Решения избранных задач

Ìîñêîâñêèé ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò
Ëåêòîðèé
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ëîãèêà
Çàäà÷è ê ëåêöèè 2: ïðîïîçèöèîíàëüíûå ôîðìóëû
1. Ïîñòðîéòå òàáëèöû èñòèííîñòè äëÿ ôîðìóë:
à)
á)
â)
ã)
¬(p → (p ∧ q)) → (p ∨ r);
(p ∧ (q ∨ ¬p)) ∧ ((¬q → p) ∨ q);
(p → q) → ((p ∨ (q ∧ r)) → (r ∧ ¬p));
(p → r) → ((p ∧ (q ∨ r)) → (¬r ∧ q)).
2. ßâëÿþòñÿ ëè ñëåäóþùèå ôîðìóëû òàâòîëîãèÿìè:
à)
á)
â)
ã)
ä)
å)
¬q → (¬q → q);
(p → q) ∨ (q → p);
((p ∧ ¬q) → q) → (p → q);
(p → (q → r)) → ((p → q) → (p → r));
(p → r) → ((p → q) → (r → q));
(p → r) → ((p ∨ q) → (r ∨ q))?
Îòâåò: à) Íåò; á) äà; â) äà; ã) äà; ä) íåò; å) äà.
3. Ïðèâåäèòå ñëåäóþùèå ôîðìóëû ê ÊÍÔ è ÄÍÔ, à òàêæå çàïèøèòå ýêâèâàëåíòíûå
èì ìíîãî÷ëåíû Æåãàëêèíà:
à) ((p → q) → (r → ¬p)) → (¬q → ¬r);
á) (p → q) ∧ (¬r ∨ ¬p) ∧ (¬r ∨ q);
â) ((((p → q) → ¬p) → ¬q) → ¬r) → r.
4. Ïîñòðîéòå êàê ìîæíî áîëåå êîðîòêóþ ôîðìóëó îò òð¼õ ïåðåìåííûõ, êîòîðàÿ:
à) ïðèíèìàåò òî æå çíà÷åíèå, ÷òî è áîëüøèíñòâî ïåðåìåííûõ;
á) èñòèííà, åñëè èñòèííû ðîâíî äâå ïåðåìåííûå.
Îòâåò:
à)
á)
(p ∧ q) ∨ (q ∧ r) ∨ (p ∧ r);
5. Ïðèäóìàéòå ôóíêöèþ îò n ïåðåìåííûõ, òàêóþ ÷òî ëþáàÿ ÊÍÔ (ÄÍÔ), å¼ âûðàæàþùàÿ, ñîäåðæèò êàæäóþ ïåðåìåííóþ â êàæäîì äèçúþíêòå (êîíúþíêòå).
1
Ðåøåíèå: â îáîèõ ñëó÷àÿõ ïîäîéä¼ò ôóíêöèÿ ÷¼òíîñòè (ñóììà ïî ìîäóëþ 2, parity,
XOR), ðàâíàÿ 1, åñëè ñðåäè àðãóìåíòîâ íå÷¼òíîå ÷èñëî åäèíèö, è 0 èíà÷å. Ðàññìîòðèì
ñëó÷àé ÊÍÔ. Ïóñòü ïåðåìåííàÿ pi íå âõîäèò â êàêîé-òî äèçúþíêò. Òîãäà ðàññìîòðèì
íàáîð çíà÷åíèé îñòàëüíûõ ïåðåìåííûõ, òàêîé ÷òî ýòîò äèçúþíêò ëîæåí.  òàêîì ñëó÷àå
âñÿ ÊÍÔ ëîæíà íåçàâèñèìî îò çíà÷åíèÿ pi. Òàêèì îáðàçîì, èçìåíåíèå çíà÷åíèå pi íå
èçìåíèò çíà÷åíèÿ ôîðìóëû, ÷åãî íå ìîæåò áûòü äëÿ ôóíêöèè ÷¼òíîñòè. Äëÿ ÄÍÔ
ðàññóæäåíèå àíàëîãè÷íî: íóæíî âçÿòü òàêèå çíà÷åíèÿ ïåðåìåííûõ, ÷òîáû êîíúþíêò
áåç pi áûë èñòèííûì.
6. ÊÍÔ (ÄÍÔ) íàçûâàåòñÿ ñîâåðøåííîé, åñëè âî âñåõ ñîñòàâëÿþùèõ å¼ äèçúþíêòàõ
(êîíúþíêòàõ) êàæäàÿ ïåðåìåííàÿ âñòðå÷àåòñÿ ðîâíî îäèí ðàç. Ó êàêîé ôóíêöèè íåò
ñîâåðøåííîé ÊÍÔ? À ó êàêîé ÑÄÍÔ?
