ïî âûáîðêå èç íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.
Ïðèâåäåííàÿ íèæå ãèñòîãðàììà äàåò îñíîâàíèå ïîëàãàòü, ÷òî âûáîðêà ïîëó÷åíà èç ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ (ðèñ. 1.3).
Ðèñ. 1.3
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
31
Íà ðèñ. 1.4 ïðèâåäåíà åùå îäíà ãèñòîãðàììà – íå èç íîðìàëüíîãî
è íå èç ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Ïî åå âèäó ìîæíî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî âûáîðêà ñäåëàíà èç ïîêàçàòåëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.
Ðèñ. 1.4
Ýòè ïðèìåðû äåìîíñòðèðóþò, êàê ïî ãèñòîãðàììå, ïîñòðîåííîé
ïî âûáîðêå, ìîæíî ïðèìåðíî îöåíèòü òèï ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé.  äàëüíåéøåì ìû íàó÷èìñÿ áîëåå òî÷íî ðåøàòü çàäà÷ó ïðîâåðêè
ïî âûáîðêå ãèïîòåçû î ãåíåðàëüíîì ðàñïðåäåëåíèè.
1.6.3. Êóìóëÿòà, ýìïèðè÷åñêàÿ è òåîðåòè÷åñêàÿ ôóíêöèè
ðàñïðåäåëåíèÿ
Ïî âûáîðî÷íûì äàííûì ìîæíî âû÷èñëèòü ýìïèðè÷åñêóþ âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ (ξ < x) äëÿ ëþáîãî x (îíà ðàâíà ν(x)/n, ãäå ν(x) – ÷èñëî
âàðèàíò, ìåíüøèõ x) – ò.å. íàéòè ýìïèðè÷åñêóþ ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ. Ââåäåííûå íàìè ðàíåå “íàêîïëåííûå ÷àñòîòû” – ýòî è åñòü çíà÷å1
0,5
x1
x2
ìåäèàíà
xn
Ðèñ. 1.5
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
32
íèÿ ýìïèðè÷åñêîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ â êîíöàõ èíòåðâàëîâ ãðóïïèðîâêè, êóìóëÿòà – åå ñãëàæåííîå ãðàôè÷åñêîå èçîáðàæåíèå.
Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî êóìóëÿòà â êàæäîé òî÷êå ñõîäèòñÿ ïî âåðîÿòíîñòè ê òåîðåòè÷åñêîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ.
Îñòàåòñÿ äîáàâèòü, ÷òî âñëåäñòâèå òîé æå òåîðåìû Áåðíóëëè ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ýìïèðè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ (ìàòåìàòè÷åñêîå
îæèäàíèå, äèñïåðñèÿ, ìîäà, ìåäèàíà è ìíîãèå äðóãèå) â øèðîêîì êëàññå ñëó÷àåâ òàêæå ñõîäÿòñÿ ïî âåðîÿòíîñòè ê ñîîòâåòñòâóþùèì õàðàêòåðèñòèêàì ãåíåðàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.
Òàêèì îáðàçîì, òåîðåìà Áåðíóëëè äàåò òåîðåòè÷åñêîå îáîñíîâàíèå äëÿ îñíîâíîé ðåêîìåíäàöèè, êîòîðóþ ïðåäëàãàåò ìàòåìàòè÷åñêàÿ
ñòàòèñòèêà, – íàäî ñîñòàâèòü îïèñàíèå âûáîðêè, âû÷èñëèòü åå ïàðàìåòðû è ïðèïèñàòü ñâîéñòâà âûáîðêè âñåé ñîâîêóïíîñòè, à ïàðàìåòðàìè, âû÷èñëåííûìè ïî âûáîðêå, îöåíèòü ïàðàìåòðû âñåé ãåíåðàëüíîé
ñîâîêóïíîñòè. Ïðè áîëüøîì îáúåìå âûáîðêè îøèáêà áóäåò íåáîëüøîé.
 ñèëó òîãî, ÷òî èçó÷àåòñÿ îáúåêò, â ïðèðîäó êîòîðîãî çàëîæåí ýëåìåíò
ñëó÷àéíîñòè, âñå îöåíêè, âû÷èñëÿåìûå ïî âûáîðêå, ÿâëÿþòñÿ ñëó÷àéíûìè çíà÷åíèÿìè. Äâå ðàçíûå âûáîðêè, ïîëó÷åííûå èç îäíîé è òîé æå
ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè, äàäóò ðàçíûå ñòàòèñòè÷åñêèå òàáëèöû, áóäóò èìåòü ðàçíûå ñðåäíèå çíà÷åíèÿ, ðàçíûå äèñïåðñèè è ò.ä. È õîòÿ
âîçìîæíû âûáîðêè, êîòîðûå íà ñàìîì äåëå äàþò ñóùåñòâåííîå îòëè÷èå îò òåîðåòè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, ñ ðîñòîì îáúåìà âûáîðêè ïðîöåíò òàêèõ “ïëîõèõ” âûáîðîê ñòðåìèòñÿ ê íóëþ. Êðîìå òåîðåòè÷åñêîãî
îáîñíîâàíèÿ, ÷òî òàêîé ïîäõîä âîçìîæåí, íåîáõîäèìî ïîëó÷èòü ïðåäñòàâëåíèå î òî÷íîñòè è íàäåæíîñòè ýìïèðè÷åñêîé îöåíêè. Ýòî è áóäåò
ïðåäìåòîì íàøåãî ðàññìîòðåíèÿ.
Òàêèì îáðàçîì, ïåðâàÿ çàäà÷à, êîòîðóþ ìû áóäåì ðåøàòü, – ýòî
çàäà÷à ïîñòðîåíèÿ îöåíîê äëÿ ïàðàìåòðîâ ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè
ïî äàííûì âûáîðêè è èçó÷åíèå èõ òî÷íîñòè è íàäåæíîñòè. Òî åñòü ìû
ñ÷èòàåì, ÷òî èçâåñòåí âèä òåîðåòè÷åñêîãî (ãåíåðàëüíîãî) ðàñïðåäåëåíèÿ, íî íå èçâåñòíû è ïîäëåæàò îöåíêå ïàðàìåòðû ýòîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Òàê, íàïðèìåð, äëÿ áèíîìèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïî ðåçóëüòàòàì
n ðàç ïðîâåäåííîãî ýêñïåðèìåíòà íàäî îöåíèòü çíà÷åíèå p. Èëè èçâåñòíî, ÷òî èíòåðåñóþùàÿ íàñ âåëè÷èíà ðàñïðåäåëåíà íîðìàëüíî, íàä
íåé n ðàç ïðîâîäÿòñÿ èñïûòàíèÿ; ïî ðåçóëüòàòàì èñïûòàíèé íàäî ïîñòðîèòü îöåíêè äëÿ åå ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ è ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîãî îòêëîíåíèÿ (èëè äèñïåðñèè). Âñïîìíèì, ÷òî íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå öåëèêîì îïðåäåëÿåòñÿ äâóìÿ ïàðàìåòðàìè – ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì è äèñïåðñèåé. Íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ÿâëÿåòñÿ
îäíèì èç ñàìûõ ðàñïðîñòðàíåííûõ ðàñïðåäåëåíèé âåðîÿòíîñòè. Ñëåäîâàòåëüíî, äàííàÿ çàäà÷à îõâàòûâàåò î÷åíü áîëüøîé êðóã ïðèëîæåíèé.
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
33
Ýòà æå ìåòîäèêà ïîçâîëèò ðåøèòü è çàäà÷ó ñðàâíåíèÿ 2-õ âûáîðîê. Íàïðèìåð, ñäåëàòü âûâîä î ñîâïàäåíèè èëè ðàçëè÷èè ñðåäíèõ çíà÷åíèé
èõ ðàñïðåäåëåíèé. Ýòó çàäà÷ó íàäî ðåøèòü, íàïðèìåð, â òàêèõ ñèòóàöèÿõ, êàê: “âíåñåíû èñïðàâëåíèÿ â ñòàòüþ çàêîíà, ïîâëèÿëî ëè ýòî íà ñðåäíåå êîëè÷åñòâî ïðåñòóïëåíèé ïî ýòîé ñòàòüå?”, èëè “èçìåíèëñÿ ðåæèì
ðàáîòû, ïîâëèÿëî ëè ýòî íà ïðîèçâîäèòåëüíîñòü òðóäà?” è ò. ä.
2. ÏÎÑÒÐÎÅÍÈÅ ÒÎ×Å×ÍÛÕ ÎÖÅÍÎÊ
ÄËß ÏÀÐÀÌÅÒÐÎÂ ÐÀÑÏÐÅÄÅËÅÍÈß
2.1. Ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé, çàâèñÿùèå îò ïàðàìåòðà
Èòàê, ïðåäïîëîæèì, ÷òî çàðàíåå èçâåñòåí âèä òåîðåòè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ èíòåðåñóþùåãî íàñ ïðèçíàêà ξ F(x,Θ), ãäå Θ – ïàðàìåòð
ðàñïðåäåëåíèÿ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â íåïðåðûâíîì ñëó÷àå âûáîðêà ïðîèçâîäèòñÿ èç ðàñïðåäåëåíèÿ, äëÿ êîòîðîãî çàäàíà ïëîòíîñòü f(x,Θ) (íåïðåðûâíàÿ ìîäåëü), à â äèñêðåòíîì ñëó÷àå – âåðîÿòíîñòè P{ξ=xi} =
f(xi,Θ), êîãäà êîëè÷åñòâî ïðèíèìàåìûõ çíà÷åíèé xi êîíå÷íî èëè ñ÷åòíî
(äèñêðåòíàÿ ìîäåëü). Çíà÷åíèå ïàðàìåòðà Θ (èëè, åñëè ðàñïðåäåëåíèå çàâèñèò îò íåñêîëüêèõ ïàðàìåòðîâ, çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ) ýòîãî
ðàñïðåäåëåíèÿ íå èçâåñòíî, è äîëæíà áûòü íàéäåíà ïî äàííûì âûáîðêè îöåíêà äëÿ íåãî (èëè äëÿ íèõ).
Ïðè ðàáîòå ñ âûáîðî÷íûìè äàííûìè ìû áóäåì ñòðîèòü ôóíêöèè,
çàâèñÿùèå îò âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé x1,...,xn. Ëþáóþ ôóíêöèþ Θn(x1,...,xn),
çàâèñÿùóþ îò âûáîðêè è ïîýòîìó ÿâëÿþùóþñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé,
ïðèíÿòî íàçûâàòü ñòàòèñòèêîé.
Åñëè â êà÷åñòâå îöåíêè ïàðàìåòðà ïðåäëàãàåòñÿ ÷èñëî – òî÷êà íà
êîîðäèíàòíîé îñè, òî îöåíêà íàçûâàåòñÿ òî÷å÷íîé.
2.2. Ìåòîä ìîìåíòîâ
Î÷åíü ÷àñòî ïàðàìåòðû ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé ÿâëÿþòñÿ
ìîìåíòàìè ðàñïðåäåëåíèÿ (èëè ôóíêöèÿìè îò íèõ). Ìîìåíòû ÿâëÿþòÒàáëèöà 2.1
Íà÷àëüíûé ìîìåíò
ïîðÿäêà l
Öåíòðàëüíûé ìîìåíò
ïîðÿäêà l
Äèñêðåòíîå
ðàñïðåäåëåíèå
l
al = ∑ x i p i
b l = ∑ (x i − a1 ) p i
l
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
34
Íåïðåðûâíîå
ðàñïðåäåëåíèå
l
a l = ∫ x f (x )dx
b l = ∫ (x − a1 ) f (x )dx
l
ñÿ âàæíûìè âåðîÿòíîñòíûìè õàðàêòåðèñòèêàìè ðàñïðåäåëåíèÿ. Íàïîìíèì ôîðìóëû, ïî êîòîðûì îíè âû÷èñëÿþòñÿ (òàáë. 2.1).
“Öåíòð”, îòíîñèòåëüíî êîòîðîãî âû÷èñëÿåòñÿ öåíòðàëüíûé ìîìåíò
– ýòî ïåðâûé íà÷àëüíûé ìîìåíò à1, ñóììèðîâàíèå âûïîëíÿåòñÿ ïî âñåì
ïðèíèìàåìûì çíà÷åíèÿì, èíòåãðèðîâàíèå – ïî âñåé îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ.
Ïåðâûé íà÷àëüíûé ìîìåíò à1 – ýòî ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ðàñïðåäåëåíèÿ, âòîðîé öåíòðàëüíûé ìîìåíò b2 – ýòî äèñïåðñèÿ.
 ñèëó âàæíîñòè ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ è äèñïåðñèè íàïîìíèì èõ îïðåäåëåíèå è âàæíåéøèå ñâîéñòâà, êîòîðûìè ìû áóäåì â äàëüíåéøåì ïîëüçîâàòüñÿ â íàøèõ ðàññóæäåíèÿõ (òàáë. 2.2, 2.3).
Òàáëèöà 2.2
Îïðåäåëåíèå ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ è äèñïåðñèè
Ìàòåìàòè÷åñêîå
îæèäàíèå
Äèñêðåòíîå
ðàñïðåäåëåíèå
∑x ⋅p
i
i =1
∑( x
i =1
n
∫ x ⋅ f ( x )dx
i
−∞
∞
n
D( ξ ) = σ 2
∞
n
M( ξ ) = a
Äèñïåðñèÿ
Íåïðåðûâíîå
ðàñïðåäåëåíèå
i
2
− a ) ⋅ pi =
= ∑ x i ⋅ pi − a
2
2
i =1
∫ ( x − a)
2
⋅ f ( x )dx =
−∞
∞
∫x
2
⋅ f ( x )dx − a2
−∞
×òîáû îïèñàòü ðàçáðîñ, ðàññåÿíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, ïðèìåíÿþò ðàçíûå õàðàêòåðèñòèêè, ÷àùå âñåãî, äèñïåðñèþ. Íî, ïîñêîëüêó ðàçìåðíîñòü äèñïåðñèè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ ðàâíà êâàäðàòó ðàçìåðíîñòè ñàìîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, ïðèìåíÿþò äàæå íå äèñïåðñèþ
D(ξ), à ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîå (ñòàíäàðòíîå) îòêëîíåíèå – êîðåíü
èç äèñïåðñèè σ
= D( ξ ) . Ýòà õàðàêòåðèñòèêà èìååò òó æå ðàçìåðíîñòü,
÷òî è ñàìà ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà.
Èç ñâîéñòâ äèñïåðñèè íåìåäëåííî ñëåäóåò:
σ( C ) = 0 ; σσ( C ⋅ ξ) =| C | ⋅σ( ξ); σ( ξ ± η) = σ2 ( ξ) + σ2 ( η) .
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
35
Òàáëèöà 2.3
Ñâîéñòâà ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ è äèñïåðñèè
Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà – êîíñòàíòà
Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà óìíîæàåòñÿ
íà êîíñòàíòó
Ìàòåìàòè÷åñêîå
îæèäàíèå
Äèñïåðñèÿ
M(Ñ) = C
D(C) = 0
Ì(Ñ⋅ξ) = Ñ⋅Ì(ξ)
D(C⋅ξ) = C2⋅D(ξ)


M ∑ ξ i  = ∑ M( ξi ) ,
Ñëó÷àéíûå âåëè÷è i =1  i =1
n
íû ñêëàäûâàþòñÿ
n
â ÷àñòíîñòè
Ì(ξ+Ñ)=Ì(ξ)+Ñ
 n  n
D ∑ ξi  = ∑ D( ξi )
 i=1  i=1
(äëÿ íåçàâèñèìûõ
ñëàãàåìûõ), â ÷àñòíîñòè
D(ξ–η) = D(ξ)+D(η) è
D(ξ+Ñ) = D(ξ)
Ìîìåíòû – î÷åíü âàæíûå õàðàêòåðèñòèêè ðàñïðåäåëåíèÿ. Îíè
ìíîãî ïðîùå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ – ýòî ïðîñòî ÷èñëà, íî çíàíèå
èõ äàåò î÷åíü ìíîãî èíôîðìàöèè î ðàñïðåäåëåíèè. Ìàòåìàòè÷åñêîå
îæèäàíèå – ïåðâûé íà÷àëüíûé ìîìåíò, ýòî ñðåäíÿÿ òî÷êà ðàñïðåäåëåíèÿ, òîò “öåíòð”, âîêðóã êîòîðîãî âñå ðàñïðåäåëåíî è âû÷èñëÿþòñÿ öåíòðàëüíûå ìîìåíòû. Äèñïåðñèÿ – âòîðîé öåíòðàëüíûé ìîìåíò, õàðàêòåðèçóåò ðàçáðîñ âîêðóã ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ (ñðåäíåãî). Òðåòèé
öåíòðàëüíûé ìîìåíò, äåëåííûé íà òðåòüþ ñòåïåíü ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîãî îòêëîíåíèÿ, – àñèììåòðèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ. Åñëè îí íå ðàâåí íóëþ,
òî ðàñïðåäåëåíèå íåñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî ñâîåãî öåíòðà. ×åòâåðòûé öåíòðàëüíûé ìîìåíò, äåëåííûé íà ÷åòâåðòóþ ñòåïåíü ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîãî îòêëîíåíèÿ, – ýêñöåññ, õàðàêòåðèçóåò “ïëîñêîâåðøèííîñòü” ðàñïðåäåëåíèÿ è ò. ä.
Ìû ñîñðåäîòî÷èì ñâîå âíèìàíèå íà ìàòåìàòè÷åñêîì îæèäàíèè è
äèñïåðñèè ðàñïðåäåëåíèÿ, êàê ñàìûõ âàæíûõ åãî õàðàêòåðèñòèêàõ.
 êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàñïðåäåëåíèé, çàâèñÿùèõ îò ïàðàìåòðà,
ïðèâåäåì ñàìûå ðàñïðîñòðàíåííûå çàêîíû ðàñïðåäåëåíèÿ è èõ ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè. Ñâÿçü ïàðàìåòðîâ ðàñïðåäåëåíèÿ ñ åãî ÷èñëîâûìè õàðàêòåðèñòèêàìè ñòàíåò î÷åâèäíîé.
Ïðèìåð 2.1. Èñïûòàíèå ñ äâóìÿ èñõîäàìè, áèíîìèàëüíîå
ðàñïðåäåëåíèå. Ïóñòü â ðåçóëüòàòå èñïûòàíèÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ ð ïðîèñõîäèò ñîáûòèå À (ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ζ – èíäèêàòîð íàñòóïëåíèÿ À
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
36
ïðèíÿëà çíà÷åíèå 1), à ñ âåðîÿòíîñòüþ q = 1–ð ïðîòèâîïîëîæíîå åìó
À
ñîáûòèå
(ζ ïðèíÿëà çíà÷åíèå 0). Ýòî ðàñïðåäåëåíèå ìîæíî çàäàòü
òàáëèöåé:
xi
0
1
pi
q
p
M(ζ) = 0⋅q + 1⋅p = p
D(ζ) = 0⋅q + 12⋅p – p2 = p⋅(1–p) = pq
Òàêîå ðàñïðåäåëåíèå ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ ïàðàìåòðîì ð –
ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì. Ñ ýòèì ðàñïðåäåëåíèåì òåñíî ñâÿçàíî
áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå – ðàñïðåäåëåíèå ÷èñëà óñïåõîâ, ïîëó÷åííûõ ïðè n íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèÿõ, ïðîâîäÿùèõñÿ íàä òàêîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé (ñõåìà Áåðíóëëè). Âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñëó÷àéíàÿ
âåëè÷èíà, èìåþùàÿ áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå (÷èñëî óñïåõîâ â
ñõåìå Áåðíóëëè), ïðèìåò çíà÷åíèå m, çàäàåòñÿ ôîðìóëîé Áåðíóëëè:
m
m
n− m
=
pn ( m ) = Cn ⋅ p ⋅ q
n ⋅ ( n − 1) ⋅ ...⋅ ( n − m + 1) m n− m
p q
1⋅ 2 ⋅ ... ⋅ m
 n
 n
M( ξ) = M  ∑ ζ k  = ∑ M( ζ k ) = np,
 k =1  k =1

 n
D(ξ) = D  ∑ ζ k  = ∑ D(ζ k ) = npq .

 k =1
Ïðèìåð 2.2. Ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà,
êîòîðàÿ ïðèíèìàåò çíà÷åíèå m ñ âåðîÿòíîñòüþ Pm ( λ ) =
m
λ e −λ
, ãäå
m!
m = 0,1,2,…, à λ – ïîëîæèòåëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ âåëè÷èíà, íàçûâàåòñÿ ðàñïðåäåëåííîé ïî çàêîíó Ïóàññîíà ñ ïàðàìåòðîì λ. Èç êóðñà òåîðèè âåðîÿòíîñòåé èçâåñòíî, ÷òî
Ì(ξ) = D(ξ) = λ.
Ïðèìåðàìè âåëè÷èíû, ðàñïðåäåëåííîé ïî çàêîíó Ïóàññîíà, ÿâëÿþòñÿ ÷èñëî íîâîðîæäåííûõ â ñóòêè, ÷èñëî àâàðèé è ò.ä. Î÷åíü âàæíûì
ñâîéñòâîì çàêîíà Ïóàññîíà è åãî ïàðàìåòðà λ ÿâëÿåòñÿ “âîñïðîèçâîÑîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
37
äèìîñòü”: ñóììà äâóõ íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, ðàñïðåäåëåííûõ ïî Ïóàññîíó ñ ïàðàìåòðàìè λ1 è λ2, ðàñïðåäåëåíà òàêæå ïî çàêîíó
Ïóàññîíà ñ ïàðàìåòðîì λ1+λ2; ïàðàìåòð λ ñëó÷àéíûõ ñîáûòèé, ïðîòåêàþùèõ âî âðåìåíè è ðàñïðåäåëåííûõ ïî çàêîíó Ïóàññîíà, ïðîïîðöèîíàëåí âðåìåíè, îí ðàâåí λt (λ – ýòî ñðåäíåå ÷èñëî ñîáûòèé, íàñòóïàþùèõ â íåêîòîðóþ åäèíèöó âðåìåíè). Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè ìû çíàåì
çíà÷åíèå ïàðàìåòðà λ äëÿ ïðîìåæóòêà âðåìåíè t 1, ìû, òåì ñàìûì, çíàåì åãî è äëÿ ëþáîãî äðóãîãî ïðîìåæóòêà t2 (ýòî áóäåò λt2/t1). Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïóàññîíîâñêèõ âåðîÿòíîñòåé ðàçðàáîòàíû òàáëèöû.
Ïðèìåð 2.3. Ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå. Íåïðåðûâíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ÿâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåë¸ííîé íà èíòåðâàëå
[a,b], åñëè å¸ ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè ðàâíà êîíñòàíòå íà ýòîì èíòåðâàëå è íóëþ âíå åãî. Ãðàôèê ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòåé, åå âûðàæåíèå, ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèÿ ïðèâåäåíû íèæå:
f(x)
1
b−a
0
a
x
b
b
 1
, x ∈ [a, b ]

f(x) = b − a
;
0
∉
, x [ a, b ]
1
b+a
M( ξ ) =
xdx =
∫
b−a a
2
b
1
(x − M )2 dx = ( b − a )
D( ξ ) =
∫
b−a a
12
2
Ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå äàåò ïðèìåð ðàñïðåäåëåíèÿ, çàâèñÿùåãî îò äâóõ ïàðàìåòðîâ; åãî ïàðàìåòðû a è b ñâÿçàíû ñ ìîìåíòàìè
ðàñïðåäåëåíèÿ ôóíêöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòüþ.
Ïðèìåð 2.4. Ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. Íåïðåðûâíàÿ
ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà èìååò ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, åñëè å¸ ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè èìååò âèä, êàê íà ïðèâåäåííîì ãðàôèêå:
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
38
λ
f(x)
õ
0
∞

1
x
−λ ⋅ x
λ
⋅
∈
∞
ξ
=
λ
e
,
x
[
0
,
);
M
(
)
xe− λ dx = ;

