26. Элементы математической статистики-4

26. Ýëåìåíòû ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè-4
26.1. Ïðåäâàðèòåëüíûå ñâåäåíèÿ
Ïóñòü H0 : θ = θ0 , H1 : θ = θ1 .
ϕ
ïðîâåðêè H0 ïðîòèâ H1 ñîñòîèò â íàõîæäåíèè ïî âûáîðî÷íûì äàííûì x çíà÷åíèÿ ôóíêöèè ϕ(x) è ïðèíÿòèè ãèïîòåçû H1 ñ âåðîÿòíîñòüþ ϕ(x)R è ãèïîòåçû H0 ñ âåðîÿòíîñòüþ
1 − ϕ(x).
R
Îáîçíà÷èì p0 (x) = p(x; θ0 ), p1 (x) = p(x; θ1 ), E 0 ϕ = ϕ(x)p0 (x) dx, E 1 ϕ = ϕ(x)p1 (x) dx.
Ω
Ω
Çíà÷åíèå E 0 ϕ åñòü
(ïðèíÿòèå H1 , êîãäà íà ñàìîì äåëå âåðíà H0 ). Çíà÷åíèå
1 − E 1 ϕ åñòü
(ïðèíÿòèå H0 , êîãäà íà ñàìîì äåëå âåðíà H1 ).
Êðèòåðèé èìååò
α, åñëè âåðîÿòíîñòü îøèáêè I ðîäà ðàâíà α.
óðîâíÿ çíà÷èìîñòè α îáëàäàåò ìèíèìàëüíîé âåðîÿòíîñòüþ îøèáêè II ðîäà.
îñíîâíàÿ ãèïîòåçà
àëüòåðíàòèâíàÿ ãèïîòåçà
-êðèòåðèé
âåðîÿòíîñòü îøèáêè I ðîäà
âåðîÿòíîñòü îøèáêè II ðîäà
óðîâåíü çíà÷èìîñòè
Îïòèìàëüíûé
êðèòåðèé
Òåîðåìà 1 (Íåéìàí-Ïèðñîí).
ϕ∗ -êðèòåðèé
ñ ôóíêöèåé
0 ≤ α ≤ 1 ñóùåñòâóþò

 1, p1 (x) > cp0 (x),
ε, p1 (x) = cp0 (x),
ϕ∗ (x) =

0, p1 (x) < cp0 (x),
Äëÿ ëþáîãî
îïðåäåëÿåò îïòèìàëüíûé êðèòåðèé ñ óðîâíåì çíà÷èìîñòè
òàêèå ÷èñëà
c≥0
è
0 ≤ ε ≤ 1,
÷òî
α.
26.2. Ïðàêòè÷åñêîå çàíÿòèå
1. Ïóñòü X ÷èñëî èçþìèíîê, ñîäåðæàùèõñÿ â áóëî÷êå. Êàê ñëåäóåò èç ðàíåå ðåøåííîé çàäà÷è (ñì. òåìó
¾Ñõåìà Áåðíóëëè-2¿), ðàñïðåäåëåíèå X ïîä÷èíÿåòñÿ çàêîíó Ïóàññîíà, ò.å. P(X = k) = λk! e−λ ñ íåêîòîðûì
λ > 0. Òðåáóåòñÿ ïðîâåðèòü îñíîâíóþ ãèïîòåçó H0 : λ = 4 ïðîòèâ àëüòåðíàòèâíîé ãèïîòåçû H1 : λ = 2
íà óðîâíå çíà÷èìîñòè α = 0.3. Ïîñòðîéòå ñîîòâåòñòâóþùèé îïòèìàëüíûé êðèòåðèé Íåéìàíà-Ïèðñîíà,
íàéäèòå âåðîÿòíîñòü îøèáêè II ðîäà è ÷åòêî ñôîðìóëèðóéòå àëãîðèòì ïðîâåðêè ãèïîòåç, îñíîâàííûé íà
ýòîì êðèòåðèè.
x < 3,
 1,
0.317, x = 3, Âåðîÿòíîñòü îøèáêè II ðîäà ðàâíà 0.266.
Îòâåò. ϕ(x) =

k
0,
x > 3.
26.3. Äîìàøíåå çàäàíèå
2. Ïî ìèøåíè, âåðîÿòíîñòü ïîïàäàíèÿ â êîòîðóþ ðàâíà p, ïðîèçâîäÿòñÿ âûñòðåëû äî ïåðâîãî ïîïàäàíèÿ. Ïóñòü X ÷èñëî ñäåëàííûõ âûñòðåëîâ. Ïîñòðîéòå îïòèìàëüíûé êðèòåðèé Íåéìàíà-Ïèðñîíà äëÿ
ïðîâåðêè íóëåâîé ãèïîòåçû H0 : p = 13 ïðîòèâ àëüòåðíàòèâíîé ãèïîòåçû H1 : p = 21 äëÿ óðîâíÿ çíà÷èìîñòè α = 0.3, íàéäèòå âåðîÿòíîñòü îøèáêè II ðîäà è ÷åòêî ñôîðìóëèðóéòå àëãîðèòì ïðîâåðêè ãèïîòåç,
îñíîâàííûé íà ýòîì êðèòåðèè.
0.9, x = 1,
Îòâåò. ϕ(x) =
Âåðîÿòíîñòü îøèáêè II ðîäà ðàâíà 0.55.
0,
x = 2, 3, . . .
1