Принцип Ферма

39
ÈÇÈ×ÅÑÊÈÉ ÔÀÊÓËÜÒÀÒÈÂ
Ô È Ç ÈÔ ×
ÅÑÊÈÉ ÔÀÊÓËÜÒÀÒÈÂ
Ïðèíöèï Ôåðìà
À.ÑÅÍÄÅÐÈÕÈÍ
Ô
ÐÀÍÖÓÇÑÊÈÉ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ ÏÜÅÐ ÔÅÐÌÀ ÏÐÈÁËÈÇÈÒ-
òåëüíî â 1660 ãîäó ñôîðìóëèðîâàë îñíîâíîé ïðèíöèï
ãåîìåòðè÷åñêîé îïòèêè, íàçûâàåìûé òåïåðü ïðèíöèïîì
Ôåðìà. Ñîãëàñíî ýòîìó ïðèíöèïó, èç âñåõ âîçìîæíûõ ïóòåé
ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè ñâåò âûáèðàåò òîò, ïî êîòîðîìó âðåìÿ
ïðîõîæäåíèÿ íàèìåíüøåå. Îòñþäà ñëåäóþò âñå îñíîâíûå
çàêîíû ãåîìåòðè÷åñêîé îïòèêè. Äåéñòâèòåëüíî, â îäíîðîäíîé ñðåäå ñâåò äîëæåí ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ ïðÿìîëèíåéíî,
ïîñêîëüêó ïðÿìàÿ – ýòî êðàò÷àéøåå ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ
òî÷êàìè, è, ñëåäîâàòåëüíî, âðåìÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ íàèìåíüøåå. Åñëè æå ñâåò ïàäàåò íà ãðàíèöó ðàçäåëà äâóõ îïòè÷åñêè
ðàçëè÷íûõ ñðåä (ñðåä ñ ðàçíûìè ïîêàçàòåëÿìè ïðåëîìëåíèÿ, èëè ñ ðàçíûìè ñêîðîñòÿìè ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñâåòà), òî
âûïîëíÿþòñÿ çàêîíû îòðàæåíèÿ è ïðåëîìëåíèÿ ñâåòà, êîòîðûå òîæå íåïîñðåäñòâåííî âûòåêàþò èç ïðèíöèïà Ôåðìà.
 áîëåå ñòðîãîé ôîðìóëèðîâêå ïðèíöèï Ôåðìà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé òàê íàçûâàåìûé âàðèàöèîííûé ïðèíöèï, óòâåðæäàþùèé, ÷òî ñâåò ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ îò îäíîé òî÷êè ê
äðóãîé ïî ëèíèè, âäîëü êîòîðîé âðåìÿ åãî ïðîõîæäåíèÿ
ýêñòðåìàëüíî, ò.å. èëè ìèíèìàëüíî, èëè ìàêñèìàëüíî, èëè
îäèíàêîâî ïî ñðàâíåíèþ ñ âðåìåíàìè ïðîõîæäåíèÿ âäîëü
âñåõ äðóãèõ ëèíèé.
Îáñóäèì íåñêîëüêî êîíêðåòíûõ ïðèìåðîâ, èëëþñòðèðóþùèõ ïðèíöèï Ôåðìà.
Îòðàæåíèå ñâåòà
Ïðèìåð 1. Ðàññìîòðèì îòðàæåíèå ñâåòà îò ïëîñêîãî
çåðêàëà (ðèñ.1; çàñëîíêà D èñêëþ÷àåò ïðÿìîå ïîïàäàíèå
ñâåòà èç À â Â). à) Äîêàæåì, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè çàêîíà
îòðàæåíèÿ ∠ACD = α = β = ∠DCB ñâåò ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ïî êðàò÷àéøåé èç
D
âîçìîæíûõ òðàåêòîB
A
ðèé, à èìåííî ïî ëèíèè
ÀÑÂ. á) Âûâåäåì çàêîí
îòðàæåíèÿ ñâåòà, èñβ
α
õîäÿ èç òîãî, ÷òî ñâåò,
îòðàçèâøèñü îò çåðêàëà, ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ
ïî êðàò÷àéøåé òðàåêC
E
òîðèè.