∫
λ

0
f(x) = 
∞
1 2 − λx
1
0
∈
−∞
ξ
=
λ
−
=
,
x
(
,
0
);
D
(
)
(
x
)
e
dx
2.
∫

λ
λ
0

Èíòåãðàëû áåðóòñÿ ïî ÷àñòÿì. Òàêèì îáðàçîì, ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå çàâèñèò îò ïàðàìåòðà λ, à åãî ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå
ðàâíî 1/λ.
Ïðèìåð 2.5. Íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. Íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå – ðàñïðåäåëåíèå Ãàóññà – èãðàåò îñîáóþ ðîëü â òåîðèè
âåðîÿòíîñòåé è å¸ ïðèëîæåíèÿõ. Ýòî íàèáîëåå ÷àñòî âñòðå÷àþùèéñÿ
íà ïðàêòèêå çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ. Ýòîìó çàêîíó ïîä÷èíÿåòñÿ, ïðè ñîáëþäåíèè îïðåäåë¸ííûõ óñëîâèé, ðàñïðåäåëåíèå ñóììû äîñòàòî÷íî
áîëüøîãî ÷èñëà ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, êàæäàÿ èç êîòîðûõ ìîæåò èìåòü
ïðîèçâîëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. Íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå çàäàåòñÿ
ïëîòíîñòüþ f(x):
−
1
f(x) =
e
σ 2π
( x −a ) 2
2σ2
Îïðåäåëåíèå ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ è äèñïåðñèè ïðèâîäèò ê
âû÷èñëåíèþ ñîîòâåòñòâóþùèõ èíòåãðàëîâ, ÷òî äàåò:
M(ξ) = a, D(ξ) = σ2, σ(ξ) = σ.
Òàêèì îáðàçîì, ïàðàìåòðàìè, îïðåäåëÿþùèìè íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, ÿâëÿþòñÿ a – ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è σ – ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå (êîðåíü èç äèñïåðñèè), äëÿ åãî îáîçíà÷åíèÿ óïîòðåáëÿåòñÿ çàïèñü N(a, σ).
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
39
Ãðàôèê ïëîòíîñòè íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ
f(x)
1
σ 2π
0
a–σ
a
a+σ
x
Èç ïðèâåäåííûõ ïðèìåðîâ âèäíî, êàê âàæíî íàó÷èòüñÿ ñòðîèòü îöåíêè èìåííî äëÿ ìîìåíòîâ.
Äëÿ ïîñòðîåíèÿ òî÷å÷íûõ îöåíîê äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ
è äèñïåðñèè ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè èëè ëþáûõ äðóãèõ ìîìåíòîâ
âñïîìíèì, ÷òî òàáëèöà ñòàòèñòè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ âûáîðêè çàäàåò ðàñïðåäåëåíèå âûáîðêè.  êà÷åñòâå îöåíîê õàðàêòåðèñòèê ãåíåðàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ìû ðåøèëè áðàòü çíà÷åíèÿ òåõ æå õàðàêòåðèñòèê,
íî âû÷èñëåííûõ äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ âûáîðêè. Äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ âûáîðêè, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ îáû÷íûì äèñêðåòíûì ðàñïðåäåëåíèåì, çàäàííûì òàáëèöåé, ìîæíî ñîñ÷èòàòü ëþáûå ìîìåíòû (òàê êàê îíè âû÷èñëÿþòñÿ ïî âûáîðêå, ìû èõ áóäåì íàçûâàòü ýìïèðè÷åñêèìè). Èõ è
âîçüìåì â êà÷åñòâå îöåíîê òåîðåòè÷åñêèõ ìîìåíòîâ. Åñëè îöåíèâàåìûé ïàðàìåòð ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé îò ìîìåíòîâ ðàñïðåäåëåíèÿ, òî â
ýòó ôóíêöèþ âìåñòî íåèçâåñòíûõ òåîðåòè÷åñêèõ çíà÷åíèé ìîìåíòîâ
ïîäñòàâèì ýìïèðè÷åñêèå çíà÷åíèÿ.
Âûáèðàÿ â êà÷åñòâå îöåíîê òàêèå ñòàòèñòèêè, ìû âîñïîëüçîâàëèñü
ìåòîäèêîé, ïðåäëàãàåìîé ìåòîäîì ìîìåíòîâ. Ýòîò ìåòîä âïåðâûå áûë
èñïîëüçîâàí Ê.Ïèðñîíîì â 1894 ã.
Ìåòîä ìîìåíòî⠖ ìåòîä ïîëó÷åíèÿ îöåíîê ïàðàìåòðîâ, êîòîðûé ñîñòîèò â òîì, ÷òî åñëè îöåíèâàåìûé ïàðàìåòð ðàñïðåäåëåíèÿ
ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé îò ìîìåíòîâ ðàñïðåäåëåíèÿ (â ñàìîì ïðîñòîì ñëó÷àå ñàì ÿâëÿåòñÿ ìîìåíòîì), òî â ýòó ôóíêöèþ ïðîñòî ïîäñòàâëÿþòñÿ
ýìïèðè÷åñêèå çíà÷åíèÿ ìîìåíòîâ, à ïîëó÷åííîå çíà÷åíèå áåðåòñÿ â
êà÷åñòâå îöåíêè äëÿ ïàðàìåòðà.
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
40
Ñàìûé ïðîñòîé ïðèìåð ïðèìåíåíèÿ ìåòîäà ìîìåíòîâ. Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå – ïåðâûé íà÷àëüíûé, à äèñïåðñèÿ – âòîðîé öåíòðàëüíûé ìîìåíò.  êà÷åñòâå îöåíîê äëÿ èõ ãåíåðàëüíûõ çíà÷åíèé ìû
âîçüìåì ïåðâûé íà÷àëüíûé è âòîðîé öåíòðàëüíûé ìîìåíòû âûáîðêè
(ýìïèðè÷åñêèå ìîìåíòû). Îíè îáëàäàþò ñâîéñòâàìè ìàòåìàòè÷åñêîãî
îæèäàíèÿ è äèñïåðñèè, îïèñàííûìè â òàáë. 2.3.
2.3. Âû÷èñëåíèå ýìïèðè÷åñêèõ ìîìåíòîâ
Âûáîðêå ñîîòâåòñòâóåò äèñêðåòíîå ðàñïðåäåëåíèå (òàáë. 2.4).
Òàáëèöà 2.4
Çíà÷åíèÿ xi
x1
x2
…
xk
×àñòîòû ~
pi
~
p1
~
p2
…
~
pk
 ñëó÷àå, åñëè âûáîðêà çàäàíà âàðèàöèîííûì ðÿäîì, ýòà òàáëèöà
èìååò ñëåäóþùèé âèä (òàáë. 2.5):
Òàáëèöà 2.5
Çíà÷åíèÿ xi
x1
x2
…
xn
×àñòîòû ~
pi
1/n
1/n
…
1/n
Âû÷èñëåíèå ìîìåíòîâ ýìïèðè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñîãëàñíî
òàáë. 2.6 ïðîèçâîäèòñÿ ïî ñëåäóþùèì ôîðìóëàì (âî âñåõ ôîðìóëàõ n
– îáúåì âûáîðêè):
Òàáëèöà 2.6
Âàðèàöèîííûé
ðÿä îáùåãî âèäà
Íà÷àëüíûé ýìïè1 n l
ðè÷åñêèé ìîìåíò
al = ∑ x i
n i=1
ïîðÿäêà l
Öåíòðàëüíûé
n
l
1
ýìïèðè÷åñêèé
b l = ∑ (x j − x )
n
j=1
ìîìåíò ïîðÿäêà l
Âàðèàöèîííûé ðÿä
çàäàí òàáëèöåé
bl =
k
∑ (x
j =1
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
41
k
mj
j=1
n
l
al = ∑ x j
j
− x )l
mj
n
k
= ∑ x lj~
pj
j=1
k
= ∑ (x j − x )l~
pj
j=1
Ñðàâíåíèå ñ òàáë. 1.5 ïîêàçûâàåò, ÷òî ïåðâûé íà÷àëüíûé ìîìåíò
èëè ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå âûáîðêè à1 – ýòî ââåäåííîå íàìè ðàíåå
ñðåäíåå çíà÷åíèå âûáîðêè, êîòîðîå ìû îáîçíà÷èëè ÷åðåç x . Âûáîðî÷íóþ äèñïåðñèþ b2 ìû íàçâàëè ðàçáðîñîì âûáîðêè è îáîçíà÷èëè S2.
Òàêèì îáðàçîì, ñîãëàñíî ìåòîäó ìîìåíòîâ îöåíêîé äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ãåíåðàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ íàäî âçÿòü x , îöåíêîé äëÿ äèñïåðñèè – S2. Ôîðìóëû äëÿ èõ ðàñ÷åòà ñîäåðæàòñÿ â òàáë.
1.5.
Ïðèìåð 2.6. ×èñëî íåïðàâèëüíûõ ñîåäèíåíèé íà òåëåôîííîé ñòàíöèè èìååò ïóàññîíîâñêîå ðàñïðåäåëåíèå.  òå÷åíèå ÷àñà êàæäóþ ìèíóòó ôèêñèðîâàëè ÷èñëî íåïðàâèëüíûõ ñîåäèíåíèé, èìåâøèõ ìåñòî â
ýòó ìèíóòó. Ïîëó÷åííûå äàííûå ïðåäñòàâëåíû â òàáëèöå (ñì. ïðèìåð
1.4). Îöåíèòü ñðåäíåå ÷èñëî íåïðàâèëüíûõ ñîåäèíåíèé â ÷àñ.
Ðåøåíèå. Íà ÿçûêå òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ïî ðåçóëüòàòàì âûáîðêè
íàäî ïîëó÷èòü îöåíêó ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ, òî åñòü ïàðàìåòðà λ
ðàñïðåäåëåíèÿ Ïóàññîíà. Ñîãëàñíî ìåòîäó ìîìåíòîâ â êà÷åñòâå îöåíêè äëÿ ñðåäíåãî ÷èñëà íåïðàâèëüíûõ ñîåäèíåíèé â ìèíóòó íàäî âçÿòü:
x = ( 0 ⋅ 8 + 1⋅ 17 + 2 ⋅ 16 + 3 ⋅10 + 4 ⋅ 6 + 5 ⋅ 2 + 7 ⋅ 1) / 60 = 120 / 60 = 2
Ñîãëàñíî ïðàâèëó óñòîé÷èâîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ Ïóàññîíà, óïîìÿíóòîìó íàìè ðàíåå, ñðåäíåå ÷èñëî íåïðàâèëüíûõ ñîåäèíåíèé â ÷àñ â
60 ðàç áîëüøå ñðåäíåãî ÷èñëà íåïðàâèëüíûõ ñîåäèíåíèé â ìèíóòó. Ñëåäîâàòåëüíî, îöåíêîé äëÿ ñðåäíåãî ÷èñëà íåïðàâèëüíûõ ñîåäèíåíèé â
÷àñ ÿâëÿåòñÿ çíà÷åíèå 2⋅60 = 120.
2.4. Ñâîéñòâà òî÷å÷íûõ îöåíîê
Äëÿ òîãî ÷òîáû îöåíêà íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà, ò.å. ñòàòèñòèêà
Θ(x1,...,xn) (êîðîòêî ìû åå áóäåì îáîçíà÷àòü Θn), äàâàëà õîðîøåå ïðèáëèæåíèå íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà Θ ðàñïðåäåëåíèÿ ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè F(x,Θ), æåëàòåëüíî, ÷òîáû îíà óäîâëåòâîðÿëà ñëåäóþùèì òðåáîâàíèÿì.
Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå îöåíêè ïàðàìåòðà ïî âñåâîçìîæíûì
âûáîðêàì äàííîãî îáú¸ìà äîëæíî ðàâíÿòüñÿ èñòèííîìó çíà÷åíèþ îïðåäåëÿåìîãî ïàðàìåòðà:
M(Θn) = Θ
 ýòîì ñëó÷àå îöåíêó íàçûâàþò íåñìåù¸ííîé.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå îöåíêó íàçûâàþò ñìåù¸ííîé.
Åñëè ýòî òðåáîâàíèå íå âûïîëíÿåòñÿ, òî îöåíêà Θn, ïîëó÷åííàÿ ïî
ðàçíûì âûáîðêàì, áóäåò â ñðåäíåì ëèáî çàâûøàòü, ëèáî çàíèæàòü çíàÑîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
42
÷åíèå Θ. Ê ñîæàëåíèþ, ÷àñòî ïðàêòè÷åñòè âàæíûå îöåíêè ÿâëÿþòñÿ ñìåùåííûìè, õîòÿ è ñëàáî. Äëÿ îöåíêè, ñìåùåííîé ñëàáî:
M(Θn) → Θ (ïðè n, ñòðåìÿùåìñÿ ê ∞).
Áûëî áû îøèáî÷íûì ñ÷èòàòü, ÷òî íåñìåùåííàÿ îöåíêà âñåãäà äàåò
õîðîøåå ïðèáëèæåíèå îöåíèâàåìîãî ïàðàìåòðà. ×åì áîëüøå äèñïåðñèÿ îöåíêè, òåì áîëüøå åå çíà÷åíèÿ ðàññåÿíû âîêðóã åå ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ è, ñëåäîâàòåëüíî, óäàëåíû îò çíà÷åíèÿ îöåíèâàåìîãî ïàðàìåòðà.
Ïî ýòîé ïðè÷èíå ê îöåíêå ïðåäúÿâëÿåòñÿ òðåáîâàíèå ýôôåêòèâíîñòè.
Îöåíêà íàçûâàåòñÿ ýôôåêòèâíîé, åñëè ïðè çàäàííîì îáúåìå
âûáîðêè n îíà èìååò íàèìåíüøóþ äèñïåðñèþ.
Ïðè óâåëè÷åíèè îáú¸ìà âûáîðêè îöåíêà äîëæíà ñõîäèòüñÿ ïî âåðîÿòíîñòè ê èñòèííîìó çíà÷åíèþ ïàðàìåòðà; â ýòîì ñëó÷àå îöåíêó íàçûâàþò ñîñòîÿòåëüíîé.
Äëÿ ñîñòîÿòåëüíûõ îöåíîê çíà÷èòåëüíûå îøèáêè ïðè îöåíèâàíèè
ìàëîâåðîÿòíû.
Åñëè äèñïåðñèÿ íåñìåùåííîé îöåíêè ïðè n, ñòðåìÿùåìñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè, ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, òî òàêàÿ îöåíêà îêàçûâàåòñÿ è ñîñòîÿòåëüíîé. Ýòî íåïîñðåäñòâåííî âûòåêàåò èç íåðàâåíñòâà ×åáûøåâà:
P (| Θ n − Θ |< ε ) ≥ 1 −
σ2Θn
ε2
.
Èç íåðàâåíñòâà ×åáûøåâà âèäíî, ÷òî, äëÿ òîãî ÷òîáû äîêàçàòü íåñìåùåííîñòü è ñîñòîÿòåëüíîñòü îöåíêè, äîñòàòî÷íî èçó÷èòü åå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèþ. Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî íà ïðàêòèêå
÷àñòî äëÿ ïðîñòîòû ðàñ÷åòîâ èñïîëüçóþò íåçíà÷èòåëüíî ñìåùåííûå
îöåíêè èëè îöåíêè, îáëàäàþùèå áîëüøåé äèñïåðñèåé ïî ñðàâíåíèþ ñ
ýôôåêòèâíûìè îöåíêàìè.
Îöåíêè ìåòîäà ìîìåíòîâ îáû÷íî ñîñòîÿòåëüíû, íî íå ÿâëÿþòñÿ
“íàèëó÷øèìè” â ñìûñëå ýôôåêòèâíîñòè. Òåì íå ìåíåå ìåòîä ìîìåíòîâ ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ íà ïðàêòèêå, òàê êàê òðåáóåò ñðàâíèòåëüíî ïðîñòûõ âû÷èñëåíèé.
2.5. Ïîíÿòèå íàäåæíîñòè îöåíêè
Ìåòîä ìîìåíòîâ äàåò íàì òî÷å÷íûå (÷èñëîâûå) îöåíêè äëÿ âåðîÿòíîñòè ð â ñõåìå èñïûòàíèÿ ñ äâóìÿ èñõîäàìè (çíà÷åíèå m/n), äëÿ
ïàðàìåòðà λ ïóàññîíîâñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, äëÿ ñðåäíåãî à (âûáîðî÷íîå ñðåäíåå x ), äëÿ äèñïåðñèè σ2 (âûáîðî÷íàÿ äèñïåðñèÿ S2).
Îáñóäèì âîïðîñ îá èõ òî÷íîñòè è íàäåæíîñòè.
Ñòàòèñòè÷åñêàÿ îöåíêà Θn ÿâëÿåòñÿ ëèøü ïðèáëèæåííûì çíà÷åíèÑîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
43
åì íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà Θ äàæå â òîì ñëó÷àå, åñëè îíà íåñìåùåííàÿ (â ñðåäíåì ñîâïàäàåò ñ Θ), ñîñòîÿòåëüíàÿ (ñòðåìèòñÿ ê Θ ñ ðîñòîì n)
è ýôôåêòèâíàÿ (îáëàäàåò íàèìåíüøåé ñòåïåíüþ ñëó÷àéíûõ îòêëîíåíèé
îò Θ).
 ñèëó ñëó÷àéíîé ïðèðîäû èçó÷àåìûõ õàðàêòåðèñòèê èõ ñõîäèìîñòü
ê ïðåäåëüíûì çíà÷åíèÿì – ñõîäèìîñòü ïî âåðîÿòíîñòè. Ýòî îçíà÷àåò,
÷òî òî÷íîñòü îöåíîê, âû÷èñëåííûõ ïî âûáîðêå, èìååò ìåñòî íå “âñåãäà”, à òîëüêî äëÿ ïîäàâëÿþùåãî ÷èñëà âûáîðîê. Òàêèì îáðàçîì, êðîìå
îáû÷íîãî ïîíÿòèÿ òî÷íîñòè îöåíîê âñòàåò âîïðîñ åùå è îá èõ íàäåæíîñòè – â êàêîì ïðîöåíòå ñëó÷àåâ òî÷íîñòü îöåíêè íå íàðóøàåòñÿ.
 ñèëó ýòîãî ñ òî÷íîñòüþ îöåíêè, ïîëó÷åííîé íà îñíîâå âûáîðêè,
ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà ñâÿçûâàåò ïîíÿòèå “óðîâíÿ äîâåðèÿ” ê íåé.
“Óðîâåíü äîâåðèÿ”– ýòî è åñòü åå íàäåæíîñòü, ïðîöåíò (äîëÿ) ñëó÷àåâ,
äëÿ êîòîðûõ ãàðàíòèðóåòñÿ òðåáóåìàÿ òî÷íîñòü îöåíêè. Òî åñòü òî÷íîñòè îöåíêè ìîæíî äîâåðÿòü íå íà âñå 100%, à ëèøü ñ íåêîòîðûì “óðîâíåì äîâåðèÿ”. Íàïðèìåð, åñëè óêàçàíî, ÷òî óðîâåíü äîâåðèÿ äëÿ îöåíêè 0,95, òî èç 100 âûáîðîê ïðèìåðíî 5 äàäóò îöåíêè, êîòîðûå íà ñàìîì äåëå íå óäîâëåòâîðÿþò òðåáîâàíèÿì òî÷íîñòè. ßâëÿåòñÿ êîíêðåòíàÿ âûáîðêà “ïëîõîé” èëè “õîðîøåé”, ê ñîæàëåíèþ, ñêàçàòü íåëüçÿ, òàê
÷òî åñëè äåëàòü íà îñíîâå âûáîðî÷íîãî ìåòîäà âûâîä î âñåé ñîâîêóïíîñòè, òî âåðîÿòíîñòü îøèáèòüñÿ îñòàåòñÿ. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
äàåò ìåòîäèêó âû÷èñëåíèÿ ýòîé âåðîÿòíîñòè.
Îïèñàíèå òî÷íîñòè è íàäåæíîñòè îöåíêè Θn ïàðàìåòðà Θ äàåò
ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé ðàçíîñòè îöåíêè è èñòèííîãî çíà÷åíèÿ –
(Θn– Θ). Îíî çàäàåò ñðåäíåå çíà÷åíèå îøèáêè è ïîçâîëÿåò îöåíèòü
âåðîÿòíîñòü ñëèøêîì áîëüøîãî îòêëîíåíèÿ îöåíêè îò èñòèííîãî çíà÷åíèÿ. Ïîêàæåì íà ïðèìåðå âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî x , êàêèå âûâîäû åãî
ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé ïîçâîëÿåò ñäåëàòü î òî÷íîñòè è íàäåæíîñòè òî÷å÷íîé îöåíêè x äëÿ ãåíåðàëüíîãî ñðåäíåãî à.
2.6. Ðàñïðåäåëåíèå âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî
Îöåíêà ãåíåðàëüíîãî ñðåäíåãî – âûáîðî÷íîå ñðåäíåå x – ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé, çíà÷åíèå êîòîðîé çàâèñèò îò òîãî, êàêèå çíà÷åíèÿ ïðèíÿëè âàðèàíòû xi. Åñëè íàáëþäåíèÿ ïðîâîäÿòñÿ íàä íîðìàëüíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé ñ ïàðàìåòðàìè à è σ, òî êàê ñóììà íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí îíà ïîä÷èíÿåòñÿ íîðìàëüíîìó
çàêîíó. Íàéäåì åå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèþ. Âîñïîëüçóåìñÿ äëÿ ýòîãî ïðèâåäåííûìè â òàáë. 2.3 ñâîéñòâàìè ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ è äèñïåðñèè:
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
44
1 n  1 n
an
=a
Mx = M ∑ x i  = ∑ Mx i =
n
 n i=1  n i =1
2
n
1 n  1
1 n
σ
Dx = D ∑ x i  = 2 D ∑ x i = 2 ∑ Dx i =
n i =1
n
i=1
 n i=1  n
Ñëåäîâàòåëüíî, ó âåëè÷èíû x òî æå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå à,
÷òî è ó ãåíåðàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, à äèñïåðñèÿ â n ðàç ìåíüøå:
σx = σ
2
2
n
.
Ýòè ñîîòíîøåíèÿ âûâåäåíû áåç ó÷åòà òðåáîâàíèÿ íîðìàëüíîñòè
ãåíåðàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.  ñèëó öåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìû, åñëè ÷èñëî íàáëþäåíèé n âåëèêî, òî êàêèì áû íè áûëî ðàñïðåäåëåíèå ó ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, èç êîòîðîé äåëàåòñÿ âûáîðêà, åñëè ó íåãî
ñóùåñòâóåò äèñïåðñèÿ, âûáîðî÷íîå ñðåäíåå x , ÿâëÿÿñü ñóììîé áîëüøîãî ÷èñëà ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, ïîä÷èíÿåòñÿ çàêîíó, áëèçêîìó ê íîðìàëüíîìó, òàê ÷òî ôîðìóëà
 σ 
X n ≈ N  a,

n

âåðíà â äîñòàòî÷íî øèðîêîì êëàññå ñëó÷àåâ. Ïîïóòíî ìû ïîëó÷èëè äîêàçàòåëüñòâî òîãî, ÷òî âûáîðî÷íîå ñðåäíåå ÿâëÿåòñÿ íåñìåùåííîé è, â
ñèëó òåîðåìû ×åáûøåâà, ñîñòîÿòåëüíîé îöåíêîé.
Çàìå÷àíèå. Îöåíêà S2 ñìåùåíà. Èñïðàâèòü ýìïèðè÷åñêóþ äèñïåðñèþ S2, ÷òîáû ïîëó÷èòü íåñìåùåííóþ òî÷å÷íóþ îöåíêó s2 äëÿ íåèçâåñòíîé äèñïåðñèè íàäî ñëåäóþùèì îáðàçîì:
2
s =
n 2
S – íåñìåùåííàÿ îöåíêà äëÿ äèñïåðñèè.
n −1
2.7. Ñâÿçü ìåæäó òî÷íîñòüþ è íàäåæíîñòüþ îöåíêè
Äëÿ òîãî, ÷òîáû îöåíèòü òî÷íîñòü è íàäåæíîñòü òî÷å÷íîé îöåíêè
äëÿ ãåíåðàëüíîãî ñðåäíåãî, âîñïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî ñòàòèñòèêà x èìååò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì à è ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèì îòêëîíåíèåì
σ
.
n
Íàïîìíèì î íåêîòîðûõ ñâîéñòâàõ âåëè÷èíû ξ ~ N(a,σ).
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
45
Âûïîëíèì íàä âåëè÷èíîé ξ îïåðàöèþ, êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ íîðìèðîâêîé. Âû÷òåì èç íåå à è ïîäåëèì ýòó ðàçíîñòü íà σ. Èç ñâîéñòâ
ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ è äèñïåðñèè ñëåäóåò, ÷òî ìàòåìàòè÷åñêîå
îæèäàíèå íîâîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû áóäåò ðàâíî 0, à åå ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå – åäèíèöå:
ξ−a
ξ−a
2
M( ξ ) = a; D( ξ ) = σ ; M
 = 0; D
 = 1.
 σ 
 σ 
Âåëè÷èíó ξ∼N(0,1) ñ íóëåâûì ñðåäíèì è åäèíè÷íîé äèñïåðñèåé
íàçûâàþò ñòàíäàðòíîé íîðìàëüíîé. Åå ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè çàäàåòñÿ ôîðìóëîé:
x2
1 −2
fξ ( x ) =
e .
2π
Êàê äëÿ ξ∼N(0,1), òàê è äëÿ ξ∼N(a,σ), âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â ëþáîé èíòåðâàë ìîæåò áûòü âûðàæåíà ÷åðåç ôóíêöèþ Ëàïëàñà Φ(x):
x
1
Φ( x ) =
2π
∫e
−
t2
2
x
t2
−x
−
2
dt =
e 2 dt.
∫
2π 0
Äëÿ íåå ðàçðàáîòàíû òàáëèöû. Â íàøåì ðóêîâîäñòâå ýòî òàáë. 4
ôàéëà ìàòåðèàëîâ.  ñèëó î÷åâèäíîãî èç àíàëèçà ñîîòíîøåíèÿ
Φ(–õ) = –Φ(õ) çíà÷åíèÿ ôóíêöèè Ëàïëàñà â òàáëèöå çàäàíû òîëüêî äëÿ
ïîëîæèòåëüíûõ x.
P ( A ≤ ξ ≤ B; ξ : N(0,1) ) =
B
t
2
0
t
2
B
t
2
−
−
−
= 1 ∫ e 2 dt = 1 ∫ e 2 dt + 1 ∫ e 2 dt = 1 (Φ(B) − Φ(A) ) ,
2
2π A
2π A
2π 0
P ( A ≤ ξ ≤ B; ξ : N(a, σ) ) =
B
= 1 ∫e
σ 2π A
−
(t −a )2
2σ 2
1
dt =
2π
(ñäåëàëè çàìåíó ïåðåìåííûõ
B−a
σ
∫
2
e
−y
2
dy =
A −a
σ
1 Φ  B − a  − Φ  A − a 



 
 σ  
2  σ 
t −a
dt
= y; dy = ).
σ
σ
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
46
 ÷àñòíîñòè äëÿ èíòåðâàëà, ñèììåòðè÷íîãî îòíîñèòåëüíî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ à:
p(| ξ − a |≤ kσ ) = p( a − kσ ≤ ξ ≤ a + kσ ) =
=
1   a + kσ − a 
 a − kσ − a 
Φ
 − Φ
 =

σ
σ
2 



1
1
= [Φ( k) − Φ( − k)] = ⋅ 2 ⋅ Φ( k) = Φ( k)
2
2
Èç ýòîé ôîðìóëû âûòåêàåò òàê íàçûâàåìîå ïðàâèëî òðåõ σ
(ðèñ. 2.1).
p(| ξ − a |≤ 3σ ) = p( a − 3σ ≤ ξ ≤ a + 3σ ) = Φ(3 ) = 0,9973 .
Òî åñòü, ïðàêòè÷åñêè äîñòîâåðíî òî, ÷òî íîðìàëüíî ðàñïðåäåë¸ííàÿ âåëè÷èíà ïðèìåò çíà÷åíèå, îòëè÷àþùååñÿ îò å¸ ìàòåìàòè÷åñêîãî
îæèäàíèÿ ïî ìîäóëþ íå áîëåå ÷åì íà 3σ, èíà÷å ãîâîðÿ, “ïðàêòè÷åñêè
íåâîçìîæíî” ïîÿâëåíèå çíà÷åíèÿ, âûõîäÿùåãî çà ïðåäåëû ýòîãî èíòåðâàëà.
Ïîñëåäíåå îáñòîÿòåëüñòâî íàõîäèò øèðîêîå ïðèìåíåíèå â ðàçëè÷íûõ ïðèëîæåíèÿõ.
Ïîíÿòèå “ïðàêòè÷åñêè íåâîçìîæíî” è ïðîòèâîïîëîæíîå åìó ïîíÿòèå “ïðàêòè÷åñêè äîñòîâåðíî” ÷àñòî (îñîáåííî â ýêîíîìèêå) èñïîëüçó-
f(x)
1
σ 2π
0,9973
a–3σ
0
a–σ
a+σ
Ðèñ. 2.1
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
47
a+3 σ
þòñÿ â ñìÿã÷åííîì âàðèàíòå, êîãäà “ïðàêòè÷åñêè äîñòîâåðíûìè” ñ÷èòàþòñÿ óæå ñîáûòèÿ, âåðîÿòíîñòü êîòîðûõ íå 0,997, à 0,95. Òî åñòü â
ýêîíîìèêå îáû÷íî èñïîëüçóåòñÿ “ïðàâèëî äâóõ σ”, òàê êàê
p( ξ − a ≤ 2σ) = Φ (2) = 0,9544 .
Ââåäåì îáîçíà÷åíèå kβ äëÿ êîðíÿ óðàâíåíèÿ:
P{|ξ|<kβ} = P{–kβ<ξ<kβ} = Φ(kβ) = β, ãäå ξ = N(0,1).
Äëÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ~N(a,σ) òàê æå, êàê ìû âûâîäèëè ïðàâèëî
òðåõ σ, ìîæíî âûâåñòè ôîðìóëó:
ð{|ξ–a|<kβσ} = Φ(kβ) = β
(â ÷àñòíîñòè, äëÿ β = 0,95 k0,954 = 2 – îíà îáðàùàåòñÿ â ïðàâèëî äâóõ σ, à
äëÿ β = 0,997 k0,997 = 3 – â ïðàâèëî òðåõ σ).
Ïðèìåð 2.7. Çàòàðèâàíèå ìåøêîâ ñ ñàõàðîì ïðîèçâîäèòñÿ áåç
ñèñòåìàòè÷åñêèõ îøèáîê. Ñëó÷àéíûå îøèáêè ïîä÷èíåíû íîðìàëüíîìó
çàêîíó ñî ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèì îòêëîíåíèåì σ = 200 ã è, âñëåäñòâèå
îòñóòñòâèÿ ñèñòåìàòè÷åñêîé îøèáêè, ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì 0.
Íàéòè âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî çàòàðèâàíèå áóäåò ïðîâåäåíî ñ îøèáêîé,
íå ïðåâîñõîäÿùåé ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå 400 ã.
Ðåøåíèå.  çàäà÷å ðàññìàòðèâàåòñÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà – îøèáêà âçâåøèâàíèÿ, òî åñòü ðàçíîñòü (ξ – a) ìåæäó ñëó÷àéíûì çíà÷åíèåì
âåñà ìåøêà ñàõàðà è åãî íîðìàòèâíûì çíà÷åíèåì a – ìàòåìàòè÷åñêèì
îæèäàíèåì. Òðåáóåòñÿ íàéòè:
p( ξ − a < 400) = p(a − 400 < ξ < a + 400) =
1   a + 400 − a 
 400 
 a − 400 − a  
= Φ
 = Φ (2) = 0,954 .
 − Φ
 = Φ 
2 
σ
σ



 200 
Ýòî òèïè÷íàÿ çàäà÷à êóðñà òåîðèè âåðîÿòíîñòåé.
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî îäíîâðåìåííî ìû ðåøèëè è ñëåäóþùóþ çàäà÷ó:
êàêóþ ìàêñèìàëüíóþ îøèáêó çàòàðèâàíèÿ ìû ìîæåì ãàðàíòèðîâàòü ñ
âåðîÿòíîñòüþ 0,95? Îòâåò: 2σ = 400 ã (ëèøü ó 5% ìåøêîâ îøèáêà âåñà
îêàæåòñÿ áîëüøå). À åñëè ìû õîòèì îïðåäåëèòü ìàêñèìàëüíóþ îøèáêó
íåäîâåñà-ïåðåâåñà, â êîòîðóþ óêëàäûâàþòñÿ íå 95%, à “ïî÷òè âñå” ìåøêè (99.7% ìåøêîâ), òî êàêîâà îíà? Îòâåò: 3σ = 600 ã.
Çàîäíî ìû ðåøèëè è çàäà÷ó î òîì, êàê îáåñïå÷èòü òðåáóåìóþ òî÷íîñòü: êàêóþ ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêóþ îøèáêó äîëæåí èìåòü àâòîìàò, ïðîâîäÿùèé çàòàðèâàíèå, ÷òîáû ñ âåðîÿòíîñòüþ 0,95 îøèáêà ïåðåâåñàíåäîâåñà íå ïðåâîñõîäèëà 100 ã? Îòâåò: 50 ã.
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
48
Âòîðàÿ è òðåòüÿ ïîñòàíîâêà âîïðîñà õàðàêòåðíà äëÿ çàäà÷ ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè.  çàäà÷àõ ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè òðåáóåòñÿ
íå ïî èíòåðâàëó íàõîäèòü âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â íåãî, à ïî çàäàííîé
âåðîÿòíîñòè èùåòñÿ èíòåðâàë, îáëàäàþùèé íåêîòîðûìè ñâîéñòâàìè, â
êîòîðûé ñ çàäàííîé âåðîÿòíîñòüþ β ïîïàäàåò ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà. Äëÿ
ξ~N(0,1), åñëè èùåòñÿ ñèììåòðè÷íûé îòíîñèòåëüíî 0 èíòåðâàë, â êîòîðûé ñ âåðîÿòíîñòüþ β ïîïàäàåò ξ, ýòîò èíòåðâàë ðàâåí [–k β,kβ]).
f(x)
1
2π
β
α/2
α/2
–kβ
0
kβ
Ðèñ. 2.2
Òåì ñàìûì, äëÿ îïðåäåëåíèÿ íàäåæíîñòè îöåíêè x ìû ïîëüçóåìñÿ ñâîéñòâàìè è òàáëèöàìè íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Åñëè ìû õîòèì èìåòü íàäåæíîñòü, ðàâíóþ β, òî â òàáëèöå íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ íàõîäèì ÷èñëî kβ , òàêîå ÷òî:
P (| ξ |< kβ ) = P ( − kβ < ξ < kβ ) = Φ( kβ ) = β
(ïðè ýòîì íàäî ïîìíèòü, ÷òî â äàííîì ñëó÷àå ïî çíà÷åíèþ ôóíêöèè
èùåòñÿ çíà÷åíèå àðãóìåíòà).
Íàïðèìåð, k0,95 =1,96; k0,997 = 3 (âñïîìíèòå ïðàâèëî 2σ è 3σ).
Åñëè òðåáóåìàÿ íàäåæíîñòü ðàâíà 0,9; 0,95; 0,98; 0,99 èëè 0,997 (à
ýòî ñàìûå ðàñïðîñòðàíåííûå íà ïðàêòèêå çíà÷åíèÿ), òî ïðîùå âîñïîëüçîâàòüñÿ òàáë. 5 ôàéëà ìàòåðèàëîâ, çàäàþùåé çíà÷åíèÿ kβ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ ïåðå÷èñëåííûõ çíà÷åíèé β.
Èòàê, â ñèëó òîãî, ÷òî
x −a
 σ 
x ~ N  a,
~ N( 0,1) , èìååì:
, è
σ
n

