25. Элементы математической статистики-3

25. Ýëåìåíòû ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè-3
25.1. Ïðåäâàðèòåëüíûå ñâåäåíèÿ
Êâàíòèëüþ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ F óðîâíÿ γ íàçûâàåòñÿ òàêîå ÷èñëî hγ , ÷òî F (hγ ) = γ .
Äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë íàäåæíîñòè γ äëÿ ñðåäíåãî íîðìàëüíîé âûáîðêè îáúåìà n ñ èçâåñòíûì
ñòàíäàðòíûì îòêëîíåíèåì σ èìååò âèä
σ
x̄ ± u 1+γ √ ,
2
n
ãäå u êâàíòèëü íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.
Åñëè σ íåèçâåñòíî, òî äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë èìååò âèä
1+γ
2
s
x̄ ± tn−1, 1+γ √ ,
2
n
ãäå tn−1, êâàíòèëü ðàñïðåäåëåíèÿ Ñòüþäåíòà ñ (n − 1)-é ñòåïåíüþ ñâîáîäû, à s íåñìåùåííàÿ
îöåíêà ñòàíäàðòíîãî îòêëîíåíèÿ.
1+γ
2
25.2. Ïðàêòè÷åñêîå çàíÿòèå
Ïðè ïîìîùè âîëüòìåòðà, òî÷íîñòü êîòîðîãî õàðàêòåðèçóåòñÿ ñðåäíèì êâàäðàòè÷íûì îòêëîíåíèåì 0.2 Â,
ïðîèçâåäåíî 10 èçìåðåíèé íàïðÿæåíèÿ ýëåêòðè÷åñêîé áàòàðåè. Íàéòè 95%-é äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ
èñòèííîãî çíà÷åíèÿ íàïðÿæåíèÿ, åñëè ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå ðåçóëüòàòîâ íàáëþäåíèé x̄ = 50.2 Â. (Êîíòðîëèðóåìûé ïðèçíàê èìååò íîðìàëüíûé çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ.)
50.2 ± 0.1 Â.
 ðåçóëüòàòå ïóñêîâ 10 ðàêåò ïîëó÷åíû çíà÷åíèÿ áîêîâûõ îòêëîíåíèé òî÷åê ïîïàäàíèÿ îò òî÷åê ïðèöåëèâàíèÿ:
Íîìåð
1 2 3 4
5 6 7 8 9 10
Îòêëîíåíèå 1.0 0.2 1.0 −0.1 −0.5 5.0 −1.0 3.0 0.5 1.0
Ïîëàãàÿ, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X (îòêëîíåíèå òî÷êè ïîïàäàíèÿ îò òî÷êè ïðèöåëèâàíèÿ) èìååò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, ïîñòðîèòü äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ åå ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ñ êîýôôèöèåíòîì äîâåðèÿ γ = 0.99.
x̄ = 1.01, s = 1.77, t9, 0.995 = 3.25, äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë èìååò âèä: (−0.81, 2.83).
Ãåíåðàëüíàÿ ñîâîêóïíîñòü èìååò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ èçâåñòíîé äèñïåðñèåé. Ïðåäëîæèòå ñïîñîá ïðîâåðêè ãèïîòåçû H0 : a = a0 ïðîòèâ ãèïîòåçû H1 : a 6= a0 , îñíîâàííûé íà ïîñòðîåíèè êðèòè÷åñêîãî
ìíîæåñòâà, ïðè çàäàííîì óðîâíå çíà÷èìîñòè α ïî âûáîðî÷íûì äàííûì x1 , . . . , xn . ×òî èçìåíèòñÿ, åñëè
àëüòåðíàòèâíàÿ ãèïîòåçà èìååò âèä H1 : a > a0 ? ×òî èçìåíèòñÿ, åñëè äèñïåðñèÿ íåèçâåñòíà?
 ïåðâîì ñëó÷àå ïðèíèìàåòñÿ H0 , åñëè x̄ ∈ (a0 − u1− √σn , a0 + u1− √σn ), èíà÷å ïðèíèìàåòñÿ H1 .
Âî âòðîì ñëó÷àå ïðèíèìàåòñÿ H0 , åñëè x̄ < a0 + u1−α √σn , èíà÷å ïðèíèìàåòñÿ H1 . Çäåñü uγ êâàíòèëü íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ óðîâíÿ γ . Åñëè äèñïåðñèÿ íåèçâåñòíà, òî íóæíî âìåñòî σ èñïîëüçîâàòü
âûáîðî÷íîå îòêëîíåíèå s, à âìåñòî êâàíòèëåé íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ êâàíòèëè ðàñïðåäåëåíèÿ
Ñòüþäåíòà.
Ïðè ïðîâåäåíèè ìåäèöèíñêîãî èññëåäîâàíèÿ ïî èçó÷åíèþ âîçäåéñòâèÿ íîâîãî ëåêàðñòâà íà îðãàíèçì
÷åëîâåêà 16 ïàöèåíòîâ áûëè ñãðóïïèðîâàíû â 8 ïàð.  êàæäîé ïàðå îäèí ÷åëîâåê ïðèíèìàë òàáëåòêè
íîâîãî ïðåïàðàòà, à äðóãîé òàáëåòêè, íå ñîäåðæàùèå ïðåïàðàòà. Ïîñëå ÷åãî áûëè ïîëó÷åíû ñëåäóþùèå
ðåçóëüòàòû àíàëèçîâ:
1.