Ðèñ. 1
à) Âûïîëíèì äîïîëíèòåëüíîå ïîñòðîåíèå
D
(ðèñ.2): îòìåòèì íà ïðîA
B
äîëæåíèè ïåðïåíäèêóëÿðà ÀÌ îòðåçîê
MA′ = AM è ñîåäèíèì
A′ ñ òî÷êàìè Ñ è
òî÷êó
β
α
Å. Ïîñêîëüêó ∆ACM =
M
M ¢ = ∆A′CM (êàê äâà
E
C
ïðÿìîóãîëüíûõ òðåóãîëüíèêà ñ ðàâíûìè êàòåòàìè), òî ∠ACM =
= ∠A′CM . Òàê æå
∆ACM = ∆BCM′ , îòA¢
êóäà ∠ACM = ∠BCM′.
Ðèñ. 2
Çíà÷èò, ∠A′CM = ∠BCM′ . Íà îñíîâå îáðàòíîé òåîðåìû î
íàêðåñò ëåæàùèõ óãëàõ ïîëó÷àåì, ÷òî ëèíèÿ A′CB – ïðÿìàÿ, ò.å. êðàò÷àéøàÿ ëèíèÿ. Íî A′C = AC è AE = A′E ,
ñëåäîâàòåëüíî,
A
B
lACB < lAEB .
K
á) Ïóñòü òî÷êà Å ñâîh
β
áîäíî äâèæåòñÿ âäîëü
h
α
MM′ (ðèñ.3). Êîãäà
M¢
äëèíà ëèíèè ÀÅÂ ñòà- M
x
E
íîâèòñÿ ìèíèìàëüíîé,
d
âûïîëíÿåòñÿ çàêîí îòðàæåíèÿ, ò.å. ∠AEK =
Ðèñ. 3
= ∠BEK . Äåéñòâèòåëüíî, èç ðèñóíêà 3
(d − x )2 + h2 .
x 2 + h2 +
lAEB = lAE + lEB =
Çàïèøåì íåîáõîäèìîå óñëîâèå ìèíèìóìà:
dlAEB
=0,
dx
èëè
d  2
x + h2 +
dx 
2
(d − x )
=
Íî
+ h2  =

x
2
x +h
2
−
d−x
2
(d − x )
+h
2
=
x d−x
−
=0.
l1
l2
x
d−x
= sin α è
= sin β ,
l1
l2
ïîýòîìó
sin α = sin β , è α = β .
×òî ýêñòðåìóì áóäåò èìåííî ìèíèìóìîì, ìîæíî ïîêàçàòü
âçÿòèåì âòîðîé ïðîèçâîäíîé èëè êàêèì-ëèáî åùå ñïîñîáîì.
Ïðèìåð 2. Ïóñòü ñâåò
D
B
A
îòðàæàåòñÿ îò âîãíóϕ
òîãî ñôåðè÷åñêîãî çåðêàëà, âûïîëíåííîãî â
âèäå ïîëóñôåðû ðàäèóñîì R. Âûâåäåì çàêîí
α β
îòðàæåíèÿ ñâåòà äëÿ
E
ýòîãî ñëó÷àÿ ïðè óñëîâèè, ÷òî ñâåò, ðàñïðîñC
òðàíÿÿñü îò òî÷êè À ê
Ðèñ. 4
òî÷êå Â, âûáèðàåò ýêñòðåìàëüíóþ ïî äëèíå òðàåêòîðèþ (ðèñ.4; çàñëîíêà D
èñêëþ÷àåò ïðÿìîå ïîïàäàíèå ñâåòà èç À â Â). Èññëåäóåì
õàðàêòåð ýòîãî ýêñòðåìóìà.
Ñîãëàñíî ðèñóíêó 4,
lAEB = lAE + lEB = 2 R cos ϕ + 2 R sin ϕ ,
ò.å. èñêîìàÿ äëèíà ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé óãëà ϕ . Óñëîâèå
ýêñòðåìóìà ðåàëèçóåòñÿ ïðè
dlAEB
=0,
dϕ
èëè
d
(2 R cos ϕ + 2 R sin ϕ ) = 2R (− sin ϕ + cos ϕ ) = 0 ,
dϕ
îòêóäà ïîëó÷àåì
sin ϕ = cos ϕ , è ϕ = 45o .
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî òî÷êà Å ïðè èñòèííîé òðàåêòîðèè äîëæíà