n
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
49



 x − a

σ 
P
< kβ  = P  x − a < kβ
=β
σ
n





 n
Ýòà ôîðìóëà îïèñûâàåò òî÷íîñòü, ñ êîòîðîé çíà÷åíèå x îïèñûâàåò
ãåíåðàëüíîå ñðåäíåå à è íàäåæíîñòü ýòîé îöåíêè (óðîâåíü äîâåðèÿ ê íåé).
3. ÈÍÒÅÐÂÀËÜÍÛÅ ÎÖÅÍÊÈ ÄËß ÏÀÐÀÌÅÒÐÎÂ
3.1. Ïîíÿòèå äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà
Ýòà æå ñõåìà ïðèìåíÿåòñÿ âî âñåõ ðàññóæäåíèÿõ, êîãäà ñòðîÿòñÿ
èíòåðâàëüíûå îöåíêè äëÿ ïàðàìåòðîâ. Äëÿ îïèñàíèÿ èíòåðâàëüíîé îöåíêè ðàçðàáîòàíà ñïåöèàëüíàÿ òåðìèíîëîãèÿ. À èìåííî, ãîâîðÿò: äëÿ ïàðàìåòðà Θ ïîñòðîåí äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë íàäåæíîñòè (èëè
óðîâíÿ äîâåðèÿ) β. Ïðè ïîñòðîåíèè ýòîãî èíòåðâàëà ìû èñõîäèì èç
ñîîáðàæåíèÿ, ÷òî åñëè â ïðîöåññå ýêñïåðèìåíòà äëÿ ñòàòèñòèêè ïîëó÷åíî íåêîòîðîå çíà÷åíèå, òî îíî ïðèíàäëåæèò îáëàñòè (áóäåì íàçûâàòü åå Iβ ), âåðîÿòíîñòü êîòîðîé áëèçêà ê 1 (ðàâíà β). Ýòó âåðîÿòíîñòü
íàçûâàþò äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòüþ.
Îáû÷íî â êà÷åñòâå îáëàñòè Iβ áåðóò èíòåðâàë, íàêðûâàþùèé çíà÷åíèå îöåíèâàåìîãî ïàðàìåòðà ñ âåðîÿòíîñòüþ β. Åãî è íàçûâàþò äîâåðèòåëüíûì èíòåðâàëîì ñ óðîâíåì äîâåðèÿ β. Äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë ñòðîèòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ ðàñïðåäåëåíèåì âåðîÿòíîñòåé
èñïîëüçóåìîé ñòàòèñòèêè.
Âåëè÷èíà óðîâíÿ äîâåðèÿ β, êàê ìû âèäåëè, âëèÿåò íà âåëè÷èíó
èíòåðâàëà: ÷åì áîëüøå óðîâåíü äîâåðèÿ, òåì øèðå èíòåðâàë.
Ìû ìîæåì ðåøèòü äëÿ ñåáÿ, íà êàêîé ðèñê ìû ãîòîâû ïîéòè â íàøåì êîíêðåòíîì ñëó÷àå, à ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà äàñò òî÷íîñòü
îöåíêè, ãàðàíòèðóåìóþ äëÿ çàäàííîãî äîïóñòèìîãî ðèñêà. Èëè, íàîáîðîò, ïîëó÷èâ îò ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè îòâåò, ÷òî äëÿ äàííîé òî÷íîñòè óðîâåíü äîâåðèÿ ìåíüøå äîïóñòèìîãî, ìû ìîæåì ïîñòàðàòüñÿ
äîáèòüñÿ ðåçóëüòàòîâ, çàñëóæèâàþùèõ áîëüøåãî äîâåðèÿ. Íàïðèìåð,
óâåëè÷èòü ÷èñëî îáúåêòîâ, ó÷àñòâóþùèõ â èññëåäîâàíèè. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà ïîêàçûâàåò, ÷òî ÷åì áîëüøå ÷èñëî îòîáðàííûõ äëÿ îáñëåäîâàíèÿ îáúåêòîâ, òåì ìåíüøå âåðîÿòíîñòü îøèáêè, è äàåò ôóíêöèîíàëüíóþ çàâèñèìîñòü ìåæäó îáúåìîì âûáîðêè, òî÷íîñòüþ è âåðîÿòíîñòüþ îøèáêè. Ïðè ýòîì ïðåäëàãàþòñÿ “îïòèìàëüíûå” ìåòîäèêè, ïðè
èñïîëüçîâàíèè êîòîðûõ âåëè÷èíà âåðîÿòíîñòè îøèáêè ìèíèìàëüíà.
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
50
Âûáðàâ óðîâåíü ðèñêà, íà êîòîðûé ìû ãîòîâû ïîéòè, ìû â êàêîì-òî
ñìûñëå âìåñòî äîñòîâåðíûõ ñîáûòèé, âåðîÿòíîñòü êîòîðûõ ðàâíà 1,
íà÷èíàåì ñ÷èòàòü çà “ïðàêòè÷åñêè äîñòîâåðíûå” ñîáûòèÿ, âåðîÿòíîñòü
êîòîðûõ òîëüêî áëèçêà ê 1 (ñòåïåíü áëèçîñòè ê 1 è åñòü íàø óðîâåíü
ðèñêà). Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
ïðåäëàãàåò ìåòîäèêè, ñëåäóÿ êîòîðûì, ìû áóäåì íå îøèáàòüñÿ â ñâîèõ
ðàññóæäåíèÿõ íå “âñåãäà”, à òîëüêî “ïðàêòè÷åñêè âñåãäà”, â ñîîòâåòñòâèè ñ âûáðàííûì íàìè “óðîâíåì äîâåðèÿ” (óêàçàíèåì, ÷òî ìû ïîäðàçóìåâàåì ïîä ïîíÿòèåì “ïðàêòè÷åñêè âñåãäà”). Ïðèíÿòî óðîâåíü äîâåðèÿ áðàòü ðàâíûì 0,95 èëè 0,99. Åñëè, ïðèíÿâ óðîâåíü äîâåðèÿ 0,99,
ìû áóäåì ïî âûáîðêàì ñòðîèòü äîâåðèòåëüíûå èíòåðâàëû, òî â ñðåäíåì 1 èç 100 èíòåðâàëîâ íå áóäåò ñîäåðæàòü èñòèííîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà (êàêîé èìåííî 1 èç 100 ìû, êîíå÷íî, íå ìîæåì ñêàçàòü). Åñëè
ïðèìåì óðîâåíü äîâåðèÿ 0,95 è áóäåì ïî âûáîðêàì ñòðîèòü äîâåðèòåëüíûå èíòåðâàëû, òî â ñðåäíåì 5 èç 100 èíòåðâàëîâ íå áóäóò ñîäåðæàòü èñòèííîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà. Âûáîð óðîâíÿ äîâåðèÿ îñòàåòñÿ çà
íàìè. Åñëè öåíà îøèáêè âûñîêà (ðàçîðåíèå, ñìåðòåëüíûé èñõîä ïðè
îïåðàöèè) – ìîæåò áûòü, ñëåäóåò çàäàòü óðîâåíü äîâåðèÿ ðàâíûì 0,999,
åñëè îøèáêà ãðîçèò òåì, ÷òî ïðèäåòñÿ âçÿòü êðåäèò â áàíêå – ìîæíî
óäîâîëüñòâîâàòüñÿ óðîâíåì 0,95. Åñëè ëåêàðñòâî áåçâðåäíî, òî äîñòàòî÷íî òîãî, ÷òî “îíî ïîìîãàåò ñ óðîâíåì äîâåðèÿ 70%”, ÷òîáû ðåêîìåíäîâàòü åãî äëÿ ïðèìåíåíèÿ. Äîâåðèòåëüíûå èíòåðâàëüíûå îöåíêè
âû÷èñëÿþòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ âûáðàííûì óðîâíåì äîâåðèÿ. Ïðè ýòîì,
êîíå÷íî, íàäî ó÷èòûâàòü, ÷òî ÷åì âûøå çàêàçàííûé óðîâåíü äîâåðèÿ,
òåì áîëåå ðàñïëûâ÷àòûì áóäåò îòâåò. Îòâåòû ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà âûäàåò â âèäå ôîðìóë, â êîòîðûå óðîâåíü äîâåðèÿ âõîäèò êàê ïàðàìåòð. Òàê ÷òî ÷àñòî îíè ïîçâîëÿþò âûáðàòü ñòðàòåãèþ, ïîçâîëÿþùóþ äîáèòüñÿ æåëàòåëüíîé òî÷íîñòè ñ íóæíûì óðîâíåì äîâåðèÿ ê ðåçóëüòàòàì.
3.2. Äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ ñðåäíåãî â ñëó÷àå,
êîãäà ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå σ
òåîðåòè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ èçâåñòíî
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî âûâåäåííàÿ íàìè ôîðìóëà:
x − kβ
σ
σ
< a < x + kβ
n
n
– ýòî ôîðìóëà äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà ñ óðîâíåì äîâåðèÿ β
äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ à íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ
äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà èçâåñòíî ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå
ðàñïðåäåëåíèÿ σ. Ïðè âçãëÿäå íà íåå ÿñíî, ÷òî ÷åì áîëüøå n, òåì
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
51
óæå èíòåðâàë, à ÷åì áîëåå áëèçêóþ ãàðàíòèþ β ìû òðåáóåì, òåì äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë øèðå. Êðîìå òîãî, îíà ïîçâîëÿåò îöåíèòü, êàêîâ
äîëæåí áûòü îáúåì âûáîðêè n, ÷òîáû òî÷íîñòü îöåíêè, ïîëó÷åííîé ïî
íåé äëÿ ãåíåðàëüíîãî ñðåäíåãî, íå ïðåâîñõîäèëà çàäàííîãî çíà÷åíèÿ
ε (ýïñèëîí) ñ óðîâíåì äîâåðèÿ β.  ñëó÷àÿõ, êîãäà îïðåäåëåíèå îáúåìà âûáîðêè â íàøåé âëàñòè, ìû ìîæåì âû÷èñëèòü, íà ñêîëüêî íàäî
óâåëè÷èòü åå îáúåì, ÷òîáû äîáèòüñÿ íóæíîé òî÷íîñòè. Òàê êàê òî÷íîñòü
îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíà êîðíþ èç n, òî äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîâûñèòü òî÷íîñòü â 2 ðàçà, îáúåì âûáîðêè íàäî óâåëè÷èòü â 4 ðàçà; ÷òîáû ïîâûñèòü
òî÷íîñòü â 10 ðàç, ÷èñëî èñïûòàíèé íàäî óâåëèòü â 100 ðàç.
Íàïèñàííîå ñîîòíîøåíèå áûëî âûâåäåíî â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî
äèñïåðñèÿ èñõîäíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ èçâåñòíà (íàïðèìåð, îíà ðàíüøå áûëà óñòàíîâëåíà ïî âûáîðêå îáúåìà áîëüøå 50). À öåëüþ äàííîãî
ýêñïåðèìåíòà ÿâëÿåòñÿ îöåíèòü òîëüêî ñðåäíåå. Ðàññìîòðèì òåïåðü
áîëåå ðàñïðîñòðàíåííûé ñëó÷àé – êîãäà íå òîëüêî ñðåäíåå, íî è äèñïåðñèÿ ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè íå èçâåñòíû.
3.3. Äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ ñðåäíåãî â ñëó÷àå,
êîãäà ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå σ
òåîðåòè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ íåèçâåñòíî
Íàìè áûëî ïîêàçàíî, ÷òî êîãäà äèñïåðñèÿ èçâåñòíà, âûáîðî÷íîå
ñðåäíåå èìååò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè à è
σ
.
n
Ìû îòíîðìèðîâàëè åãî – âû÷ëè èç íåãî åãî ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå
è ïîäåëèëè ïîëó÷åííóþ ðàçíîñòü íà åãî ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå. Òåì ñàìûì ïåðåøëè îò íåãî ê ñòàíäàðòíîé íîðìàëüíîé âåëè÷èíå è âîñïîëüçîâàëèñü åå ñâîéñòâàìè è òàáëèöàìè.
Çàìåíèì â ýòîé îïåðàöèè íåèçâåñòíîå ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå åãî ýìïèðè÷åñêîé îöåíêîé. Ðàññìîòðèì ñòàòèñòèêó
n − 1( x − a )
(â ýòîé ôîðìóëå s – êîðåíü èç s2 – èñS
n 2
2
ïðàâëåííîé, íåñìåùåííîé îöåíêè äëÿ äèñïåðñèè: s =
S ).
n −1
τ=
n( x − a)
=
s
Ïðè íàõîæäåíèè ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé äëÿ ñòàòèñòèêè τ ìû
äîëæíû ó÷åñòü, ÷òî íåèçâåñòíîå ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå ìû
çàìåíèëè â ôîðìóëàõ íà åãî ýìïèðè÷åñêèé àíàëîã. Ìîæíî ïîêàçàòü,
÷òî τ èìååò ðàñïðåäåëåíèå Ñòüþäåíòà ñ (n–1) ñòåïåíÿìè ñâîáîäû.
Ðàñïðåäåëåíèåì Ñòüþäåíòà ñ n ñòåïåíÿìè ñâîáîäû íàçûâàåòñÿ ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
52
t=
ξ
=
1 2
⋅ χn
n
ξ
1 n 2
⋅ ∑ ξi
n i =1
,
ãäå ξ, ξ1, ... , ξn – íåçàâèñèìûå, ñòàíäàðòíûå íîðìàëüíûå ñëó÷àéíûå
âåëè÷èíû. Ýòî ðàñïðåäåëåíèå ñèììåòðè÷íî, à ïðè çíà÷åíèÿõ n > 20
ïðàêòè÷åñêè íåîòëè÷èìî îò íîðìàëüíîãî. Ïðè ìåíüøèõ n ðàçíèöà
âñå-òàêè åñòü è åå íàäî ó÷èòûâàòü.  çàäà÷àõ ýêîíîìèêè â ìåòîäå ñêîëüçÿùåé ñðåäíåé (ïðè ïðîãíîçèðîâàíèè ïî äàííûì çà ÷åòûðå êâàðòàëà
îæèäàåìîãî çíà÷åíèÿ äëÿ ïÿòîãî êâàðòàëà è âî ìíîãèõ äðóãèõ) èñïîëüçóþòñÿ âûáîðêè íåáîëüøîãî îáúåìà (òàê íàçûâàåìûå ìàëûå âûáîðêè).
 ýòèõ çàäà÷àõ èñïîëüçóåòñÿ ðàñïðåäåëåíèå Ñòüþäåíòà ñ íåáîëüøèì
÷èñëîì ñòåïåíåé ñâîáîäû. Äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Ñòüþäåíòà ñóùåñòâóþò
ìíîãî÷èñëåííûå ñòàòèñòè÷åñêèå òàáëèöû.
Ïðèìåíèâ òå æå ðàññóæäåíèÿ, êîòîðûå ìû ïðèìåíÿëè ïðè ïîñòðîåíèè äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà äëÿ ñðåäíåãî ïðè èçâåñòíîé äèñïåðñèè, ïîëó÷àåì ôîðìóëó äëÿ äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà äëÿ ñðåäíåãî â
ñëó÷àå íåèçâåñòíîé äèñïåðñèè. À èìåííî, îáîçíà÷èì ÷åðåç tn;β çíà÷åíèå, äëÿ êîòîðîãî
P {− t n;β < ξ < + t n;β } = β ,
ãäå ξ èìååò ðàñïðåäåëåíèå Ñòüþäåíòà ñ n ñòåïåíÿìè ñâîáîäû. Çíà÷åíèå tn;β ïî çàäàííîìó çíà÷åíèþ β íàõîäèòñÿ ïî òàáëèöàì ðàñïðåäåëåíèÿ Ñòüþäåíòà (òàáë. 6 ôàéëà ìàòåðèàëîâ) àíàëîãè÷íî òîìó, êàê ìû èñêàëè kβ äëÿ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, èñïîëüçóÿ òàáë. 5. Ïðè ýòîì
íàäî, ïðàâäà, åùå ó÷åñòü çíà÷åíèå n, ÷òî íå äîëæíî âûçâàòü çàòðóäíåíèé. Êàê ïðàâèëî, òàáëèöû ðàñïðåäåëåíèÿ Ñòüþäåíòà çàäàþòñÿ íå äëÿ
âñåõ β, à òîëüêî äëÿ íàèáîëåå óïîòðåáèòåëüíûõ çíà÷åíèé 0,9, 0,95 è
0,99. Åñëè n âåëèêî (áîëüøå 20), è ïîä ðóêîé íåò òàáëèö ðàñïðåäåëåíèÿ
Ñòüþäåíòà, à èìåþòñÿ òîëüêî áîëåå ðàñïðîñòðàíåííûå òàáëèöû íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, òî ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ èìè, ñ÷èòàÿ, ÷òî ñ
õîðîøåé òî÷íîñòüþ tβ = kβ. Íàïðèìåð, åñëè òðåáóåìûé óðîâåíü äîâåðèÿ 0,95, òî ìîæíî âçÿòü tn;β = 2, à åñëè óðîâåíü äîâåðèÿ 0,997, òî t n;β =
3 (ïðàâèëî 2σ è 3σ äëÿ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ).
Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ñòàòèñòèêè τ, èìåþùåé ðàñïðåäåëåíèå Ñòüþäåíòà ñ (n–1) ñòåïåíüþ ñâîáîäû, ìîæíî çàïèñàòü:
P{|τ| < tn–1;β} = β
è, ïðîäåëàâ ïðîñòûå òîæäåñòâåííûå ïðåîáðàçîâàíèÿ, ïîëó÷àåì, ÷òî ñ
âåðîÿòíîñòüþ β âûïîëíÿåòñÿ
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
53
x − t n −1;β
s
s
S
S
< a < x + t n −1;β
èëè x − t n −1;β
< a < x + t n −1;β
n
n
n −1
n −1
Ýòî ôîðìóëà äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà ñ óðîâíåì äîâåðèÿ
β äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ à íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå ðàñïðåäåëåíèÿ σ íåèçâåñòíî.
Ïðèìåð 3.1. Äëÿ ïðîâåðêè ôàñîâî÷íîé óñòàíîâêè áûëè îòîáðàíû
è âçâåøåíû 20 óïàêîâîê. Áûëè ïîëó÷åíû ñëåäóþùèå ðåçóëüòàòû (â ãðàììàõ): 246; 247; 247,3; 247,4; 251,7; 252,5; 252,6; 252,8; 252,8; 252,9;
253; 253,6; 254,6; 254,7; 254,8; 256,1; 256,3; 256,8; 257,4; 259,2.
Íàéòè äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ñ
íàä¸æíîñòüþ 0,95, ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî èçìåðÿåìàÿ âåëè÷èíà ðàñïðåäåëåíà íîðìàëüíî.
Ðåøåíèå. Íàõîäèì òî÷å÷íûå îöåíêè a è σ:
1 n
1 20
~
a = x = ∑ xi =
∑ x i = 252,98
n i=1
20 i=1
n
1 20
2
~2 = s 2 = 1
σ
(
−
)
=
(x i − x )2 = 13,3
x
x
i
∑
∑
n − 1 i=1
19 i=1
~
σ = s = 3,65
Îïðåäåëÿåì ïî òàáëèöå ðàñïðåäåëåíèÿ Ñòüþäåíòà (òàáë. 6 ôàéëà
ìàòåðèàëîâ) äëÿ äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòè β = 0,95 è ÷èñëó ñòåïåíåé
ñâîáîäû (n – 1) = 19 ñîîòâåòñòâóþùåå çíà÷åíèå tβ = 2,093 è ïî ôîðìóëå íàõîäèì èñêîìûé èíòåðâàë:
252,98 −
2,093 ⋅ 3,65
2,093 ⋅ 3,65
≤ a ≤ 252,98 +
èëè 251,27 ≤ a ≤ 254,69 .
20
20
3.4. Îöåíêà òðåáóåìîãî îáúåìà âûáîðêè
Ôîðìóëû äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà ïîçâîëÿþò çàîäíî ðåøèòü åùå
îäíó èíòåðåñíóþ çàäà÷ó: êàêîâ äîëæåí áûòü îáúåì âûáîðêè n, ÷òîáû ñ
íàäåæíîñòüþ β òî÷íîñòü îöåíêè, ïîëó÷åííîé ïî íåé äëÿ à, íå ïðåâîñõîäèëà çàäàííîãî çíà÷åíèÿ ε, òî åñòü x − a < ε (ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå èçâåñòíî)?
Äåéñòâèòåëüíî, òàê êàê ïî ôîðìóëå äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà ñ
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
54
âåðîÿòíîñòüþ β âûïîëíÿåòñÿ
óðàâíåíèÿ
kβ
σ
, òî íóæíîå n íàõîäèòñÿ èç
n
x − a < kβ
2
 k σ
= ε , òî åñòü n =  β  . Ñëåäîâàòåëüíî, ðåçóëüòàò
n
 ε 
σ
òåì òî÷íåå, ÷åì áîëüøå îáúåì âûáîðêè.
3.5. Äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ âåðîÿòíîñòè óñïåõà
â ñõåìå Áåðíóëëè
Ïóñòü ïðîâîäÿòñÿ íåçàâèñèìûå èñïûòàíèÿ, â êîòîðûõ ñîáûòèå À
íàñòóïàåò ñ íåèçâåñòíîé âåðîÿòíîñòüþ ð. Ñòàâèòñÿ çàäà÷à ñ ïîìîùüþ
âûáîðî÷íûõ èñïûòàíèé ïîñòðîèòü äëÿ ð òî÷å÷íóþ è èíòåðâàëüíóþ îöåíêè.
Ìåòîä ìîìåíòîâ íàì óêàçûâàåò, ÷òî â êà÷åñòâå òî÷å÷íîé îöåíêè íàäî
âçÿòü çíà÷åíèå
m
~
p = , ãäå m – ÷èñëî óñïåõîâ. Äåéñòâèòåëüíî, òàáëèöà
n
ñòàòèñòè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ âûáîðêè îáúåìà n, â êîòîðîé m ðàç
ïðîèçîøåë “óñïåõ” (âûïàëà 1) è n–m ðàç “íåóñïåõ” (âûïàë 0), èìååò âèä
(òàáë. 3.1):
Òàáëèöà 3.1
Xi
0
1
~
pi
(n-m)/n
m/n
Íåèçâåñòíàÿ âåðîÿòíîñòü ð ðàâíà ìàòåìàòè÷åñêîìó îæèäàíèþ ãåíåðàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, ìåòîä ìîìåíòîâ ðåêîìåíäóåò íàì âçÿòü â êà÷åñòâå îöåíêè äëÿ ð ýìïèðè÷åñêîå ñðåäíåå:
x = 1⋅
m
n−m m
+ 0⋅
= .
n
n
n
Âîñïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî ïî òåîðåìå Ìóàâðà-Ëàïëàñà âåëè÷èíà
m − np
ðàñïðåäåëåíà ïðèáëèçèòåëüíî íîðìàëüíî, ò.å.:
npq
 m − np

P
< kβ  ≅ Φ( kβ ) = β.
 npq

Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
55
Îòñþäà
{
}
m
pq 
P m − np < kβ ⋅ npq = P − p < kβ
 = β.
n 
n
Âîñïîëüçîâàâøèñü òåì, ÷òî q = 1–p, ïîëó÷àåì, ÷òî ñ âåðîÿòíîñòüþ
β âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî:
p(1 − p )
p(1 − p )
~
p − kβ
≤p≤~
p + kβ
.
n
n
Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ïîñòðîåíèÿ äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà äëÿ p
ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ òàáëèöàìè íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.
Ãðàíèöû èíòåðâàëà çàâèñÿò îò íåèçâåñòíîé âåëè÷èíû ð.  ðóêîâîäñòâàõ ïî ñòàòèñòèêå ìîæíî íàéòè ôîðìóëû äëÿ ãðàíèö, ëèøåííûå
ýòîãî íåäîñòàòêà; ìû æå âîñïîëüçóåìñÿ òåì, ÷òî ïðè áîëüøèõ n íåèçâåñòíîå ð ìîæíî çàìåíèòü åãî ýìïèðè÷åñêèì çíà÷åíèåì:
~
~
p(1 − ~
p)
p(1 − ~
p)
~
p − kβ
≤p≤~
p + kβ
.
n
n
Ôîðìóëà äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà ïîçâîëÿåò çàîäíî ðåøèòü åùå
îäíó çàäà÷ó: êàêîâ äîëæåí áûòü îáúåì âûáîðêè n, ÷òîáû ñ íàäåæíîñòüþ
β òî÷íîñòü îöåíêè, ïîëó÷åííîé ïî íåé äëÿ ð, íå ïðåâîñõîäèëà çàäàí-
p−p < ε?
íîãî çíà÷åíèÿ ε, ò.å. ~
Äåéñòâèòåëüíî, ïî ôîðìóëå äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà ñ âåðîÿòíîñòüþ β âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
~
p − p < kβ
~
p(1 − ~
p)
, ò.å. ðåçóëün
òàò òåì òî÷íåå, ÷åì áîëüøå îáúåì âûáîðêè. Íóæíîå n íàõîäèòñÿ èç
óðàâíåíèÿ
kβ
~
p(1 − ~
p)
n
2
kβ
p(1 − ~
p) .
= ε , ò.å. n = 2 ~
ε
Çàìå÷àíèå. Äëÿ áåñïîâòîðíîé âûáîðêè (âûáîðêè áåç âîçâðàùåíèÿ) èç ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè îáúåìà N äëèíà äîâåðèòåëüíûõ èíòåðâàëîâ ìåíüøå:
p% − kβ
m / n(1 − m/ n)
n
m / n(1 − m / n)
n
1 − ≤ p ≤ p% + kβ
1− .
n
N
n
N
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
56
Òàêóþ æå ïîïðàâêó ñëåäóåò ñäåëàòü äëÿ ñëó÷àÿ áåñïîâòîðíîé âûáîðêè è â ôîðìóëàõ äîâåðèòåëüíûõ èíòåðâàëîâ äëÿ ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ
íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ (óìåíüøèòü äèñïåðñèþ â (1–n/N) ðàç.
3.6. Îäíîñòîðîííèå äîâåðèòåëüíûå èíòåðâàëû
Íà ïðàêòèêå ÷àñòî ïîëüçóþòñÿ îäíîñòîðîííèìè äîâåðèòåëüíûìè
èíòåðâàëàìè. Íàïðèìåð, ñòðàõîâîé êîìïàíèè íå ñòðàøíî, åñëè ïðîèçîéäåò ñòðàõîâûõ ñëó÷àåâ íàìíîãî ìåíüøå ñðåäíåãî, íî ñòðàøíî, åñëè
èõ ïðîèçîéäåò íàìíîãî áîëüøå ñðåäíåãî. Îöåíèâàÿ ïðè ïîêóïêå ñðåäíþþ äîõîäíîñòü îáúåêòà, ëó÷øå îöåíèòü åå ïî ôîðìóëå “íå ìåíüøå,
÷åì”; ïðè èçó÷åíèè ñðåäíåãî óðîâíÿ âîäû â ðåêå â îáëàñòÿõ, ïîäâåðæåííûì íàâîäíåíèÿì, èíòåðåñóþòñÿ óðîâíåì, âûøå êîòîðîãî âîäà íå
ïîäíèìåòñÿ, à â îáëàñòÿõ, ïîäâåðæåííûõ çàñóõå, íàîáîðîò – óðîâíåì,
íèæå êîòîðîãî âîäà íå îïóñòèòñÿ.
 ýòîì ñëó÷àå ñòðîÿò íå ñèììåòðè÷íûé îòíîñèòåëüíî îöåíêè èíòåðâàë, à ìàêñèìàëüíî ðàñøèðÿþò åãî çà ñ÷åò îäíîé èç åãî ãðàíèö.
Åñëè ìû ïîñòðîèì äâóñòîðîííèé äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë ñ ãàðàíòèåé
β, à çàòåì ìàêñèìàëüíî ðàñøèðèì åãî â îäíó ñòîðîíó, òî ïîëó÷èì îäíîñòîðîííèé èíòåðâàë ñ áîëüøåé ãàðàíòèåé β′ = β+(1–β)/2=(1+β)/2
(ðèñ. 3.1). Íàïðèìåð, åñëè β = 0,90, òî β′ = 0,90 + 0,10/2 = 0,95, à åñëè
β = 0,95, òî β′ = 0,95 + 0,05/2 = 0,975. Òàêèì îáðàçîì, “îäíîñòîðîííèé”
ïîäõîä ïîçâîëÿåò óâåëè÷èòü óðîâåíü äîâåðèÿ, âåðíåå, âäâîå ñíèçèòü
îøèáêó α = 1–β (èëè ïðè òîì æå óðîâíå äîâåðèÿ ñóçèòü èíòåðâàë – âìåñòî tβ ìîæíî âçÿòü t2β–1). Åñëè ïðè ïîñòðîåíèè äâóñòîðîííèõ äîâåðèòåëüíûõ èíòåðâàëîâ íàäî áûëî ðåøàòü óðàâíåíèå:
ft(x)
ft(x)
1–β
β
(1–β)/2 (1–β)/2
(1–β)/2
–tβ
0
+tβ
–tβ
–t2β–1
Ðèñ. 3.1
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
57
0
+ tβ
∫ f ( x )dx = β ,
− tβ
òî äëÿ ïîñòðîåíèÿ îäíîñòîðîííèõ äîâåðèòåëüíûõ èíòåðâàëîâ íàäî ðåøàòü óðàâíåíèå:
−tα
∫ f ( x )dx = α = 1 − β ,
−∞
∞
∫ f ( x )dx = α = 1− β .
tα
Ïëîòíîñòü f(x), êàê äëÿ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, òàê è äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Ñòüþäåíòà, ñèììåòðè÷íàÿ ôóíêöèÿ (f(x) = f(–x)), ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ íèõ îøèáêà, ñîñòîÿùàÿ â íåïîïàäàíèè â èíòåðâàë, ñèììåòðè÷íûé îòíîñèòåëüíî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ, äåëèòñÿ ïîðîâíó
ìåæäó ïîïàäàíèåì â ïîëóèíòåðâàë [–∞,–tβ ] è ïîëóèíòåðâàë [tβ ,∞], òî
åñòü âåðîÿòíîñòü êàæäîãî òàêîãî ïîëóèíòåðâàëà âäâîå ìåíüøå îøèáêè
äâóñòîðîííåãî èíòåðâàëà. Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ïîèñêà íóæíîãî kβ ïðè
ïîñòðîåíèè îäíîñòîðîííåãî èíòåðâàëà, íàäî ïî çàäàííîìó óðîâíþ
äîâåðèÿ β íàéòè åãî îøèáêó α = 1–β, çàòåì óäâîèòü åå, âçÿòü α′ = 2α,
âû÷èñëèòü äëÿ íåå íîâûé óðîâåíü äîâåðèÿ β′ = 1–α′ è íàéòè kβ′ äëÿ
äâóñòîðîííåãî èíòåðâàëà ñ òàêèì óðîâíåì äîâåðèÿ. Òàáëèöû 5 è 6 ôàéëà ìàòåðèàëîâ èñïîëüçóþò ýòî îáñòîÿòåëüñòâî è ñîäåðæàò çíà÷åíèÿ ïîëîâèííûõ îøèáîê, ïîçâîëÿþùèõ ïðÿìî ïî íèì ïîëó÷àòü íóæíîå çíà÷åíèå (ñì. íèæå).  òàáë. 6 (ñì. ôàéë ìàòåðèàëîâ) îäíî è òî æå t ñîîòâåòñòâóåò îøèáêå äâóñòîðîííåãî èíòåðâàëà, çàäàâàåìîé â âåðõíåé ñòðîêå
òàáëèöû è îøèáêå îäíîñòîðîííåãî èíòåðâàëà, çàäàâàåìîé â íèæíåé
ñòðîêå òàáëèöû (îíà âäâîå ìåíüøå). Â òàáë. 5, ìåíåå ïåðåãðóæåííîé
èíôîðìàöèåé èç-çà îòñóòñòâèÿ ïàðàìåòðà n (÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû),
äëÿ çíà÷åíèÿ îøèáêè îäíîñòîðîííåãî èíòåðâàëà îòâåäåí ñâîé ñòîëáåö (ñòîèò îòìåòèòü, ÷òî îøèáêà îäíîñòîðîííåãî èíòåðâàëà âäâîå ìåíüøå îøèáêè äâóñòîðîííåãî èíòåðâàëà).
Î÷åíü ÷àñòî ñòàòèñòè÷åñêèå òàáëèöû ñîñòàâëÿþòñÿ èìåííî äëÿ
îäíîñòîðîííèõ èíòåðâàëîâ. Ýòîò ñïîñîá ÿâëÿåòñÿ óíèâåðñàëüíûì, à äëÿ
íåñèììåòðè÷íûõ ðàñïðåäåëåíèé åäèíñòâåííî âîçìîæíûì. Çíà÷åíèÿ
up
up, äëÿ êîòîðûõ âûïîëíÿåòñÿ
∫ f ( x )dx = P , íàçûâàþòñÿ êâàíòèëÿìè.
−∞
Îáîçíà÷èì ÷åðåç F(x) – ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ñòàíäàðòíîãî íîðÑîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
58
ìàëüíîãî çàêîíà. Îíà ñâÿçàíà ñ ôóíêöèåé Ëàïëàñà Φ(õ) ïðîñòûì ñîîòíîøåíèåì:
1
F( x ) =
2π
x
∫e
−
t2
2
0
dt =
−∞
x
∫
−∞
+ ∫ = 0.5 + 0.5 ⋅ Φ( x ) = 0.5[1 + Φ( x )].
0
Êàê äëÿ ξ∼N(0,1), òàê è äëÿ η∼N(a,σ), âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â ëþáîé ïîëóèíòåðâàë ìîæåò áûòü âûðàæåíà ÷åðåç F(x), òî åñòü âû÷èñëåíà ñ
ïîìîùüþ òàáëèö ôóíêöèè F(x). Äåéñòâèòåëüíî:
1
P( ξ ≤ B ) =
2π
1
P( η ≤ B ) =
σ 2π
B
∫e
−
( t −a )2
2 σ2
−∞
∫e
−
t2
2
dt = F( B )
−∞
B −a
1
dt =
2π
(ìû ñäåëàëè çàìåíó ïåðåìåííûõ
∞
B
σ
∫
e
−∞
−
y2
2
B−a
dy = F