Îòâåò: ÑÊÍÔ íåò ó òîæäåñòâåííî èñòèííîé ôóíêöèè, à ÑÄÍÔ ó òîæäåñòâåííî
ëîæíîé.
7. Äîêàæèòå, ÷òî:
à) Åñëè A è B → ¬A ñóòü òàâòîëîãèè, òî ¬B òàâòîëîãèÿ.
á) Åñëè A ∨ B è ¬A ∨ C ñóòü òàâòîëîãèè, òî B ∨ C òàâòîëîãèÿ.
â) Åñëè A ∨ B , A → C è B → D ñóòü òàâòîëîãèè, òî C ∨ D òàâòîëîãèÿ.
ã) Åñëè A ∧ B , A → C è B → D ñóòü òàâòîëîãèè, òî C ∧ D òàâòîëîãèÿ.
8.
Ñóùåñòâóåò ëè ôîðìóëà A, òàêàÿ ÷òî ñëåäóþùèå ïàðû ôîðìóë îäíîâðåìåííî
ÿâëÿþòñÿ òàâòîëîãèÿìè? Åñëè íåò, òî äîêàæèòå, åñëè äà, òî ïðèâåäèòå âîçìîæíî áîëåå
êîðîòêóþ ôîðìóëó ñ òàêèì ñâîéñòâîì.
à) (p ∧ A) → (p ∧ q) è (p ∨ r) → (p ∨ A);
á) (A ∧ p) → ((q ∨ r) ∧ p), à (A ∨ q) → ((p ∧ r) ∨ q);
â) (p → A) → (p → (q → r)) è (A → p) → ((r → q) → p);
ã) (p ∨ A) → (p ∨ (q → r)) è (r → p) → (q ∧ A).
9. Äîêàæèòå, ÷òî ôîðìóëà, ïîñòðîåííàÿ èç ñâÿçîê ↔ è ¬, ÿâëÿåòñÿ òàâòîëîãèåé
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà êàæäàÿ ïåðåìåííàÿ, à òàêæå çíàê îòðèöàíèÿ âñòðå÷àþòñÿ
â íåé ÷¼òíîå ÷èñëî ðàç.
Óêàçàíèå: òàêàÿ ôóíêöèÿ ïðåäñòàâëÿåòñÿ ëèíåéíûì ìíîãî÷ëåíîì Æåãàëêèíà.
10. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè äâå ôîðìóëû, âûðàæåííûå òîëüêî ÷åðåç çíàêè ¬, ∨ è ∧,
ýêâèâàëåíòíû, òî îíè îñòàíóòñÿ ýêâèâàëåíòíûìè, åñëè çàìåíèòü âñå çíàêè ∨ íà ∧, è
íàîáîðîò.
Óêàçàíèå: ïðîâåäèòå äîêàçàòåëüñòâî ïî èíäóêöèè, èñïîëüçóÿ çàêîíû äå Ìîðãàíà.
11. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè A → B åñòü òàâòîëîãèÿ, òî íàéä¼òñÿ ôîðìóëà C , çàâèñÿùàÿ
òîëüêî îò ïåðåìåííûõ, îáùèõ äëÿ A è B , òàêàÿ ÷òî A → C è C → B ñóòü òàâòîëîãèè.
2
Ïóñòü A çàâèñèò îò ïåðåìåííûõ p1, . . . , pn, q1, . . . , qm, à B îò ïåðåìåííûõ p1, . . . , pn, r1, . . . , rl . Çàôèêñèðóåì çíà÷åíèÿ p1, . . . , pn. Åñëè õîòÿ áû ïðè êàêèõ-òî
çíà÷åíèÿõ q1, . . . , qm ôîðìóëà A èñòèííà, òî B îáÿçàíà áûòü èñòèííîé ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ r1, . . . , rl .  òàêîì ñëó÷àå ìîæíî ïîëîæèòü C(p1, . . . , pn) = 1, è îáå èìïëèêàöèè
A → C è C → B áóäóò âåðíû. Åñëè æå ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ q1 , . . . , qm ôîðìóëà A ëîæíà,
òî ìîæíî ïîëîæèòü C(p1, . . . , pn) = 0, è òîæå îáå èìïëèêàöèè áóäóò âåðíû.
Ðåøåíèå:
3