Николаенко С.С.

Êîíôåðåíöèÿ ¾Ëîìîíîñîâ 2013¿
Ñåêöèÿ ¾Ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà¿
Èíâàðèàíò Ôîìåíêî-Öèøàíãà äëÿ ñëó÷àÿ ×àïëûãèíà â äèíàìèêå òâ¼ðäîãî
òåëà â æèäêîñòè
Íèêîëàåíêî Ñòàíèñëàâ Ñåðãååâè÷
Ñòóäåíò
Ìîñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èìåíè Ì.Â. Ëîìîíîñîâà,
Ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêèé ôàêóëüòåò, Ìîñêâà, Ðîññèÿ
E-mail: [email protected]
Äâèæåíèå òâ¼ðäîãî òåëà â áåçãðàíè÷íîì îáú¼ìå èäåàëüíîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè, ïîêîÿùåéñÿ íà áåñêîíå÷íîñòè è îáëàäàþùåé îäíîçíà÷íûì ïîòåíöèàëîì ñêîðîñòåé,
îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèÿìè Êèðõãîôà
ṡ = s ×
ãäå
s, r ∈ R3
∂H
∂H
+r×
,
∂s
∂r
ṙ = r ×
∂H
,
∂s
(1)
âåêòîðû èìïóëüñèâíîãî ìîìåíòà è èìïóëüñèâíîé ñèëû, à
H = H(s, r)
ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ, èìåþùàÿ ñìûñë ïîëíîé ýíåðãèè. Ýòà ñèñòåìà óðàâíåíèé âñåãäà
2
2
2
îáëàäàåò òðåìÿ ïåðâûìè èíòåãðàëàìè: ãåîìåòðè÷åñêèì èíòåãðàëîì f1 = r1 + r2 + r3 ,
èíòåãðàëîì ïëîùàäåé f2 = s1 r1 + s2 r2 + s3 r3 è èíòåãðàëîì ýíåðãèè H . Ñèñòåìó (1) ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ãàìèëüòîíîâó (îòíîñèòåëüíî ñêîáêè Ëè-Ïóàññîíà) íà êîàëãåáðå
e(3)∗ ãðóïïû äâèæåíèé 3-ìåðíîãî åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà. Íà ñîâìåñòíîé ïîâåðõíîñòè
2
óðîâíÿ {f1 = a , f2 = 0} ýòà ñèñòåìà èìååò 2 ñòåïåíè ñâîáîäû, è äëÿ å¼ èíòåãðèðóåìîñòè
ïî Ëèóâèëëþ òðåáóåòñÿ åù¼ îäèí íåçàâèñèìûé ñ
H
ïî÷òè âñþäó ïåðâûé èíòåãðàë. Â [4]
Ñ. À. ×àïëûãèíûì íàéäåí ñëó÷àé èíòåãðèðóåìîñòè ñî ñëåäóþùèìè ãàìèëüòîíèàíîì è
äîïîëíèòåëüíûì èíòåãðàëîì
K:
1
c
H = (s21 + s22 + 2s23 ) + (r12 − r22 ),
2
2
K = (s21 − s22 + cr32 )2 + 4s21 s22 .
 [4] òàêæå âûïîëíåíî ñâåäåíèå çàäà÷è ê ýëëèïòè÷åñêèì êâàäðàòóðàì.  [5], ñ èñïîëüçîâàíèåì ìåòîäà áóëåâûõ ôóíêöèé Ì. Ï. Õàðëàìîâà [3], èññëåäîâàíà òîïîëîãèÿ
èçîýíåðãåòè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòåé, ïîñòðîåíû áèôóðêàöèîííûå ìíîæåñòâà, îïèñàíû áèôóðêàöèè ëèóâèëëåâûõ òîðîâ.
Îïðåäåëåíèå 1.
Ñëîåíèåì Ëèóâèëëÿ, îòâå÷àþùèì âïîëíå èíòåãðèðóåìîé ïî Ëèóâèë-
ëþ ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìå ñ n ñòåïåíÿìè ñâîáîäû, íàçûâàåòñÿ ðàçáèåíèå ôàçîâîãî ìíîM 2n íà ñâÿçíûå êîìïîíåíòû ñîâìåñòíûõ ïîâåðõíîñòåé óðîâíÿ n íåçàâèñèìûõ
ãîîáðàçèÿ
èíòåãðàëîâ ñèñòåìû.
Cëîåíèå Ëèóâèëëÿ ñîñòîèò èç ðåãóëÿðíûõ ñëî¼â, ÿâëÿþùèõñÿ
(òîðàìè Ëèóâèëëÿ) è ñîñòàâëÿþùèõ ìíîæåñòâî ïîëíîé ìåðû íà
n-ìåðíûìè òîðàìè
M 2n , è îñîáûõ ñëî-
¼â, çàïîëíÿþùèõ ìíîæåñòâî ìåðû íóëü.  íåðåçîíàíñíîì ñëó÷àå ñëîåíèå Ëèóâèëëÿ
îïðåäåëÿåòñÿ ñàìèì ãàìèëüòîíîâûì ïîòîêîì è íå çàâèñèò îò êîíêðåòíîãî âûáîðà äîïîëíèòåëüíûõ èíòåãðàëîâ.