 σ 
t−a
dt
= y; dy = ).
σ
σ
t2
B
∞
−
1
2
P( ξ > B ) =
e
∫ dt = −∫∞ − −∫∞ = 1 − F( B )
2π B
∞
−
1
P( η > B ) =
e
∫
σ 2π B
( t −a ) 2
2σ 2
1
dt =
2π
∞
∫e
−
y2
2
B −a
B −a
dy = 1 − F
.
 σ 
σ
Îòñþäà äëÿ ξ∼N(a,σ):
1
P{ξ < a − uβ σ} = P{ξ > a + uβ σ} = [1 − Φ( uβ )] = 1 − F( uβ ) = 1 − β = α ,
2
ãäå ÷åðåç uβ îáîçíà÷åíà êâàíòèëü íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.
 ÷àñòíîñòè:
P{ξ < a–3σ} = P{ξ>a+3σ}=1/2[1 – 0,9973] = 0,00135,
P{ξ < a–2σ} = P{ξ>a+2σ} = 0,023,
P{ξ > a–2σ} = P{ξ<a+2σ} = 0,977.
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
59
Ïðèâåäåì ôîðìóëó, êîòîðàÿ íàì ïîíàäîáèòñÿ äëÿ âû÷èñëåíèÿ îäíîñòîðîííåãî äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà ñ óðîâíåì äîâåðèÿ 0,95:
P{ξ < a–1,65σ} = P{ξ > a+1,65σ} = 0,05,
P{ξ > a–1,65σ} = P{ξ < a+1,65σ} = 0,95.
Íèæå ìû ðàññìîòðèì ïðèìåðû è íà îäíîñòîðîííèå èíòåðâàëû. À
ïîêà ïðèâåäåì ôîðìóëû äëÿ îäíîñòîðîííèõ äîâåðèòåëüíûõ èíòåðâàëîâ, àíàëîãè÷íûå ôîðìóëàì äâóñòîðîííèõ èíòåðâàëîâ:
1. Îäíîñòîðîííèå äîâåðèòåëüíûå èíòåðâàëû äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ à íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñ óðîâíåì
äîâåðèÿ β äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå ðàñïðåäåëåíèÿ σ èçâåñòíî:
x k σ
− ∞ <a< + β n
è
x − kβ
σ
n
<µ<∞
a
(kβ îòûñêèâàåòñÿ â òàáë. 5 ôàéëà ìàòåðèàëîâ ïî α = 1–β, íàõîäÿ åãî
çíà÷åíèå â 3-ì ñòîëáöå).
2. Îäíîñòîðîííèå äîâåðèòåëüíûå èíòåðâàëû äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ µ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñ óðîâíåì
äîâåðèÿ β äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå ðàñïðåäåëåíèÿ σ íåèçâåñòíî:
x
−∞ <a< +
t
n−1,β
s
n
è
x − t n−1,β
s
a< ∞
<µ
n
(tn–1;β îòûñêèâàåòñÿ â òàáëèöå 6 ôàéëà ìàòåðèàëîâ ïî α = 1–β, íàõîäÿ
åãî çíà÷åíèå â íèæíåé ñòðîêå).
Àíàëîãè÷íî âûïèñûâàþòñÿ ôîðìóëû îäíîñòîðîííèõ äîâåðèòåëüíûõ
èíòåðâàëîâ äëÿ âåðîÿòíîñòè ð ñõåìû Áåðíóëëè.
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
60
4. ÏÐÎÂÅÐÊÀ ÑÒÀÒÈÑÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÃÈÏÎÒÅÇÛ
4.1. Ïðîâåðêà ãèïîòåçû î ðàâåíñòâå ñðåäíåãî
÷èñëîâîìó çíà÷åíèþ
Ïîíÿòèå “ñòàòèñòè÷åñêàÿ ãèïîòåçà” áîëåå åìêîå, ÷åì ïðîñòî îöåíêà çíà÷åíèÿ íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà. Ïóñòü ñ ïîìîùüþ ñòàòèñòè÷åñêîãî ýêñïåðèìåíòà ìû õîòèì ïðîâåðèòü ãèïîòåçó î òîì, ÷òî íåèçâåñòíîå
ñðåäíåå µ ðàâíî íåêîòîðîìó çíà÷åíèþ µ0. Ýòà ãèïîòåçà áóäåò îñíîâíîé. Ïðè ýòîì àëüòåðíàòèâíîé åé ìîæåò áûòü ãèïîòåçà µ≠µ0 èëè áîëåå
ñëîæíàÿ ãèïîòåçà òèïà µ<µ0 èëè µ>µ0. Íàïðèìåð, èçâåñòíî, ÷òî â ñðåäíåì çà ñìåíó íà ñòàíêå ïðîèçâîäèòñÿ 110 äåòàëåé. Ñòàíîê ñëîìàëñÿ è
åãî “îòðåìîíòèðîâàëè”. Ïîëó÷èâ íà “îòðåìîíòèðîâàííîì” ñòàíêå ïîêàçàòåëè çà n ñìåí, ìû õîòèì ïðîâåðèòü ãèïîòåçó: “ïðîèçâîäèòåëüíîñòü
ñòàíêà íå èçìåíèëàñü”, êîãäà àëüòåðíàòèâíîé ãèïîòåçîé ÿâëÿåòñÿ, ÷òî
îíà èçìåíèëàñü, èëè ÷òî ïðîèçâîäèòåëüíîñòü ñòàíêà óâåëè÷èëàñü, èëè
÷òî ïðîèçâîäèòåëüíîñòü ñòàíêà óìåíüøèëàñü.
Ïðè ðåøåíèè òàêèõ çàäà÷ òàêæå ïðèìåíÿåòñÿ àïïàðàò ïîñòðîåíèÿ
äëÿ ñîîòâåòñòâóþùåé ñòàòèñòèêè îáëàñòè Iβ, âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â
êîòîðóþ β äîñòàòî÷íî áëèçêà ê 1. Ïðè ïîïàäàíèè ñòàòèñòèêè, ïîñòðîåííîé ïî âûáîðêå, â ýòó îáëàñòü ïðèíèìàåòñÿ îñíîâíàÿ ãèïîòåçà (â íàøåì ïðèìåðå, ÷òî ïðîèçâîäèòåëüíîñòü ñòàíêà íå èçìåíèëàñü è ðàâíà
110); â ïðîòèâíîì ñëó÷àå, åñëè çíà÷åíèå ñòàòèñòèêè ïîïàëî â îáëàñòü,
ïðîòèâîïîëîæíóþ Iβ, ïðèíèìàåòñÿ àëüòåðíàòèâíàÿ ãèïîòåçà (ïðîèçâîäèòåëüíîñòü ñòàíêà èçìåíèëàñü).  çàäà÷àõ î ïðîâåðêå ãèïîòåç ïðèíÿòî îáëàñòü, ïðîòèâîïîëîæíóþ Iβ, íàçûâàòü êðèòè÷åñêîé, à ÷èñëî α = 1–β
– óðîâíåì çíà÷èìîñòè. Óðîâåíü çíà÷èìîñòè α îáû÷íî áåðóò ðàâíûì
0,05, èíîãäà 0,01. Ïðè α = 0,05 ìû, ïðîâåðÿÿ íà äåëå èñòèííóþ ãèïîòåçó î òîì, ÷òî µ = µ0, áóäåì åå îòáðàñûâàòü ñ âåðîÿòíîñòüþ 0,05, ò.å. â
ñðåäíåì 5 èç 100 èñòèííûõ ãèïîòåç.  ïðîñòûõ ñëó÷àÿõ îáëàñòÿìè Iβ
îêàçûâàþòñÿ óæå çíàêîìûå íàì äîâåðèòåëüíûå èíòåðâàëû. Ïðè ïðîâåðêå ãèïîòåçû Θ = Θ 0 ìû ñòðîèì ñ äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòüþ
β = 1–α ïðè àëüòåðíàòèâíîé ãèïîòåçå Θ ≠ Θ0 äâóñòîðîííèé, à ïðè ãèïîòåçàõ Θ > Θ0 è Θ < Θ0 îäíîñòîðîííèå ñ íèæíåé ãðàíèöåé õí è âåðõíåé
ãðàíèöåé õâ äîâåðèòåëüíûå èíòåðâàëû. Åñëè ýòîò èíòåðâàë ïîêðûâàåò
Θ0, ãèïîòåçà Í0 ïðèíèìàåòñÿ, åñëè íå íàêðûâàåò – îòâåðãàåòñÿ. Ïðèâåäåì íåêîòîðûå ïðèìåðû.
Ïðèìåð 4.1.  çàäà÷å ïðî “ðåìîíò” ñòàíêà ïðîâåðÿåì ãèïîòåçó
îá èçìåíåíèè ïðîèçâîäèòåëüíîñòè ñòàíêà, åñëè çà 31 ñìåíó ïîëó÷åíû
äàííûå î ïðîèçâîäèòåëüíîñòè ñòàíêà, äëÿ êîòîðûõ x = 100, s2 = 202 = 100.
Óðîâåíü çíà÷èìîñòè α = 0,05 (β = 0,95) è ν = n – 1 = 30. Çíà÷åíèÿ tn;β ,
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
61
ó÷àñòâóþùèå â ïîñòðîåíèè äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà, îòûñêèâàþòñÿ â
òàáëèöå 6, β èëè α â âåðõíåé ñòðîêå:
I 0,95 = x ± t 30;0,95
20
= 100 ± 2,04 ⋅ 3,65 = 100 ± 7,45
30
Âûâîä. Ãèïîòåçà î òîì, ÷òî ïðîèçâîäèòåëüíîñòü ñòàíêà íå èçìåíèëàñü, íå ïðîõîäèò íà óðîâíå çíà÷èìîñòè 5%, òàê êàê ñòàðàÿ ïðîèçâîäèòåëüíîñòü, ðàâíàÿ 110, â 95-ïðîöåíòíûé äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë,
ïîñòðîåííûé ïî íîâîé ñðåäíåé ïðîèçâîäèòåëüíîñòè, íå ïîïàëà. Áîëåå òîãî, îíà íå ïîïàëà áû â äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë, äàæå åñëè áû
ìû çàäàëèñü 98-ïðîöåíòíûì óðîâíåì äîâåðèÿ, äëÿ êîòîðîãî t30;0,98 = 2,46
(I0,98 = 100 ± 8,98). Ò.å. íàøà âûáîðêà ïîêàçàëà, ÷òî ãèïîòåçà î òîì, ÷òî
ïðîèçâîäèòåëüíîñòü ñòàíêà íå èçìåíèëàñü, íå ïðîõîäèò äàæå íà óðîâíå çíà÷èìîñòè 2%. Òîëüêî ïðè óðîâíå äîâåðèÿ 0,99 (t30;0,98 = 2,75) èíòåðâàë ñòàíîâèòñÿ òàêèì áîëüøèì (I0,99 = 100 ± 10,04), ÷òî ìû óæå íå
ìîæåì áûòü íà 99% óâåðåíû, ÷òî èçìåíåíèå âûðàáîòêè íå ñëó÷àéíî.
Óâèäåâ, ÷òî íîâûå ïîêàçàòåëè õóæå ñòàðûõ, áåðåì â êà÷åñòâå àëüòåðíàòèâíîé ãèïîòåçó î òîì, ÷òî íîâîå ñðåäíåå ìåíüøå ñòàðîãî (òàêàÿ àëüòåðíàòèâà åñòåñòâåííà, åñëè x < µ 0 ) òî åñòü, ÷òî ïðîèçâîäèòåëüíîñòü
ñòàíêà óìåíüøèëàñü. Ýòî ïðåäïîëîæåíèå ïîäòâåðæäàåòñÿ äàæå íà óðîâíå çíà÷èìîñòè 0,01. Äåéñòâèòåëüíî, ñòðîèì îäíîñòîðîííèé äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ óðîâíÿ äîâåðèÿ 0,99. Çíà÷åíèÿ tn;β, ó÷àñòâóþùèå
â ïîñòðîåíèè îäíîñòîðîííåãî äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà, îòûñêèâàþòñÿ â òàáëèöå 6, β èëè α â íèæíåé ñòðîêå:
I 0,99 = ( −∞, x + t ν;0,01
20
) = ( −∞, 100 + 2,46 ⋅ 3,65 ) = ( −∞, 108,98 ).
30
Òàê êàê µ0 = 110 íå âõîäèò â ïîñòðîåííûé îäíîñòîðîííèé èíòåðâàë,
ìîæíî ïðèíÿòü ãèïîòåçó î òîì, ÷òî ïðîèçâîäèòåëüíîñòü óìåíüøèëàñü,
íà óðîâíå çíà÷èìîñòè 1%.
Ïåðå÷èñëèì êðèòåðèè, ïî êîòîðûì, íå ïðèâëåêàÿ ïîíÿòèÿ äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà, ïðîâåðÿåòñÿ ñòàòèñòè÷åñêàÿ ãèïîòåçà î òîì, ÷òî
ñðåäíåå çíà÷åíèå ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè µ = µ0 íà óðîâíå çíà÷èìîñòè α (îíè âûâåäåíû èç ôîðìóë äëÿ äâóñòîðîííåãî è îäíîñòîðîííåãî äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà äëÿ óðîâíÿ äîâåðèÿ β = 1–α).
Âû÷èñëÿåì ïî âûáîðêå çíà÷åíèå ñòàòèñòèêè
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
62
T=
x − µ0
.
s
n
1. Êðèòè÷åñêàÿ îáëàñòü äëÿ îäíîñòîðîííåé ïðîâåðêè ãèïîòåçû, ÷òî
ñðåäíåå çíà÷åíèå ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè µ = µ0 ïî ñðàâíåíèþ ñ
àëüòåðíàòèâîé µ ≠ µ0, íà óðîâíå çíà÷èìîñòè α îïðåäåëÿåòñÿ íåðàâåíñòâîì:
|T| > tn–1;α
(tn–1;α îòûñêèâàåòñÿ ïî òàáë. 6 êðèòè÷åñêèõ çíà÷åíèé ðàñïðåäåëåíèÿ
Ñòüþäåíòà, α â âåðõíåé ñòðîêå).
2. Êðèòè÷åñêàÿ îáëàñòü äëÿ îäíîñòîðîííåé ïðîâåðêè ãèïîòåçû, ÷òî
ñðåäíåå çíà÷åíèå ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè µ = µ0 ïî ñðàâíåíèþ ñ
àëüòåðíàòèâîé µ > µ0, íà óðîâíå çíà÷èìîñòè α îïðåäåëÿåòñÿ íåðàâåíñòâîì:
T > tn–1;α
(tn–1;α îòûñêèâàåòñÿ ïî òàáë. 6 êðèòè÷åñêèõ çíà÷åíèé ðàñïðåäåëåíèÿ
Ñòüþäåíòà, α â íèæíåé ñòðîêå)
3. Êðèòè÷åñêàÿ îáëàñòü äëÿ îäíîñòîðîííåé ïðîâåðêè ãèïîòåçû, ÷òî
ñðåäíåå çíà÷åíèå ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè µ = µ0 ïî ñðàâíåíèþ ñ
àëüòåðíàòèâîé µ<µ0, íà óðîâíå çíà÷èìîñòè α îïðåäåëÿåòñÿ íåðàâåíñòâîì:
T < –tn–1;α
(tn–1;α îòûñêèâàåòñÿ ïî òàáë. 6 êðèòè÷åñêèõ çíà÷åíèé ðàñïðåäåëåíèÿ
Ñòüþäåíòà, α â íèæíåé ñòðîêå).
Åñëè âû÷èñëåííîå çíà÷åíèå ñòàòèñòèêè Ò ïîïàäàåò â êðèòè÷åñêóþ
îáëàñòü, òî îñíîâíàÿ ãèïîòåçà îòâåðãàåòñÿ. Âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â
ýòó îáëàñòü ðàâíà ïðèíÿòîìó óðîâíþ çíà÷èìîñòè α.  ýòîì ñëó÷àå ïðèíèìàåòñÿ àëüòåðíàòèâíàÿ ãèïîòåçà.
 íàøåì ïðèìåðå ïðî ñòàíîê Ò = –2,74, à t30;0,01 = 2,58, òàê ÷òî
îñíîâíàÿ ãèïîòåçà íå ïðîõîäèò, à ïðîõîäèò àëüòåðíàòèâíàÿ ãèïîòåçà
µ < 110 ïðè óðîâíå çíà÷èìîñòè 0,01.
Èñïîëüçîâàíèå äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà äëÿ ïàðàìåòðà â çàäà÷àõ ïðîâåðêè ãèïîòåçû î åãî çíà÷åíèè èìååò òî ïðåèìóùåñòâî, ÷òî äëÿ
ñëó÷àÿ, êîãäà îñíîâíàÿ ãèïîòåçà íå ïðîõîäèò, ýòîò ìåòîä ñðàçó äàåò
ýìïèðè÷åñêóþ îöåíêó ïàðàìåòðà.  êà÷åñòâå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà êîíêóðèðóþùåé ãèïîòåçû ÷àñòî áåðóò ýìïèðè÷åñêîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà
(â ÷àñòíîñòè, â êà÷åñòâå à ìîæíî âçÿòü x ).  íàøåì ñëó÷àå òàêîé îöåíêîé äëÿ íîâîé ïðîèçâîäèòåëüíîñòè ñòàíêà áóäåò ÷èñëî 100.
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
63
4.2. Ñðàâíåíèå äâóõ ãåíåðàëüíûõ ñðåäíèõ
Ðàññìîòðèì äâå íåçàâèñèìûå âûáîðêè x1,x2,...,xn è y1,y2,...,yn, èçâëå÷åííûå èç íîðìàëüíûõ ãåíåðàëüíûõ ñîâîêóïíîñòåé ñ îäèíàêîâûìè
2
2
2
äèñïåðñèÿìè σ x = σ y = σ , ïðè÷åì îáúåìû âûáîðîê ñîîòâåòñòâåííî n
è m, à ñðåäíèå µ x ,µ y è äèñïåðñèÿ σ2 íåèçâåñòíû. Òðåáóåòñÿ ïðîâåðèòü ãèïîòåçó î òîì, ÷òî µ x = µ y . Àëüòåðíàòèâíîé ÿâëÿåòñÿ ãèïîòåçà
µx ≠ µy .
Êàê èçâåñòíî, âûáîðî÷íûå ñðåäíèå – íîðìàëüíî (èëè ïðèáëèçèòåëüíî íîðìàëüíî) ðàñïðåäåëåííûå âåëè÷èíû, ñëåäîâàòåëüíî, èõ ðàçíîñòü x − y – íîðìàëüíàÿ âåëè÷èíà ñî ñðåäíèì µ x − µ y è äèñïåðñèåé,
êîòîðàÿ âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå:
2
2
2
σ
σ
σ ( m + n)
+
=
D(x − y ) = Dx + Dy =
.
n m
mn
Åñëè áû äèñïåðñèÿ σ 2 áûëà èçâåñòíà, ìû ìîãëè áû äëÿ ïðîâåðêè
ãèïîòåçû âîñïîëüçîâàòüñÿ ñâîéñòâàìè è òàáëèöàìè íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, êàê ìû ýòî äåëàëè ïðè ïîñòðîåíèè äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà äëÿ ñðåäíåãî ïðè èçâåñòíîé äèñïåðñèè. Â ñèëó òîãî, ÷òî σ 2 íåèçâåñòíà, çàìåíèì â íàøèõ ðàññóæäåíèÿõ íåèçâåñòíóþ äèñïåðñèþ íà åå
ýìïèðè÷åñêèé àíàëîã.
Èòàê, äëÿ ïðîâåðêè ãèïîòåçû µ x = µ y ïîñòðîèì ñòàòèñòèêó:
t=
x−y
=
1 1
+
s
n m
x−y
2
2
nS x + mS y
nm ( n + m − 2 )
n+m
,
ãäå
2
s =
m
n
1
1
2
2
2
2
−
+
(
x
x
)
(y i − y )  =
( nS x + mS y ).
∑ i
∑
n + m − 2  i=1
j=1
 n+m−2
Òåïåðü ê ñòàòèñòèêå t ïðèìåíèì òå æå ðàññóæäåíèÿ, êîòîðûå ìû
ïðèìåíÿëè ê ñòàòèñòèêå Ò.
Åñëè ãèïîòåçà µ x = µ y âåðíà, ñòàòèñòèêà t èìååò ðàñïðåäåëåíèå
Ñòüþäåíòà ñ n+m–2 ñòåïåíÿìè ñâîáîäû è â êà÷åñòâå îáëàñòè Iβ ìîæíî
âçÿòü èíòåðâàë, ñèììåòðè÷íûé îòíîñèòåëüíî 0, â êîòîðûé âåëè÷èíà ξ,
ðàñïðåäåëåííàÿ ïî Ñòüþäåíòó, ïîïàäàåò ñ âåðîÿòíîñòüþ β, ò.å.
I β = [–t n+m–2;β ,+tn+m–2;β ], ãäå P(|ξ| < tn+m–2;β) = β.
Òàêèì îáðàçîì, åñëè íàì çàäàíû äâå âûáîðêè è óðîâåíü çíà÷èìîÑîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
64
ñòè α, ìû âû÷èñëÿåì çíà÷åíèå ñòàòèñòèêè t è èùåì ïî α, n è m â òàáë. 6
(â íåé ñîäåðæàòñÿ êðèòè÷åñêèå çíà÷åíèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Ñòüþäåíòà)
çíà÷åíèå tn+m–2;α. Åñëè âûïîëíÿåòñÿ
x−y
2
x
nS + mS
2
y
nm( n + m − 2)
< t n+ m −2;α ,
n+ m
òî ìû ïðèíèìàåì ãèïîòåçó î òîì ÷òî µ x = µ y . È îòâåðãàåì ãèïîòåçó
µ x = µ y , åñëè ýòî íåðàâåíñòâî íå âûïîëíÿåòñÿ, òàê êàê ïðîèçîøëî ñîáûòèå èç äîïîëíèòåëüíîé îáëàñòè, âåðîÿòíîñòü êîòîðîé α. Íà ðèñ. 4.1
çàøòðèõîâàííàÿ ïëîùàäü (âåðîÿòíîñòü ïîïàñòü â îáëàñòü) ðàâíà
+ tβ
β=
∫ f ( x )dx ,
t
íà ðèñ. 4.2 çàøòðèõîâàíà ïëîùàäü α = 1–β îáëàñòè, ãäå
− tβ
ãèïîòåçà íå ïðèíèìàåòñÿ.
Åñëè îêàçàëîñü, ÷òî x < y , ìîæíî ïðîâåðÿòü ãèïîòåçó î òîì, ÷òî
µ x = µ y , êîãäà àëüòåðíàòèâíîé ãèïîòåçîé ÿâëÿåòñÿ µ x < µ y .  ýòîì ñëó÷àå ñòðîèòñÿ “îäíîñòîðîííÿÿ” îáëàñòü, ïîïàäàíèå â êîòîðóþ äàåò îñíîâàíèå ïðèíÿòü îñíîâíóþ ãèïîòåçó. À èìåííî, â òàáë. 6 â íèæíåé ñòðîêå îòûñêèâàåòñÿ α = 1 – β, ãäå β – çàäàííûé óðîâåíü äîâåðèÿ, â ñòðîêå
ñ íóæíûì ÷èñëîì ñòåïåíåé ñâîáîäû íàõîäèì ãðàíèöó èíòåðâàëà tn+m–2;α .
Äàëåå, åñëè âûïîëíÿåòñÿ:
x−y
2
x
nS + mS
2
y
nm( n + m − 2)
< −t n+ m −2;α ,
n+ m
òî ïåðâàÿ ãèïîòåçà íåâåðíà è ïðèíèìàåòñÿ, ÷òî µ x < µ y .
ft(x)
ft(x)
–tβ
0
+tβ
–tβ
Ðèñ. 4.1
0
Ðèñ. 4.2
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
65
+tβ
Ìîæíî ïðîâåðÿòü ãèïîòåçó î òîì, ÷òî µ x = µ y , êîãäà àëüòåðíàòèâíîé ãèïîòåçîé ÿâëÿåòñÿ µ x > µ y .  ýòîì ñëó÷àå òàêæå ñòðîèòñÿ “îäíîñòîðîíÿÿ” îáëàñòü, ïîïàäàíèå â êîòîðóþ äàåò îñíîâàíèå ïðèíÿòü ïåðâóþ ãèïîòåçó (ðèñ. 4.3). À èìåííî, ãèïîòåçà î òîì, ÷òî µ x ≠ µ y íå ïðèíèìàåòñÿ, à ïðèíèìàåòñÿ ãèïîòåçà µ x > µ y òîãäà, êîãäà
x−y
2
x
nS + mS
2
y
nm( n + m − 2)
> t n+m −2;α .
n+ m
C ïîìîùüþ íèæíåé ñòðîêè òàáë. 6 ðàñïðåäåëåíèÿ Ñòüþäåíòà (ñì.
ôàéë ìàòåðèàëîâ) ìû ðåøàëè óðàâíåíèÿ:
P{δ < –t n+m–2;α} = α, è P{δ > tn+m–2;α} = α,
ãäå α – óðîâåíü çíà÷èìîñòè.
ft(x)
ft(x)
-tα
tα
Ðèñ. 4.3
Çàìå÷àíèå. Áûëî áû êîððåêòíî ñíà÷àëà ïðîâåðèòü ãèïîòåçó î ðàâåíñòâå äèñïåðñèé ñ ïîìîùüþ èõ âûáîðî÷íûõ îöåíîê. Âî âòîðîé ÷àñòè
íàøåãî ðóêîâîäñòâà ìû íàó÷èìñÿ äåëàòü òàêóþ ïðîâåðêó. Èñïîëüçîâàòü
çíà÷åíèå ñòàòèñòèêè Ò ìîæíî òîëüêî, åñëè ïðîøëà ãèïîòåçà î ðàâåíñòâå äèñïåðñèé. Åñëè äèñïåðñèè σ 2x è σ 2y íåèçâåñòíû è íå ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî îíè ðàâíû, ñòàòèñòèêà Ò òàêæå èìååò ðàñïðåäåëåíèå Ñòüþäåíòà. Íî ñîîòâåòñòâóþùåå åìó ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû îïðåäåëÿåòñÿ
ïðèáëèæåííî è áîëåå ñëîæíûì îáðàçîì.
Èòàê, ïåðå÷èñëèì êðèòåðèè, ïî êîòîðûì ïðîâåðÿåòñÿ ñòàòèñòè÷åñêàÿ ãèïîòåçà î òîì, ÷òî ñðåäíèå çíà÷åíèÿ äâóõ ãåíåðàëüíûõ ñîâîêóïíîñòåé, èìåþùèõ îäèíàêîâûå äèñïåðñèè, ñîâïàäàþò (µx = µy) íà óðîâíå
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
66
çíà÷èìîñòè α. Îíè âûâåäåíû èç ôîðìóë äëÿ äâóñòîðîííåãî è îäíîñòîðîííåãî äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà äëÿ óðîâíÿ äîâåðèÿ β = 1–α.
Âû÷èñëÿåì ïî âûáîðêå çíà÷åíèå ñòàòèñòèêè t:
t=
x−y
=
1 1
+
s
n m
x−y
2
2
nS x + mS y
nm ( n + m − 2 )
,
n+m
ãäå
m
 n
1
1
2
2
2
2
s =
( nS x + mS y ) .
∑ ( x i − x ) + ∑ ( y i − y )  =
n + m − 2  i =1
j=1
 n+ m −2
2
1. Êðèòè÷åñêàÿ îáëàñòü äëÿ îäíîñòîðîííåé ïðîâåðêè ãèïîòåçû, ÷òî
ñðåäíèå çíà÷åíèÿ äâóõ ãåíåðàëüíûõ ñîâîêóïíîñòåé ñîâïàäàþò ( µ x = µ y )
ïî ñðàâíåíèþ ñ àëüòåðíàòèâîé µ x ≠ µ y íà óðîâíå çíà÷èìîñòè α îïðåäåëÿåòñÿ íåðàâåíñòâîì:
|t| > tn–1;α
(tn–1;α îòûñêèâàåòñÿ ïî òàáë. 6 êðèòè÷åñêèõ çíà÷åíèé ðàñïðåäåëåíèÿ
Ñòüþäåíòà, α â âåðõíåé ñòðîêå).
2. Êðèòè÷åñêàÿ îáëàñòü äëÿ îäíîñòîðîííåé ïðîâåðêè ãèïîòåçû, ÷òî
ñðåäíèå çíà÷åíèÿ äâóõ ãåíåðàëüíûõ ñîâîêóïíîñòåé ñîâïàäàþò ( µ x = µ y )
ïî ñðàâíåíèþ ñ àëüòåðíàòèâîé µ x > µ y íà óðîâíå çíà÷èìîñòè α îïðåäåëÿåòñÿ íåðàâåíñòâîì:
t > tn–1;α
(tn–1;α îòûñêèâàåòñÿ ïî òàáë. 6 êðèòè÷åñêèõ çíà÷åíèé ðàñïðåäåëåíèÿ
Ñòüþäåíòà, α â íèæíåé ñòðîêå).
2. Êðèòè÷åñêàÿ îáëàñòü äëÿ îäíîñòîðîííåé ïðîâåðêè ãèïîòåçû, ÷òî
ñðåäíèå çíà÷åíèÿ äâóõ ãåíåðàëüíûõ ñîâîêóïíîñòåé ñîâïàäàþò ( µ x = µ y )
ïî ñðàâíåíèþ ñ àëüòåðíàòèâîé µ x < µ y íà óðîâíå çíà÷èìîñòè α îïðåäåëÿåòñÿ íåðàâåíñòâîì:
t < –tn–1;α
(tn–1;α îòûñêèâàåòñÿ ïî òàáë. 6 êðèòè÷åñêèõ çíà÷åíèé ðàñïðåäåëåíèÿ
Ñòüþäåíòà, α â íèæíåé ñòðîêå).
Åñëè âû÷èñëåííîå çíà÷åíèå ñòàòèñòèêè t ïîïàäàåò â êðèòè÷åñêóþ
îáëàñòü, òî îñíîâíàÿ ãèïîòåçà îòâåðãàåòñÿ. Âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â
ýòó îáëàñòü ðàâíà ïðèíÿòîìó óðîâíþ çíà÷èìîñòè α.  ýòîì ñëó÷àå ïðèíèìàåòñÿ àëüòåðíàòèâíàÿ ãèïîòåçà.
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
67
Ïðèìåð 4.2. Ðåçóëüòàòû èññëåäîâàíèÿ äâóõ ñîðòîâ ðåçèíû íà ïîêðûøêàõ (â áàëëàõ) ïðèâåäåíû â òàáëèöå:
Íîìåð ïîêðûøêè
1
2
3
4
Èçíîñ äëÿ ñîðòà À
32
40
36
35
Èçíîñ äëÿ ñîðòà Â
25
28
27
26
Ñäåëàòü ïðîâåðêó ãèïîòåçû î òîì, ÷òî ðåçèíà ñîðòà À áîëüøå èçíàøèâàåòñÿ, ÷åì ðåçèíà ñîðòà Â.
Ðåøåíèå.
x=
32 + 40 + 36 + 35
= 35,75
4
y=
25 + 28 + 27 + 26
= 26,5
4
n S2x
n S2y
t=
2
= 32
+ 402 + 362 + 352 – 4⋅35,75⋅35,75 = 32,75;
= 5;
9,25
37,75
4 ⋅4⋅ 6
= 5,2
8
Ñòàòèñòèêà ðàñïðåäåëåíà ïî Ñòüþäåíòó ñ øåñòüþ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû. Çíà÷åíèå t = 5,2 âûõîäèò äàëåêî çà ïðåäåëû èíòåðâàëà, èìåþùåãî óðîâåíü äîâåðèÿ 0,99 (ýòîò èíòåðâàë (–3,14; 3,14)). Ñëåäîâàòåëüíî, ãèïîòåçà î òîì, ÷òî îáà ñîðòà ðåçèíû èçíàøèâàþòñÿ îäèíàêîâî, íå
ïðîõîäèò. À ïðîõîäèò àëüòåðíàòèâíàÿ åé “îäíîñòîðîíÿÿ” ãèïîòåçà î òîì,
÷òî ðåçèíà ñîðòà À èçíàøèâàåòñÿ ñèëüíåå.
Çàìåòèì, ÷òî ñäåëàííûé âûâîä “çàìåòåí íà ãëàç” è áåç ðàñ÷åòîâ.
Òàêîé ðåçóëüòàò ïîëó÷èòñÿ âî âñåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà âû÷èñëåííîå ïî èñïûòàíèÿì çíà÷åíèå ñòàòèñòèêè t > 4. Ïðè áëèçîñòè çíà÷åíèÿ t ê ÷èñëàì
2 èëè 3 âûâîä ìîæåò âêëþ÷àòü â ñåáÿ óðîâåíü äîâåðèÿ ê íåìó êàê ïàðàìåòð (âñïîìíèòå ïðàâèëà äâóõ è òðåõ σ). Åñëè óðîâåíü äîâåðèÿ, ñ êîòîðûì ñäåëàí âûâîä, íå óñòðàèâàåò, íàäî ïîçàáîòèòüñÿ îá óëó÷øåíèè îïûòà, íàïðèìåð, óâåëè÷èòü ÷èñëî èñïûòàíèé. Ïîêàæåì ýòî íà ïðèìåðå.
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
68
Ïðèìåð 4.3. Ñðàâíèâàþòñÿ äâå ìàðêè áåíçèíà À è Â. Íà 11 ìàøèíàõ îäèíàêîâîé ìîùíîñòè ïðè ðàçîâîì ïðîáåãå ïî êîëüöåâîìó øîññå
èñïûòàí áåíçèí ìàðîê À è Â. Ïðè èñïûòàíèè áåíçèíà ìàðêè Â îäíà
ìàøèíà â ïóòè âûøëà èç ñòðîÿ è äëÿ íåå äàííûå ïî áåíçèíó îòñóòñòâóþò. Ðàñõîä áåíçèíà â ïåðåñ÷åòå íà 100 êì ïóòè çàäàí òàáëèöåé:
I
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
xi
10,51 11,86
10,5
9,1
9,21
10,74 10,75
10,8
11,3
11,8
10,9
N=11
yi
13,23
11,5
10,4
11,8
11,6
12,3
11,1
11,6
–
m=10
13,0
10,64
Äèñïåðñèÿ ðàñõîäà ìàðîê áåíçèíà À è Â íåèçâåñòíà è ïðåäïîëàãàåòñÿ îäèíàêîâîé. Ìîæíî ëè ñ óðîâíåì äîâåðèÿ 0,95 ïðèíÿòü, ÷òî èñòèííûå ñðåäíèå ðàñõîäû ýòèõ âèäîâ áåíçèíà îäèíàêîâû?
1. Âû÷èñëÿåì ïî âûáîðêàì:
x=
10
117,17
1 11
117,47
=
= 11,2
y
yj =
=
=
x
10
,
68
i
∑
∑
10
11 i =1
11
j=1
11
10
Q = ∑ ( x i − x ) + ∑ ( y j − y ) = 14,8
i =1
t=
2
2
j=1
10,68 − 11,72
= −1,04 ⋅ 2,59 = −2,7
14,8
1 1
⋅
+
19
11 10
2. Íàõîäèì èç òàáë. 6 êðèòè÷åñêèõ çíà÷åíèé ðàñïðåäåëåíèÿ Ñòüþäåíòà t19;0,95 = 2,1.
3. Òàê êàê |t| < t19;0,95 íå âûïîëíÿåòñÿ, ãèïîòåçó î òîì, ÷òî ñðåäíèå
çíà÷åíèÿ íîðì ðàñõîäà áåíçèíà ìàðîê À è  íà 100 êì ïóòè ñîâïàäàþò,