Îòâåò.
2.
Îòâåò.
3.
Îòâåò.
α
2
4.
1
α
2
Íîìåð ïàðû
1
2
3
4
5
6
7
8
Ðåàêöèÿ íà ïðåïàðàò 0.16 0.97 1.57 0.55 0.62 1.12 0.68 1.69
Ðåàêöèÿ íà ïëàöåáî 0.11 0.13 0.77 1.19 0.46 0.41 0.40 1.28
Îòëè÷àþòñÿ ëè ýòè ðåàêöèè ïðè óðîâíå çíà÷èìîñòè 5%?
Íåò.
Îòâåò.
25.3. Äîìàøíåå çàäàíèå
Èç áîëüøîé ïàðòèè ýëåêòðîëàìï áûëî îòîáðàíî ñëó÷àéíûì îáðàçîì 400 øòóê äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñðåäíåé
ïðîäîëæèòåëüíîñòè ãîðåíèÿ. Âûáîðî÷íàÿ ñðåäíÿÿ ïðîäîëæèòåëüíîñòü ãîðåíèÿ ëàìï îêàçàëàñü ðàâíîé
1220 ÷àñîâ. Íàéòè ñ êîýôôèöèåíòîì äîâåðèÿ γ = 0.997 äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ ñðåäíåé ïðîäîëæèòåëüíîñòè ãîðåíèÿ ýëåêòðîëàìïû ïî âñåé ïàðòèè, åñëè ñðåäíåå êâàäðàòè÷íîå îòêëîíåíèå ðàâíî 35 ÷àñîâ.
1220 ± 5.52 ÷àñà.
 10 000 ñåàíñàõ èãðû ñ àâòîìàòîì âûèãðûø ïîÿâèëñÿ 4000 ðàç.
• Èñïîëüçóÿ ïðåäåëüíûå òåîðåìû òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ïðåäëîæèòü ñïîñîá íàõîæäåíèÿ ãðàíèö äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà íàäåæíîñòè γ .
• Ðàññ÷èòàòü 95%-é äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ âåðîÿòíîñòè âûèãðûøà.
• Îöåíèòü êîëè÷åñòâî ñåàíñîâ èãðû, êîòîðûå ñëåäóåò ïðîâåñòè, ÷òîáû ñ âåðîÿòíîñòüþ 0.99 ìîæíî
áûëî óòâåðæäàòü, ÷òî âåðîÿòíîñòü âûèãðûøà p îòëè÷àåòñÿ îò åãî ÷àñòîòû íå áîëåå ÷åì íà 0.01.
Åñëè k ÷èñëî âûèãðûøåé, à uα êâàíòèëü íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ óðîâíÿ α, òî (ïðèáëèæåííûé) äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë èìååò âèä:
5.
Îòâåò.
6.
Îòâåò.
u 1+γ
k
− √2
n
n
s
k
n
k
1−
n
u 1+γ
k
≤ p ≤ + √2
n
n
s
k
n
k
1−
;
n
ïðè γ = 0.95, n = 10 000 è k = 4000 äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë ðàâåí (0.39, 0.41); ïðèáëèçèòåëüíî 16 600 ñåàíñîâ.
Äëÿ ïðîâåðêè òîãî, ïîâûøàåòñÿ ëè ñêîðîñòü ÷òåíèÿ ó÷åíèêîâ ìëàäøèõ êëàññîâ â çàâèñèìîñòè îò
ñîäåðæàíèÿ òåêñòà, ó÷èòåëü ïðîâåðèë ñêîðîñòü ÷òåíèÿ 7 ó÷åíèêîâ, êîãäà îíè ÷èòàëè òåêñò ïî ñâîåìó
âûáîðó è òåêñò, ïðåäëîæåííûé ó÷èòåëåì. ×èñëî ñëîâ, ïðî÷èòàííûõ çà 6 ìèíóò êàæäûì èç ó÷åíèêîâ,
äàíî â òàáëèöå.
Ó÷åíèê
1 2 3 4 5 6 7
Ñâîé òåêñò
549 555 560 521 544 552 542
Òåêñò ó÷èòåëÿ 534 549 555 525 542 540 534
Ïðè óðîâíå çíà÷èìîñòè 5% ïðîâåðüòå ãèïîòåçó î òîì, ÷òî ó÷åíèêè ÷èòàþò áûñòðåå, åñëè îíè ñàìè âûáèðàþò òåêñò.
Ãèïîòåçà ïðèíèìàåòñÿ.
Íàó÷èòåñü ñ ïîìîùüþ ýëåêòðîííûõ òàáëèö (íàïðèìåð, ñ èñïîëüçîâàíèåì Microsoft Excel) âû÷èñëÿòü
îñíîâíûå ÷èñëåííûå õàðàêòåðèñòèêè âûáîðîê (âûáîðî÷íûå ñðåäíåå, ñòàíäàðòíîå îòêëîíåíèå), íàõîäèòü
êâàíòèëè íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, ðàñïðåäåëåíèÿ Ñòüþäåíòà è ðàñïðåäåëåíèÿ õè-êâàäðàò, âû÷èñëÿòü
ãðàíèöû äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà äëÿ íîðìàëüíîé âûáîðêè.
7.
Îòâåò.
8.
2