Îïðåäåëåíèå 2. Äâå èíòåãðèðóåìûå ãàìèëüòîíîâû ñèñòåìû v1 è v2 ñ äâóìÿ ñòåïåíÿìè
ñâîáîäû, ðàññìàòðèâàåìûå íà èçîýíåðãåòè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòÿõ
óâèëëåâî ýêâèâàëåíòíûìè, åñëè ñóùåñòâóåò äèôôåîìîðôèçì
îðèåíòàöèþ
Q31
è
Q32 ,
Q31 è Q32 , íàçûâàþòñÿ ëèQ31 íà Q32 , ñîõðàíÿþùèé
à òàêæå åñòåñòâåííóþ îðèåíòàöèþ êðèòè÷åñêèõ îêðóæíîñòåé.
1
Êîíôåðåíöèÿ ¾Ëîìîíîñîâ 2013¿
 ñëó÷àå äâóõ ñòåïåíåé ñâîáîäû îòâåò íà âîïðîñ îá óñòðîéñòâå òîïîëîãèè ñëîåíèÿ
Ëèóâèëëÿ äà¼òñÿ èíâàðèàíòîì Ôîìåíêî-Öèøàíãà (ìå÷åíîé ìîëåêóëîé) (ñì. [1], [2]). À
èìåííî, êàê ïîêàçàíî À. Ò. Ôîìåíêî è Õ. Öèøàíãîì â [2], äâå èíòåãðèðóåìûå ãàìèëü3
3
òîíîâû ñèñòåìû (v1 , Q1 ) è (v2 , Q2 ), ðàññìàòðèâàåìûå íà íåîñîáûõ êîìïàêòíûõ ñâÿçíûõ
3
3
èçîýíåðãåòè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòÿõ Q1 è Q2 , ëèóâèëëåâî ýêâèâàëåíòíû òîãäà è òîëüêî
òîãäà, êîãäà èõ ìå÷åíûå ìîëåêóëû ñîâïàäàþò.
 äàííîé ðàáîòå èíâàðèàíò Ôîìåíêî-Öèøàíãà âû÷èñëÿåòñÿ äëÿ ñëó÷àÿ ×àïëûãèíà
(ñì. âûøå). Ñëåäñòâèåì ýòîãî âû÷èñëåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
Òåîðåìà 1.
Íà ñîîòâåòñòâóþùèõ íåîñîáûõ óðîâíÿõ ýíåðãèè ñèñòåìû ñëó÷àÿ ×àïëû-
ãèíà â äèíàìèêå òâ¼ðäîãî òåëà â æèäêîñòè ëèóâèëëåâî ýêâèâàëåíòíû ñèñòåìàì ñëó÷àÿ Ýéëåðà â äèíàìèêå òâ¼ðäîãî òåëà ñ íåïîäâèæíîé òî÷êîé.
Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ïîääåðæêå ÐÔÔÈ (ãðàíò 13-01-00664à), ãðàíòà Ïðåçèäåíòà ÐÔ ïîääåðæêè âåäóùèõ íàó÷íûõ øêîë Ðîññèè (ïðîåêò ÍØ 1410.2012.1) è ãðàíòà
Ïðàâèòåëüñòâà ÐÔ äëÿ ãîñïîääåðæêè íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé, ïðîâîäèìûõ ïîä ðóêîâîäñòâîì âåäóùèõ ó÷åíûõ, â ÔÃÁÎÓ ÂÏÎ Ìîñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò
èìåíè Ì.Â. Ëîìîíîñîâà ïî äîãîâîðó  11.G34.31.0054.
Ëèòåðàòóðà
1. Áîëñèíîâ À.Â., Ôîìåíêî À.Ò. Èíòåãðèðóåìûå ãàìèëüòîíîâû ñèñòåìû. Ãåîìåòðèÿ,
òîïîëîãèÿ, êëàññèôèêàöèÿ. Èæåâñê, 1999.
2. Ôîìåíêî À.Ò., Öèøàíã Õ. Òîïîëîãè÷åñêèé èíâàðèàíò è êðèòåðèé ýêâèâàëåíòíîñòè
èíòåãðèðóåìûõ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì ñ äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû // Èçâåñòèÿ ÀÍ
ÑÑÑÐ. 1990. Ò. 54. No. 3. Ñ. 546-575.
3. Õàðëàìîâ Ì.Ï. Òîïîëîãè÷åñêèé àíàëèç è áóëåâû ôóíêöèè. I. Ìåòîäû è ïðèëîæåíèÿ ê êëàññè÷åñêèì ñèñòåìàì // Íåëèíåéíàÿ äèíàìèêà. 2010. Ò. 6. No. 4. Ñ. 769805.
4. ×àïëûãèí Ñ.À. Íîâîå ÷àñòíîå ðåøåíèå çàäà÷è î äâèæåíèè òâ¼ðäîãî òåëà â æèäêîñòè // Òðóäû îòäåëåíèÿ ôèçè÷åñêèõ íàóê îáùåñòâà ëþáèòåëåé åñòåñòâîçíàíèÿ.
1903. Ò. 11. No. 2. Ñ. 7-10.
5. Orel O.E., Ryabov P.E. Bifurcation sets in a problem on motion of a rigid body in uid
and in the generalization of this problem // Regular and Chaotic Dynamics. 1998. V. 3.
No. 1. P. 82-91.
Ñëîâà áëàãîäàðíîñòè
Àâòîð áëàãîäàðåí À.Ò. Ôîìåíêî, À.À. Îøåìêîâó, À.Ì. Èçîñèìîâó, à òàêæå âñåì ó÷àñòíèêàì ñåìèíàðà Ñîâðåìåííûå ãåîìåòðè÷åñêèå ìåòîäû çà âíèìàíèå ê ðàáîòå è ïîëåçíûå îáñóæäåíèÿ.
2