ïðèíÿòü íå ìîæåì, ðàñõîæäåíèå ìåæäó x è y íå îáúÿñíÿåòñÿ òîëüêî
åñòåñòâåííûì ðàçáðîñîì äàííûõ.
4. Çàìåòèì, ÷òî åñëè áû ðàçáðîñ Q îêàçàëñÿ áû ìíîãî áîëüøå,
íàïðèìåð, âäâîå, òî çíàìåíàòåëü óâåëè÷èëñÿ â 1,41 ðàçà è èçìåíèëñÿ
áû è íàø âûâîä – ïðè òàêîì áîëüøîì ðàçáðîñå ðàñõîæäåíèå ìåæäó
ýìïèðè÷åñêèìè ñðåäíèìè óæå îáúÿñíÿëîñü áû åñòåñòâåííûì ðàçáðîñîì äàííûõ, à íå ðàñõîæäåíèåì òåîðåòè÷åñêèõ ñðåäíèõ.
5. Ïðîâåðÿåì ãèïîòåçó î òîì, ÷òî µ x < µ y . Ñ ïîìîùüþ íèæíåé ñòðîêè òàáë. 6 ðàñïðåäåëåíèÿ Ñòüþäåíòà ðåøàåì óðàâíåíèå:
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
69
−t
∫f
t
19
−∞
( x )dx = 1 − ∫ f19 ( x )dx = 0,05 ⇒ − t = −1,8.
−∞
Òàê êàê –2,7 < –1,8, òî ãèïîòåçà µ x < µ y ñ óðîâíåì äîâåðèÿ 0,95
ìîæåò áûòü ïðèíÿòà. Ïî òàáëèöå âèäíî, ÷òî ýòà ãèïîòåçà çàñëóæèâàåò
äîâåðèÿ, êîòîðîå ìîæíî îöåíèòü äàæå âûøå – â 99%.
Âûâîä. Ñðåäíèé ðàñõîä áåíçèíà íà 100 êì äëÿ ìàðêè Â áîëüøå,
÷åì äëÿ ìàðêè À, ñ óðîâíåì äîâåðèÿ 99%.
4.3. Îøèáêè ïåðâîãî è âòîðîãî ðîäà. Ìîùíîñòü êðèòåðèÿ
Âûâîä î ïðèåìëåìîñòè îñíîâíîé ãèïîòåçû, åå íåïðîòèâîðå÷èâîñòè
èìåþùèìñÿ äàííûì íå îçíà÷àåò òîãî, ÷òî äîêàçàíà åå èñòèííîñòü. Ïðèíèìàÿ ýòó ãèïîòåçó, â íåêîòîðîì ïðîöåíòå ñëó÷àåâ ìû îøèáåìñÿ. Ïðè
ïðèíÿòèè ðåøåíèÿ îá èñòèííîñòè ãèïîòåçû âîçìîæíû ÷åòûðå ñëó÷àÿ:
Òàáëèöà 4.1
Ãèïîòåçà Í0
Ïðèíèìàåòñÿ
Îòâåðãàåòñÿ
Âåðíà
Ïðàâèëüíîå ðåøåíèå
Îøèáêà 1-îãî ðîäà
Íåâåðíà
Îøèáêà 2-îãî ðîäà
Ïðàâèëüíîå ðåøåíèå
Îøèáêó α, êîãäà îòáðàñûâàåòñÿ îñíîâíàÿ ãèïîòåçà, õîòÿ îíà èñòèííà, íàçûâàþò îøèáêîé ïåðâîãî ðîäà; â îòëè÷èå îò îøèáêè âòîðîãî ðîäà β, êîòîðóþ ñîâåðøàþò, ïðèíÿâ îñíîâíóþ ãèïîòåçó, êîãäà
îíà ëîæíà. Ìîùíîñòüþ êðèòåðèÿ íàçûâàåòñÿ âåðîÿòíîñòü (1–β) íå
äîïóñòèòü îøèáêó 2-ãî ðîäà, ò.å. îòâåðãíóòü ãèïîòåçó Í0, êîãäà îíà íåâåðíà (ýòî âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ êðèòåðèÿ â êðèòè÷åñêóþ îáëàñòü ïðè
óñëîâèè, ÷òî âåðíà êîíêóðèðóþùàÿ ãèïîòåçà).
Íà ðèñ. 4.4 ïîêàçàíî, êàêèå ïëîùàäè èçîáðàæàþò îøèáêó ïåðâîãî
ðîäà α, îøèáêó âòîðîãî ðîäà β è ìîùíîñòü êðèòåðèÿ 1-β äëÿ ñëó÷àÿ,
êîãäà âûáîðêà ïðîèçâîäèòñÿ èç íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñ èçâåñòíûì ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèì îòêëîíåíèåì σ. Êðèòè÷åñêàÿ îáëàñòü ñòðîèòñÿ ñ ïîìîùüþ ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé ñòàòèñòèêè x äëÿ óðîâíÿ çíà÷èìîñòè α. Ïðîâåðÿåòñÿ ãèïîòåçà î òîì, ÷òî ãåíåðàëüíîå ñðåäíåå ðàâíî à0, à êîíêóðèðóþùåé ãèïîòåçîé ÿâëÿåòñÿ ïðåäïîëîæåíèå î
òîì, ÷òî ñðåäíåå çíà÷åíèå óâåëè÷èëîñü è â êà÷åñòâå åãî íîâîãî çíà÷åíèÿ áåðåòñÿ çíà÷åíèå a1.
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
70
f(x,a1 )
f(x,a 0)
1–α
(1–β)-ìîùíîñòü êðèòåðèÿ
Îøèáêà 2-îãî ðîäà β
α-îøèáêà 1-îãî ðîäà
à0
a 0 + u1−α ⋅
σ
à1
x
n
Ðèñ. 4.4
Íà ðèñ. 4.4 f(x,a0) è f(x,a1) – ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ x ïðè óñëîâèè, ÷òî âåðíà ãèïîòåçà; Í0 è Í1, ñîîòâåòñòâåííî, – íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñî ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèì îòêëîíåíèåì
σ
n
è ñðåäíèì à0 èëè
à1; ÷åðåç up îáîçíà÷åíà êâàíòèëü ñòàíäàðòíîãî íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, ò.å. êîðåíü ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ:
up
x2
−
1
e 2 dx = P.
∫
2πσ −∞
Òàê êàê f(x) íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå äëÿ âû÷èñëåíèÿ ýòèõ ïëîùàäåé, èñïîëüçóþòñÿ òàáëèöû êâàíòèëåé íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.
Îøèáêà 2-ãî ðîäà β, â ýòîì ñëó÷àå, âû÷èñëÿåòñÿ ïî à0, à1, σ è n.
Ðåøåíèå î âûáîðå α è β çàâèñèò îò êîíêðåòíîé çàäà÷è. Íàïðèìåð,
åñëè îòâåðãíóòî ïðàâèëüíîå ðåøåíèå î “ïðîäîëæåíèè ñòðîèòåëüñòâà”,
òî ýòà îøèáêà (îøèáêà 1-ãî ðîäà) ïîâëå÷åò ìàòåðèàëüíûé óùåðá, åñëè
æå ïðèíÿòü ðåøåíèå î ïðîäîëæåíèè ñòðîèòåëüñòâà, íåñìîòðÿ íà îïàñíîñòü îáâàëà, òî ýòî ìîæåò ïîâëå÷ü è ÷åëîâå÷åñêèå æåðòâû (îøèáêà
2-ãî ðîäà). Ìîæíî ïðèâåñòè ïðèìåðû, êîãäà îøèáêà 1-ãî ðîäà ïîâëå÷åò
áîëåå òÿæêèå ïîñëåäñòâèÿ, ÷åì îøèáêà 2-ãî ðîäà.
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
71
4.4. ×èñëî èñïûòàíèé ïðè ïðîâåðêå ãèïîòåçû
Åñëè ìû õîòèì îáåñïå÷èòü, ÷òîáû è îøèáêà ïåðâîãî ðîäà íå ïðåâîñõîäèëà α, è íåâåðíîñòü ïðîâåðÿåìîé ãèïîòåçû âñêðûâàëàñü ñ âåðîÿòíîñòüþ íå ìåíüøåé, ÷åì íåêîòîðîå 1–γ (ò.å. íàêëàäûâàåì îãðàíè÷åíèå íå òîëüêî íà α, íî è òðåáóåì, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü β < γ), ìîæåò
îêàçàòüñÿ, ÷òî îáúåì âûáîðêè äîëæåí áûòü óâåëè÷åí.
Åñëè
a1 − u1− γ ⋅
äàåò â èíòåðâàë
σ
σ
< a 0 + u1−α ⋅
n
a1 − u1− γ ⋅
σ
n
n
è çíà÷åíèå ñòàòèñòèêè
< x < a 0 + u1−α ⋅
σ
n
x ïîïà-
(ðèñ. 4.5), òî ñäåëàòü
âûáîð ìåæäó ãèïîòåçàìè, îãðàíè÷èâ îøèáêè 1-ãî è 2-ãî ðîäà îäíîâðåìåííî, íåëüçÿ. Äëÿ òîãî, ÷òîáû îáåñïå÷èòü òðåáîâàíèÿ ê îáåèì îøèáêàì, n äîëæíî áûòü íå ìåíüøå, ÷åì òî, ïðè êîòîðîì:
a1 − u1− γ ⋅
σ
n
= a 0 + u1−α ⋅
σ
n
.
Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè ìû õîòèì îáåñïå÷èòü, ÷òîáû è îøèáêà 1-ãî
ðîäà íå ïðåâîñõîäèëà α è íåâåðíîñòü ïðîâåðÿåìîé ãèïîòåçû âñêðûâàëàñü ñ âåðîÿòíîñòüþ íå ìåíüøåé, ÷åì íåêîòîðîå 1–γ, îáúåì âûáîðêè
äîëæåí áûòü íå ìåíüøå, ÷åì:
n ≥ ( u1− α + u1− γ )
n ≥ (u
1
1− α
2
σ
– äëÿ îäíîñòîðîííåé ïðîâåðêè è
| a1 − a 0 |
+ u1− γ )
σ
– äëÿ äâóñòîðîííåé ïðîâåðêè (∆ – îòêëîíå∆
íèå âòîðîãî ñðåäíåãî îò ïåðâîãî)
Òîëüêî ïðè òàêîì ÷èñëå èñïûòàíèé ìû ìîæåì áûòü óâåðåíû â òîì,
÷òî, åñëè âåðíà ãèïîòåçà Í0, òî ìû åå îòáðîñèì ñ âåðîÿòíîñòüþ, íå
ìåíüøåé, ÷åì α; à åñëè âåðíà ãèïîòåçà Í 1, òî åå îòáðîñèòü ìû ìîæåì ñ
âåðîÿòíîñòüþ, íå áîëüøåé β.
Äëÿ òîãî ÷òîáû îáåñïå÷èòü òðåáîâàíèÿ ê îøèáêàì 1-ãî è 2-ãî ðîäà
çà ìèíèìàëüíîå ÷èñëî èñïûòàíèé, ìîæíî ïðèìåíèòü ïðîöåäóðó ïîñëåäîâàòåëüíîãî ñòàòèñòè÷åñêîãî àíàëèçà.
Ïðè ïðèìåíåíèè ýòîãî ìåòîäà íåîáõîäèìîå ÷èñëî íàáëþäåíèé
íå ôèêñèðóåòñÿ çàðàíåå, à îïðåäåëÿåòñÿ â ïðîöåññå ýêñïåðèìåíòà.
Ñóòü ýòîãî ìåòîäà ñîñòîèò â òîì, ÷òî îáëàñòü çíà÷åíèé â n-ìåðíîì
ïðîñòðàíñòâå çíà÷åíèé âûáîðêè äåëèòñÿ íà òðè ÷àñòè: êðèòè÷åñêóþ äëÿ
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
72
α-îøèáêà 1-îãî ðîäà
Îøèáêà 2-îãî ðîäà β
à0
a1 − u1− γ ⋅
à1
σ
n
a 0 + u1−α ⋅
σ
n
Íàäî óâåëè÷èòü ÷èñëî èñïûòàíèé
Ðèñ. 4.5
ãèïîòåçû Í0 (åå âåðîÿòíîñòü ïðè óñëîâèè, ÷òî âåðíà ãèïîòåçà Í0 ðàâíà
α), êðèòè÷åñêóþ äëÿ ãèïîòåçû Í1 (åå âåðîÿòíîñòü ïðè óñëîâèè, ÷òî âåðíà ãèïîòåçà Í1 ðàâíà β) è îáëàñòü íåîïðåäåëåííîñòè. Ýêñïåðèìåíò ïðîäîëæàåòñÿ, ïîêà âûáîðî÷íûå çíà÷åíèÿ íå ïîïàäóò â îäíó èç êðèòè÷åñêèõ îáëàñòåé – èëè êðèòè÷åñêóþ äëÿ ãèïîòåçû Í0, èëè êðèòè÷åñêóþ äëÿ
ãèïîòåçû Í1.
Íåäîñòàòêîì ìåòîäà ïîñëåäîâàòåëüíîãî àíàëèçà ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìîñòü íà êàæäîì øàãå çàíîâî âû÷èñëÿòü çíà÷åíèÿ îöåíîê. Íî åñòü
îöåíêè, äëÿ êîòîðûõ ýòî ñäåëàòü íåòðóäíî.
Íàïðèìåð, îáîçíà÷èì ÷åðåç m íîìåð øàãà.
1
Xm = m (x1 + … + x m),
2
Sm
1
2
2
1–Xm ) + … + (x1–Xm) ].
m
=
[(x
Ïåðåñ÷åò îöåíîê îò øàãà ê øàãó ìîæíî ïðîâåñòè ïî ôîðìóëàì:
1
X m = m [Xm–1(m–1) + xm],
2
Sm
1 2
S m −1 (m–1) + (Xm–1–Xm )2 + (xm –Xm )2]
m
= [
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
73
Ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíîãî àíàëèçà ïîñòðîåí íà ñîâñåì èíîé òåîðåòè÷åñêîé îñíîâå, ÷åì òå ìåòîäû, êîòîðûå ìû äî ñèõ ïîð ðàññìàòðèâàëè. Ýòîò èíîé ïîäõîä ê ðåøåíèþ çàäà÷ îñíîâàí íà èçó÷åíèè ôóíêöèè
ïðàâäîïîäîáèÿ.
5. ÌÅÒÎÄÛ, ÎÑÍÎÂÀÍÍÛÅ ÍÀ ÑÂÎÉÑÒÂÀÕ
ÔÓÍÊÖÈÈ ÏÐÀÂÄÎÏÎÄÎÁÈß
5.1. Ôóíêöèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ
Ôóíêöèåé ïðàâäîïîäîáèÿ íàçûâàåòñÿ ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè
(â äèñêðåòíîé ìîäåëè ïðîñòî âåðîÿòíîñòü) ñîâìåñòíîãî ïîÿâëåíèÿ ðåçóëüòàòîâ âûáîðêè x 1, x 2,…,xn.
Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ, çàâèñÿùåãî îò ïàðàìåòðà Θ
ôóíêöèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ L(x1,x2,…xn,Θ) çàäàåòñÿ ïî ôîðìóëå:
n
L( x1, x 2 ,...x n , Θ) = f ( x1, Θ )f ( x 2 , Θ)...f ( x n , Θ) = ∏ f ( x i , Θ ) ,
i=1
ãäå f(x,Θ) – ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ â ñëó÷àå íåïðåðûâíîé ìîäåëè è
âåðîÿòíîñòü çíà÷åíèÿ õ â äèñêðåòíîé ìîäåëè.
5.2. Ìåòîä ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ äëÿ ïîëó÷åíèÿ
îöåíêè íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà Θ
Ð.Ôèøåðîì äëÿ ïîëó÷åíèÿ îöåíêè íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà Θ áûë
â 1912 ã. ïðåäëîæåí ìåòîä, îáëàäàþùèé îïòèìàëüíûìè ñâîéñòâàìè,
êîòîðûé íàçûâàåòñÿ ìåòîäîì ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ.
Ñîãëàñíî ìåòîäó ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ â êà÷åñòâå
îöåíêè íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà Θ ïðèíèìàåòñÿ òàêîå çíà÷åíèå Θn, ïðè
êîòîðîì ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè (â äèñêðåòíîé ìîäåëè ïðîñòî âåðîÿòíîñòü) ñîâìåñòíîãî ïîÿâëåíèÿ ðåçóëüòàòîâ âûáîðêè x1, x2,…xn. ìàêñèìàëüíà, è, ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ äîñòèãàåò ìàêñèìóìà.
 òî÷êå, â êîòîðîé çíà÷åíèå ôóíêöèè L ìàêñèìàëüíî, åå ïðîèçâîäíàÿ ïî ïàðàìåòðó Θ îáðàùàåòñÿ â íîëü. ×àùå âñåãî èùåòñÿ íå ìàêñèìóì ôóíêöèè L, à ìàêñèìóì åå ëîãàðèôìà, òàê êàê ìàêñèìóì ýòèõ
ôóíêöèé äîñòèãàåòñÿ ïðè îäíîì è òîì æå çíà÷åíèè Θ. Ñëåäîâàòåëüíî,
äëÿ íàõîæäåíèÿ îöåíêè òðåáóåòñÿ ðåøèòü óðàâíåíèå (èëè, åñëè ïàðàìåòðîâ íåñêîëüêî, ñèñòåìó óðàâíåíèé) ïðàâäîïîäîáèÿ:
1 dL
d ln L
= 0.
= 0 èëè
L dΘ
dΘ
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
74
Îñíîâíîé íåäîñòàòîê ìåòîäà ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ –
òðóäíîñòü âû÷èñëåíèÿ îöåíîê, ñâÿçàííûõ ñ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ. Êðîìå òîãî, íåîáõîäèìî çíàòü òèï àíàëèçèðóåìîãî çàêîíà
ðàñïðåäåëåíèÿ f(õ,Θ), ÷òî âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ îêàçûâàåòñÿ ïðàêòè÷åñêè
íåðåàëüíûì. Äîñòîèíñòâîì ìåòîäà ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî ïðè äîñòàòî÷íî
îáùèõ óñëîâèÿõ îöåíêè ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ ÿâëÿþòñÿ ñîñòîÿòåëüíûìè, àñèìïòîòè÷åñêè ýôôåêòèâíûìè è èìåþò àñèìïòîòè÷åñêè íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå.
Ïðèìåð 5.1. Ìåòîäîì ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ íàéòè îöåíêó äëÿ âåðîÿòíîñòè ð íàñòóïëåíèÿ ñîáûòèÿ À â ñõåìå Áåðíóëëè (n ðàç
ïðîâîäÿòñÿ íåçàâèñèìûå èñïûòàíèÿ, ïðè êîòîðûõ âîçìîæíû òîëüêî äâà
èñõîäà – ñ âåðîÿòíîñòüþ ð ïðîèñõîäèò ñîáûòèå À, ñ âåðîÿòíîñòüþ
q = 1–p ñîáûòèå À íå ïðîèñõîäèò).  ðåçóëüòàòå n èñïûòàíèé ñîáûòèå À
ïðîèçîøëî m ðàç.
Âûïèñûâàåì ôóíêöèþ ïðàâäîïîäîáèÿ:
L = C mn
m
(1–p)n–m,
p
LnL = Ñ + m⋅ln p + (n–m)⋅ln(1–p).
d ln L m n m
m
, îòêóäà p
−
dp = p − 1 p
= n.
−
Òàêèì îáðàçîì, îöåíêîé ìåòîäà ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ
âåðîÿòíîñòè ð ñîáûòèÿ À ÿâëÿåòñÿ îòíîñèòåëüíàÿ ÷àñòîòà m/n ýòîãî ñîáûòèÿ.
Ïðèìåð 5.2. Âûáîðêà ïðîèçâîäèòñÿ èç íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ N(a,σ).
−
1
L=
e
σ 2π
( x1 −a )2
2σ2
−
1
⋅ ... ⋅
e
σ 2π
( x n −a ) 2
2σ2
Ñëåäîâàòåëüíî, ln L ðàâåí
ln L = C +
1
2
2σ
n
∑(x
i =1
i
2
− a) .
Ïðèðàâíÿâ íóëþ ïðîèçâîäíûå ïî à è ïî σ, ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ
åãî ïàðàìåòðîâ à è σ2 îöåíêàìè íàèáîëüøåãî ïðàâäîïîäîáèÿ áóäóò òå
æå x è S2, êîòîðûå ìû ïîëó÷èëè â êà÷åñòâå îöåíîê äëÿ ýòèõ ïàðàìåòðîâ ìåòîäîì ìîìåíòîâ.
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
75
5.3. Ôóíêöèè ïðàâäîïîäîáèÿ â çàäà÷àõ ïðîâåðêè ãèïîòåç
Ðàññìîòðèì ïðîñòåéøóþ çàäà÷ó ïðîâåðêè ãèïîòåçû, êîãäà êîíêóðèðóþùèìè ÿâëÿþòñÿ äâå ïðîñòûå ãèïîòåçû: Í 0 – çíà÷åíèå íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà ðàñïðåäåëåíèÿ ðàâíî à0, è àëüòåðíàòèâíàÿ åé Í 1 – çíà÷åíèå íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà ðàñïðåäåëåíèÿ ðàâíî à1. Íà îñíîâå ñòàòèñòè÷åñêîãî ýêñïåðèìåíòà íàäî ïðèíÿòü ðåøåíèå î òîì, êàêàÿ èç ãèïîòåç ïðàâèëüíàÿ.
Ñîñòàâèì îòíîøåíèå âåðîÿòíîñòåé Ln (îòíîøåíèå ôóíêöèé ïðàâäîïîäîáèÿ äëÿ êîíêóðèðóþùèõ ãèïîòåç) äëÿ n èñïûòàíèé:
n
Ln =
∏ f(x ,a )
i=1
n
i
∏ f ( x ,a
i
i =1
1
0
.
)
Çàäà÷ó î êîíêóðèðóþùèõ ãèïîòåçàõ ìîæíî ðåøàòü, èçó÷àÿ ïîâåäåíèå îòíîøåíèÿ âåðîÿòíîñòåé. Ñîãëàñíî òåîðåìå Íåéìàíà-Ïèðñîíà, òàì,
ãäå îíî áîëüøå íåêîòîðîãî ïîðîãà (Ln > C èëè lnLn > lnC), ñëåäóåò ïðåäïî÷åñòü ãèïîòåçó Í 1, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå – Í0. Ïîðîã C íàäî ïðèíÿòü
òàêèì, ÷òîáû îáåñïå÷èòü óâåðåííîñòü â òîì, ÷òî, åñëè âåðíà ãèïîòåçà
Í0, òî ìû åå îòáðîñèì ñ âåðîÿòíîñòüþ íå áîëüøåé, ÷åì α. Ñèììåòðè÷íûì ðàññóæäåíèåì (ïîìåíÿâ ìåñòàìè ãèïîòåçû), íàõîäèì ïîðîã äëÿ
çíà÷åíèé îòíîøåíèÿ âåðîÿòíîñòåé òàêîé, ÷òî åñëè âåðíà ãèïîòåçà Í 1,
òî åå ìû îòáðîñèì ñ âåðîÿòíîñòüþ, íå áîëüøåé ÷åì β.
Ïðèìåð 5.3. Ïðîèçâîäÿòñÿ èñïûòàíèÿ ñ âåëè÷èíîé ξ, êîòîðàÿ ðàñïðåäåëåíà íîðìàëüíî ñ èçâåñòíîé äèñïåðñèåé σ2. Îòíîñèòåëüíî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ à èìåþòñÿ äâå ãèïîòåçû: Í0 ñîñòîèò â òîì, ÷òî
à = à0, è Í1 – ñîñòîèò â òîì, ÷òî à=à1. Âû÷èñëèì lnLn.
1 n
− a1 ) 2 − (x i − a 0 ) 2 ] =
2 ∑ [(x i
2σ i=1
(a − a ) n
n
= 1 2 0 ∑ x i − 2 (a12 − a 02 ) .
σ
2σ
i =1
ln Ln = −
Òàêèì îáðàçîì, âìåñòî ïîðîãà ôóíêöèè ïðàâäîïîäîáèÿ, îáåñïå÷è-
1
(x +…+ xn).
n 1
Ïîðîã èùåòñÿ ïî ðàñïðåäåëåíèþ âåðîÿòíîñòåé. Ýòà ñòàòèñòèêà èìååò
âàþùåãî îøèáêó α, ìîæíî èñêàòü ïîðîã äëÿ ñòàòèñòèêè X n =
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
76
íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. Òåì æå ñïîñîáîì íàéäåì è ïîðîã, îáåñïå÷èâàþùèé òðåáóåìóþ âåëè÷èíó îøèáêè 2-ãî ðîäà. Åñëè âåðíà ãèïîòå-
σ
çà Í0, òî Xn~N(a0,
). Åñëè Í1, òî Xn~N(a1,
σ
). Çàäà÷à ñâåëàñü ê ðàñn
n
ñìîòðåííîìó âûøå ïðèìåðó. Íàäî âû÷èñëèòü íåîáõîäèìîå ÷èñëî èñïûòàíèé n ïî ôîðìóëå:
n = ( u1−α + u1−β )
σ
| a1 − a 0 |
è ïîðîãîâîå ñîîòíîøåíèå äëÿ Xn èç óðàâíåíèÿ:
(Xn − a0 ) n
= u1−α ,
σ
ñ ó÷åòîì âû÷èñëåííîãî çíà÷åíèÿ n. Ýòî äàåò:
X n ≥ a 0 + u1−α ⋅
σ
n
= a 0 + u1−α ⋅
u1−β
a1 − a 0
u1−α
= a0
+ a1
u1− α + u1−β
u1−α + u1−β
u1−α + u1−β
Òàêèì îáðàçîì, â òåðìèíàõ îòíîøåíèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ ïðîöåäóðà
ïðîâåðêè ãèïîòåçû î ñðåäíåì, êîãäà êîíêóðèðóþò äâå ïðîñòûå ãèïîòåçû äëÿ çíà÷åíèé ñðåäíåãî à0 è à1 ïðè ãåíåðàëüíîì ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîì îòêëîíåíèè σ äëÿ çàäàííûõ îøèáîê 1-ãî è 2-ãî ðîäà α è β, âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì:
1. Âû÷èñëÿåòñÿ ÷èñëî èñïûòàíèé n ïî ôîðìóëå:
n = ( u1−α + u1−β )
σ
.
| a1 − a 0 |
2. Äëÿ âåëè÷èíû Xn âû÷èñëÿåòñÿ ïîðîã, îïðåäåëÿþùèé êðèòè÷åñêóþ îáëàñòü êðèòåðèÿ. Êðèòè÷åñêàÿ îáëàñòü, ïðè ïîïàäàíèè â êîòîðóþ
ãèïîòåçà Í0 îòâåðãàåòñÿ, èìååò âèä:
X n ≥ a 0 + u1−α ⋅
σ
u1−β
−
= a 0 + u1−α ⋅ a1 a 0 = a 0
+ a1 u1−α
+
+
u1− α u1−β
u1−α u1−β
u1−α + u1−β
n
Íà ðèñ. 5.1 èçîáðàæåíû ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ñòàòèñòèêè Xn è
êðèòè÷åñêèå îáëàñòè äëÿ ñëó÷àÿ α = β. Ïðè α = β êðèòåðèé âûãëÿäèò
î÷åíü ïðîñòî. ×èñëî èñïûòàíèé íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå:
n = 2u1−α
σ
.
a1 − a 0
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
77
f ( x, a 0,
α=β
σ
)
m
f ( x, a1,
σ
)
m
α-îøèáêà 1-ãî ðîäà
Îøèáêà 2-ãî ðîäà β
à0
a1 − u1−β
à1
σ
⋅
m
a 0 + u1−α ⋅
1
2
σ
m
(a 0 + a1 )
Ðèñ. 5.1
1
(a + a1) – Í0 îòêëîíÿåòñÿ.
2 0
1
Åñëè Xn < (a0 + a1) – Í0 ïðèíèìàåòñÿ.
2
Åñëè Xn >
(Êàêàÿ ïëîòíîñòü áîëüøå, òà è ñ÷èòàåòñÿ âåðíîé).
5.4. Ïðîâåðêà ãèïîòåç ìåòîäîì ïîñëåäîâàòåëüíîãî àíàëèçà
Êîãäà ïðîâåäåíèå êàæäîãî èñïûòàíèÿ ñòîèò î÷åíü äîðîãî, äëÿ òîãî
÷òîáû ïðè ïðîâåðêå ñòàòèñòè÷åñêèõ ãèïîòåç ìèíèìèçèðîâàòü ÷èñëî
èñïûòàíèé, ðåêîìåíäóåòñÿ ïðèìåíÿòü ïîñëåäîâàòåëüíûå êðèòåðèè.
Ïîñëåäîâàòåëüíûå êðèòåðèè âïåðâûå áûëè ïðåäëîæåíû À.Âàëüäîì
â 1946 ã. Êàê óæå áûëî ñêàçàíî, ïðè ïðèìåíåíèè ýòîãî ìåòîäà (ïîñëåäîâàòåëüíîãî àíàëèçà) íåîáõîäèìîå ÷èñëî íàáëþäåíèé íå ôèêñèðóåòñÿ çàðàíåå, êàê ìû ýòî äåëàëè, íàïðèìåð, â òîëüêî ÷òî ðàññìîòðåííîé
çàäà÷å, à îïðåäåëÿåòñÿ â ïðîöåññå ýêñïåðèìåíòà; îáëàñòü çíà÷åíèé â
n-ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå äåëèòñÿ íà òðè ÷àñòè: êðèòè÷åñêóþ äëÿ ãèïîòåçû Í0 (åå âåðîÿòíîñòü ïðè óñëîâèè, ÷òî âåðíà ãèïîòåçà Í0 – α), êðèòè÷åñêóþ äëÿ ãèïîòåçû Í 1 (åå âåðîÿòíîñòü ïðè óñëîâèè, ÷òî âåðíà ãèïîòåçà
Í1 – β) è îáëàñòü íåîïðåäåëåííîñòè. Ýêñïåðèìåíò ïðîäîëæàåòñÿ, ïîêà
âûáîðî÷íûå çíà÷åíèÿ íå ïîïàäóò â îäíó èç êðèòè÷åñêèõ îáëàñòåé –
èëè êðèòè÷åñêóþ äëÿ ãèïîòåçû Í0, èëè êðèòè÷åñêóþ äëÿ ãèïîòåçû Í1.
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
78
 ñàìîì îáùåì âèäå ïî ýòîìó ìåòîäó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íàáëþäåíèé ïðîâîäèòñÿ ïî ñëåäóþùåé ñõåìå.
1. Âû÷èñëÿþòñÿ ãðàíèöû êðèòåðèÿ:
À = (1–β)/α, B = β/(1–α),
ãäå α – âåðîÿòíîñòü îòêëîíèòü îñíîâíóþ ãèïîòåçó, êîãäà îíà âåðíà,
β – âåðîÿòíîñòü ïðèíÿòü îñíîâíóþ ãèïîòåçó, êîãäà îíà íåâåðíà.
2. Íà êàæäîì øàãå âû÷èñëÿåòñÿ îòíîøåíèå âåðîÿòíîñòåé Lm:
m
Lm =
∏ f ( x ,a )
i =1
m
i
∏ f (x , a
i=1
i
1
0
.
)
 ýòîì îòíîøåíèè à0 – çíà÷åíèå ïàðàìåòðà äëÿ îñíîâíîé ãèïîòåçû,
à1 – äëÿ àëüòåðíàòèâíîé, m – òåêóùåå ÷èñëî íàáëþäåíèé èëè íîìåð øàãà,
f(x, Θ) – ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè äëÿ íåïðåðûâíîé ìîäåëè è âåðîÿòíîñòü ïðèíÿòü çíà÷åíèå õ äëÿ äèñêðåòíîé ìîäåëè. Îáû÷íî óäîáíåå âû÷èñëÿòü ln Lm.
3. Åñëè ln Lm ≤ ln B, òî ïðèíèìàåòñÿ îñíîâíàÿ ãèïîòåçà.
Åñëè ln Lm ≥ ln A, òî îñíîâíàÿ ãèïîòåçà îòêëîíÿåòñÿ. Åñëè íå âûïîëíÿåòñÿ íè îäíî èç íåðàâåíñòâ, ýêñïåðèìåíò ïðîäîëæàåòñÿ.
Äîêàçàíà òåîðåìà î òîì, ÷òî ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 ýòà ïðîöåäóðà çàêàí÷èâàåòñÿ çà êîíå÷íîå ÷èñëî øàãîâ.
Îðãàíèçàöèÿ ýêñïåðèìåíòà ïî ìåòîäó ïîñëåäîâàòåëüíîãî ñòàòèñòè÷åñêîãî àíàëèçà ïîçâîëÿåò óìåíüøèòü ÷èñëî èñïûòàíèé n â ñðåäíåì âäâîå (à ïðè α = β äàæå â 4 ðàçà) ïî ñðàâíåíèþ ñ îïòèìàëüíûì
ìåòîäîì ñ ôèêñèðîâàííûì ÷èñëîì íàáëþäåíèé.
Ïðèìåð 5.4. Ðàññìîòðèì ïðèìåíåíèå ïîñëåäîâàòåëüíîãî àíàëèçà â óñëîâèÿõ ïðåäûäóùåé çàäà÷è, êîãäà ñ ïîìîùüþ ýêñïåðèìåíòà ìû
õîòèì ðåøèòü âîïðîñ î ñðåäíåì çíà÷åíèè íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, èìåþùåãî ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå σ, êîãäà çàäàíû
îøèáêè 1-ãî è 2-ãî ðîäà α è β. Ïðîöåäóðà ïîñëåäîâàòåëüíîãî àíàëèçà
áóäåò âûãëÿäåòü ñëåäóþùèì îáðàçîì.
Âû÷èñëèì À = (1–β)/α è B = β/(1–α). Íà êàæäîì øàãå ýêñïåðèìåíòà
âû÷èñëÿåòñÿ çíà÷åíèå lnLm.
ln L m = −
=
1
2
2σ
m
∑ [( x
i=1
i
− a1 ) 2 − ( x i − a 0 )2 ] =
( a1 − a 0 )
m
( a − a )m 
a1 + a 0 
2
2
x i − 2 ( a1 − a 0 ) = 1 2 0
 Xm −
.
∑
2
σ
2σ
σ
2 
i=1

m
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
79
Ðåøåíèå î ãèïîòåçå ïðèíèìàåòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ ïóíêòîì 3 ðåøàþùåãî ïðàâèëà:
2
Xm ≤
a 0 + a1
σ
β
+
ln
2
m( a1 − a 0 ) 1 − α – ïðèíèìàåòñÿ Í0.
Xm ≥
a 0 + a1
σ
1− β
+
ln
– ïðèíèìàåòñÿ Í1.
2
m( a1 − a 0 )
α
2
Ýêñïåðèìåíò ïðîäîëæàåòñÿ, åñëè:
2
2
a 0 + a1
σ
β
a + a1
σ
1− β
+
ln
< Xm < 0
+
ln
2
m ( a1 − a 0 ) 1 − α
2
m( a1 − a 0 )
α
Äëÿ óïðîùåíèÿ ðàñ÷åòîâ ðàññìîòðèì ñëó÷àé:
à0 = 0; à 1 = 1; σ = 1; α = β = 0,025;
lnβ/(1–α) = ln0,026 = -3,6;
ln(1–β)/α = ln39 = 3,6;
Í0 îòêëîíÿåòñÿ, åñëè Xm > 1/2(a0+a1) + 1/m⋅3,6;
Í1 ïðèíèìàåòñÿ, åñëè Xm < 1/2(a0+a1) – 1/m⋅3,6.
Ýêñïåðèìåíò ïðîäîëæàåòñÿ, åñëè:
1/2(a0+a 1) – 1/m⋅3,6 < Xm < 1/2(a0+a1) + 1/m⋅3,6.
Òàê êàê u1–0,025 = 2, òî ïðè n = 16 (ñì. âûøå), åñëè ýêñïåðèìåíò åùå
íå çàêîí÷èòñÿ, ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ êðèòåðèåì, ïðåäëàãàåìûì ìåòîäîì ñ ôèêñèðîâàííûì ÷èñëîì íàáëþäåíèé:
Åñëè Xm > 1/2(a0+a1) – Í0 îòêëîíÿåòñÿ.
Åñëè Xm < 1/2(a0+a1) – Í0 ïðèíèìàåòñÿ.
Ñõåìàòè÷åñêè äëÿ α = β ýòî ìîæíî èçîáðàçèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì (ðèñ. 5.2):
Xm
Í1
1
2
(a 0 + a1 )
Ïðîäîëæàòü
ýêñïåðèìåíò
Í0
Ðèñ. 5.2
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
80
n=
2 2
(u1−α + u1−β ) σ
2
(a 1 − a 0 )
ÇÀÄÀÍÈß ÄËß ÑÀÌÎÑÒÎßÒÅËÜÍÎÉ ÐÀÁÎÒÛ
1. Ñîñòàâüòå ëîãè÷åñêóþ ñõåìó áàçû çíàíèé ïî ïðèëàãàåìîìó ôàéëó ìàòåðèàëîâ è ïåðå÷åíü îñíîâíûõ çàâèñèìîñòåé è ôîðìóë.
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
81
ëîâ:
2. Ðåøèòå ñëåäóþùèå çàäà÷è, ïîëüçóÿñü òàáëèöàìè ôàéëà ìàòåðèà-
2.1. Èç Òàáëèöû 1 ÷èñåë âûáîðêè èç ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ
íà îòðåçêå [0,100] âîçüìèòå ïîäðÿä 100 ÷èñåë, íà÷èíàÿ ñ íîìåðà 4N,
ãäå N – âàø ïîðÿäêîâûé íîìåð â ñïèñêå ãðóïïû (äîéäÿ äî êîíöà òàáëèöû, ïåðåéäèòå â åå íà÷àëî). Âîçüìèòå â êà÷åñòâå èíòåðâàëîâ ãðóïïèðîâêè èíòåðâàëû (0, 20), (20, 40)…(80, 100) è íàïèøèòå òàáëèöó ýìïèðè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ ýòèõ èíòåðâàëîâ. Ïî ýòîé òàáëèöå ïîñòðîéòå ãèñòîãðàììó è ïîëèãîí, ñîñ÷èòàéòå ýìïèðè÷åñêèå ñðåäíåå, äèñïåðñèþ ( x ,S2), ýìïèðè÷åñêîå ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå. Âûïèøèòå
òåîðåòè÷åñêèå çíà÷åíèÿ äëÿ ýòèõ âåëè÷èí è ñðàâíèòå èõ ñ ýìïèðè÷åñêèìè.
2.2. Èç Òàáëèöû 2 ÷èñåë âûáîðêè èç íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ
N(0,1) âîçüìèòå ïîäðÿä 100 ÷èñåë, íà÷èíàÿ ñ íîìåðà 4N, ãäå N – âàø
ïîðÿäêîâûé íîìåð â ñïèñêå ãðóïïû (äîéäÿ äî êîíöà òàáëèöû, ïåðåéäèòå â åå íà÷àëî). Âîçüìèòå â êà÷åñòâå èíòåðâàëîâ ãðóïïèðîâêè èíòåðâàëû (-3,-2), (-2,-1)…(2,3) è íàïèøèòå òàáëèöó ýìïèðè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ ýòèõ èíòåðâàëîâ. Ïî ýòîé òàáëèöå ïîñòðîéòå ãèñòîãðàììó è
ïîëèãîí, ñîñ÷èòàéòå ýìïèðè÷åñêèå ñðåäíåå è äèñïåðñèþ ( x ,S2), ýìïèðè÷åñêîå ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå. Âûïèøèòå òåîðåòè÷åñêèå çíà÷åíèÿ äëÿ ýòèõ âåëè÷èí è ñðàâíèòå èõ ñ ýìïèðè÷åñêèìè.
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
82
2.3.  óñëîâèÿõ ïðåäûäóùåé çàäà÷è ïîñòðîèòü 95%-ûé äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè, ïðè óñëîâèè, ÷òî äèñïåðñèÿ ãåíåðàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ èçâåñòíà è ðàâíà 1. Ïîïàëî ëè îöåíèâàåìîå çíà÷åíèå â äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë?
2.4. Çàäàíèå òî æå, ÷òî â ï. 2.3, íî ñ÷èòàòü, ÷òî äèñïåðñèÿ ãåíåðàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ íåèçâåñòíà. Ïîïàëî ëè îöåíèâàåìîå çíà÷åíèå â äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë? Ñèëüíî ëè ðàçëè÷àþòñÿ èíòåðâàëû, ïîñòðîåííûå â ýòîé è ïðåäûäóùåé çàäà÷å?
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
83
2.5. Ïðîèçâîäèòåëü ñòàëüíûõ êàíàòîâ äîëãîå âðåìÿ îáåñïå÷èâàë
ïðî÷íîñòü êàíàòà íà ðàçðûâ µ = 55000 êã ïðè ñòàíäàðòíîì îòêëîíåíèè
σ = 500 êã. Ïîñëå óñîâåðøåíñòâîâàíèÿ ïðîöåññà èçãîòîâëåíèÿ, ïðîèçâîäèòåëü ñòàë óòâåðæäàòü, ÷òî ïðî÷íîñòü êàíàòà íà ðàçðûâ âîçðîñëà.
Ïðè èñïûòàíèè âûáîðêè èç n = 50 êàíàòîâ ïîëó÷åíî, ÷òî ñðåäíÿÿ âûáîðî÷íàÿ ïðî÷íîñòü ñîñòàâëÿåò 55250 êã. Çàêàç÷èê ðåøèë ïðîâåðèòü ãèïîòåçó Í0: µ = 55000 ïðè óðîâíå çíà÷èìîñòè 0,05 (òàê êàê îí ñîìíåâàåòñÿ â óâåëè÷åíèè µ). Ïðîéäåò ëè ýòà ãèïîòåçà?
2.6. Äëÿ äâóõ íîðìàëüíûõ íåçàâèñèìûõ âåëè÷èí ξ è η: ξ~N(µξ,σ) è
η~N(µη,σ) ñ îäèíàêîâûìè äèñïåðñèÿìè ïîëó÷åíû âûáîðêè îáúåìà nξ = 42
è nη = 20, äëÿ êîòîðûõ ñîñ÷èòàíî: ξ = 64, S 2ξ = 16, η = 62, S 2η = 25 . Ïðè óðîâíå çíà÷èìîñòè α = 0,05 ïðîâåðÿåòñÿ ãèïîòåçà Í0: µξ = µη î ðàâåíñòâå
ãåíåðàëüíûõ ñðåäíèõ (àëüòåðíàòèâíàÿ ãèïîòåçà Í1: µξ ≠ µη). ×åìó ðàâíî
îïûòíîå çíà÷åíèå ñòàòèñòèêè Ò, ïðèìåíÿåìîé äëÿ ïðîâåðêè ãèïîòåçû
Í0?
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
84
2.7. ×åìó ðàâíà â çàäà÷å 2.6 îáëàñòü ïðèíÿòèÿ ãèïîòåçû Í0? Ìîæíî
ëè ïðèíÿòü ãèïîòåçó Í0?
2
2
2.8. Åñëè ξ = 64, S ξ = 16, η = 61, S η = 25 , òî êàêîâî áóäåò ðåøåíèå?
2.9. Èç ïðîâåðÿåìûõ íà âñõîæåñòü 8000 çåðåí ñëó÷àéíûì îáðàçîì îòîáðàíî 1000. Ñðåäè íèõ îêàçàëîñü (84+N)% íåäîáðîêà÷åñòâåííûõ (N – âàø íîìåð â ñïèñêå). Íàéòè äîâåðèòåëüíóþ âåðîÿòíîñòü òîãî,
÷òî ïðîöåíò òàêèõ çåðåí â ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè îòëè÷àåòñÿ îò ïðîöåíòà èõ â âûáîðêå íå áîëåå, ÷åì íà 2% (ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå).
Ðàññìîòðåòü ñëó÷àè ïîâòîðíîé è áåñïîâòîðíîé âûáîðêè.
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
85
ÒÐÅÍÈÍÃ ÓÌÅÍÈÉ
1. Ïðèìåð âûïîëíåíèÿ óïðàæíåíèé òðåíèíãà íà óìåíèå ¹ 1
Çàäàíèå
Ïîñòðîèòü ãèñòîãðàììó è ïîëèãîí ïî çàäàííîé òàáëèöå:
Ðàñïðåäåëåíèå ñåìåé ïî ðàçìåðó æèëîé ïëîùàäè,
ïðèõîäÿùåéñÿ íà îäíîãî ÷åëîâåêà (öèôðû óñëîâíûå)
¹
1
2
3
4
5
Ïëîùàäü, ïðèõîäÿùàÿñÿ
íà îäíîãî ÷åëîâåêà
3-5
5-7
7-9
9-11
11-13
Âñåãî
×èñëî ñåìåé ñ äàííûì
ðàçìåðîì ïëîùàäè
10
20
40
30
15
115
Ðåøåíèå
Çàïîëíèòå òàáëèöó, ïîäîáðàâ êàæäîìó àëãîðèòìó êîíêðåòíîå ñîäåðæàíèå.
¹
ï/ï
Àëãîðèòì
1.
Óïîðÿäî÷èòü çàäàííûå
çíà÷åíèÿ ïî âîçðàñòàíèþ,
ñîñ÷èòàòü èõ êîëè÷åñòâî
2.
Ñãðóïïèðîâàòü çíà÷åíèÿ,
åñëè íàäî; ñîñ÷èòàòü ÷èñëî çíà÷åíèé, ïîïàâøèõ â
èíòåðâàëû ðàçáèåíèÿ;
âû÷èñëèòü ýìïèðè÷åñêèå
÷àñòîòû, ñîñòàâèòü òàáëèöó ýìïèðè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ
Êîíêðåòíîå ñîîòâåòñòâèå äàííîé
ñèòóàöèè ïðåäëîæåííîìó àëãîðèòìó
n = 115
Óïîðÿäî÷èâàòü çíà÷åíèÿ íå òðåáóåòñÿ, òàê êàê çàäàíà èíòåðâàëüíàÿ òàáëèöà.
Òàáëèöà ÷àñòîò ïîÿâëåíèÿ çíà÷åíèÿ
Çíà÷åíèÿ
4 6 8 10 12
Êîë-âî mi 10 20 40 30 15
Òàáëèöà ýìïèðè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ
xi
4
6
8
10
12
mi/n 0,087 0,174 0,348 0,261 0,130
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
86
¹
ï/ï
3.
Àëãîðèòì
Ïî òàáëèöå ýìïèðè÷åñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ
íàðèñîâàòü ãèñòîãðàììó è ïîëèãîí, íàéòè
ìåäèàíó
Êîíêðåòíîå ñîîòâåòñòâèå äàííîé ñèòóàöèè
ïðåäëîæåííîìó àëãîðèòìó
40
30
20
10
3
5
7
9 11
Ìîäà
13
Ãèñòîãðàììà è ïîëèãîí
Ìåäèàíà 8,375 (äåëèò ïëîùàäü ãèñòîãðàììû ïîïîëàì)
Ðåøèòå ñàìîñòîÿòåëüíî ñëåäóþùèå çàäà÷è:
1.1. Ïîñòðîèòü äèñêðåòíûé âàðèàöèîííûé ðÿä è íà÷åðòèòü ïîëèãîí
äëÿ ñëåäóþùåãî ðàñïðåäåëåíèÿ ðàçìåðîâ 45 ïàð ìóæñêîé îáóâè, ïðîäàííûõ â ìàãàçèíå çà äåíü:
39 41 40 42 41 40 42 44 40 43 42 41 43 39 42 41 42 39 41 37 43 41 38
43 42 41 40 41 38 44 40 39 41 40 42 40 41 42 40 43 38 39 41 41 42.
Íàéòè ìîäó è ìåäèàíó.
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
87
1.2. Íàáëþäåíèÿ çà æèðíîñòüþ ìîëîêà ó 50 êîðîâ äàëè ñëåäóþùèå
ðåçóëüòàòû (â %):
3,86 4,06 3,67 3,97 3,76 3,61 3,96 4,04 3,84 3,94 3,98 3,57 3,87 4,07
3,99 3,69 3,76 3,71 3,94 3,82 4,16 3,76 4,00 3,46 4,08 3,88 4,01, 3,93 3,71
3,81 4,02 4,17 3,72 4,09 3,78 4,02 3,73 3,52 3,89 3,92 4,18 4,26 4,03 4,14
3,72 4,33 3,82 4,03 3,62 3,91
Ïîñòðîèòü ïî ýòèì äàííûì èíòåðâàëüíûé âàðèàöèîííûé ðÿä ñ ðàâíûìè èíòåðâàëàìè (íàïðèìåð, ïåðâûé èíòåðâàë 3,40-3,60, âòîðîé –
3,60-3,80 è ò.ä.) è èçîáðàçèòü åãî ãðàôè÷åñêè – íàðèñîâàòü ãèñòîãðàììó è ïîëèãîí. Íàéòè ìîäó è ìåäèàíó.
2. Ïðèìåð âûïîëíåíèÿ óïðàæíåíèé òðåíèíãà íà óìåíèå ¹ 2
Çàäàíèå 1
Äëÿ ñëó÷àéíî îòîáðàííûõ ñåìè ðàáî÷èõ ñòàæ ðàáîòû îêàçàëñÿ ðàâíûì: 10, 3, 5, 12, 11, 7, 9.
×åìó ðàâåí äëÿ íèõ ñðåäíèé ñòàæ è ÷åìó ðàâåí ðàçáðîñ (ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå)?
Ðåøåíèå
Çàïîëíèòå òàáëèöó, ïîäîáðàâ â êàæäîìó àëãîðèòìó êîíêðåòíîå ñîäåðæàíèå.
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
88
¹
ï/ï
1.
Êîíêðåòíîå ñîîòâåòñòâèå äàííîé ñèòóàöèè
ïðåäëîæåííîìó àëãîðèòìó
Àëãîðèòì
Çàäàíà âûáîðêà:
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
10, 3, 5, 12, 11, 7, 9.
n = 7;
Âûïèñàòü çàäàííûå
çíà÷åíèÿ, îáúåì
âûáîðêè è íóæíóþ
ôîðìóëó äëÿ ïîëó÷åíèÿ òî÷å÷íîé
îöåíêè
n
x = 1n ∑ x i - ôîðìóëà äëÿ ñðåäíåãî
i 1
=
n
2
( )
n
S 2 = 1 ∑ (x i − x ) = 1 ∑ x 2i − x 2 – ôîðn i=1
n i=1
ìóëà äëÿ äèñïåðñèè
2.
Ñîñ÷èòàòü çíà÷åíèå
îöåíêè
2
σ = S - ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå.
10 + 3 + 5 + 12 + 11 + 7 + 9
x=
= 8,14 ãîäà
7
1
S 2 = (102 + 32 + 52 + 122 + 112 + 7 2 + 92 ) −
7
2
− ( 8,14 ) = 75,57 − 66,26 = 9,31
σ = 9,31 = 3,05 ãîäà
Çàäàíèå 2
Ïðè îáñëåäîâàíèè íàäîÿ êîðîâ ñëó÷àéíûì îáðàçîì îòîáðàëè 307
êîðîâ, äàííûå ïî íèì ñãðóïïèðîâàëè è ñîñòàâèëè òàáëèöó:
Íàäîè 3000-3400 3400-3800 3800-4200 4200-4600 4600-5000
×èñëî
43
71
102
64
27
êîðîâ
Íàéòè âûáîðî÷íîå ñðåäíåå, äèñïåðñèþ è ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîå
îòêëîíåíèå.
Ðåøåíèå
Çàïîëíèòå òàáëèöó, ïîäîáðàâ â êàæäîìó àëãîðèòìó êîíêðåòíîå ñîäåðæàíèå.
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
89
¹
ï/ï
1.
Àëãîðèòì
Âûïèñàòü
çàäàííûå
çíà÷åíèÿ,
îáúåì âûáîðêè è
íóæíóþ
ôîðìóëó
äëÿ ïîëó÷åíèÿ òî÷å÷íîé îöåíêè
Êîíêðåòíîå ñîîòâåòñòâèå äàííîé ñèòóàöèè
ïðåäëîæåííîìó àëãîðèòìó
Ñîñòàâëÿåì òàáëèöó ÷èñëà íàáëþäåíèÿ çíà÷åíèé
xi 3200 3600 4000 4400 4800
mi 43
71 102 64
27
n = 307
k
mj 1 k
x = ∑xj
= ∑ x jm j – âûáîðî÷íîå ñðåäíåå
n
n j=1
j=1
k
r
mj
mj
– âûáîðî÷íàÿ
S 2 = ∑ x 2j
− x 2 = ∑ (x j − x) 2
n
n
j=1
j=1
äèñïåðñèÿ
2
σ = S - âûáîðî÷íîå ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîå îò-
2.
Ñîñ÷èòàòü
çíà÷åíèå
îöåíêè
êëîíåíèå.
x = 1/ 307(3200+ 3600+ 4000+ 4400+ 4800) = 3949;
S 2 = 1/ 307( 32002 ⋅ 43 + 36002 ⋅ 7 1+ 40002 ⋅102+
2
2
2
+ 4400 ⋅ 64 + 4800 ⋅ 27) − ( 39 49) = 21517 0;
σ = 21517 0= 463,86 ëèòðîâ
Ðåøèòå ñàìîñòîÿòåëüíî ñëåäóþùóþ çàäà÷ó:
2.1. Ïîñòðîèòü òàáëèöó äèñêðåòíîãî âàðèàöèîííîãî ðÿäà, íà÷åðòèòü ïîëèãîí ðàñïðåäåëåíèÿ 60 àáèòóðèåíòîâ ïî ÷èñëó áàëëîâ, ïîëó÷åííûõ èìè íà ïðèåìíûõ ýêçàìåíàõ. Íàéòè ýìïèðè÷åñêèå ìîäó, ìåäèàíó, ñðåäíåå çíà÷åíèå è ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå:
20 19 22 24 21 18 23 17 20 16 15 23 21 24 21 18 23 21 19 20 24 21 20
18 17 22 20 16 22 18 20 17 21 17 19 20 20 21 18 22 23 21 25 22 20 19 21
24 23 21 19 22 21 19 20 23 22 25 21 21
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
90
3. Ïðèìåð âûïîëíåíèÿ óïðàæíåíèé òðåíèíãà íà óìåíèå ¹ 3
Çàäàíèå
Ñ öåëüþ îïðåäåëåíèÿ âðåìåíè, çàòðà÷èâàåìîãî íà îáðàáîòêó äåòàëè, âçÿòû âûáîðî÷íî 100 ðàáî÷èõ êðóïíîãî çàâîäà. Ðåçóëüòàòû îáñëåäîâàíèÿ ïðèâåäåíû â òàáëèöå:
Âðåìÿ îáðàáîòêè
â ìèíóòàõ
3,6-4,2
4,2-4,8
4,8-5,4
5,4-6,0
6,0-6,6
×èñëî ðàáî÷èõ
14
33
35
12
6
Òðåáóåòñÿ íàéòè âûáîðî÷íîå ñðåäíåå, äèñïåðñèþ, ñðåäíåå êâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå è ãðàíèöû, â êîòîðûõ ñ íàäåæíîñòüþ 0,95 çàêëþ÷åíî ñðåäíåå âðåìÿ îáðàáîòêè äåòàëè âñåìè ðàáî÷èìè çàâîäà.
Ðåøåíèå
Çàïîëíèòå òàáëèöó, ïîäîáðàâ êàæäîìó àëãîðèòìó êîíêðåòíîå ñîäåðæàíèå.
¹
Êîíêðåòíîå ñîîòâåòñòâèå äàííîé ñèòóàöèè
Àëãîðèòì
ï/ï
ïðåäëîæåííîìó àëãîðèòìó
1.
Ñîñ÷èòàòü âûáîðî÷íîå ñðåäíåå, âûáîðî÷íîå ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîå
îòêëîíåíèå
Ñîñòàâëÿåì òàáëèöó ÷èñëà íàáëþäåíèÿ çíà÷åíèé
xi
3,9 4,5 5,1 5,7 6,3
mi 14 33 35 12
6
n = 100
k
k
mj
x = ∑ xj
= 1/ n∑ x j m j – âûáîðî÷íîå ñðåäíåå,
n
j=1
j=1
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
91
¹
ï/ï
2.
Àëãîðèòì
(åñëè íå èçâåñòíî
èñòèííîå), âûïèñàòü íóæíóþ ôîðìóëó äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà
Ïîëüçóÿñü òàáëèöàìè 5 èëè 6, âû÷èñëèòü ãðàíèöû
òðåáóåìîãî â çàäàíèè èíòåðâàëà; âûïèñàòü ïîëó÷åííûé
äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë
Êîíêðåòíîå ñîîòâåòñòâèå äàííîé ñèòóàöèè
ïðåäëîæåííîìó àëãîðèòìó
â äàííîì ñëó÷àå x = 4,88 ;
k
r
m
m
S2 = ∑ x 2j j − x 2 = ∑ (x j − x) 2 j – âûáîn
n
j=1
j =1
ðî÷íàÿ äèñïåðñèÿ, â äàííîì ñëó÷àå S2 = 0,38;
2
σ = S – âûáîðî÷íîå ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå, â äàííîì ñëó÷àå σ = 0,62.
Äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ èñòèííîãî
ñðåäíåãî âðåìåíè îáðàáîòêè äåòàëè:
S
S
.
x − t n−1;,β
< µ < x + t n−1;β
n −1
n −1
β = 0,95, t 99;0,95 íàõîäèì â òàáëèöå 6 äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Ñòüþäåíòà (ïðè òàêîì n ìîæíî
âîñïîëüçîâàòüñÿ òàáëèöåé 5 äëÿ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ).
t99;0,95 = 2
2 ⋅ 0,64
2 ⋅ 0,64
4,88 −
< µ < 4,88 +
99
99
4,76 < µ < 5
Ðåøèòå ñàìîñòîÿòåëüíî ñëåäóþùèå çàäà÷è:
3.1. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ çîëüíîñòè óãëÿ ìåñòîðîæäåíèÿ âçÿòî 200
ïðîá. Â ðåçóëüòàòå ëàáîðàòîðíûõ èññëåäîâàíèé óñòàíîâëåíà ñðåäíÿÿ
çîëüíîñòü óãëÿ â âûðàáîòêå 17% ïðè ñðåäíåì êâàäðàòè÷åñêîì îòêëîíåíèè 3%. Ñ âåðîÿòíîñòüþ 0,95 îïðåäåëèòå ïðåäåëû, â êîòîðûõ íàõîäèòñÿ ñðåäíÿÿ çîëüíîñòü óãëÿ ìåñòîðîæäåíèÿ µ. Ïîñòðîéòå îäíîñòîðîííèå ïðåäåëû äëÿ òîãî æå óðîâíÿ äîâåðèÿ (íå ìåíüøå, ÷åì … è íå áîëüøå, ÷åì …)
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
92
3.2. Èç ïàðòèè ïîäøèïíèêîâ áûëî ñëó÷àéíûì îáðàçîì îòîáðàíî 8
äåòàëåé è ñäåëàíû çàìåðû íà òî÷íîñòü îáðàáîòêè (â ìêì): 216,54;
216,53; 216,51; 216,56; 216,57; 216,55; 216,52; 216,54. Íàéòè íåñìåùåííûå îöåíêè ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ è äèñïåðñèè çàìåðîâ. Îïðåäåëèòü äîâåðèòåëüíûå èíòåðâàëû äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ñ íàäåæíîñòüþ 0,95. Óêàçàíèå: ïðè ðàñ÷åòàõ âû÷åñòü èç çàäàííûõ çíà÷åíèé
216 è èñïîëüçîâàòü ñâîéñòâà ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ è äèñïåðñèè:
Ì(X+Ñ) = Ìx + Ñ; D(X+C) = Dx.
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
93
4. Ïðèìåð âûïîëíåíèÿ óïðàæíåíèé òðåíèíãà íà óìåíèå ¹ 4
Çàäàíèå 1
Âûáîðî÷íàÿ ïðîâåðêà ïîêàçàëà, ÷òî èç 100 èçäåëèé 87 óäîâëåòâîðÿþò ñòàíäàðòó. Ìû õîòèì áûòü óâåðåíû íà 95%, ÷òî íå îøèáàåìñÿ â
îöåíêå ïðîöåíòà íåñòàíäàðòíûõ èçäåëèé. Â êàêèõ ïðåäåëàõ îí
íàõîäèòñÿ? Êàêîâ äîëæåí áûòü îáúåì âûáîðêè, ÷òîáû îöåíèòü ïðîöåíò
áðàêà ñ òî÷íîñòüþ äî 0,01?
Ðåøåíèå
Çàïîëíèòå òàáëèöó, ïîäîáðàâ êàæäîìó àëãîðèòìó êîíêðåòíîå ñîäåðæàíèå.
¹
ï/ï
1.
2.
Àëãîðèòì
Âû÷èñëèòü
p äëÿ p
îöåíêó ~
Íàéòè äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ p
 ñëó÷àå, êîãäà
òðåáóåòñÿ, ïðîâåðèòü ãèïîòåçó;
ñôîðìóëèðîâàòü
âûâîä èç ýêñïåðèìåíòà, ïðîâåñòè âû÷èñëåíèÿ ñ
äîâåðèòåëüíûì
èíòåðâàëîì
Êîíêðåòíîå ñîîòâåòñòâèå äàííîé ñèòóàöèè
ïðåäëîæåííîìó àëãîðèòìó
n = 100;
~
p = 0,13
~
~
p(1 − ~
p)
p(1− ~
p)
~
p − 1,96
p + 1,96
≤ p ≤~
n
n
(ïðèìåíèëè ôîðìóëó äëÿ ïîâòîðíîé âûáîðêè –
ñ âîçâðàòîì).
Ïîäñòàâèâ n è p, ïîëó÷àåì
0,06 < p < 0,2
Ñ âåðîÿòíîñòüþ 0,95 âûïîëíÿåòñÿ:
~
p(1 − ~
p)
p −~
p ≤ 1,96
.
n
Òðåáóåìàÿ òî÷íîñòü 0,01; ñëåäîâàòåëüíî,
% − p)
%
p(1
1, 96
= 0, 01;
N
% − p)
% ⋅ 1, 962
p(1
% − p)
% =
N=
= 38416p(1
0, 012
= 38416 ⋅ 0,87 ⋅ 0,13 = 4345
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
94
Çàäàíèå 2
Ïàðòèÿ èçäåëèé ñ÷èòàåòñÿ ãîäíîé ê âûïóñêó, åñëè áðàê â íåé íå
ïðåâûøàåò 3%. Èç ïàðòèè â 2000 èçäåëèé áûëî îòîáðàíî è ïðîâåðåíî
400. Ïðè ýòîì áðàêîâàííûõ îêàçàëîñü 6. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî. ÷òî
âñÿ ïàðòèÿ óäîâëåòâîðÿåò òåõíè÷åñêèì óñëîâèÿì è ìîæåò áûòü ïðèíÿòà?
Ðåøåíèå
Çàïîëíèòå òàáëèöó, ïîäîáðàâ êàæäîìó àëãîðèòìó êîíêðåòíîå ñîäåðæàíèå.
¹
ï/ï
1.
2.
3.
Àëãîðèòì
Âû÷èñëèòü
p
îöåíêó ~
äëÿ p
Íàéòè äîâåðèòåëüíûé
èíòåðâàë
äëÿ p
 ñëó÷àå,
êîãäà òðåáóåòñÿ, ïðîâåðèòü ãèïîòåçó; ñôîðìóëèðîâàòü
âûâîä èç
ýêñïåðèìåíòà, ïðîâåñòè
âû÷èñëåíèÿ
ñ äîâåðèòåëüíûì
èíòåðâàëîì
Êîíêðåòíîå ñîîòâåòñòâèå äàííîé ñèòóàöèè
ïðåäëîæåííîìó àëãîðèòìó
N = 2000; n = 400;
~
p = 6 / 400 = 0,015
~
~
n
p(1 − ~
p)
p(1 − ~
p)
n
~
1−
p + kβ
1−
p − kβ
≤p≤~
n
N
n
N
ïðèìåíèëè ôîðìóëó äëÿ áåñïîâòîðíîé âûáîðêè
(áåç âîçâðàòà)
Ñëåäîâàòåëüíî, äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ:
~
p(1 − ~
p)
n
~
p + kβ
1 − ≤ 0,03 .
n
N
Ïîäñòàâëÿåì íàøè äàííûå:
20 ⋅ 0,015
kβ =
= 2,75 . Ñîîòâåòñòâóþùåå
0,015 ⋅ 0,985 ⋅ 0,8
òàêîìó kβ çíà÷åíèå âåðîÿòíîñòè β íàõîäèì â Òàáëèöå 4 ôóíêöèè Ëàïëàñà Ö(õ): β = 0,994.
Ñ âåðîÿòíîñòüþ 0,994 âûïîëíÿåòñÿ:
ð < 0,03
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
95
Ðåøèòå ñàìîñòîÿòåëüíî ñëåäóþùèå çàäà÷è:
4.1. Âûáîðî÷íî îáñëåäîâàëè êà÷åñòâî êèðïè÷à. Èç 1600 ïðîá â 32
ñëó÷àÿõ êèðïè÷ îêàçàëñÿ áðàêîâàííûì. Òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü, â êàêèõ
ïðåäåëàõ çàêëþ÷àåòñÿ äîëÿ áðàêà äëÿ âñåé ïðîäóêöèè, åñëè ðåçóëüòàò
íåîáõîäèìî ãàðàíòèðîâàòü ñ âåðîÿòíîñòüþ 0,954.
4.2.  âûáîðêå îáúåìîì 500 åäèíèö, ïðîèçâåäåííîé äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïðîöåíòà âñõîæåñòè çåðíà ð óñòàíîâëåíà îòíîñèòåëüíàÿ ÷àñòîòà
äîáðîêà÷åñòâåííûõ çåðåí k/n = 0,94. Íàéòè, ñ êàêîé âåðîÿòíîñòüþ ìîæåò áûòü ïðèíÿò â ýòîì ñëó÷àå èñêîìûé ïðîöåíò âñõîæåñòè, åñëè äîïóñòèìàÿ ïîãðåøíîñòü â åãî îïðåäåëåíèè ðàâíà ±2%.
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
96
5. Ïðèìåð âûïîëíåíèÿ óïðàæíåíèé òðåíèíãà íà óìåíèå ¹ 5
Çàäàíèå
Ïðîâåëè îáñëåäîâàíèå îäíîòèïíûõ èçäåëèé, ïðîèçâåäåííûõ äâóìÿ çàâîäàìè (ïî 40 èçäåëèé íà êàæäîì çàâîäå). Îöåíêè âû÷èñëÿëèñü â
íåêîòîðûõ åäèíèöàõ, çàòåì ïî íèì äëÿ êàæäîãî çàâîäà áûëè ñîñ÷èòàíû ñòàòèñòè÷åñêèå ïîêàçàòåëè – ñðåäíåå çíà÷åíèå îöåíêè è ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå. Ðåçóëüòàòû ïðèâåäåíû â òàáëèöå:
Çàâîä ¹ 1
71
5
Ñðåäíèé áàëë
Ñòàíäàðòíîå îòêëîíåíèå
Çàâîä ¹ 2
76
6
Ïðîâåðèòü ïðè óðîâíå çíà÷èìîñòè 0,05 ãèïîòåçó î òîì, ÷òî èçäåëèÿ çàâîäà ¹ 2 ëó÷øåãî êà÷åñòâà, ÷åì èçäåëèÿ çàâîäà ¹ 1.
Ðåøåíèå
Çàïîëíèòå òàáëèöó, ïîäîáðàâ êàæäîìó àëãîðèòìó êîíêðåòíîå ñîäåðæàíèå.
¹
ï/ï
1.
2.
Àëãîðèòì
Âûïèñàòü èç óñëîâèÿ
çàäà÷è äàííûå î âûáîðêå. Ñîñ÷èòàòü
îöåíêè äëÿ ñðåäíåãî è
äèñïåðñèè
Ñôîðìóëèðîâàòü ïðîâåðÿåìóþ ãèïîòåçó â
âåðîÿòíîñòíûõ òåðìèíàõ. Âûïèñàòü ôîðìóëó ñòàòèñòèêè, âû÷èñëÿåìîé ïî âûáîðêå.
Âûïèñàòü ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû N äëÿ
ðàñïðåäåëåíèÿ ñòàòèñòèêè. Ïîäñòàâèòü â
ôîðìóëó ñòàòèñòèêè
äàííûå âûáîðêè
Êîíêðåòíîå ñîîòâåòñòâèå äàííîé ñèòóàöèè
ïðåäëîæåííîìó àëãîðèòìó
x = 71; y = 76; S x = 5; S y = 6; n = 40; m =
40; α = 0,05.
Ïðîâåðÿåòñÿ ãèïîòåçà î òîì, ÷òî µx = µy,
êîãäà àëüòåðíàòèâíîé ãèïîòåçîé ÿâëÿåòñÿ ãèïîòåçà µx < µy
(âàðèàíò 2ñ). Ïîëüçóåìñÿ ñòàòèñòèêîé
x−y
nm( n + m − 2)
T=
, N = 78.
2
2
n+ m
nS x + mS y
Âû÷èñëÿåì çíà÷åíèå ñòàòèñòèêè:
71 − 76
T=
2
2
40 ⋅ 5 + 40 ⋅ 6
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
97
40 ⋅ 40 ⋅ 78
= −4
80
¹
ï/ï
Àëãîðèòì
3.
Âûïèñàòü êðèòè÷åñêóþ îáëàñòü è ñ ïîìîùüþ òàáëèö íàéòè
ãðàíèöû êðèòè÷åñêîé
îáëàñòè äëÿ ñòàòèñòèêè, ñ ïîìîùüþ êîòîðîé áóäåò ïðîâåðÿòüñÿ
ãèïîòåçà
4.
Ñôîðìóëèðîâàòü âûâîä, òðåáóåìûé â çàäà÷å
Êîíêðåòíîå ñîîòâåòñòâèå äàííîé ñèòóàöèè
ïðåäëîæåííîìó àëãîðèòìó
Êðèòè÷åñêàÿ îáëàñòü äëÿ ïðîâåðêè ãèïîòåçû:
T < –tN;α (tN;α îòûñêèâàåòñÿ ïî òàáëèöå 6
êðèòè÷åñêèõ çíà÷åíèé ðàñïðåäåëåíèÿ
Ñòüþäåíòà, α â íèæíåé ñòðîêå).
Åñëè âû÷èñëåííîå çíà÷åíèå ïîïàäåò
âíóòðü èíòåðâàëà [–∞,–1,66], òî ãèïîòåçà
Í0 íå ïðîéäåò, à ïðîéäåò èíòåðåñóþùàÿ
íàñ ãèïîòåçà Í1.
–4 < –1,66, ñëåäîâàòåëüíî, çíà÷åíèå ñòàòèñòèêè ïîïàëî â êðèòè÷åñêóþ îáëàñòü è
ïðîõîäèò íå îñíîâíàÿ , à àëüòåðíàòèâíàÿ
ãèïîòåçà î òîì, ÷òî èçäåëèÿ çàâîäà ¹ 1
õóæå èçäåëèé çàâîäà ¹ 2, (ýòî ïðàêòè÷åñêè äîñòîâåðíî)
Ðåøèòå ñàìîñòîÿòåëüíî ñëåäóþùèå çàäà÷è:
5.1. Íà íåêîòîðîì ïîëå âûáðàëè 100 ó÷àñòêîâ çåìëè: 50 ó÷àñòêîâ
çàñåÿëè îäíèì ñîðòîì ÿ÷ìåíÿ, 50 – äðóãèì. Íà ïåðâûõ 50 ó÷àñòêàõ
ïîëó÷èëè óðîæàé â ñðåäíåì 60 ö/ãà ñî ñòàíäàðòíûì îòêëîíåíèåì
3ö/ãà, íà âòîðûõ 50 ó÷àñòêàõ ñðåäíèé óðîæàé îêàçàëñÿ ðàâíûì 65 ö/ãà
ñî ñòàíäàðòíûì îòêëîíåíèåì 3,5 ö/ãà. Áóäåò ëè ñðåäíèé óðîæàé ýòîãî
ñîðòà ÿ÷ìåíÿ çíà÷èìî ïðåâîñõîäèòü ñðåäíèé óðîæàé ÿ÷ìåíÿ ïåðâîãî
ñîðòà? Ïðèíÿòü α = 0,05.
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
98
5.2. Ñðåäíÿÿ ìåñÿ÷íàÿ âûðàáîòêà äëÿ âûáîðêè èç 50 ðàáî÷èõ îäíîãî çàâîäà ñîñòàâëÿåò 110 èçäåëèé ïðè ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîì îòêëîíåíèè 14 èçäåëèé, à äëÿ âûáîðêè èç 40 ðàáî÷èõ äðóãîãî çàâîäà ðàâíà
105 èçäåëèé ïðè ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîì îòêëîíåíèè 15 èçäåëèé. Âûøå
ëè ñðåäíÿÿ âûðàáîòêà íà ïåðâîì çàâîäå, ÷åì íà âòîðîì? Óðîâåíü çíà÷èìîñòè α ïðèíÿòü ðàâíûì 0,01.
5.3. Èç ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè èçâëå÷åíà âûáîðêà îáúåìà
n = 50.
Âàðèàíòà õi
×àñòîòà mi
-2
10
1
5
2
10
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
99
3
10
4
10
5
5
Îöåíèòü ñ íàäåæíîñòüþ 0,95 ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå à íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííîãî ïðèçíàêà ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè ïî âûáîðî÷íîé ñðåäíåé ïðè ïîìîùè äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà. (Óêàçàíèå: ïðè
n > 20 ðàñïðåäåëåíèå Ñòüþäåíòà ïðàêòè÷åñêè ñîâïàäàåò ñ íîðìàëüíûì
ðàñïðåäåëåíèåì). Ïðîéäåò ëè ïðè óðîâíå çíà÷èìîñòè α = 0,05 ãèïîòåçà î òîì, ÷òî ãåíåðàëüíîå ñðåäíåå ðàâíî 3? Äàéòå îáúÿñíåíèå, ïî÷åìó
ãèïîòåçà ïðîõîäèò, èëè íå ïðîõîäèò.
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
100
ÔÀÉË ÌÀÒÅÐÈÀËÎÂ
Ïðèëîæåíèå 1
ÃÐÅ×ÅÑÊÈÉ ÀËÔÀÂÈÒ
Α
Β
Γ
∆
Ε
Ζ
Η
Θ
Ι
Κ
Λ
Μ
α
β
γ
δ
ε
ζ
η
θ
ι
κ
λ
µ
Ν
Ξ
Ο
Π
Ρ
Σ
Τ
Υ
Φ
Χ
Ψ
Ω
àëüôà
áåòà
ãàììà
äåëüòà
ýïñèëîí
äçåòà
ýòà
òåòà
éîòà
êàïïà
ëàìáäà
ìþ
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
101
ν
ξ
ο
π
ρ
σ
τ
υ
φ
χ
ψ
ω
íþ
êñè
îìèêðîí
ïè
ðî
ñèãìà
òàó
èïñèëîí
ôè
õè
ïñè
îìåãà
Ïðèëîæåíèå 2
ÑÏÈÑÎÊ ÔÎÐÌÓË
ÒÅÎÐÈß ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ
1. Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ F(x) è ïëîòíîñòü f(x) è èõ ñâîéñòâà
0 ≤ F(x) ≤ 1.
F(x1) ≤ F(x2)
lim F(x) = 0, lim F(x) = 1
x →−∞
x →∞
∞
∫ f (x)dx = F(∞) = 1
−∞
x
F(x) = p(ξ < x) =
∫ f (t)dt
−∞
f (x) = F′(x)
x2
p(x1 ≤ ξ < x 2 ) = ∫ f (t)dt
x1
∞
p( ξ > x) =
∫ f (t)dt = 1 − F(x)
x
2. Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è åãî ñâîéñòâà
Äëÿ äèñêðåòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ:
n
M( ξ) = a = ∑ x i ⋅ pi
i =1
Äëÿ íåïðåðûâíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ:
M( ξ) = a =
∞
∫ x ⋅ f (x)dx
−∞
M(Ñ) = Ñ
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
102
Ì(Ñ⋅ξ) = Ñ⋅Ì(ξ)
 n  n
M  ∑ ξi  = ∑ M( ξi )
 i =1  i =1
M(ξ+C)= M(ξ)+C
3. Äèñïåðñèÿ, ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå
è èõ ñâîéñòâà
2
2
D(ξ) = σ = M(( ξ − a) )
n
n
i= 1
i= 1
2
2
2
D(ξ) = ∑ (x i − a) ⋅ pi = ∑ x i ⋅ pi − a (äèñêðåòíûé ñëó÷àé)
D(ξ) =
∞
∫ (x − a)
−∞
2
⋅ f (x)dx =
∞
∫x
2
⋅ f (x)dx − a 2 (íåïðåðûâíûé ñëó÷àé).
−∞
D(C) = 0
D(C⋅ξ) = C2⋅D(ξ)
 n  n
D  ∑ ξi  = ∑ D( ξi ) (äëÿ íåçàâèñèìûõ ξi)
 i =1  i =1
D(ξ+c) = D(ξ), D(ξ–η) = D(ξ) + D(η)
σ(ξ ) = D(ξ)
σ(C) = 0; σ(C ⋅ ξ) = | C | ⋅σ(ξ )
4. Ïðèìåðû ðàñïðåäåëåíèé è çíà÷åíèÿ
èõ ÷èñëîâûõ õàðàêòåðèñòèê
4.1. Èñïûòàíèå ñ äâóìÿ èñõîäàìè,
áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå
Ïóñòü â ðåçóëüòàòå èñïûòàíèÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ ð ïðîèñõîäèò ñîáûòèå À (ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ζ – èíäèêàòîð íàñòóïëåíèÿ À ïðèíÿëà çíà÷åÑîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
103
íèå 1), à ñ âåðîÿòíîñòüþ q = 1–ð ïðîòèâîïîëîæíîå åìó ñîáûòèå
(ζ ïðèíÿëà çíà÷åíèå 0). Ýòî ðàñïðåäåëåíèå çàäàþò òàáëèöåé:
xi
0
1
pi
q
p
A
M(ζ) = 0⋅q + 1⋅p = p
D(ζ) = 0⋅q + 12⋅p – p2 = p⋅(1–p) = pq
Âåðîÿòíîñòü, ÷òî ÷èñëî óñïåõîâ ξ, ïîëó÷åííûõ ïðè n íåçàâèñèìûõ
èñïûòàíèÿõ, ïðîâîäÿùèõñÿ íàä òàêîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé (ñõåìà Áåðíóëëè), ïðèìåò çíà÷åíèå m, çàäàåòñÿ ôîðìóëîé Áåðíóëëè:
m
m
n− m
=
p n (m) = C n ⋅ p ⋅ q
n ⋅ (n − 1) ⋅ ... ⋅ (n − m + 1) m n− m
p q
1 ⋅ 2 ⋅ ... ⋅ m
 n
 n

 n
M( ξ) = M  ∑ ζ k  = ∑ M(ζ k ) = np, D( ξ) = D  ∑ ζ k  = ∑ D( ζ k ) = npq
 k= 1  k= 1

 k=1
4.2. Ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà
Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, êîòîðàÿ ïðèíèìàåò çíà÷åíèå m ñ âåðîÿòíîñòüþ
Pm (λ ) =
λ m e−λ
, ãäå m=0,1,2,…, à λ – ïîëîæèòåëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ âåm!
ëè÷èíà, íàçûâàåòñÿ ðàñïðåäåëåííîé ïî Ïóàññîíó ñ ïàðàìåòðîì
λ.
∞
m ⋅ λ −λ
λm
M( ξ) = ∑
e = aλ ∑ e−λ = λ , D(ξ) = λ
m= 0 m!
m =0 m!
∞
m
4.3. Ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå
, x ∈ ( −∞,a)
0
b+a
 1
M( ξ) =

, x ∈ [a, b]
x
−
a


2
; F(x) = 
f (x) =  b − a
, x ∈ [a, b] ;
2
(b − a)
 0
b −a
, x ∉ [a, b]
ξ) =
D(
, x ∈ (b, ∞ )
1
12
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
104
f(x)
F(x)
1
b− a
a
0
1
b
x
a
0
b
x
4.4. Ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå
Íåïðåðûâíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà èìååò ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, åñëè å¸ ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè èìååò âèä
∞

1
−λ⋅x
−λx
λ
⋅
∈
∞
ξ
=
λ
e
,
x
[0,
);
M(
)
xe dx = ;

∫
λ

0
f (x) = 
∞
1 2 −λx
1
0
, x ∈ ( −∞ ,0); D(ξ) = λ ∫ (x − ) e dx = 2 ;

λ
λ
0

λ
F(x)
f(x)
1
õ
0
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
105
1–e–ëx
õ
4.5. Íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå
−
1
f (x) =
e
σ 2π
(x −a )2
2 σ2
M(ξ) = a, D(ξ) = σ2 , s(ξ) = σ
Ïàðàìåòðàìè, îïðåäåëÿþùèìè íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå N(a,σ)
ÿâëÿþòñÿ a – ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è σ – ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîå
îòêëîíåíèå.
ξ∼N(0,1) íàçûâàþò ñòàíäàðòíîé íîðìàëüíîé. Åå ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè è ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ çàäàþòñÿ ôîðìóëàìè:
x2
x
t2
−
1 −2
1
f ξ (x) =
e ; F(x) =
e 2 dt (Òàáëèöà 3 ôàéëà ìàòåðèàëîâ)
∫
2π
2 π −∞
f(x)
F(x)
1
1
σ 2π
0,5
0
a
a–σ
x
a+σ
x
a
x
t2
−
Φ(x) = 2 ∫ e 2 dt – ôóíêöèÿ Ëàïëàñà (Òàáëèöà 4)
2π 0
Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñòàíäàðòíîãî íîðìàëüíîãî çàêîíà F(x)
ñâÿçàíà ñ ôóíêöèåé Ëàïëàñà Φ(õ) ñîîòíîøåíèåì:
x
t2
0
x
−
1
F(x) =
e 2 dt = ∫ + ∫ = 0.5 + 0.5 ⋅ Φ (x) = 0.5[1 + Φ (x)];
∫
2 π −∞
−∞
0
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
106
Äëÿ ξ~N(0,1):
B
t2
0
t2
t2
B
−
−
−
1
1
1
P(A ≤ ξ ≤ B) =
e 2 dt =
e 2 dt +
e 2 dt =
∫
∫
∫
2π A
2π A
2π 0
= 1 [Φ(B) − Φ(A)]
2
Äëÿ ξ~N(a,σ):
B
1
P(A ≤ ξ ≤ B) =
e
σ 2 π ∫A
=
−
(t −a )2
2 σ2
1
dt =
2π
B −a
σ
∫
2
e
−y
2
dy =
A− a
σ
 A − a 
1   B− a 
Φ  σ  − Φ  σ  
2 



Ïðàâèëî òð¸õ σ:
p(| ξ − a |≤ 3σ) = Φ(3) = 0,9973
Ïðàâèëî äâóõ σ:
p ( ξ − a ≤ 2σ ) = Φ ( 2) = 0, 9544
ð{|ξ–a| < kβσ} = Φ(kβ) = β
Âåðîÿòíîñòè ïîïàäàíèÿ â ïîëóèíòåðâàë äëÿ ξ∼N(a,σ):
1
P( ξ ≤ B) =
σ 2π
B
∫e
−
(t −a )2
2 σ2
−∞
1
dt =
2π
B −a
σ
∫
−
e
y2
2
dy =
−∞

 − 
 − 
= F  B a  = 0,5 1 + Φ  B a 
 σ 
 σ 

∞
−
1
P( ξ > B) =
e
σ 2π ∫B
(t −a )2
2σ
2
1
dt =
2π
∞
∫
−
e
y2
2
B− a
σ

 − 
 − 
= 1 − F  B a  = 0,5 1 − Φ  B a  
 σ 
 σ 

Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
107
dy =
P{ξ < a − u β σ} = P{ξ > a + u β σ} =
1
= [1 − Φ(u β )] = F( −u β ) = 1 − F(u β ) = 1 − β = α
2
 ÷àñòíîñòè:
P{ξ < a − 1,65σ} = P{ξ > a + 1,65σ} = 0.05
P{ξ < a − 2σ} = P{ξ > a + 2 σ} = 0.025
P{ξ > a − 1,65σ} = P{ξ < a + 1,65σ} = 0.95
P{ξ > a − 2 σ} = P{ξ < a + 2 σ} = 0.975
5. Íîðìèðîâêà
Åñëè
 ξ−a
ξ − a
2
M( ξ) = a, D( ξ) = σ , òî M 
 = 0; D 
 = 1.
 σ 
 σ 
ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ÑÒÀÒÈÑÒÈÊÀ
1. Âûáîðêà
k
∑m
i =1
i
= n ; p% i =
mi
;
n
k
∑ p%
i =1
i
=1
Äëÿ äèñêðåòíîãî âàðèàöèîííîãî ðÿäà ìåäèàíà d:
xn + xn
+1
 2
2
, åñëè n ÷åòíî
d=
2
 x n +1 , åñëè n íå÷åòíî
 2
Ðàçìàõ âàðèàöèîííîãî ðÿäà – ðàññòîÿíèå x max – xmin ìåæäó
êðàéíèìè ÷ëåíàìè âàðèàöèîííîãî ðÿäà
Ãðóïïèðîâêà ñîñòîèò â òîì, ÷òî îáëàñòü íà îñè x, êóäà ïîïàëè
çíà÷åíèÿ x 1,x2,...,xn, ðàçáèâàþò íà èíòåðâàëû I1,I2,...,Ik è ïîäñ÷èòûâàþò
÷àñòîòó ïîïàäàíèÿ çíà÷åíèé âåëè÷èíû â êàæäûé èíòåðâàë. Ñàìûé
ïðîñòîé ñïîñîá ãðóïïèðîâêè – îêðóãëåíèå äàííûõ
Ñîãëàñíî ôîðìóëå Ñåðäæåñà ðåêîìåíäóåìîå ÷èñëî èíòåðâàëîâ:
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
108
k = 1 + 3,322lgn,
à âåëè÷èíó èíòåðâàëà h ìîæíî âû÷èñëèòü ïî ôîðìóëå:
h=
x max − x min
,
1 + 3,322 lg n
ãäå xmax – xmin ðàçíîñòü ìåæäó íàèáîëüøèì è íàèìåíüøèì çíà÷åíèåì â
âûáîðêå (åå ðàçìàõ). Çà íà÷àëî ïåðâîãî èíòåðâàëà ðåêîìåíäóåòñÿ áðàòü
âåëè÷èíó:
õíà÷ = xmin – 0,5h.
Êðîìå òîãî, íåîáõîäèìî ñëåäèòü, ÷òîáû íå áûëî èíòåðâàëîâ, â
êîòîðûå ïîïàëî ìåíüøå ïÿòè çíà÷åíèé.
2. Òåîðåòè÷åñêèå è ýìïèðè÷åñêèå ìîìåíòû
Íà÷àëüíûé ìîìåíò l-îãî ïîðÿäêà al:
l
a l = ∑ x i p i äëÿ äèñêðåòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ è
a l = ∫ x l f ( x ) dx äëÿ íåïðåðûâíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.
l-ûé öåíòðàëüíûé ìîìåíò b l:
bl = ∑ ( x i − µ ) pi äëÿ äèñêðåòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ è
l
bl = ∫ ( x − µ ) f ( x ) dx äëÿ íåïðåðûâíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ,
l
ãäå
µ = à 1 – ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ðàñïðåäåëåíèÿ
Âàðèàöèîííûé ðÿä áåç ïîâòîðîâ
l-ûé íà÷àëüíûé ýìïèðè÷åñêèé ìîìåíò:
al =
l-ûé öåíòðàëüíûé ýìïèðè÷åñêèé ìîìåíò:
1 n l
∑ xi
n i =1
bl =
Âàðèàöèîííûé ðÿä, çàäàííûé òàáëèöåé
k
l
al = ∑ x j
j=1
k
mj
= ∑ x ljp% j
n
j=1
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
109
l
1 n
x j − x)
(
∑
n j=1
bl = ∑ ( x j − x )
k
l
j=1
k
l
mj
= ∑ ( x j − x ) p% j
n
j=1
3. Âûáîðî÷íîå (ýìïèðè÷åñêîå) ñðåäíåå
Âûáîðêà çàäàíà âàðèàöèîííûì ðÿäîì:
Âûáîðêà çàäàíà òàáëèöåé:
x=
x=
x
1 n
∑ xi .
n i =1
k
k
mj
1 k
= ∑ x jp% j .
x jm j = ∑ x j
∑
n i= 1
n
j=1
j=1
Ñâîéñòâà òå æå, ÷òî ó ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ.
Ðàñïðåäåëåíèå âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî:
 σ 
x ≈ N  µ,
.
n

4. Âûáîðî÷íàÿ (ýìïèðè÷åñêàÿ) äèñïåðñèÿ S2
Âûáîðêà çàäàíà âàðèàöèîííûì ðÿäîì:
2
1 n
1 n 2
2
S = ∑ ( xi − x ) = ∑ x i − x
n i =1
n i =1
2
Âûáîðêà çàäàíà òàáëèöåé:
2
S =
k
k
1 k 2
2
2 mj
2
2
2
−
=
−
=
x
m
x
x
x
x j p% j − x =
∑
∑
∑
j
j
j
n j=1
n
j=1
j=1
k
= ∑ (x j − x)2
j=1
k
mj
= ∑ (x j − x) 2 p% j
n
j=1
Ñâîéñòâà òå æå, ÷òî ó äèñïåðñèè.
Èñïðàâëåííàÿ, íåñìåùåííàÿ îöåíêà äëÿ äèñïåðñèè:
2
s =
n 2
S
n −1
5. Äîâåðèòåëüíûå èíòåðâàëû
Äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë ñ óðîâíåì äîâåðèÿ β äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ à íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà èçâåñòíî ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå ðàñïðåäåëåíèÿ σ :
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
110
Äâóñòîðîííèé: x − k β
σ
σ
< a < x + kβ
(òàáë. 5 β â 1-ì ñòîëáöå)
n
n
îäíîñòîðîííèé: −∞ < a
è
x − kβ
< x + kβ
σ
(òàáë. 5 α = 1–β â 3-ì ñòîëáöå)
n
σ
< a < ∞ (Òàáëèöà 5 α = 1–β â 3-ì ñòîëáöå)
n
Äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë ñ óðîâíåì äîâåðèÿ β äëÿ
ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ a íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ
ñëó÷àÿ, êîãäà ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå ðàñïðåäåëåíèÿ
σ íåèçâåñòíî:
Äâóñòîðîííèé:
x − t n −1,β
s
s
< a < x + t n −1,β
n
n
èëè
x − t n −1,β
S
S
< a < x + t n −1,β
,
n −1
n −1
ãäå S – êîðåíü èç ýìïèðè÷åñêîé äèñïåðñèè, à s – êîðåíü èç
èñïðàâëåííîé ýìïèðè÷åñêîé äèñïåðñèè (òàáë. 6 β â âåðõíåé ñòðîêå)
îäíîñòîðîííèå: −∞ < a
x − t n −1,β
< x + t n −1,β
s
(òàáë. 6 β â íèæíåé ñòðîêå) è
n
s
< a < ∞ (òàáëèöà 6 β â íèæíåé ñòðîêå).
n
 ýòèõ ôîðìóëàõ s2 íåñìåùåííàÿ îöåíêà äëÿ äèñïåðñèè:
2
s =
n 2
S .
n −1
6. Îöåíêà òðåáóåìîãî îáúåìà âûáîðêè
Ìèíèìàëüíûé îáúåì âûáîðêè n, îáåñïå÷èâàþùèé ÷òîáû òî÷íîñòü
îöåíêè, ïîëó÷åííîé ïî íåé äëÿ à ñ íàäåæíîñòüþ β, íå ïðåâîñõîäèëà
çàäàííîãî çíà÷åíèÿ ε (òî åñòü x − a < ε ), êîãäà ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîå
îòêëîíåíèå èçâåñòíî, çàäàåòñÿ ôîðìóëîé:
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
111
 k βσ 
n=

 ε 
2
7. Äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ âåðîÿòíîñòè óñïåõà
â ñõåìå Áåðíóëëè
Îñíîâíàÿ ôîðìóëà – ñëåäñòâèå èíòåãðàëüíîé òåîðåìû ÌóàâðàËàïëàñà, èç êîòîðîé âûâîäÿòñÿ ëþáûå ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ýìïèðè÷åñêîé ÷àñòîòîé, ãåíåðàëüíîé ÷àñòîòîé, n è âåðîÿòíîñòüþ β:
 m − np

P
< k β  = P m − np < k β ⋅ npq =
 npq

 m
pq 
= P  − p < kβ
 ≅ Φ(kβ ) = β.
n 
 n
{
}
Îòñþäà ôîðìóëà äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà äëÿ âûáîðêè ñ
âîçâðàòîì:
p% − k β
% − p)
%
% − p)
%
p(1
p(1
m
%= .
≤ p ≤ p% + k β
, ãäå p
n
n
n
Äëÿ âûáîðêè áåç âîçâðàòà ôîðìóëó íàäî ïîäïðàâèòü:
p% − kβ
m / n(1 − m / n)
n
m / n(1 − m / n)
n
1 − ≤ p ≤ p% + kβ
1− .
n
N
n
N
Îáúåì âûáîðêè n, îáåñïå÷èâàþùèé, ÷òîáû òî÷íîñòü îöåíêè,
ïîëó÷åííîé ïî íåé äëÿ ð ñ íàäåæíîñòüþ β, íå ïðåâîñõîäèëà çàäàííîãî
% − p < ε , íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå:
çíà÷åíèÿ ε, ò.å. p
2
kβ
% − p)
% .
n = 2 p(1
ε
8. Êðèòåðèè ïðîâåðêè ñòàòèñòè÷åñêèõ ãèïîòåç î ñðåäíèõ
Âûâåäåíû èç ôîðìóë äëÿ äâóñòîðîííåãî è îäíîñòîðîííåãî
äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà äëÿ óðîâíÿ äîâåðèÿ β = 1–α.
µ0 (óðîâåíü çíà÷èìîñòè ðàâåí α ).
8.1. Ïðîâåðêà ãèïîòåçû µ=µ
Ïî âûáîðêå âû÷èñëÿåòñÿ çíà÷åíèå ñòàòèñòèêè:
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
112
T=
x − µ0
.
s
n
a) Ãèïîòåçà H0: µ=µ0, àëüòåðíàòèâíàÿ Í1: µ≠µ0. Êðèòè÷åñêàÿ îáëàñòü
äëÿ ïðîâåðêè ãèïîòåçû:
|T| > tn–1;α
(tn–1;α îòûñêèâàåòñÿ ïî òàáë. 6 êðèòè÷åñêèõ çíà÷åíèé ðàñïðåäåëåíèÿ
Ñòüþäåíòà, α â âåðõíåé ñòðîêå).
b) Ãèïîòåçà H0: µ=µ0, àëüòåðíàòèâíàÿ Í1: µ>µ0. Êðèòè÷åñêàÿ îáëàñòü
äëÿ ïðîâåðêè ãèïîòåçû:
T > tn–1;α
(tn–1;α îòûñêèâàåòñÿ ïî òàáë. 6 êðèòè÷åñêèõ çíà÷åíèé ðàñïðåäåëåíèÿ
Ñòüþäåíòà, α â íèæíåé ñòðîêå).
c) Ãèïîòåçà H0: µ=µ0, àëüòåðíàòèâíàÿ Í 1: µ<µ0. Êðèòè÷åñêàÿ îáëàñòü
äëÿ ïðîâåðêè ãèïîòåçû:
T < –tn–1;α
(tn–1;α îòûñêèâàåòñÿ ïî òàáë. 6 êðèòè÷åñêèõ çíà÷åíèé ðàñïðåäåëåíèÿ
Ñòüþäåíòà, α â íèæíåé ñòðîêå).
8.2. Ïðîâåðêà ãèïîòåçû µx=µ
µy (óðîâåíü çíà÷èìîñòè ðàâåí α).
Ïî âûáîðêå âû÷èñëÿåòñÿ çíà÷åíèå ñòàòèñòèêè:
T=
x−y
=
1 1
+
s
n m
x−y
nS + mS
2
x
2
y
nm(n + m − 2)
n+m
,
ãäå
2
s =
m
 n

1
1
2
2
2
2
−
+
(nSx + mSy )
(x
x)
(yi − y)  =
∑
∑

i
n + m − 2  i =1
j=1
 n+m−2
a) Ãèïîòåçà H0: µx=µy àëüòåðíàòèâíàÿ Í1: µx≠µy. Êðèòè÷åñêàÿ îáëàñòü
äëÿ ïðîâåðêè ãèïîòåçû:
|T| > tn–1;α
(tn–1;α îòûñêèâàåòñÿ ïî òàáë. 6 êðèòè÷åñêèõ çíà÷åíèé ðàñïðåäåëåíèÿ
Ñòüþäåíòà, α â âåðõíåé ñòðîêå).
b) Ãèïîòåçà H0: µx=µy, àëüòåðíàòèâíàÿ Í1: µx>µy. Êðèòè÷åñêàÿ îáëàñòü
äëÿ ïðîâåðêè ãèïîòåçû:
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
113
T > tn–1;α
(t n–1;α îòûñêèâàåòñÿ ïî òàáë. 6 êðèòè÷åñêèõ çíà÷åíèé ðàñïðåäåëåíèÿ
Ñòüþäåíòà, α â íèæíåé ñòðîêå).
c) Ãèïîòåçà H0: µx=µy, àëüòåðíàòèâíàÿ Í1: µx<µy. Êðèòè÷åñêàÿ îáëàñòü
äëÿ ïðîâåðêè ãèïîòåçû:
T < –tn–1;α
(t n–1;α îòûñêèâàåòñÿ ïî òàáë. 6 êðèòè÷åñêèõ çíà÷åíèé ðàñïðåäåëåíèÿ
Ñòüþäåíòà, α â íèæíåé ñòðîêå).
Åñëè âû÷èñëåííîå çíà÷åíèå ñòàòèñòèêè T ïîïàäàåò â êðèòè÷åñêóþ
îáëàñòü, òî îñíîâíàÿ ãèïîòåçà H 0 îòâåðãàåòñÿ, è ïðèíèìàåòñÿ
àëüòåðíàòèâíàÿ ãèïîòåçà H 1. Âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â ýòó îáëàñòü ðàâíà
óðîâíþ çíà÷èìîñòè α.
9. Ïîíÿòèå êâàíòèëè
up
∫ f (x)dx = P , íàçûâàþòñÿ
Çíà÷åíèÿ up, äëÿ êîòîðûõ âûïîëíÿåòñÿ
−∞
êâàíòèëÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ f(x).
10. Âûáîð ìåæäó äâóìÿ ïðîñòûìè ãèïîòåçàìè
ñ èñïîëüçîâàíèåì îòíîøåíèÿ ôóíêöèé ïðàâäîïîäîáèÿ
Ôóíêöèÿ ïðàâäîïîäîáèÿ L(x1,x2,…xn,Θ) çàäàåòñÿ ïî ôîðìóëå:
n
L(x1 , x 2 ,...x n , Θ) = f (x1 , Θ)f (x 2 , Θ)...f (x n , Θ) = ∏ f (x i , Θ) ,
i= 1
ãäå f(x,Θ) – ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ â ñëó÷àå íåïðåðûâíîé ìîäåëè è
âåðîÿòíîñòü çíà÷åíèÿ õ â äèñêðåòíîé ìîäåëè.
Îòíîøåíèå âåðîÿòíîñòåé Ln (îòíîøåíèå ôóíêöèé ïðàâäîïîäîáèÿ
äëÿ êîíêóðèðóþùèõ ãèïîòåç) äëÿ n èñïûòàíèé:
n
Ln =
∏ f (x , a )
i =1
n
i
∏ f (x , a
i =1
i
1
.
0
)
Åñëè íàäî îáåñïå÷èòü, ÷òîáû è îøèáêà 1-ãî ðîäà íå ïðåâîñõîäèëà α è
íåâåðíîñòü ïðîâåðÿåìîé ãèïîòåçû âñêðûâàëàñü ñ âåðîÿòíîñòüþ íå ìåíüøåé,
÷åì íåêîòîðîå 1–γ, îáúåì âûáîðêè äîëæåí áûòü íå ìåíüøå, ÷åì:
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
114
n ≥ (u1−α + u1−γ )
n ≥ (u
1
1− α
2
σ
– äëÿ îäíîñòîðîííåé ïðîâåðêè è
| a1 − a 0 |
+ u1−γ )
σ
– äëÿ äâóñòîðîííåé ïðîâåðêè
| a1 − a 0 |
Ïðîöåäóðà ïðîâåðêè ãèïîòåçû î ñðåäíåì, êîãäà
êîíêóðèðóþò äâå ïðîñòûå ãèïîòåçû äëÿ çíà÷åíèé ñðåäíåãî à0 è
à1 ïðè ãåíåðàëüíîì ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîì îòêëîíåíèè σ äëÿ
çàäàííûõ îøèáîê 1-ãî è 2-ãî ðîäà α è β.
À. Ïðîâåðêà ñ ôèêñèðîâàííûì ÷èñëîì èñïûòàíèé.
1. Âû÷èñëÿåòñÿ ÷èñëî èñïûòàíèé n ïî ôîðìóëå:
n = (u1−α + u1−β )
σ
| a1 − a 0 |
2. Äëÿ âåëè÷èíû Xn âû÷èñëÿåòñÿ ïîðîã, îïðåäåëÿþùèé êðèòè÷åñêóþ
îáëàñòü êðèòåðèÿ. Êðèòè÷åñêàÿ îáëàñòü, ïðè ïîïàäàíèè â êîòîðóþ
ãèïîòåçà Í0 îòâåðãàåòñÿ, èìååò âèä:
X n ≥ a 0 + u1−α ⋅
σ
n
= a 0 + u1−α ⋅
u1−β
a1 − a 0
u1−α
= a0
+ a1
u1−α + u1−β
u1−α + u1−β
u1−α + u1−β
Â. Ïðîâåðêà òîé æå ãèïîòåçû, ïðîâîäèìàÿ ïî ìåòîäó ïîñëåäîâàòåëüíîãî àíàëèçà.
Ðåøåíèå î ãèïîòåçå ïðèíèìàåòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðàâèëîì:
Xm ≤
σ2
β
a 0 + a1
+
ln
– ïðèíèìàåòñÿ Í0;
2
m(a1 − a 0 ) 1 − α
σ2
a 0 + a1
1− β
+
Xm ≥
ln
– ïðèíèìàåòñÿ Í1.
α
2
m(a1 − a 0 )
Ýêñïåðèìåíò ïðîäîëæàåòñÿ, åñëè:
σ2
β
σ2
a 0 + a1
a 0 + a1
1−β
+
<
<
+
ln
Xm
ln
.
α
2
m(a1 − a 0 ) 1 − α
2
m(a1 − a 0 )
 îáåèõ ïðîöåäóðàõ X m =1/m(x 1+x 2 +…+x m ). Äëÿ ïðîöåäóðû
ïîñëåäîâàòåëüíîãî àíàëèçà ïîëåçíà ôîðìóëà ïîñëåäîâàòåëüíîãî
âû÷èñëåíèÿ Xm:Xm = 1/m[(m–1) Xm–1+xm].
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
115
Ïðèëîæåíèå 3
Òàáëèöà 1
Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ ÷èñåë,
ðàñïðåäåëåííûõ ðàâíîìåðíî íà îòðåçêå [0,100]
10
37
08
99
12
66
31
85
22
05
09
54
42
01
80
06
06
26
15
94
73
20
26
90
79
57
01
97
67
66
25
48
89
25
99
47
08
76
16
77
33
05
53
29
70
17
05
02
01
42
76
64
19
09
80
34
45
02
76
77
52
89
64
37
15
07
57
05
72
53
01
47
50
67
73
27
18
16
52
12
35
42
93
07
61
68
24
56
73
97
86
96
03
15
47
50
06
92
62
87
34
24
23
38
64
36
35
68
79
01
67
80
20
31
03
69
30
66
88
95
35
52
90
13
23
73
34
57
03
47
48
40
25
11
66
61
26
48
40
73
76
37
60
65
53
70
14
18
47
83
80
20
15
88
98
65
86
73
40
68
95
63
95
67
95
81
79
05
99
41
90
61
33
67
11
33
90
38
58
90
91
04
47
43
68
98
74
52
39
12
17
02
64
97
77
85
39
47
51
26
Òàáëèöà 2
Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ ÷èñåë,
èìåþùèõ ðàñïðåäåëåíèå N(0,1)
0,414
0,011
0,666
-1,132
-0,410
-1,077
1,484
-0,340
0,789
-0,494
0,364
-1,237
-0,044
-0,111
-0,210
0,931
0,616
-0,377
-0,433
1,048
-0,037
0,759
0,609
-2,043
-2,290
0,404
-0,543
0,486
0,869
0,347
2,816
-0,464
-0,632
-1,614
0,372
-0,074
-0,916
1,314
-0,038
0,673
0,563
-0,107
0,131
-1,808
0,284
0,458
1,307
-1,625
-0,629
-0,504
-0,0056 -0,131
0,048
1,879
-1,016
0,360
-0,119
2,331
1,672
-1,053
0,840
0,246
-0,237
-1,312
1,603
-0,952
-0,566
1,600
0,465
1,951
0,110
0,251
0,116
-0,957
-0,190
1,479
-0,986
1,249
1,934
0,070
-1,358
-1,246
-0,959
-1,297
-0,722
0,925
0,783
-0,402
0,619
1,826
1,272
-0,945
0,494
0,050
-1,696
1,876
0,063
0,132
0,682
0,544
-0,417
-0,666
-0,104
-0,253
-2,543
-1,133
1,987
0,668
0,360
1,927
1,183
1,211
1,765
0,035
-0,359
0,193
-1,023
-0,222
-0,616
-0,060
-1,319
-0,785
-0,430
-0,298
0,248
-0,088
-1,379
0,295
-0,115
-0,621
-0,618
0,209
0,979
0,906
-0,096
-1,376
1,047
-0,872
-2,200
-1,384
1,425
-0,812
0,748
-1,095
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
116
Òàáëèöà 3
1
2π
À. Êâàíòèëè íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ
P
0,0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,1
0,11
0,12
0,13
0,14
0,15
0,16
0,17
0,18
0,19
0,991
2,366
up
–∞
-2,326
-2,054
-1,881
-1,751
-1,645
-1,555
-1,476
-1,405
-1,341
-1,282
-1,227
-1,175
-1,126
-1,080
-1,036
-0,994
-0,954
-0,915
-0,878
0,992
2,409
P
0,2
0,21
0,22
0,23
0,24
0,25
0,26
0,27
0,28
0,29
0,3
0,31
0,32
0,33
0,34
0,35
0,36
0,37
0,38
0,39
up
-0,842
-0,806
-0,772
-0,739
-0,706
-0,674
-0,643
-0,613
-0,583
-0,553
-0,524
-0,496
-0,468
-0,440
-0,412
-0,385
-0,358
-0,332
-0,305
-0,279
0,993
2,257
P
0,4
0,41
0,42
0,43
0,44
0,45
0,46
0,47
0,48
0,49
0,5
0,51
0,52
0,53
0,54
0,55
0,56
0,57
0,58
0,59
0,994
2,512
up
-0,253
-0,228
-0,202
-0,176
-0,151
-0,126
-0,10
-0,075
-0,50
-0,025
0
0,025
0,050
0,075
0,1
0,126
0,151
0,176
0,202
0,228
0,995
2,576
P
0,6
0,61
0,62
0,63
0,64
0,65
0,66
0,67
0,68
0,69
0,7
0,71
0,72
0,73
0,74
0,75
0,76
0,77
0,78
0,79
0,996
2,652
uP
2
∫e
−t
2
up
2,253
0,279
0,305
0,332
0,358
0,385
0,412
0,440
0,468
0,496
0,524
0,553
0,583
0,613
0,643
0,674
0,706
0,739
0,772
0,806
0,997
2,748
dt = P
−∞
P
0,8
0,81
0,82
0,83
0,84
0,85
0,86
0,87
0,88
0,89
0,9
0,91
0,92
0,93
0,94
0,95
0,96
0,97
0,98
0,99
0,998
2,878
up
0,842
0,878
0,915
0,954
0,994
1,036
1,080
1,126
1,175
1,227
1,282
1,341
1,405
1,476
1,555
1,645
1,751
1,881
2,054
2,326
0,999
3,090
Á. Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñòàíäàðòíîãî íîðìàëüíîãî çàêîíà
x
t
2
−
1
F(x) =
e 2 dt (òàáëèöà, îáðàòíàÿ ê ïðåäûäóùåé)
∫
2π −∞
Äëÿ õ < 0 ñëåäóåò ïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîé: F(–x) = 1 – F(x))
(íàïðèìåð, F(–2) = 1 – F(2) = 1 – 0,977 = 0,023)
x
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
F(x)
0,500
0,540
0,579
0,618
0,655
0,691
0,726
0,758
0,788
0,816
x
1
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
F(x)
0,841
0,864
0,885
0,903
0,919
0,933
0,945
0.955
0,964
0,971
x
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
117
F(x)
0,977
0,982
0,986
0,989
0,992
0,994
0,995
0,996
0,997
0,998
x
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
F(x)
0,998
0,999
0,9993
0,9995
0,9997
0,9998
0,9998
0,9999
0,9999
0,9999
Òàáëèöà 4
x
Çíà÷åíèÿ ôóíêöèè Φ (x) =
2
⋅ ∫e
2π 0
t2
−
2
dt
x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
0,000
0,008
0,016
0,023
0,031
0,039
0,047
0,055
0,063
0,071
0797
1585
2358
3108
3829
4515
5161
5763
6319
6827
7287
7699
8064
8385
8664
8904
9109
9281
9426
9545
9643
9722
9786
9836
9876
9907
9931
9949
9963
0876
1663
2434
3182
3899
4581
5223
5821
6372
6875
7330
7737
8098
8415
8690
8926
9127
9297
9439
9556
9651
9729
9791
9841
9879
9910
9933
9951
9964
0955
1741
2510
3255
3969
4647
5285
5878
6424
6923
7373
7775
8132
8444
8715
8948
9146
9312
9451
9566
9660
9736
9797
9845
9883
9912
9935
9952
9965
1034
1819
2586
3328
4039
4713
5346
5935
6476
6970
7415
7813
8165
8473
8740
8969
9164
9327
9464
9576
9668
9743
9802
9849
9886
9915
9937
9953
9966
1113
1897
2661
3401
4108
4778
5407
5991
6528
7017
7457
7850
8198
8501
8764
8990
9181
9342
9476
9586
9676
9749
9807
9853
9889
9917
9938
9955
9967
1192
1974
2737
3473
4177
4843
5467
6047
6579
7063
7499
7887
8230
8529
8789
9011
9189
9357
9488
9596
9684
9756
9812
9857
9892
9920
9940
9956
9968
1271
2051
2812
3545
4245
4907
5527
6102
6629
7109
7540
7923
8262
8557
8812
9031
9216
9371
9500
9606
9692
9762
9817
9861
9895
9922
9942
9958
9969
1350
2128
2886
3616
4313
4971
5587
6157
6679
7154
7580
7959
8293
8584
8836
9051
9233
9385
9512
9616
9700
9768
9822
9865
9898
0024
9944
9959
9970
1428
2205
2960
3688
4381
5035
5646
6211
6729
7199
7620
7994
8324
8611
8859
9070
9249
9399
9523
9625
9707
9774
9827
9869
9901
9926
9946
9960
9971
1507
2282
3035
3759
4448
5098
5705
6265
6778
7243
7660
8029
8355
8638
8882
9090
9265
9412
9534
9634
9715
9780
9832
9872
9904
9928
9947
9961
9972
x
Ö(x)
x
Ö(x)
x
Ö(x)
3,0
3,1
3,2
3,3
0,9973
0,9981
0,9986
0,9990
3,4
3,5
3,6
3,7
0,9993
0,9995
0,9997
0,9998
3,8
3,9
4,0
4,5
0,9999
0,9999
0,999936
0,999994
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
118
x
Òàáëèöà 5
Çíà÷åíèÿ kβ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ
β
0,9
α =1-β
0,1
α~ = α / 2
0,05
1,65
0,95
0,05
0,025
1,96
0,98
0,02
0,01
2,3
0,99
0,01
0,005
2,58
0,9975
0,0025
0,00125
3,02
kβ
Ïðèíÿòûå îáîçíà÷åíèÿ: α – îøèáêà, β – óðîâåíü äîâåðèÿ.
 òàáëèöå çàäàíû kβ – ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ β =
1
2π
+ kβ
∫e
2
−
x
2
dx (çíà÷åíèÿ β
− kβ
â ïåðâîì ñòîëáöå, ñîîòâåòñòâóþùàÿ îøèáêà α = 1–β âî âòîðîì ñòîëáöå,
òàê ÷òî åñëè çàäàíà îøèáêà α, òî íàäî èñêàòü åå âî âòîðîì ñòîëáöå). Åñëè íóæíî ñòðîèòü îäíîñòîðîííþþ îáëàñòü, ò.å. íàäî ðåøàòü óðàâíåíèå:
2
2
− kα%
x
x
∞
−
−
1
1
2
2
%α =
∫ e dx = 2π +∫k e dx , òî α% = 1 − β íàäî èñêàòü â òðåòüåì
2π −∞
α
%
ñòîëáöå.
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
119
Òàáëèöà 6
Çíà÷åíèÿ tn;β ðàñïðåäåëåíèÿ Ñòüþäåíòà
×èñëî
ñòåïåíåé
ñâîáîäû
Óðîâåíü çíà÷èìîñòè α = 1–β
(äâóñòîðîííÿÿ êðèòè÷åñêàÿ îáëàñòü). Çàäàíû α/ β
n
0,10/0,90
0,05/0,95
0,02/0,98
0,01/0,99
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
30
40
60
120
∞
6,31
2,92
2,35
2,13
2,01
1,94
1,89
1,86
1,83
1,81
1,80
1,78
1,77
1,76
1,75
1,75
1,74
1,73
1,73
1,73
1,70
1,68
1,67
1,66
1,64
12,7
4,30
3,18
2,78
2,57
2,45
2,36
2,31
2,26
2,23
2,220
2,18
2,16
2,14
2,13
2,12
2,11
2,10
2,09
2,09
2,04
2,02
2,00
1,98
1,96
31,82
6,97
4,54
3,75
3,37
3,14
3,00
2,9
2,82
2,76
2,72
2,68
2,65
2,62
2,60
2,58
2,57
2,55
2,54
2,53
2,46
2,42
2,39
2,36
2,33
63,7
9,92
5,84
4,6
4,03
3,71
3,5
3,36
3,25
3,17
3,11
3,05
3,01
2,98
2,95
2,92
2.90
2,88
2,86
2,85
2,75
2,70
2,66
2,62
2,58
0,05/0,95
0,025/0,975
0,01/0,99
0,005/0,995
Óðîâåíü çíà÷èìîñòè α =1–β
(îäíîñòîðîííÿÿ êðèòè÷åñêàÿ îáëàñòü)
Ïðèíÿòûå îáîçíà÷åíèÿ: α – óðîâåíü çíà÷èìîñòè (îøèáêà), β – óðîâåíü äîâåðèÿ.
 òàáëèöå çàäàíû tn;β – ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ β =
+ tn ,β
∫
f n (x)dx (çíà÷åíèÿ β
− tn ,β
â âåðõíåé ñòðîêå). Åñëè íóæíî ðåøàòü óðàâíåíèå α =
− tn , α
∫
−∞
òî α íàäî èñêàòü â íèæíåé ñòðîêå.
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
120
f n (x)dx =
∞
∫
+ t n ,α
f n (x)dx ,
ÒÅÎÐÈß ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ È ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÀß ÑÒÀÒÈÑÒÈÊÀ
ÞÍÈÒÀ 3
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÉ ÑÒÀÒÈÑÒÈÊÈ
Ðåäàêòîð Ë.Ñ. Ëåáåäåâà
Îïåðàòîð êîìïüþòåðíîé âåðñòêè Ä.Â. Ôåäîòîâ
________________________________________________________________________
Èçä. ëèö. ËÐ ¹ 071765 îò 07.12.1998
Ñäàíî â ïå÷àòü
ÍÎÓ “Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Èíñòèòóò”
Ó÷.-èçä. ë. 7,63
Óñë. ïå÷. ë.
Òèðàæ
Çàêàç
Ñîâðåìåííûé Ãóìàíèòàðíûé Óíèâåðñèòåò
121